Formelsammlung. Angewandte Mathematik

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1 Formelsmmlug für Agewdte Mthemtik + = k= k k k ( b) b Autor: Wolfgg Kugler

2 Formelsmmlug INHALTSVERZEICHNIS. Poteze 3. Defiitioe 3. Recheregel 3.3 Wurzel 4.4 Biomischer Lehrstz 4. Kreisfuktioe 6. Defiitioe im rechtwikelige Dreieck 6. Sius ud Kosiusstz 6.3 Die Kreisfuktioe m Eiheitskreis 7.4 Summesätze 7.5 Produktformel 7.6 Poteze vo Kreisfuktioswerte 7 3. Die qudrtische Gleichug 8 3. Der llgemeie Fll 8 3. Der ormierte Fll 8 4. Epoetil ud Logrithmusfuktioe 9 4. Defiitio 9 4. Umrechug uf die türliche Bsis e: Rechegesetze für Logrithme Zusmmehg verschiedeer Logrithmesysteme 9 5. Komplee Zhle 5. Defiitio der imgiäre Eiheit 5. Beschreibugsrte kompleer Zhle 5.3 Komplee Drstellug vo Sius ud Kosius 5.4 Formel vo Moivre 5.5 Komplee Wurzel 5.6 Komplee Widerstäde i der Wechselstromtechik 3 6. Differetilrechug 4 6. Defiitio des Differetilqoutiete 4 6. Ableitugsregel 4 Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

3 Formelsmmlug 7. Itegrlrechug 6 7. Stmmfuktioe 6 7. Fktoreregel Summeregel Liere Substitutio Produktitegrtio Weitere Substitutiosmethode Gruditegrle Recheregel für ds bestimmte Itegrl 8 8. Fourierreihe 9 8. Sius-Kosiusform 9 8. Amplitude Phse Form Epoetilform Prsevlsche Gleichug 9 9. Fouriertrsformtio 9. Defiitio 9. Lierität 9.3 Vereifchuge 9.4 Symmetrietheorem 9.5 Vribleverschiebug im Zeitbereich 9.6 Vribleverschiebug im Frequezbereich 9.7 Ählichkeitsstz 9.8 Differetitio im Zeitbereich 9.9 Itegrtio im Zeitbereich 9. Fltug 9. Tbelle Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

4 Formelsmmlug 3. Poteze. Defiitioe Für ds -fche Produkt eier Zhl schreibt m kurz = N, R Fktore M et : eie Potez...Bsis oder Grudzhl...Epoet oder Hochzhl o = = =. Recheregel Multipliktio vo Poteze gleicher Bsis: m = + m Poteze gleicher Bsis werde multipliziert, idem m die gemeisme Bsis mit der Summe der Epoete poteziert. Divisio vo Poteze gleicher Bsis: m = m Poteze gleicher Bsis werde dividiert, idem m die gemeisme Bsis mit der Differez der Epoete poteziert. m Poteziere vo Poteze: m = Poteze werde poteziert, idem m die Bsis mit dem Produkt der Epoete poteziert. Poteziere eies Produkts b = b Ei Produkt wird poteziert, idem jeder Fktor poteziert wird. Oder ltertiv: Poteze mit gleichem Epoete werde multipliziert, idem m ds Produkt der beide Bse mit dem gemeisme Epoete poteziert. Poteziere eies Quotiete: b = b Ei Bruch wird poteziert, idem Zähler ud Neer poteziert werde. Oder ltertiv: Poteze mit gleichem Epoete werde dividiert, idem m de Quotiete der Bse mit dem gemeisme Epoete poteziert. Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

5 Formelsmmlug 4.3 Wurzel Wir defiiere = N ud weiters m m =,m N ; R + Wurzel sid Poteze mit gebrochee Epoete. Für Poteze mit gebrochee (rtiole) Epoete gelte dieselbe Recheregel wie für Poteze mit gze Epoete. Die obige Recheregel lsse sich sogr uf Poteze mit reelle Epoete erweiter. Sie gelte lso für beliebige Poteze, d.h. R, R +..4 Biomischer Lehrstz.4. Die Poteze des Bioms ( + b) ( b) + = + b = + b + b = + b+ b + b = + 3 b+ 3b + b + b = + 4 b+ 6 b + 4b + b + b = + 5 b+ b + b + 5b + b b = + 6 b+ 5 b + b + 5 b + 6b + b.4. Biomilkoeffiziete ( Psclsches Dreieck ) = = = = 3 = 4 = 5 = Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

6 Formelsmmlug 5 M et k ds Eulersymbol. Aus dem Psclsche Dreieck lässt sich Folgedes blese: Symmetrie: Bildugsgesetz: = k k + k + = k+ k+ M k de Wert für bereche: k uch direkt us der Zeileummer ud der Pltzummer k Es gilt:...! = k ( k )... k ( k) k k = +!!.4.3 Die Summeschreibweise + = k= k k k ( b) b Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

7 Formelsmmlug 6. Kreisfuktioe. Defiitioe im rechtwikelige Dreieck γ= 9 γ b α c β Bezüglich α ist die Gegekthete GK, b die Akthete AK ud c die Hypoteuse H. si α = cos α = GK H AK H GK si α t α = = AK cos α AK cos α ctgα = = GK si α Ei wichtiger Zusmmehg: si² α + cos² α =. Sius ud Kosiusstz Sie diee zu Berechuge im schiefwikelige Dreieck: Kosiusstz: c = + b b cos γ = b + c bc cos α b = + c c cosβ Siusstz: b = = c si α si β si γ Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

8 Formelsmmlug 7.3 Die Kreisfuktioe m Eiheitskreis y ( / Py) P P α cos α si α Am Eiheitskreis ist die Mßzhl der -Koordite gleich dem Kosius des Wikels α, die Mßzhl der y- Koordite ist gleich dem Sius des Wikels..4 Summesätze. Summestz:. Summestz: si α+β = si α cosβ+ cos α si β si α β = si α cosβ cosα si β cos α+β = cos α cosβ si α siβ cos α β = cos α cosβ+ si α siβ α+β α β si α+ siβ= si cos α+β α β si α siβ= cos si α+β α β cos α+ cosβ= cos cos α+β α β cos α cosβ= si si.5 Produktformel si α siβ= cos α β cos α+β si α cosβ= si α β + si α+β cos α cosβ= cos α β + cos α+β.6 Poteze vo Kreisfuktioswerte si α= cos α si α= 3si α si 3α si α= cos 4α 4cosα cos α= + cos α cos α= cos3α+ 3cos α cos α= cos 4α+ 4 cos α+ 3 Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

9 Formelsmmlug 8 3. Die qudrtische Gleichug 3. Der llgemeie Fll A² + B + C = wird gelöst vo:, = ± A B B 4A C M k de llgemeie Fll eier qudrtische Gleichug per Divisio durch A stets i die ormierte Form überführe. 3. Der ormierte Fll ² + p + q = wird gelöst vo :, p p = ± q Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

10 Formelsmmlug 9 4. Epoetil ud Logrithmusfuktioe 4. Defiitio Jede Fuktio der Form wobei R + ist, et m Epoetilfuktio zur Bsis : ep Es gilt: lim = für > für = für < < Epoetilfuktioe ep ud Logrithmusfuktioe log sid Umkehrfuktioe zueider. log ep log log = log = ep log 4. Umrechug uf die türliche Bsis e: = e k mit k = l Es gilt: lim e k für k > = für k = für k < 4.3 Rechegesetze für Logrithme. log y = log + log y. log = log log y y 3. log = log 4.4 Zusmmehg verschiedeer Logrithmesysteme log log y logb = log y b Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

11 Formelsmmlug 5. Komplee Zhle 5. Defiitio der imgiäre Eiheit j² = 5. Beschreibugsrte kompleer Zhle 5.. Kompoeteform (Normlform ) z = + j b ist der Relteil vo z : b ist der Imgiärteil vo z : wobei ud b reelle Zhle sid. = Re(z) b = Im(z) Die komplee Zhleebee Imgiäre Achse jb z = + j b Reelle Achse 5.. Die kojugiert komplee Zhl z* z = + j b z* = j b Im jb z = + j b Re z * = j b Wichtige Eigeschft: z z* = ² + b² Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

12 Formelsmmlug 5..3 Grudrechugsrte i der Kompoeteform Sid z = + j b ud z = + j b, so gilt: z + z = ( + j b ) + ( + j b ) = ( + ) + j (b + b ) z z = ( + j b ) ( + j b ) = ( + ) j (b + b ) z z = ( + j b ) ( + j b ) = ( b b ) + j ( b + b ) z jb ( jb ) ( jb ) b b b b = + = + = + + j z jb ( jb ) ( jb ) b b Polrform z = (r,ϕ) r ist der Betrg (die Läge) vo z. ϕ ist der Wikel de z mit der positive reelle Achse eischließt. Umrechugsformel: R P : P R : z = r = + b ϕ= b rct = r cosϕ b = r siϕ 5..5 Epoetilform: z = r e jϕ Grudlge für diese Drstellug ist die Eulerformel: e jϕ = cos ϕ + j si ϕ Die komplee Zhleebee Imgiäre Achse z = re jϕ r ϕ Reelle Achse Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

13 Formelsmmlug Grudrechugsrte i der Epoetilform Additio ud Subtrktio sid i Epoetilform icht (eifch) möglich. Sid z = r e jϕ ud z = r e jϕ zwei beliebige komplee Zhle, so gilt für die Multipliktio: z z = r e jϕ r e jϕ = r r e j(ϕ +ϕ ) = r e jϕ Es gilt lso: r = r r ud ϕ = ϕ +ϕ Divisio: z re r z = re = = = e jϕ jϕ jϕ z re r j( ϕ ϕ) r Es gilt lso: r = ud ϕ = ϕ r ϕ Kojugiert komplee Zhle i Epoetilform: z = r e jϕ z* = r e jϕ Wichtige Eigeschft: z z* = r² Versor-Zeiche: = = ϕ jϕ z re r 5.3 Komplee Drstellug vo Sius ud Kosius e cos ϕ= jϕ + e jϕ e si ϕ= jϕ e j jϕ 5.4 Formel vo Moivre (cos ϕ + j si ϕ) = (cos ϕ + j si ϕ) 5.5 Komplee Wurzel Jede komplee Zhl w, für die gilt: (w) = z heißt eie te Wurzel vo z. Es gibt geu uterschiedliche Wurzel: ϕ π j + k w k= r e k =... Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

14 Formelsmmlug Komplee Widerstäde i der Wechselstromtechik Buelemet Schltugssymbol Kompleer Widerstd Ohmscher Widerstd Iduktivität ( Spule ) Kpzität ( Kodestor ) R L C Z = R Z = jωl Z = jωl Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

15 Formelsmmlug 4 6. Differetilrechug 6. Defiitio des Differetilqoutiete 6. Ableitugsregel y f( + ) f( ) df = = d lim lim : d d = d e e d = df ( = ) d( ) d f d d d = d d = dl = d l df u df du dlog = = log e d du d d dsi d = cos dsih d = cosh dcos d = si dcosh d = sih dt = = + d cos t dcot = = d si drcsi = d drccos = d cot dth = = d cosh dcoth = = d sih drsih = + d d th cot drcosh = > ( ) drct d drccot d = = + ( < ) drth d drcoth d = = + ( > ) Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

16 Formelsmmlug 5 Sid u = u() ud v = v() zwei Fuktioe vo, so gilt: Summeregel: ( + ) d u v du dv = + d d d ( u+ v )' = u' + v' ( ) Produktregel: d u v du dv = v + u d d d ( u v )' = u' v+ u v' Quotieteregel: u d du dv v u v = d d d v u ' u' v u v' = v v Ketteregel: d f u d ( ) df du = du d Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

17 Formelsmmlug 6 7. Itegrlrechug 7. Stmmfuktioe Jede Fuktio F(), dere.ableitug f() ist, heißt eie Stmmfuktio vo f(). M schreibt: df f ( ) d = F() = f ( ) d 7. Fktoreregel f d = f d 7.3 Summeregel + = + f g d f d g d 7.4 Liere Substitutio Ist f d = F + C, so gilt: f ( + b) d = F( + b) + C 7.5 Produktitegrtio udv= u v vdu 7.6 Weitere Substitutiosmethode Ist f d = F + C, so gilt: ( ) = f u u d F u + C Weiters ist: f d = l f ( ) + C f Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

18 Formelsmmlug Gruditegrle + + d= + C = ( / ) d = l + C =/ si d = cos + C cos d = si + C si ( / ) d = cot + C = k π π d = t + C = / ( k + ) cos e d = e + C l d = + C =, > + d = rct + C ( / ) d = rcsi + C < sih d = cosh + C cosh d = sih + C sih cosh d = coth + C =/ d = th + C d = r sih + C = l C + d = r cosh + C = l + + C > + d = r th + C = l + C ( < ) + d = r coth + C = l + C > Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

19 Formelsmmlug Recheregel für ds bestimmte Itegrl Ist F eie Stmmfuktio vo f, so gilt: b f ()d = F(b) F() Uterbrechug des Itegrtiositervlls: b c b f()d = f()d+ f()d c Umkehrug der Itegrtiosrichtug Für jede gerde Fuktio f g gilt: b f()d = f()d b f () d = f () d g g Für jede ugerde Fuktio f u gilt: f () d = u Für jede p periodische Fuktio gilt: p + p f()d = f()d Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

20 Formelsmmlug 9 8. Fourierreihe 8. Sius-Kosiusform Etwicklug π periodischer Fuktioe, die Drstellug: f() = + cos+ b si = π π π = f ()d = f () cos d b = f () si d π π π π π π Etwicklug T periodischer Fuktioe, die zeitliche Drstellug: f(t) = + cosω t+ b siω t = T T T = f(t)dt = f(t)cosω tdt b = f(t)si tdt ω T T T T T T 8. Amplitude Phse Form f() = A + A si +ϕ f(t) = A + A si ω t+ϕ = = A = + b ud ϕ = rct b 8.3 Epoetilform f(t) = c e = jωot T jωt c = f(t) e d T t 8.4 Prsevlsche Gleichug π f() d b A A c = = = = + ( + ) = + = π Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

21 Formelsmmlug 9. Fouriertrsformtio 9. Defiitio 9. Lierität F j : f t e dt ω j t + jωt ( ω ) = () = ( ω) F ist ei lierer Itegrlopertor: 9.3 Vereifchuge { () ()} () f t F j e d π ω { } { ()} F f t + f t = F f t + F f t Vereifchuge ergebe sich, we f(t) bestimmte Symmetrieeigeschfte besitzt. Für gerde Fuktioe f g gilt: g g C ω j t ( ω ) = () = () ω = ( ω) F j : f t e dt f t cos tdt: F j Fourier Kosiustrsformtio Für ugerde Fuktioe f u gilt: u g s ω j t ( ω ) = () = () ω = ( ω) F j : f t e dt j f t si t dt : F j Fourier Siustrsformtio 9.4 Symmetrietheorem F { f() t } = F( jω) F { F jt } = π f( ω) 9.5 Vribleverschiebug im Zeitbereich ω j t { f( t t )} = e f() t F F { } Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

22 Formelsmmlug 9.6 Vribleverschiebug im Frequezbereich ( ( )) () 9.7 Ählichkeitsstz j( ω ω ) t +ω j t ω j t jωt () { () } F F j ω ω = f t e dt = f t e e dt= f t e 9.8 Differetitio im Zeitbereich F j τ { f( t) } f e ω = τ dτ= F( j ) ω df F = j ω F f t = j ω F j ω dt { ()} 9.9 Itegrtio im Zeitbereich 9. Fltug Zusmmehg mit der FT: Recheregel für die Fltug F Nullelemet: f() t = t f d F j jω ( τ) τ = ( ω) f t *f t : f t f d () () = ( τ) () τ { () ()} () τ { } { ()} F f t *f t = F f t F f t F{ f() t f() t } = { f() t }* { f() t } F F π Eiselemet δ() t f() t = f() t Kommuttivgesetz: f () t f () t = f () t f () t Assozitivgesetz: f() t g() t h() t = f() t g() t h() t = f() t g() t h() t Distributivgesetz: f() t + g() t h() t = f() t h() t + g() t h() t Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler

23 Formelsmmlug 9. Tbelle f(t) F(jω) π δ(ω) δ(t) j t δ(t t ) e ω σ(t) π δ(ω) + jω j t e ω π δ(ω ω ) cos(ω t) π [δ(ω ω ) + δ(ω+ω )] si(ω t) jπ [δ(ω ω ) δ(ω+ω )], für t / sost ω si ω T + ( ωt) T + jωt e t / T e t / T σ(t) t e t / T σ(t) e t t T e t / T si(ω t) σ(t) e t / T cos(ω t) σ(t) + t t + t!t + ( + jωt) + (T ) π T e ω ω + jω +ω T jω + jω +ω T π e ω + π e ω für ω < für ω = π e ω für ω > Agewdte Mthemtik TGM Wolfgg Kugler