Die Idee des bestimmten Integrals wird anhand der folgenden Aufgabe vorgestellt, bei der das Resultat bereits von vorne herein bekannt ist.

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Gregor Flater
vor 6 Jahren
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. Defiitio des estimmte Itegrals Die Idee des estimmte Itegrals wird ahad der folgede Aufgae vorgestellt, ei der das Resultat ereits vo vore herei ekat ist.

1 . Defiitio des estimmte Itegrals Die Idee des estimmte Itegrals wird ahad der folgede Aufgae vorgestellt, ei der das Resultat ereits vo vore herei ekat ist. Aufgae: Bestimme de Ihalt des vo der Gerade y mx, der x-achse ud der Gerade x ( > 0) eigeschlossee Geiets. wähle für die Skizze., m, 6 ud damit x 0. (Eiheit: 0 Häusche). Wir uterteile das Itervall [0,] i Teilitervalle der Breite x ud ereche de Ihalt der äusser Treppefläche, die sogeate -te Oersumme O zw. de Ihalt der ier Treppefläche, die sogeate -te Utersumme U. (... ) O m x x + x + + x ( ) + m m ( x) ( ) m + itegr ()..0/ul

2 Die -te Uter- zw. -te Oersumme uterscheide sich im Ihalt des i der Skizze lau gefärte Rechtecks mit der Höhe m ud der Breite x. U O m. Der Ihalt des etrachtete Flächestücks ist als gemeisamer Grezwert dieser Uter- zw. Oersumme (Itervallschachtelug) defiiert. A lim O limu m lim + m m Der ee erechete Grezwert heisst ei estimmtes Itegral. Nach Leiiz schreit ma m dafür: mxdx estimmtes Itegral üer mx dx vo 0 is 0 itegr ()..0/ul

3 5 Ueugsaufgae: Löse diesele Aufgae a) für die Fuktio f(x) x, ) für die Fuktio f(x) ax. a R a) ( x) + ( x) ( x) ) O x + Wege ( + )( + ) k 6 k ( x) ( ) ud x gilt: ( + ) ( + ) + + O Für die -te Utersumme gilt: U O d.h. -te Uter-zw. Oersumme uterscheide sich im Ihalt des i der Skizze lau gefärte Rechtecks. Der Ihalt des etrachtete Flächestücks ist als gemeisamer Grezwert dieser Uter- zw. Oersumme (Itervallschachtelug) defiiert. A limo limu lim ei Drittel des Ihalts des umeschrieee Rechtecks. Nach Leiiz schreit ma für diese ee erechete Grezwert x dx estimmtes Itegral üer x dx vo 0 is 0 itegr ()..0/ul

4 6 ) f(x) ax Skizze, a, 5 ud damit x 0. Bei der Herleitug wird eie Formel für die Summe der Kuikzahle eötigt, die ma durch iduktives Schliesse fide ka (Beweis mit vollstädiger Iduktio). + ( + ) + + ( + + ) ( ) k A k limo ( ) + limu Ergeis: x dx 0 lim + + itegr ()..0/ul

5 7 allg. Fall: Die Fuktio f sei im Itervall [a/] stückweise stetig. Die isherige Beispiele weise darauf hi, dass das estimmte Itegral icht davo ahägt, o ma i de Teilitervalle de kleiste (für die Utersumme) oder de grösste Fuktioswert (für die Oersumme) wählt. Für die Defiitio des estimmte Itegrals etrachtet ma deshal etwas allgemeier Zwischesumme statt der Uter- zw. Oersumme.. Teile das Itervall i Teilitervalle der Breite x. Wähle i jedem Teilitervall eie Zwischestelle x k.diese Zwischestelle lege i jedem Teilitervall die Höhe f ( x k ) des Rechtecks fest... Bilde die sogeate Riema'sche Summe k f ( x ) x f x ) x + f ( x ) x f ( x ) x k ( Die Riemasche Summe köe - falls f(x) ichtegativ ist - als Näherugswert für de gesuchte Flächeihalt aufgefasst werde. Es ka gezeigt werde, dass der Grezwert der Riema'sche Summe für gege uedlich eideutig estimmt ist (uahägig vo der Wahl der Zwischestelle x k ), sofer f im Itervall [a,] stückweise stetig ist. Dieser eideutig estimmte Grezwert heisst estimmtes Itegral der Fuktio f im Itervall [a/] ud wird ach Leiiz mit Def. f( x) dx lim f( x k ) x a k f( x) dx ezeichet. a kurz: estimmte Itegrale sid als Grezwert der Riemasche Summe defiiert (zw. als der gemeisame Grezwert der Uter- zw. Oersumme.. itegr ()..0/ul

6 8 Bem. : Für ichtegative f git der Wert des estimmte Itegrals de Ihalt des vo der Kurve ud der x-achse im Itervall [a/] eigeschlossee Flächestücks a. Bem. : Der Name der Itegratiosvariale ka durch eie elieige ader Name ersetzt werde, ohe dass sich der Wert des Itegrals ädert: f ( x) dx f ( t) dt f ( z) dz a a a Bem. : Die Awedug der Idee des estimmte Itegrals als Grezwert der Riema'sche Summe i der Physik führt z. B. zu de Aussage: Fahrteschreier: mechaische Areit: s W t v( t) dt t s s F( s) ds Allgemei ermöglicht die Itegralrechug de Schluss vo Äderuge eies Verlaufs auf de Gesamtverlauf Die Beispiele zeige aer auch, wie mühsam die Berechug estimmter Itegrale ach Defiitio als gemeisamer Grezwert der Oer- zw. Utersumme ist, de es trete u.u. komplizierte Summe auf. Wir suche deshal eie ader Weg, um estimmte Itegrale zu ereche. itegr ()..0/ul

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