D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1

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1 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) / 2 1/, b) a = + 1, c) a = Sei D R, (a ) eie Cauchy-Folge i D ud f : D R gleichmässig stetig. Zeige Sie, dass da auch (f(a )) eie Cauchy-Folge ist. Belege Sie ahad eies Gegebeispiels, dass dies für lediglich stetiges f icht otwedigerweise gilt. 3. Sei α > 0. Zeige Sie: Es existiert eie Kostate C α > 0, so dass log(x) C α x α für alle x > 0. Für die Defiitio der Potez x α siehe Abschitt im Skript. 4. Sei (a ) eie kovergete Folge komplexer Zahle. Zeige Sie, dass da auch die Folge (b ) der Cesàro-Mittel gegebe durch b := 1 k=1 a k koverget ist ud deselbe Grezwert wie (a ) besitzt. Folgt aus der Kovergez der Cesàro-Mittel auch die Kovergez der ursprügliche Folge? Bitte wede!

2 5. a) Die Folge (x ) sei rekursiv defiiert durch x 1 := 1, x +1 := x ( N). Zeige Sie, dass (x ) kovergiert ud bestimme Sie de Grezwert. Hiweis: Betrachte Sie zuerst (x 2 ). b) Die Folge (f ) der Fiboacci-Zahle ist rekursiv defiiert durch f 1 := 0, f 2 := 1, f +2 := f +1 + f ( N). Zeige Sie, dass lim f +1 /f = g gilt, wobei g de Grezwert aus Teilaufgabe a) bezeichet. 6. a) Sei (a ) eie beschräkte reelle Folge mit lim (a +1 a ) = 0. Setze I := lim if a ud S := lim sup a. Zeige Sie, dass die Mege der Häufugspukte vo (a ) geau das Itervall [I, S] ist. b) Kostruiere Sie ei Beispiel eier Folge (a ) wie i a) mit I = 0 ud S = 1. Challege. Die obere Dichte d(a) eier Teilmege A N ist defiiert als Existiert sogar der Grezwert d(a) = lim sup d(a) = lim 1 A [1, ] [0, 1]. 1 so sage wir, dass A Dichte d(a) besitzt. A [1, ], a) Die Teilmege A N besitze positive Dichte. Zeige Sie, dass es eie atürliche Zahl m N gibt, so dass die Mege A (A m) positive obere Dichte hat. b) Gilt der Schluss aus Teil a) auch, we ma lediglich voraussetzt, dass A positive obere Dichte hat? Siehe ächstes Blatt!

3 7. Multiple-Choice-Frage (Mehrere Atworte köe richtig sei!) 1. Was ist der Wert vo ( lim 1 1 ) 2 + lim (1 1 ) 2? 2 0 1/e (c) 2/e (d) Eier dieser Grezwerte existiert icht. 2. Sei (a ) eie Folge i R. Welche der folgede Aussage gelte im Allgemeie? Aus lim a {, } folgt lim 1/a = 0. Ist lim a = 0, so folgt lim 1/a {, }. (c) Es gilt lim a = 0 geau da we lim 1/ a =. 3. Sei (a ) eie reelle Folge mit lim a = 1. Welche der folgede Aussage gelte im Allgemeie? a +1 lim = 1 a lim (a +1 a ) = 1 Bitte wede!

4 4. Seie (a ) ud (b ) kovergete reelle Folge mit Grezwerte a respektive b. Welche der folgede Aussage gelte im Allgemeie? Gilt a b für alle bis auf edlich viele N, so folgt a b. Gilt a b für uedlich viele N, so folgt a b. (c) Gilt a < b für alle N, so folgt a < b. 5. Es sei (a ) eie beschräkte reelle Folge mit der Eigeschaft, dass alle kovergete Teilfolge (a k ) k vo (a ) deselbe Grezwert besitze. Da ist (a ) koverget. Wahr. Falsch. 6. Seie (a ) ud (b ) zwei beschräkte reelle Folge. Welche der folgede Aussage über de Limes Superior sid im Allgemeie korrekt? lim sup (a + b ) = lim sup a + lim sup b lim sup (a + b ) lim sup a + lim sup b (c) Ist (b ) koverget, so gilt lim sup (a +b ) = lim sup a +lim b. (d) Gibt es ei N N mit a 0 für N ud gilt lim sup a = 0, so folgt lim a = 0. (e) Gibt es eie Folge ( k ) k vo Idizes mit a k b k für alle k N, so folgt lim sup a lim sup b. Siehe ächstes Blatt!

5 7. Welche der folgede Aussage über de Logarithmus sid korrekt? log ist eie bijektive Abbildug vo R >0 ach R >0. log ist eie bijektive Abbildug vo R >0 ach R. (c) log ist eie bijektive Abbildug vo R ach R >0. (d) log(x + y) = log(x) + log(y) für alle x, y > 0. (e) log(x + y) = log(x) log(y) für alle x, y > 0. (f) (g) Da log die Umkehrabbildug vo exp ist ud exp streg mooto wachsed ist, ist log streg mooto falled. Da log die Umkehrabbildug vo exp ist ud exp streg mooto wachsed ist, ist log streg mooto wachsed. Elektroische Erklärug der Bereitschaft eie oder mehrere Aufgabe vorzulöse: bis Mittwoch, 15. November 2017, 11:00, uter Abgabe der schriftliche Lösuge zu dejeige Aufgabe, für welche Sie ausgewählt wurde: bis Mittwoch, 15. November 2017, 15:15, im Fach Ihres Übugsleiters im HG F 27, per a Ihre Übugsleiter oder im Kolloquium. Olie-Abgabe der Multiple-Choice-Frage: bis Freitag, 17. November 2017, 8:00, uter