HISTORIE DAS BESTIMMTE INTEGRAL

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1 HITORIE Die Itegralrecug ettad urprüglic au dem Prolem, de Ialt olcer eee Bereice zu erkläre, die vo elieige Kurve egrezt werde. Die Itegralrecug ediet ic daei der Uterucug vo Grezwerte ud ägt eg mit der Dieretialrecug zuamme. Wie ei der Dieretialrecug it e auc ei der Eiürug i die Itegralrecug zweckmäßig, au de viele verwadte Prolemtelluge ezüglic der Awedug der Itegratio eie erauzugreie. Al ei olce Eiürugeipiel eiget ic - u. a. wege eier Acaulickeit - eoder da Prolem de Fläceialt eie eee Fläcetück uteral eie Grape eier ekate Fuktio. Eie etceidede Beitrag zur Etwicklug der Itegralrecug lieerte Georg Friedric Berard Riema Mit eier Doktorareit "Grudlage ür eie allgemeie Teorie der Fuktioe eier veräderlice komplexe Größe" au dem Jare 859 egrüdete er die Teorie der Fuktioe vom Dierezierarkeitegri ür komplexe Fuktioe augeed eu. Al eiürede Beipiel oll daei die Fläceerecug uter dem Grap eier Fuktio mit Hile der treiemetode diee. DA BETIMMTE INTEGRAL Die olgede Betractug ecräkt ic au tetige ud poitive Fuktioe ud ermöglict eie acaulice Erklärug de etimmte Itegral Riema-Itegral; diee ka aer auc au eie er viel allgemeiere Fuktioklae erklärt werde.

2 Deiitio: x ei eie au dem Itervall a; erklärte tetige, poitive Fuktio. Der Grap vo x egrezt da zuamme mit der x-ace ud de Ordiate üer a ud ei Fläcetück A. Der Fläceialt dieer Fläce A wird al da etimmte Itegral vo x üer dem Itervall a; ezeicet. Zur weitere Vereiacug it die olgede Betractug jedoc au da Itervall 0; ecräkt. DIE TREIFENMETHODE Gegee it die Fuktio mit: x x. Geuct it eie Zal, die wir der poitive Fläce Normalläce uter dem Grape vo üer dem Itervall 0; al Maßzal zuorde köe. I de Ailduge au de olgede Blätter it gewält. Ma äert u die Normalläce durc die zu kleie "utere Treppeläce" ud durc die zu große "oere Treppeläce" a. Daei wird da Itervall 0; i Teilitervalle zerlegt, die alle die Läge // ae. Ma ezeicet die Maßzale

3 der eide Treppeläce al Uterumme zw. al Oerumme. Für etimmte telle diee eide Zale atürlic ur er groe Näerugwerte ür die geucte Maßzal der Normalläce dar. Ma muß da Itervall i eie größere Azal vo Teilitervalle zerlege, um eere Näerugwerte zu eralte. Die olgede Ailduge olle u verdeutlice, wie ic der Mittelwert au Oerud Uterumme dem Itegral, der eigetlice Maßzal, ei Zuame der Azal der Teilitervalle, lagam äert.

4 ALLGEMEINE RECHNUNG FÜR DA INTERVALL 0;B We ma da Itervall 0; i gleic große Teilitervalle zerlegt, da at jede eizele Teilitervall die Läge /. Ma erält ür die Uterumme ud ür die Oerumme : owol ei wie ei tritt eie umme vo Quadratzale au. Für diee umme git eie ummeormel, die ma mit Hile de Beweiverare der volltädige Iduktio eweie ka: Damit erält ma: ud telle zwei Zaleolge dar. Idem ma u die Azal der Teilitervalle gege Uedlic tree läßt, ka ma die Maßzal der Fläce i Aägigkeit vo der Itervallegrezug mit Hile der Grezwertätze erece: Da Uter- ud Oerumme deele Grezwert / ae, ka ma diee Zal al Maßzal der etreede vom Parameter aägige Normalläce zuorde. Ma et de gemeiame Grezwert vo Uter- ud Oerumme da 6 6 lim lim

5 Itegral der Fuktio üer dem Itervall 0; ud creit allgemei: 0 x dx Bei dieem Beipiel gilt alo: 0 x dx