Ober- und Untersummen

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1 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Oer- ud Utersumme Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Oer- ud Utersumme mit ud uedlich viele Streife siehe uch S. 5 im Buch. Oer- ud Utersumme sid ei Werkzeug dfür, de Flächeihlt uter eiem Fuktiosgrphe uf eiem gewisse Itervll äherugsweise mit estimme. Dei gilt per Defiitio: Um die Geuigkeit zu erhöhe. k m die Streifezhl ee ud dieses gege Uedlich lufe lsse. Ds ewirkt türlich, dss die eizele Streife immer schmler werde, ämlich Breite des Itervlls geteilt durch. : Oersumme O für f() uf [0;] Utersumme < ttsächlicher Flächeihlt < Oersumme O Es solle Oer- ud Utersumme zur Fuktio f() + uf dem Itervll [0;] ei füf Segmete (Streife) erechet werde. Die Resultte sid: ( ) Ds ist j u sehr toll, er ws solle wir mit dem Ausdruck i der Klmmer fge? Hier ist u der Zeitpukt für eie Ekurs gekomme. O5 Streifereite ( f(0,) + f(0,4) + f(0,6) + f(0,8) + f()) 0, (, 04 +,6 +,6 +,64 + ), 44 Ekurs: Summeformel U5 Streifereite ( f(0) + f(0,) + f(0,4) + f(0,6) + f(0,8)) 0, ( +, 04 +,6 +,6 +,64) Als der kleie Crl Friedrich Guß (später ei großer Mthemtiker) i der Schule die Aufge ekm, die Summe ller Zhle vo is 00 zu ereche, sh er kurz seie Mitschüler zu, wie sie ttsächlich usw. rechete, dchte etws ch, kritzelte ei weig herum ud km d sehr schell uf die Lösug: Wie ht er ds gemcht? Nu, ihm fiel uf, dss we m die Zhle vo is 00 uf eie estimmte Weise ufschreit, die Summe der eide utereider stehede Zhle immer ist:,4 Wie m sieht, uterscheide sich Oer- ud Utersumme ur i eiem eizige Eitrg (f(), zw. f(0)). M echte, dss m die Fuktioswerte i der Klmmer ders hätte wähle müsse, würde der Grph uf dem Itervll erg verlufe D es offer ekt 50 Pärche git, musste er ur och reche: Eie ähliche Zusmmehg git es ei lle Summe vo is zu eier dere elieige türliche Zhl. Aufge 4 ( + ) ( + ) Sie gilt ttsächlich immer. M k es für jede elieige Zhl usproiere. Dher km m uf die Formel: Bestimme jeweils die Oer- ud Utersumme O5 ud U5 für die gegeee Fuktio uf dem gegeee Itervll. ) ) c) d) e) f) () + 4 () c() + d() e() f() 4 Eiführug i die Itegrlrechug [0;] [;] [0;5] [0;z] [0;z] [0;z] Für dere Summe git es eeflls Summeformel. Hier zwei, die wir ruche: ( + )( + ) ( + ) 4 Eiführug i die Itegrlrechug 4

2 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Mit der zweite ee vorgestellte Summeformel köe wir die Oersumme u gut ereche: O ( + )( + ) 6 6 Jetzt k m gege Uedlich lufe lsse: + + lim 6 6 ( ) Ds ist u der Grezwert der Oersumme ud dmit der ekte Flächeihlt. Aufge 5 Bereche die Utersumme zu der Fuktio ud dem Itervll us dem. Schu dir dzu die Berechug der Oersumme geu ud üerlege, ws für die Utersumme geädert werde muss. Aufge 6 Bestimme de Grezwert der Oer- oder Utersumme der folgede Fuktioe uf dem gegeee Itervll. ) () + [0;] ) () [0;0] c) c() + [0;] d) d() [0;z] e) e() [0;z] Bei de Resultte zu d ud e sollte etws ufflle. Versuche, eie Verdcht zu formuliere, wie m vo der Fuktio schell zum Flächeihlt komme k. Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Stmmfuktioe Stmmfuktioe ud uestimmte Itegrle Defiitio: Jede differezierre Fuktio F, für die F f gilt, heißt Stmmfuktio vo f. Seite 8ff im Buch. Achtug! Es git de Vorgg des Aleites, der uch Differeziere get wird, er der Prozess i die Gegerichtug heißt Itegriere. Die Beutzug des Wortes Aufleite ist icht gestttet. Wer es doch versucht, wird Ziel kolossle Zors ud wdert lieer ch Timuktu us. Aufge 7 Stelle füf verschiedee Stmmfuktioe der Fuktio Uestimmte Itegrle 5 f() 9 + uf. Defiitio: Die Mege ller Stmmfuktioe eier Fuktio f wird ls uestimmtes Itegrl ezeichet. Schreiweise: f()d 4 (8 )d + c Ds c m Ede wird ls Stellvertreter für lle dekre Kostte geschriee. Aufge 8 Mche dir e die Recheregel uf Seite klr. Notiere evetuelle Frge/Uklrheite. Bereite folgede Üuge uf de Seite 0 is : Seite 0 Zu erledige is Hiweise ud dergleiche k hilfreich sei. Hier geht es um ds c. g i k (dere freiwillig) Bei k de Bruch ders schreie, d geht es. 5 Ggf. uch wieder Terme umschreie. 6 Beim Offesichtliche egie. Eiführug i die Itegrlrechug 5 Eiführug i die Itegrlrechug 6

3 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Ds estimmte Itegrl Ocht: Ei estimmtes Itegrl ist etws grudleged deres ls ei uestimmtes, uch we sich eide äußerlich sehr ähel. Währed ei uestimmtes Itegrl letztlich eie Mege Fuktioe ist, k m ei estimmtes Itegrl usreche, ds Ergeis ist grudsätzlich ei Zhlewert. Aus dem Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug Dieser Stz egeget, je chdem, wo m chschut, i gz uterschiedlicher Drstellug. Mit de migfltige Drstelluge im Buch i ich icht glücklich. Folgedes köt ud sollt ihr euch fst ohe Eischräkug merke. Es ht für us de Sttus eier Defiitio. Ds estimmte Itegrl der Fuktio f uf dem Itervll [;] erechet m so: f()d F() F() F() Vorussetzug ist lediglich, dss f differezierr ist (dss m lso de Differetilquotiete ilde k). 4 f() 8 F() 0, ( ) ( ) ( ) 8 d 0, ,5 ( ) 8 ( ) 96 8,5 87,5 Weitere Aufge F(4) F( ). Auf Seite 4 fidest du Recheregel für estimmte Itegrle. Mche dir jede Regel klr, idem du ei kokretes deier Whl durchrechest.. Zur Üug: Seite 40 4 Zu erledige is Hiweise/eigee Notize 5 Verkürzt oder uverkürzt ist mir völlig egl. Auf Vrile chte! 6 Erst zusmmefsse, d ereche! Seite 4 4 Zuächst ds Itegrl mit vollstädig ereche! Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Buch, Seite Flächeerechuge Die Fläche zu ereche, die zwische zwei Fuktiosgrphe eigeschlosse ist, läuft immer gleich. Die folgede Aleitug ist dher für itegrierre Fuktioe ohe mir ekte Eischräkuge llgemeigültig. Aleituge zur Berechug vo Fläche zwische eiem Fuktiosgrph ud der -Achse Erster Schritt Sofer ei Itervll gegee ist: Utersuche, o es ierhl des Itervlls Nullstelle git. Flls kei Itervll gegee ist: Alle Nullstelle ereche. Zweiter Schritt Die eizele estimmte Itegrle f()d zwische echrte Nullstelle, zw. zwische Itervllgreze ud de ächstgelegee Nullstelle ereche. Ggf. Symmetrie usutze!!! Dritter Schritt Die Beträge der eizele Itegrle ilde (lso ggf. ds Mius etfere). Die Beträge ddiere. Fertig. Aufge zwische zwei Fuktiosgrphe: Erster Schritt Sofer ei Itervll gegee ist: Utersuche, o es ierhl des Itervlls Schittstelle zwische de Fuktioe git. Flls kei Itervll gegee ist: Alle Schittstelle ereche. Zweiter Schritt Die eizele estimmte Differez-Itegrle ( ) f() g() d zwische echrte Schittstelle, zw. zwische Itervllgreze ud de ächstgelegee Schittstelle ereche. Ggf. Symmetrie usutze!!! Dritter Schritt Die Beträge der eizele Itegrle ilde (lso ggf. ds Mius etfere). Die Beträge ddiere. Fertig. Seite Zu erledige is Seite Zu erledige is c Bestimmte Itegrle & Flächeerechuge Bestimmte Itegrle & Flächeerechuge

4 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Buch, Seite Rottioskörper M k ds Volume vo Ojekte, dere Rdform sich durch eie Fuktiosgrph gut äher lässt ud die eie kreisförmige Grudfläche he, (z.b. Flsche, Gläser, Zeppelie, Vuvuzels), recht eifch mithilfe vo estimmte Itegrle ereche: Ds Volume des Körpers, der etsteht, we m de Grph eier Fuktio f() uf dem Itervll [;] um die -Achse rotiere lässt, lässt sich so ereche: V (f()) d π f() muss dei differezierr ud icht egtiv sei (lso keie Aschitte des Grphe uter der -Achse) Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Eie weitere Awedug vo Itegrle Nee zhlreiche Aweduge i der Physik, vo der euer Mthelehrer leider keie Ahug ht ud vor der er sich immer gere drückt, git es och gz erstulich ützliche Verwedugsgeiete für Itegrle. Zueigugsufge Zwei Schüler/ie diskutiere drüer, o ei der Fuktio f() ( 6)( )( + )( + 5), dere Grph sie gezeichet he 0 (rechts) die Fläche üer oder uter dem Grph größer ist. Mit welcher Berechug k m schell herusfide, ws u der Fll ist? Führe die Rechug us! Welche Zustziformtio ietet ds Ergeis? Die eischräkede Bedigug k m türlich otflls umgehe, idem m Nullstelle erechet, Beträge ildet, Grphe spiegelt usw. Aufge Seite 7 75 Zu erledige is Hiweise M chte uf die Beschriftug! Fide ih! lese ud Formel ggf. chschlge. 5 cd Umkehrfuktio Auf die Achse chte. Zyliderformel chschlge. I der Grfik oe k m die Gewie ud Verluste eies imgiäre Uterehmes, ee wir es The Dm Curve Corportio i de letzte Jhre (i Millioe Euro) lese.. Nehme wir ml, der Grph oe köe mit irgedeiem Fuktiosgrph geähert werde ws für eie Sorte Fuktio wäre ds vermutlich?. Nu die fiese Frge, ei der m vielleicht wirklich schwer chdeke muss: We m u ds estimmte Itegrl dieser Fuktio usreche würde welche Bezug hätte ds zur Relität; üer welche für de Geschäftsm iteresste Größe würde ds Itegrl Auskuft gee? Pltz für Notize etc: Rottioskörper & Awedug Rottioskörper & Awedug

5 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Buch S Aleitugs-ud Itegrtiosregel Die Produktregel Fuktioe, die sich ls Produkt zweier derer Fuktioe uffsse lsse, muss m uf folgede Weise leite: Allgemeie Regel f() u() v() f() si u() v() si f'() u'() v( ) + u() v'() u'() 6 v'() cos + f'() 6 cos si Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Liere Sustitutio der Itegrlrechug Mithilfe der Umkehrug der Ketteregel lsse sich gewisse schwierige Itegrle ereche: Allgemeie Regel f( + )d F( + ) + C (4+ ) d (4+ ) (4+ ) Vorsicht! Die liere Sustitutio fuktioiert ur, we i der Klmmer ei lierer Ausdruck steht (lso 5 ohe Epoet). Itegrle wie (4 + ) d, ei dee i der Klmmer ei qudrtischer oder och höhergrdiger Ausdruck steht, k m uf diese Weise icht eikomme. M k die Klmmer otflls muell usmultipliziere. Die Ketteregel Fuktioe, die sich ls zwei ieider verschchtelte Fuktioe uffsse lsse, muss m folgedermße leite: Allgemeie Regel 4 f() u( v()) f() ( + 7) 4 u() v v() + 7 f'() v' () u'(v( )) Aleitugs- ud Itegrtiosregel u'() 4v v'() ) f'() ( 7) 4 ( Korrekter Beweis: Die Quotieteregel Fuktioe, die sich ls Quotiet zweier Fuktioe uffsse lsse, muss m so leite: Allgemeie Regel u() f() v() u'() v( ) u() v'() f'() v () 5 f() cos u() 5 v() cos u'() 0 f'( ) v' () si (cos) 0 cos 5 ( si) Die Ketis der Quotieteregel ist ur im LK verpflichted, ht er uch scho viele GK-Schüler geholfe. Alle Fuktioe u() ud v() uf dieser Seite müsse differezierr sei. Bei der Quotieteregel muss zusätzlich gelte: v() drf icht gleich kostt ull sei ( eizele Stelle drf sie ull sei, d git es Defiitioslücke). Aufge Seite 8 90 Zu erledige is Hiweise Produktregel Ketteregel Liere Sustitutio Aleitugs- ud Itegrtiosregel d f Nicht vereifche (usmultipliziere) itte c e f c d 4 c 5 Mthe-Kluer Ei Mthemtiker ht eie eue Beweis erstellt ud will diese u ls Bild i seiem Gästezimmer ufhäge. Es ist jedoch leider keier d, der ihm ds Bild ufhäge k. Kurzetschlosse etscheidet er, ds Bild selst ufzuhäge ud immt Leiter, Hmmer ud Ngel. Doch er setzt de Ngel mit dem Kopf zur Wd. D ihm dies seltsm vorkommt, kommt er zu dem Etschluss: Dies ist ei Ngel für die gegeüerliegede Wd. Mthemtikstudete ud Physikstudete fhre Zug. Die Physikstudete he Fhrkrte, die Mthemtiker ur eie. Als der Schffer i die Nähe kommt, gehe die drei Mthemtiker uf eie Toilette, dieser klopft, die Fhrkrte wird uter der Tür durchgeschoe ud gestempelt zurückgeschoe. Bei der ächste Zugfhrt he die Physiker uch ur eie Fhrkrte gekuft, die Mthemtikstudete jedoch gr keie. Bei Herhe des Schffers gehe die Physiker uf eie Toilette, die Mthemtiker uf die dere. Kurz evor der Schffer ei de Toilette gekomme ist, geht eier der Mthemtiker zu der dere Toilette, klopft, ud ittet um die Fhrkrte...

6 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Buch, S Epoetilfuktioe ud die Eulersche Zhl e Der Nutze der Eulersche Zhl Prolem Epoetilfuktioe wie müsse schwierig mit dem Differetilquotiete geleitet werde. Die Resultte sehe icht sehr erulich us: f() f'() lim h 0 + h f'() 0, h g() g'() lim h 0 + h g'(), h Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Aleitug ud Itegrtio kompleerer e-fuktioe Steht im Epoet etws deres ls, muss m die Ketteregel wede: 5 f() e + 5 f'() e + g() e 9 g'() 8e 9 Bei weitere Aleituge ist d ggf. uch die Awedug der Produktregel voöte. Grph der e-fuktio mit ihrer idetische Aleitug e l h() e h'() l e l + l l l d e d e c + 6 (+ 6)l4 g() e g'() l4 7 e 4l4 e (+ 6)l4 (+ 6)l4 7 + l4 + 6 (+ 6)l4 (+ 6)l4 (7 4 )d 7 e d e c f() mit ihrer Aleitug f'() 0, (gestrichelt) g() mit ihrer Aleitug g'(), (gestrichelt) Die wudervolle Lösug für ds Prolem: Die Eulersche Zhl ud der türliche Logrithmus Es eistiert eie Zhl e, für die gilt: Sie heißt Eulersche Zhl, ihr Wert ist Der türliche Logrithmus ist so defiiert: Nu k m gemäß der Logrithme-Gesetze jede elieige Epoetilfuktio umschreie: f() e f'() e f''() e e, l log e e: l f() e l g() e Die Stmmfuktio vo Die Stmmfuktio vo f() lässt sich mit ekte Methode icht estimme. Mithilfe eier eifche, er trickreiche Rechug kommt m zu eier erstuliche Erketis: l e leite l (l)'e Die Aleitug vo l sei och icht ekt. (l)' : (l)' Nu kee wir lso die Aleitug vo l, somit uch die Stmmfuktio vo! d l + C Epoetilfuktioe Epoetilfuktioe

7 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Aufge zu Epoetilfuktioe Aufge zu Epoetilfuktioe Them/Seite Aufge Zu erledige is Hiweis Erierug S. 94 Wiederholug us E-Phse Aleitug ud Itegrtio S. 0f Fuktiosutersuchuge S. 04 Itegrle & Fläche S. 4 8 Komplee Aufge S. 0 7 Aweduge S f h j k m Aleitugsregel echte! Etsped c d g h Flls ötig zuächst i e-fuktio umwdel! 4 c Gleichsetze, ufräume, l. 8 Sehe Sekte Gerde durch P & Q 9 Aleitug 5 herusfide. 8 Wikel i Steigug umreche c A +c deke! 7 Die Skizze ist wichtig! Sid zusmme eie Aufge. 5 Ai-ählich, lso Mühe gee. 9 pproimiere äher 7 Nicht ufgee! 7 Zu e uedigt Skizze erstelle! 4 Gefährlich. 9 Quotieteildug: 00%/40,% usw. Bei : Augleichug. Them/Seite Aufge Zu erledige is Hiweis Erierug S. 94 Wiederholug us E-Phse Aleitug ud Itegrtio S. 0f Fuktiosutersuchuge S. 04 Itegrle & Fläche S. 4 8 Komplee Aufge S. 0 7 Aweduge S f h j k m Aleitugsregel echte! Etsped c d g h Flls ötig zuächst i e-fuktio umwdel! 4 c Gleichsetze, ufräume, l. 8 Sehe Sekte Gerde durch P & Q 9 Aleitug 5 herusfide. 8 Wikel i Steigug umreche c A +c deke! 7 Die Skizze ist wichtig! Sid zusmme eie Aufge. 5 Ai-ählich, lso Mühe gee. 9 pproimiere äher 7 Nicht ufgee! 7 Zu e uedigt Skizze erstelle! 4 Gefährlich. 9 Quotieteildug: 00%/40,% usw. Bei : Augleichug. Epoetilfuktioe Epoetilfuktioe

8 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Buch S Vorussetzuge Trigoometrische Fuktioe Scho ekt sollte die Defiitioe vo Sius, Kosius ud Tges sowie die Umrechug Grdmß Bogemß uf Seite 50 im Buch sei. Ferer werde küftig die Formel ud Theoreme uf Seite 5 ud Seite 6 im Tfelwerk vo Bedeutug sei. M muss sie icht uswedig lere, er m sollte wisse, dss es sie git ud wo sie stehe. Außerdem sollte m i der Lge sei, sie zu suche ud zuwede, evor m resigiered ehuptet, dss eie estimmte Aufge icht zu löse sei. Der Aleitugskreisluf eifcher trigoometrischer Fuktioe sollte eeflls us der Eiführugsphse ekt sei (siehe rechts ud Seite 57). Itegrtio trigoometrischer Fuktioe Um trigoometrische Fuktioe korrekt itegriere zu köe, ist es otwedig, die Ketteregel gewissermße rückwärts zu echte. : Gegee sei ds uestimmte Itegrl si(5 + )d Der Aleitugskreisluf eifcher trigoometrischer Fuktioe. Gesucht werde die Stmmfuktioe. Um zu itegriere, üerlegt m sich zuächst, dss die Stmmfuktio ufgrud des oe geildete Aleitugskreislufs j vermutlich etws mit cos zu tu he muss. Wir wisse jedoch, dss die Aleitug vo k() cos(5 + ) ufgrud der Ketteregel so lutet: k'() 5 si(5 + ) 0 si(5 + ). Es gilt lso, die 5 vore zu eutrlisiere, we wir ds oe gegeee uestimmte Itegrl ereche wolle. Weil wir so schlu sid, komme wir schell uf die Lösug: si(5 + )d cos(5 + ) + C 5 Q Mthemtik GK Mrti-Niemöller-Schule Stef Krissel Aufge Seite 5 5 Zu erledige is Hiweise Geu hischue. Eeso. Seite Zu erledige is Hiweise Mit rcsi oder rccos löse. Theoreme zur Vereifchug eutze! 8 Eeso. 9 Ekt usreche geht icht. Seite 59 6 Zu erledige is Hiweise Mit de Regel sehr sorgfältig umgehe! 7 e f f() g() ist die Differez. Nullstelle vo g usreche! Seite 67 7 Zu erledige is Hiweise Üliche Methode 4 Ordite y-werte 6 Bitte gegeees Itervll echte! Seite 75 8 Zu erledige is Hiweise Flächeformel mit Wikel chschlge! 4 Ds ist kei Qudrt. Für Wikelsche Aleitug eutze. 4 Ds ist eie schöe Wsserrutsche. Allgemeie Regel r r si( + )d cos( + ) + C r r cos( + )d si( + ) + C M echte, dss diese Regel ur gelte, we die Terme i de Klmmer lier sid! Trigoometrische Fuktioe Trigoometrische Fuktioe