FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK. by Marcel Laube
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- Rainer Reinhardt Goldschmidt
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1 FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue
2 EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:... Bezeichuge... Vorzeicheregel... 4 BINOMISCHE FORMELN:... 4 DIVISION:... 4 Bezeichuge... 4 Vorzeicheregel... 5 Divisio eier Summe durch eie Summe: Prtildivisio... 5 RECHENOPERATION. STUFE... 5 POTENZIEREN... 5 Bezeichuge... 5 Vorzeicheregel... 6 Addiere ud sutrhiere vo Poteze... 6 Multipliziere vo Poteze... 6 Dividiere vo Poteze... 7 Poteziere vo Poteze:... 7 Poteziere vo Biome... 8 RADIZIEREN... 8 Bezeichuge... 8 Wurzel ls Poteze drstelle... 9 Addiere ud sutrhiere vo Wurzel... 9 Rdiziere vo Produkte... 9 Rdiziere vo Brüche... 9 Etfere der Wurzel us dem Neer... 9 Rdiziere vo Poteze Multipliziere ud dividiere vo ugleichmige Wurzel Rdiziere vo Wurzel Doppelwurzel LOGARITHMIEREN Bezeichuge / Defiitio Logrithmegesetze Üergg vo eiem Logrithmesystem zu eiem dere... 1 IMAGINÄRE ZAHLEN... 1 FOLGEN UND REIHEN... 1 SUMME DER ARITHMETISCHEN REIHE:... 1 ARITHMETISCHE INTERPOLATION GEOMETRISCHE FOLGEN UND REIHEN ZINSESZINSRECHNUNGEN TS-Zürich Seite / ML
3 Eiführug Die Teilgeiete der Mthemtik: Mthemtik Arithmetik Lehre vo de Zhle Geometrie Lehre vo de Rumgrösse Alger ud Fuktioslehre Lehre vo de Gleichuge Plimetrie Lehre vo de eee Fläche Trigoometrie Dreieckserechuge Stereometrie Lehre vo de Körper Die Opertios-Stufe Opertio 1. Stufe: Opertio. Stufe: Additio Sutrktio Multipliktio Divisio Opertio. Stufe: Poteziere Rdiziere Logrithmiere Opertioe 1. Stufe: Additio ud Sutrktio Bezeichuge Summde c Summewert Summe TS-Zürich Seite / ML
4 Miued Sutrhed c Wert der Differez Ergeis Differez Vorzeicheregel Recheopertio. Stufe Multipliktio: Bezeichuge Summde Fktore 4* Summe Produkt TS-Zürich Seite / ML
5 Vorzeicheregel * * * * Biomische Formel: 1. iomische Formel:. iomische Formel:. iomische Formel: Divisio: Bezeichuge Zähler od. Divided : c Quotiet Divisor TS-Zürich Seite / ML
6 Vorzeicheregel Die Vorzeiche vo Zähler ud Neer köe demzufolge vertuscht werde. Divisio eier Summe durch eie Summe: Prtildivisio 6x x x x 4x; x ; x 6x *x 7 6x 4xx 7 9x 1x 8 x 8 10x 5; x 5x 7 8x 5 : x 7 x 8x 8x 5 8x 10 x 5 10x 5 0 4x 5 Recheopertio. Stufe Poteziere Bezeichuge Bsis Expoet Potezwert Potez TS-Zürich Seite / ML
7 Vorzeicheregel Eie Potez ist POSITIV, we: Die Bsis positiv ist =; 4 =81 Oder mit egtiver Bsis, we der Expoet eie grde Zhl ist - = ; - 4 =81 Eie Potez ist NEGATIV, we: Die Bsis egtiv ist ud der Expoet eie ugerde Zhl ist - -1 = - -1 ;- 5 = -4 Addiere ud sutrhiere vo Poteze Es köe ur Poteze mit gleiche Expoete UND gleiche Bse ddiert oder sutrhiert werde. Es werde ur die Beizhle ddiert/sutrhiert = - +8 Multipliziere vo Poteze Poteze köe multipliziert werde, we: Die Bse gleich sid ODER, die Expoete gleich sid Gleiche Bse: m * m Gleiche Expoete: * TS-Zürich Seite / ML
8 Dividiere vo Poteze Poteze köe dividiert werde, we: Die Bse gleich sid ODER, die Expoete gleich sid. Gleiche Bse: m m Gleiche Expoete: Soderfälle ei der Divisio vo Poteze: 1 1 weil 0 1 Poteziere vo Poteze: Eie Potez wird poteziert, idem m die Expoete multipliziert ud die Bsis mit diesem Produkt poteziert. m m* deshl köe uch die Expoete vertuscht werde: m m m TS-Zürich Seite / ML
9 Poteziere vo Biome 1 ± ± ± 1 1 ± ± ± 5 etc. etc. Regel zum Orde der Poteze: Vorzeicheregel: Beispiel: + : : : Rdiziere Bezeichuge Wurzelexpoet x Rdikt TS-Zürich Seite / ML
10 Weil Rdiziere eie Umkehrug des Potezieres ist gilt: Wurzel ls Poteze drstelle m m Addiere ud sutrhiere vo Wurzel Es köe ur Wurzel mit gleichem Expoet UND Rdikt ddiert/sutrhiert werde. Es werde ur die Beizhle sutrhiert/ddiert Beispiel: Rdiziere vo Produkte * Rdiziere vo Brüche Etfere der Wurzel us dem Neer 7 * 7 * 7 x x* x 7 x 7* x x * x TS-Zürich Seite / ML
11 Rdiziere vo Poteze x x oder mit Hilfe des Potezieres: m 1 m m M k lso de Wurzel- ud Bsisexpoet mit der gleiche Zhl multipliziere oder dividiere: x mx m Multipliziere ud dividiere vo ugleichmige Wurzel * * * * 5 5 * 5 5 * * * Rdiziere vo Wurzel Doppelwurzel m m Logrithmiere Bezeichuge / Defiitio Logrithmus Numerus x log Bsis Der Logrithmus vo zur Bsis ist x. TS-Zürich Seite / ML
12 Um ei der Gleichug x die Vrile x zu estimme, eötigt m die oe erwähte Logrithmus-Gleichug. Ist <0, so git es keie reelle Zhl für x. x=log 0 git es icht! Weil x =0 keie Lösug ht. Spezielle Logrithme: Zeherlogrithme: Bsis 10 log 10 -> lg Biäre Logrithme: Bsis log -> l Ntürliche Logrithme: Bsis e log e -> l Logrithmegesetze Produkt: log u * v log u log v Bruch: log u v log u log v Potez: log * log deshl uch: v u u log * log v Beispiel: Der Logrithmus des Produktes 4,56*1,84*0,065= lg4,56*1,84*0,065 lg 4,56*lg1,84*lg 0,065 0,659 0,648" 1,47 0,51 Numerus zu 0,51 ist 0.06 TS-Zürich Seite / ML
13 Üergg vo eiem Logrithmesystem zu eiem dere Vom llgemeie zum Zeherlogrithmus: lg log lg Vom türliche zum Zeherlogrithmus: lg x l x lge Imgiäre Zhle i 1 i i 1 1 Die zwei Lösuge für die Gleichug x =-4 sid lso: x 4* i x 1 i ; x i Es gilt uch: 4 * 9 i 4 * i 9 i 4*9 6 * i * i i TS-Zürich Seite / ML
14 Folge ud Reihe Eie Folge ist eie ch eiem estimmte Gesetz ufeiderfolgede Azhl vo Zhle. z. Bsp: We die eizele Glieder eier Folge ddiert werde, so erhält m eie rithmetische Reihe. z. Bsp: Allgemei gelte folgede Bezeichuge: Ds erste Glied Afgsglied: 1 Ds zweite Glied: Ds llgemeie Glied k-te Glied: Ds letzte Glied: Die kostte Differez: k d Demzufolge: Ds vierte Glied: 4 = 1 +d Ds k-te Glied: Ds letzte Glied: k = 1 +k-1*d = 1 +-1*d Jedes Glied eier rithmetische Folge ist gleich dem rithmetische Mittel seier zwei echrte Glieder. Summe der Arithmetische Reihe: S oder 1 S 1 1d TS-Zürich Seite / ML
15 Arithmetische Iterpoltio Um zwische zwei Zhle ud, m weitere Zhle eizuschiee, sodss eie rithmetische Folge etsteht, so gilt folgede Formel zur Berechug der Differez: d i m 1 = Afgsglied = Edglied m = Azhl der eigeschoee Glieder d i = Differez der etstdee rithmetische Folge Geometrische Folge ud Reihe Seite Ziseszisrechuge Seite 9 TS-Zürich Seite / ML
Algebra/Arithmetik. Eine Variable ist ein Platzhalter oder ein Stellvertreter für eine Zahl.
Algebr/Arithmetik 1. Grudbegriffe Geometrie: Lehre vo de Rumgrösse Algebr: Lehre vo de Gleichuge Arithmetik: Lehre vo de Zhlegrösse (Zhle, Vrible) Defiitio: Eie Vrible ist ei Pltzhlter oder ei Stellvertreter
Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen
Techikerschule Aufge für Klusure ud Aschlussprüfuge Epoetilgleichuge, Logrithmusgleichuge Grudlgewisse: Recheregel zur Epoetil- ud Logrithmusrechug. Hiweise ud Formelsmmlug siehe Seite - 5. Bereche Sie.
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
Zahlenbereiche. Jeder Zahlenbereich ist eine Erweiterung des vorigen und enthält diesen
Mthemtik Ihlt Zhlebereiche Recheopertioe Hierrchie der Recheopertioe Recheregel Brüche Recheregel für Brüche Klmmerreche Potezrechug Potezgesetze Ntürliche Zhle Zhlebereiche Jeder Zhlebereich ist eie Erweiterug
Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze
R. Brik http://rik-du.de Seite 9.0.00 Poteze, Wurzel ud ihre Rechegesetze Der Potezegriff Defiitio: Eie Potez ist eie Multipliktio gleicher Fktore (Bsis), ei der der Epoet die Azhl der Fktore git. : =...
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge
2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 2.3 Zusammenfassung von 2.
Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG -502- Zusmmefssug: Poteze / Wurzel Potez 1 Ws ist eie Potez? 2 Poteze mit positivem Expoete 3 Poteze mit egtivem Expoete 4 Zusmmefssug vo 2. Zeherpoteze
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.
Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet)
= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.
Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt
MATHEMATIK BASICS. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. Marc Peter Rainer Hofer. Ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen (Folienvorlagen)
MATHEMATIK BASICS Mrc Peter Rier Hofer Poteze, Wurzel ud Logrithme Ausgefülltes Eemplr für Lehrpersoe (Folievorlge) Impressum Iteret: Folievorlge ud Lerkotrolle www.hep-verlg.ch/mt/mth.sics/ ISBN -9090-96-
f) n n 2 x x 4 für n gerade; x für n ungerade
R. Brik http://brik-du.de Seite 7.09.0 Lösuge Poteze I Ergebisse: E E E Ergebisse ( ) = 9 ; ( ) = 7 ; ( ) = 8 ; = ; 7 = ; = 7 ; = 9 ; ( ) = 7 9 Ergebisse x x x x x x ) ( + ) = + ( + ) = + c) x + x = (
Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frkfurt, Fchbereich 1 Reche mit Poteze N bezeichet die Mege der türliche Zhle, Q die Mege der rtiole Zhle ud R die Mege der reelle Zhle. N bedeutet: ist eie türliche Zhl.
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.
Poteziere 6 Poteziere 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... = Fktore Potezwert Es ist =, =, =, : Bsis oder Grudzhl, R
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
Formelsammlung Chemietechnik
EUROPA-FACHBUCHREIHE für Chemieberufe Wlter Bierwerth Formelsmmlug Chemietechik. Auflge VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Strße 23 4278 H-Gruite Euro-Nr.: 763 Autor Wlter
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Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
2.1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten
.. Poteze mit türliche Expoete Eie Potez (gelese: hoch ) ist eie bgekürzte Schreibweise für ds Produkt us gleiche Fktore : = wobei > eie türliche Zhl ist heisst Bsis, Expoet der Potez. Beispiele: 5 = =
7.1 Einführung Unter der n-ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl x, die mit n potenziert a ergibt.
Rdiziere 7 Rdiziere 7.1 Eiführug Uter der -te Wurzel us versteht eie Zhl x, die it poteziert ergibt. x x für 0 9 3 3 9 * : Wurzelexpoet, N ud 1 : Rdikd, 0 x: Wurzel(wer) t Poteziere: Bsis ud Expoet sid
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Formelsmmlug Chemietechik Berbeitet vo Wlter Bierwerth. Auflge 205. Broschüre im Order. c. 96 S. ISBN 978 3 8085 76 3 Formt (B x L): 5,2 x 2,5 cm Gewicht: 46 g schell ud ortofrei erhältlich bei Die Olie-Fchbuchhdlug
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
Vektorrechnung. Ronny Harbich, 2003
Vektorrechug Ro Hrich, 2003 Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet),
ALGEBRA Potenzen Teil 2. Trainingsheft. Alle Regeln Musterbeispiele - Trainingsaufgaben. Datei Nr INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
ALGEBRA Poteze Teil it egtive Expoete Triigsheft Alle Regel Musterbeispiele - Triigsufgbe Dtei Nr. 0 Std 9. Dezeber 0 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.the-cd.de 0 Potezreche
RESULTATE UND LÖSUNGEN
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:
Die Logarithmusfunktion
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8.3. Komplexe Zahlen
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Terme und Formeln Potenzen II
Terme ud Formel Poteze II Die eizige schriftliche Überlieferug der Mthemtik der My stmmt us dem Dresder Kodex. Ds Zhlesystem der Mys beruht uf der Bsis 0. Als Grud dfür wird vermutet, dss die Vorfhre der
Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
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Potenzen und Wurzeln
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Vorwort Das mathematische Grundwissen in der Arithmetik dem «Rechnen» kommt in vielen Berufen zur Anwendung. Dieser Band aus der Reihe «Mathematik Basics» bietet Ihnen die Möglichkeit, in Form eines programmierten
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5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
Lambacher-Schweizer Baden-Württemberg Klasse 10. I Potenzen 6 Rationale Hochzahlen
Lmcher-Schweizer Bde-Württemerg Klsse 0 I Poteze Rtiole Hochzhle Seite Nr. Die folgede Wurzel öe m Beste vereifcht werde, we m zuerst eiml die Zhl uter der Wurzel ls Potez schreit, d die gze Wurzel ls
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
Geometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische
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ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr. 4002 Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung
Grudwie Mthemtik 9.Kle Gymium SOB.Weiteretwicklug der Zhlvortellug Defiitio der Qudrtwurzel: Für 0 it diejeige icht egtive Zhl dere Qudrt ergibt. heißt Qudrtwurzel, heißt Rdikd. Beipiele: 0,5 0,5 64 8
Formelsammlung. Angewandte Mathematik
Formelsmmlug für Agewdte Mthemtik + = k= k k k ( b) b Autor: Wolfgg Kugler Formelsmmlug INHALTSVERZEICHNIS. Poteze 3. Defiitioe 3. Recheregel 3.3 Wurzel 4.4 Biomischer Lehrstz 4. Kreisfuktioe 6. Defiitioe
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, [email protected] Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.