Die eindeutige Duplizierung und Replizierung mit speziellen Supplementsystemen. Rudolf Pleier

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1 Die eideutige Duplizierug ud Replizierug mit spezielle Supplemetsysteme Rudolf Pleier D tzerict, Mai 2015

2 Ialtsverzeicis 1 1 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Termigescäfte i Supplemetsystem mit spezielle Termigescäfte Die Duplizierug mit de Termigescäfte Die Replizierug mit de Termigescäfte Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Kassagescäfte i Supplemetsystem mit spezielle Kassagescäfte Die Duplizierug mit de Kassagescäfte Die Replizierug mit de Kassagescäfte Die Mootoie der Präferezorduge zu de spezielle Supplemetsysteme Die Mootoie der R-Präferezordug beim Supplemetsystem der Termigescäfte Die Mootoie der D-Präferezordug beim Supplemetsystem der Termigescäfte Die Mootoie der R-Präferezordug beim Supplemetsystem der Kassagescäfte Die Mootoie der D-Präferezordug beim Supplemetsystem der Kassagescäfte Die Stetigeit der Präferezorduge zu de spezielle Supplemetsysteme Literatur Der vorliegede Artiel liefert die Beweise zum Abscitt 9.4 im Buc Fiazmatemati des Autors, die dort aus Platzmagel weggelasse wurde. Die ier im Text gegebee Hiweise auf versciedee Abscitte beziee sic ebefalls auf dieses Buc Rudolf Pleier D tzerict

3 1 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Termigescäfte 1.1 i Supplemetsystem mit spezielle Termigescäfte Für die Duplizierug ud die Replizierug der Zalugsströme X +1 wird etzt ei Supplemetsystem L vo (-+1)-periodisce Termigescäfte auf dem uvollommee Kapitalmart vorausgesetzt, das eie Verallgemeierug des vo Kruscwitz (1998), S. 48f., verwedete Systems vo eiperiodisce Termigescäfte ist. Für dieses Supplemetsystem L ud für ede beliebige Beurteilugsurve W(μ) = U + V(µ) soll u bewiese werde, dass für ede Zalugsstrom X +1 die Duplizierug bzw. die Replizierug auf geau eie Weise möglic ist. Nac der Festlegug eier dem tsceider passede Beurteilugsurve W(μ) = U + V(µ), eies geeigete Supplemetsystems L Œ K ud eies beliebig fixierte Basiszalugsstroms B (bei der Replizierug) a mit de Kozepte der Duplizierug bzw. Replizierug edem Zalugsstrom X +1 mit Hilfe des Supplemets S(X) C eideutig ei realer Margezalugsstrom W(μ(X)) zugeordet werde, der zum Vergleic ud zur Beurteilug der X +1 verwedet werde a. Basiered auf die xistez ud izigeit der Duplizierug bzw. der Replizierug a im Raum +1 eie Präferezordug defiiert werde. Die Defiitio eies Supplemetsystems fidet ma i Abscitt des ute agegebee Bucs des Autors, die Defiitio der zulässige Supplemetmege uter Beactug des vo Kruscwitz (1998), S. 57, formulierte Verbots der gleiczeitige Ausfürug vo rgäzugsgescäfte fidet ma i Abscitt ie möglicst allgemeie Defiitio der Duplizierug bzw. Replizierug wird i de Abscitte bis isictlic dere xistez ud izigeit utersuct. Plausibilitätsbetractuge zum Asatz der Duplizierug ud Replizierug erfolge i de Abscitte ud I der Mege K der Kapitalmartgescäfte des uvollommee Kapitalmarts soll etzt also ei System L vo Ivestitioe I = S H = T H ud Fiazieruge F = S S = - T S mit der durc die elemetare Zalugsströme T festgelegte Zalugsstromstrutur vorade sei: T = (-1, T,, T ) T, ,1 2 T 2,2 1, 2 2, T = (0,-1,,, T ) T, T = (0,..,0,-1, T,,.., T, ), T = (0,....,0,-1, T, ), mit de Kompoete T = 0 für = 0,,-2,,, 1 T = - 1 M

4 4 1 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Termigescäfte ud de Vorzeicebediguge T, > 0, T, 0 für = +1,,, = 1,,, M = {H,S}. Die Zalugsströme T sid Termigescäfte im Zeititervall [-1,] mit der Laufzeit -+1. Dabei ist im Allgemeie T S K ud ur F = - T S ei Kapitalmartgescäft. Diese elemetare Zalugsströme T werde für die elegatere Formulierug des Beweises der eideutige Duplizierug bzw. Replizierug verwedet. Mit diese a ämlic auc bei egativem λ mit T S = (-λ )ÿf auf die formal gleice Weise wie bei ictegativem λ mit T H = λ ÿi ei Supplemet des Kapitalmarts gebildet werde. Bei de Ivestitioe T erfolgt die erste Zalug zum Zeitput t = -1 ud zwar als Auszalug vo eier Geldeieit: T, 1 = - 1. Zum darauf folgede Zeitput t = erfolgt eie izalug ( T, > 0) ud zu de ascließede Zeitpute erfolge öcstes izaluge, aber eie Auszaluge mer. Diese Zalugsstromstrutur gleict eier eimalige Alage zum Zeitput t = -1 auf eiem Alageoto, bei der zum umittelbar acfolgede Zeitput t = eie Abebug vom Alageoto erfolgt ud zu de weitere Zeitpute öcstes Abebuge ud eie weitere Alage erfolge. Die ier vom Zissatztyp = H, S abägige (-+1)-periodisce Termigescäfte T sid eie Verallgemeierug der i Abscitt beadelte (-+1)-periodisce Termigescäfte T des vollommee Kapitalmarts. Als Spezialfall erält ma mit T = q = 1 + i > 0 ud,, T = 0 für = +1,, die vo Kruscwitz (1998), S. 48f, verwedete eiperiodisce Termigescäfte T = (0,,0,-1,+ q,0,,0) T, die eie Verallgemeierug der i Abscitt beadelte eiperiodisce Termigescäfte des vollommee Kapitalmarts sid. ie Modifiatio R der Termigescäfte T im Zusammeag mit der Beurteilugsurve W(μ) = V ˆ ( ) der detame wird i Abscitt 7.1 bei der Darstellug der lassisce dwertmetode als Spezialfall eier R-Präferezordug verwedet. Diese Termigescäfte R abe die Kompoete R, = 0 für = 0,,-2 ud =,,, R, 1 = - 1, R, > 0 ud somit die Zalugsstromstrutur vo Nullupoaleie: R = (0,,0,-1,0,,0, R, ) T. Da diese Termigescäfte R eie Spezialfall der Termigescäfte T darstelle, muss i Abscitt 7.1 die xistez ud izigeit der Replizierug mittels dieser Supplemete R oc extra bewiese werde. s wird u die besodere Wirug bescriebe, we ei geeigetes Vielfaces des Zalugsstroms T mit eiem adere Zalugsstrom ombiiert wird. Dazu wird der eiface Fall betractet, dass zum Zeitput t = -1 ( {1,,}) ei Fiazmittelbestad oder eie Zalug λ vorliegt. Dieser bzw. diese a auc als ei spezieller Zalugsstrom Z = (0,..,0,λ,0..,0) T = λ e 2015 Rudolf Pleier D tzerict

5 1.1 i Supplemetsystem mit spezielle Termigescäfte 5 agesee werde. Dabei ist e der -te Stadardbasisvetor des +1. Zur Zalug Z 1 = λ a u mit dem elemetare Zalugsstrom T auf dem Kapitalmart das Supplemet (rgäzugsgescäft) T = T = λ ÿ(0,..,0,-1, T,,.., T, ) T K mit = H bei λ 0 ud = S bei λ < 0 gebildet werde, das für die zeitlice Versciebug (Traspositio) der Zalug λ verwedet werde a. Nimmt ma ämlic zum Zalugsstrom Z das Kapitalmartgescäft T izu, so erält ma de Kombiatioszalugsstrom Y = Z + T = (0,,0,0, T,,, T, ) T mit Y = 0 für = 0,,-1, Y = λ T für =,,., Die Zalug λ des Zeitputs t = -1 a also mit dem Supplemet T zum Zeitput t = -1 auf de Wert Null glattgestellt (repliziert) ud als aufgeziste (mit T, multiplizierte) Zaluge auf die acfolgede Zeitpute t = =,, verscobe (trasferiert, traspoiert) werde. Hisictlic dieser Wirug a das Supplemet (rgäzugsgescäft) T auc geauer als ei zur Zalug λ geöriges Traspoemet (Versciebugsgescäft) bezeicet werde. Da ier auf acfolgede Zeitpute traspoiert wird, a T auc als ei zu λ geöriges Postpoemet bezeicet werde. Die zu eiem Idexvetor = ( 1,, ) M aus de T gebildete (+1)x-Matrix 1 T = ( T,, T 1 ) T 1, T 2,2 1.. = (+1)x 1 T1,. T, T 1,.... T, at eie utere Dreiecsgestalt. Die Bezeicug ist ict gaz exat, da T eie quadratisce Matrix, soder eie (+1)x-Matrix ist. Die Matrix T bestet aus liear uabägige Spalte ud at somit Rag T =. beso at da auc die zu geörige Matrix 1 L = ( S,, S 1 ) volle Spalterag. Der Normalevetor P = (P,0,,P, ) T (P, := 1) der Hyperebee H = li L = li T ist Lösug des omogee lieare Gleicugssystems P T T = O ud berecet sic ac der Festlegug P, = 1 suzessive für = -1,,0 zu P,-1 = T, P,, P,-1 = T, P, + + T, P, ( =,,1), 1 1 P,0 = T P,1 + + T P,. 1,1 1,

6 6 1 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Termigescäfte Ausgeed vo P, = 1 > 0 folgt bei Verwedug der Vorzeicebediguge T, > 0 ud T, 0 für = +1,, mittels vollstädiger Idutio für alle Idizes =,,0 die Positivität der Kompoete P, des Normalevetors P : P > O. Nac dem Satz über die Disuteit eier Hyperebee ud des scwac positive Ortate abe die Hyperebee H mit dem positive Normalevetor P ud der ictegative 1 Ortat ur de triviale Durcscitt (H 0 = O). Isbesodere ist da der ovexe lieare Kegel C (Œ H ), M, ud isgesamt die zulässige Supplemetmege C arbitragefrei. M Die Duplizierug ud die Replizierug erfolgt mit eiem spezielle Supplemetasatz S(X) = S, der durc die Supplemetbedigug (SB) S = L λ mit M, λ 0, λ 0 für = H, λ > 0 für = S. bescriebe wird. Bei Verwedug der Matrix T a Stelle vo L lautet die Supplemetbedigug (SBT) S = T λ mit M, λ, = H bei λ 0 ud = S bei λ < 0. ie Liearombiatio der elemetare Zalugsströme T, für welce die Supplemetbedigug (SBT) erfüllt ist, wird ier auc als eie SB-Liearombiatio der T bezeicet. Nacfolged wird u bewiese, dass das Supplemetsystem L sowol eie eideutige Duplizierug als auc eie eideutige Replizierug der Zalugsströme des +1 ermöglict. 1.2 Die Duplizierug mit de Termigescäfte Die Duplizierugsgleicug S(X) + V(μ(X)) = X - U =: ζ ergibt mit dem Supplemetasatz S = T λ die Vetorgleicug T (X) (X) = ζ - V(μ(X)) =: - s(μ(x)) mit eiem λ = (X), µ = μ(x) J ud eiem Idexvetor = (X) M, der die Supplemetbedigug (SBT) erfüllt. Gemäß der Beweisidee vo Kruscwitz (1976), S , für die Replizierug mit eiperiodisce Supplemete wird etzt zu eiem fest vorgegebee Beurteilugsparameter µ J das i λ lieare Gleicugssystem T = - s(μ) := ζ - V(μ) betractet. Da die Matrix T eie utere Dreiecsgestalt at mit de vo de Supplemettype uabägige lemete -1 i der Hauptdiagoale, öe aus de erste Zeile des Gleicugssystems suzessive für = 1,, sowol die Trasformatiosparameter λ = λ (µ) als auc die Supplemettype = (µ) M gemäß der Supplemetbedigug (SBT) (µ) = H bei λ (µ) 0, (µ) = S bei λ (µ) < 0 bestimmt werde. Die Futioe λ (µ) ud (µ), die zuäcst oc ict mit λ (X) ud (X) übereistimme, berece sic somit ac der folgede Reursiosformel: λ 1 (µ) = s 0 (μ), 1 (µ) = H bei λ 1 (µ) 0, 1 (µ) = S bei λ 1 (µ) < 0, 2015 Rudolf Pleier D tzerict

7 1 λ 2 (µ) = s 1 (μ) + T λ 1 (µ), 1.2 Die Duplizierug mit de Termigescäfte 7 1 ( ),1 2 (µ) = H bei λ 2 (µ) 0, 2 (µ) = S bei λ 2 (µ) < 0, 1 λ (µ) = s -1 (μ) + γ -1 (µ) mit γ -1 (µ) := T ( ), 1 ( ), (µ) = H bei λ (µ) 0, (µ) = S bei λ (µ) < 0 ( = 2,,), λ (µ) = s -1 (μ) + γ -1 (µ), (µ) = H bei λ (µ) 0, (µ) = S bei λ (µ) < 0. Hier bei der Duplizierug ist φ (µ) := - λ (µ) 1 = X -1 + T ( ), 1 ( ) - U -1 - V -1 (ν) ( = 1,,) 1 der zum Zeitput t = -1 voradee Fiazmittelbestad, der sic als Summe der Zalugsstromompoete X -1 ud der auf de Zeitput -1 traspoierte ( aufgeziste ) früere Fiazmittelbestäde φ (µ) ( = 1,,-1) ud ac der tame der Marge W -1 (µ) = U -1 + V -1 (µ) ergibt. Zu edem µ J ist also eideutig der zugeörige Idexvetor (µ) ud Trasformatiosvetor (µ) festgelegt. Diese Vetore (µ) ud (µ) liefer geau da eie Lösug des Gleicugssystems T (µ) (µ) = - s(μ), we auc oc die Gleicug der letzte Zeile erfüllt ist, λ +1 (µ) := s (μ) + γ (µ) = 0 mit γ (µ) = T ( ), ( ), 1 we also µ eie Nullstelle der reursiv defiierte Futio λ +1 (µ) ist. Somit existiert eie eideutige Duplizierug vo X +1 geau da, we es geau eie Nullstelle µ = μ(x) J der Futio λ +1 (µ) gibt. Nacfolged wird u ei Beweis für die eideutige Duplizierug agegebe. Die wesetlice Grudlage der Beweisidee ist, dass die Matrix T eie Dreiecsgestalt at, das Gleicugssystem daer suzessive ac de Trasformatiosparameter λ aufgelöst werde a ud dazu gemäß der Supplemetbedigug (SBT) passed der Supplemettyp bestimmt werde a, oc bevor das zugeörige Supplemet S = T für die Auflösug ac de weitere Trasformatiosparameter λ beötigt wird. Des Weitere wird mit Hilfe der Vorzeicebediguge für die Matrixelemete T, die strege Mootoie, Ubescräteit ud Stetigeit der Beurteilugsurve V(µ) auf die Futio λ +1 (µ) übertrage. Aus dem Beweis ergibt sic auc eie Berecugsmögliceit für die Duplizierug eies beliebige Zalugsstroms X +1 bei Verwedug eies derartige Supplemetsystems über die iterative Nullstellebestimmug der Hilfsfutio λ +1 (µ). Beweis der eideutige Duplizierug mit de Termigescäfte: Für de Nacweis der xistez vo geau eier Nullstelle der Futio λ +1 (µ) wird gezeigt, dass λ +1 : J eie bietive Futio ist. Für die Ietivität wird bewiese, dass λ +1 (µ) streg mooto steiged ist. Für die Suretivität wird bewiese, dass λ +1 (µ) stetig ud a de Itervallgreze ubescrät ist. 1) Als rstes wird die Mootoie der Futioe λ (µ), = 1,,+1, bewiese. Die Futio s(μ) = - ζ + V(μ) ist bezüglic der strege Halbordug des +1 streg mooto steiged. Zur rierug: Für eie Vetor X +1 gilt X O geau da, we X O ud X O ist. Daer sid die Kompoetefutioe s (μ) = - ζ + V (µ) 1

8 8 1 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Termigescäfte zumidest (scwac) mooto steiged ( = 0,,). Isbesodere ist da auc λ 1 (µ) = s 0 (μ) mooto steiged. Auf Grud der Nictegativität der Matrixelemete T ( ), 1( = 1,,-1) a mit dem Prizip der vollstädige Idutio ac gesclosse werde, dass für = 1,,+1 die Futioe 1 γ -1 (µ) := T ( ), 1 ( ) ud 1 λ (µ) = s -1 (μ) + γ -1 (µ) mooto steiged sid. 2) Als Näcstes wird die strege Mootoie vo λ +1 (µ) bewiese. Dazu wird i J ei fest fixiertes Teilitervall J = [c,d] Œ J betractet. Da V(µ) i J bezüglic streg mooto steiged ist, ist V(c) V(d) bzw. V(µ) ict ostat i J. Demac existiert ei leister Idex i = i(j ) {0,,}, so dass die Kompoetefutioe V i (µ) ud s i (μ) = - ζ i + V i (µ) eweils i J ict ostat sid. Da s i (μ) ud γ i (µ) mooto steiged sid ud s i (µ) ict ostat i J ist, ist da auc λ i+1 (µ) = s i (μ) + γ i (µ) ict ostat i J. Wege der Mootoie vo λ i+1 (µ) ist die Nictostaz vo λ i+1 (µ) i J gleicbedeuted zur strege Ugleicug λ i+1 (c) < λ i+1 (d). Daraus a u auc die Nictostaz der äcste Futio i1 λ i+2 (µ) i J gesclosse werde: Wege T > 0 sid ämlic auc die mooto steigede Futioe T i1 i1 ( ), i1 λ i+1(µ), i i ( ), i 1 γ i+1 (µ) = T ( ), 1 ( ) i + T 1 i1 i1 ( ), i1 λ i+1(µ) ud λ i+2 (µ) = s i+1 (μ) + γ i+1 (µ) ict ostat i J. Dieser Scluss vo i+1 auf i+2 etsprict sco dem allgemeie Idutiosscluss +1. Mit dem Prizip der vollstädige Idutio folgt, dass für alle Idizes = i+1,,+1 die Futioe λ (µ) i J ict ostat sid. Isbesodere ist λ +1 (µ) ict ostat i J ud wege der Mootoie vo λ +1 (µ) da λ +1 (c) < λ +1 (d). Da die Stelle c, d J, c < d, beliebig gewält ware, ist somit λ +1 (µ) i J streg mooto steiged ud damit auc ietiv. 3) Des Weitere wird etzt die Ubescräteit vo λ +1 (µ) a de Itervallgreze gezeigt. Da V(µ) a de Itervallgreze vo J als ubescrät vorausgesetzt ist, gibt es Idizes m, p {0,,} mit V m (µ) - bei µ a, V p (µ) + bei µ b. Da die Futioe λ (µ) mooto steiged sid, sid sie auc i ]a,0] ac obe bescrät (λ (µ) λ (0) für µ 0) ud i [0,b[ ac ute bescrät (λ (µ) λ (0) für µ 0). Weiter sid die Futioe s m (μ) = - ζ m + V m (µ) ud s p (μ) = - ζ p + V p (µ) mooto steiged mit dem Grezwertveralte s m (µ) - bei µ a, s p (µ) + bei µ b. Da für = 1,,m die Matrixelemete T ( ), m 0 sid ud die Futioe λ (µ) i ]a,0] ac obe bescrät sid, sid auc die Produte T ( ), ( ) ud dere Summe m m γ m (µ) = T ( ), ( ) 1 m i ]a,0] ac obe bescrät. Demac ergibt sic für die Futio λ m+1 (µ) das Grezwertveralte λ m+1 (µ) = s m (μ) + γ m (µ) - bei µ a. s wird etzt mittels vollstädiger Idutio gezeigt, dass dieses Grezwertveralte für alle Futioe λ (µ), = m+1,,+1, vorliegt. Der Idutiosbegi ist mit = m+1 gegebe. Aus der Idutiosaame, dass λ (µ) für eie Idex m+1 dieses Grezwertveralte aufweist, folgt auc für λ +1 (µ) = s (μ) + 1 T ( ), T( ), 1 ( ) ( ) dieses Veralte: s sid ämlic die beide erste Summade i ]a,0] ac obe bescrät ud der dritte Summad overgiert wege T ( ), > 0 bei µ a gege -. Damit ist der Idutiosscluss +1 erbract. Isbesodere erält ma für = +1 das Grezwertveralte λ +1 (µ) - bei µ a. Aalog a λ +1 (µ) + bei µ b gezeigt werde. 4) Scließlic wird etzt oc die Stetigeit der Futioe λ (µ), = 1,,+1, bewiese. Mit de Futioe V (µ) sid auc die s (µ) = - ζ + V (µ) stetig. Damit ist sco λ 1 (µ) = s 0 (μ) stetig ud der Idutiosbegi für = 1 gegebe. Mittels vollstädiger Idutio wird u die Stetigeit aller λ (µ) gezeigt. Bei der Idutiosaame get ma für eie Idex {1,,} vo der Stetigeit aller λ (µ) mit 1 aus. s wird u ede 2015 Rudolf Pleier D tzerict

9 1.3 Die Replizierug mit de Termigescäfte 9 dieser Futioe λ (µ) oc äer betractet. Falls λ (µ) i J eie Nullstelle at, ist T ( ), als Futio vo µ i J ostat ud das Produt T ( ), λ (µ) i J stetig. Falls λ (µ) eie Nullstelle µ 0 J besitzt, so gilt wege der Mootoie λ (µ) λ (µ 0 ) = 0 für µ ]a,µ 0 ] ud λ (µ) λ (µ 0 ) = 0 für µ [µ 0,b[. Zum fest gedacte Idex wird u die Mege M := {µ ]a,µ 0 ] : λ (µ) < 0} gebildet. Falls M = «ist, gilt λ (µ) = 0 i ]a,µ 0 ], λ (µ) 0 i [µ 0,b[, so dass T ( ), = T H, i J ostat ud das Produt τ, (μ) := T ( ), λ (µ) i J stetig ist. Falls M «ist, existiert für die ictleere, ac obe bescräte Teilmege M vo ac dem Vollstädigeitsaxiom (Axiom vom Dedeidsce Scitt) der Mege der reelle Zale das Supremum (die leiste obere Scrae) µ 1 := sup M vo M ud es gilt a < µ 1 µ 0. Wege der Stetigeit vo λ (µ) a λ (µ 1 ) = 0 gefolgert werde: Bei λ (µ 1 ) < 0 würde es ämlic wege der Stetigeit vo λ (µ) auc ei µ, µ 1 < µ < µ 0, mit λ (µ ) < 0 gebe, was aber im Widerspruc zur Defiitio vo µ 1 stet. Auf Grud der µ 1 -Defiitio ist λ (µ) 0 i [µ 1,b[. Auf Grud der Mootoie vo λ (µ) ist λ (µ) < 0 i ]a,µ 1 [: Zu edem μ ]a,µ 1 [ gibt es ämlic ei μ M mit μ < μ < μ 1, so dass wege der Mootoie die Ugleicug λ (µ) λ (µ ) < 0 folgt. Daer ist T ( ), = T S, für µ ]a,µ 1 [ ud T ( ), = T H, für µ [µ 1,b[. Das Produt τ, (μ) = T ( ), λ (µ) ist zuäcst i de Teilitervalle ]a,µ 1 [ ud [µ 1,b[ ud wege λ (µ 1 ) = 0 auc a der Stelle µ = µ 1 stetig: lim ( ) = 0 = T ( ) = lim ( ). T S, 1 ( 1), 1 T H, 1 Aus der Stetigeit dieser Produte folgt da auc die Stetigeit für dere Summe γ (µ) = T ( ), ( ) 1 ud für die Summe λ +1 (µ) = s (μ) + γ (µ). Damit ist der Idutiosscluss +1 erbract ud die Stetigeit der Futioe λ (µ), = 1,,+1, i J bewiese. 5) Aus der Stetigeit der Futio λ +1 (µ) ud dere Ubescräteit a de Itervallgreze folgt ac dem Zwiscewertsatz vo Bolzao ( ) auc die Suretivität ud isgesamt die Bietivität der Futio λ +1 : J. Daer besitzt λ +1 (µ) i J geau eie Nullstelle μ = μ(x). Damit ist der Beweis der eideutige Duplizierug mit dem spezielle Supplemetsystem L abgesclosse. Ñ Die xistez ud izigeit der Duplizierug vo X +1 mit eiem Supplemet S(X) C ud eiem Beurteilugsurveput W(μ(X)) = U + V(μ(X)) W(J) ist ier für eie M Parameterdarstellug W(μ) der Beurteilugsurve W acgewiese. I Abscitt wird begrüdet, dass die (xistez ud) izigeit der Duplizierug auc gegebe ist, we die Beurteilugsurve W als P-Äquivalezlasse vo Parameterdarstelluge gegebe ist. 1.3 Die Replizierug mit de Termigescäfte Die Replizierugsgleicug S (X) - V(ν(X)) = U - B - X =: ξ ergibt mit dem Supplemetasatz S = T λ die Vetorgleicug T (X) (X) = ξ + V(ν(X)) =: - r(ν(x)) mit eiem λ = (X), ν = ν(x) J ud eiem Idexvetor = (X) M, der die Supplemetbedigug (SBT) erfüllt. Nac der Beweisidee vo Kruscwitz (1976), S , für die Replizierug mit eiperiodisce Supplemete wird etzt zu eiem fest vorgegebee Beurteilugsparameter ν J das i λ lieare Gleicugssystem T = - r(ν) := ξ + V(ν)

10 10 1 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Termigescäfte betractet. Da die (+1)x-Matrix T eie utere Dreiecsgestalt ud i der Hauptdiagoale die vo de Supplemettype uabägige lemete -1 besitzt, öe die erste Zeile des Gleicugssystems suzessive für = 1,, ac de Trasformatiosparameter λ = λ (ν) aufgelöst werde ud die Supplemettype = (ν) M ac der Supplemetbedigug (SBT) bestimmt werde. Die Futioe λ (ν) ud (ν) berece sic ac der folgede Reursiosformel: λ 1 (ν) = r 0 (ν), 1 (ν) = H bei λ 1 (ν) 0, 1 (ν) = S bei λ 1 (ν) < 0, 1 λ (ν) = r -1 (ν) + γ -1 (ν) mit γ -1 (ν) := T ( ), 1 ( ), (ν) = H bei λ (ν) 0, (ν) = S bei λ (ν) < 0( = 2,,). Hier bei der Replizierug ist der Trasformatiosparameter 1 λ (ν) = B -1 + X -1 + T ( ), 1 ( ) - U -1 - V -1 (ν)( = 1,,) 1 der zum Zeitput t = -1 voradee Fiazmittelbestad, der sic als Summe der Basiszalug B -1, der Zalugsstromompoete X -1 ud der auf de Zeitput -1 traspoierte früere Fiazmittelbestäde λ (ν) ( = 1,,-1) ud ac der tame der Marge W -1 (ν) = U -1 + V -1 (ν) ergibt. Zu edem ν J ist also eideutig der zugeörige Idexvetor (ν) ud Trasformatiosvetor (ν) festgelegt. Diese Vetore (ν) ud (ν) liefer geau da eie Lösug des Gleicugssystems T (ν) (ν) = - r(ν), we auc oc die Gleicug der letzte Zeile erfüllt ist, λ +1 (ν) := r (ν) + γ (ν) = 0 mit γ (ν) = T ( ), ( ), we also ν eie Nullstelle der reursiv defiierte Futio λ +1 (ν) ist. Somit existiert eie eideutige Replizierug vo X +1 geau da, we es geau eie Nullstelle ν = ν(x) J der Futio λ +1 (ν) gibt. Wie obe bei der Duplizierug a ei Beweis für die eideutige Replizierug bzw. für die xistez vo geau eier Nullstelle der Futio λ +1 (ν) agegebe werde. Dazu wird bewiese, dass λ +1 : J eie bietive ud stetige Futio ist. Für die Ietivität wird die strege Mootoie vo λ +1 (ν) bewiese. Für die Suretivität wird bewiese, dass λ +1 (ν) stetig ud a de Itervallgreze ubescrät ist. Wäred bei der Duplizierug die Vetorfutio s(μ) = - ζ + V(μ) streg mooto steiged ist, ist ier die bei der Replizierug verwedete Vetorfutio r(ν) = - ξ - V(ν) streg mooto falled. Demzufolge ergebe sic ier die λ (ν) als mooto falled ud λ +1 (ν) als streg mooto falled mit dem Grezwertveralte λ +1 (ν) + bei ν a ud λ +1 (ν) - bei ν b. Der ausfürlice Beweis wird ier weggelasse, da er aalog zu dem etsprecede Beweis bei der Duplizierug verläuft. Auc ier liefert der Beweis eie Berecugsmögliceit der Replizierug über die iterative Nullstellebestimmug der Hilfsfutio λ +1 (ν). s stellt sic ier die Frage, ob es ebe dem ier verwedete Supplemetsystem L vo spezielle Termigescäfte oc weitere Supplemetsysteme gibt, für welce die xistez ud izigeit der Duplizierug bzw. Replizierug gezeigt werde a. Tatsäclic a im äcste Abscitt auc oc ei Supplemetsystem vo spezielle Kassagescäfte agegebe werde, für welces mit der gleice Beweisidee die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug acgewiese wird Rudolf Pleier D tzerict

11 2 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Kassagescäfte A die Beurteilugsurve V(µ) werde etzt die gleice Aforderuge wie i de Abscitte ud des ute geate Bucs des Autors gestellt. Als Supplemetsystem L wird etzt i der Mege K der Kapitalmartgescäfte ei System vo - periodisce Kassagescäfte vorausgesetzt. Für dieses System L ud ede beliebige Beurteilugsurve W(μ) = U + V(µ) a wieder die xistez ud ideutigeit der Duplizierug bzw. der Replizierug bewiese werde. 2.1 i Supplemetsystem mit spezielle Kassagescäfte Für die Kozepte der Duplizierug ud der Replizierug soll etzt auf dem uvollommee Kapitalmart ei Supplemetsystem vo Ivestitioe I = S H = K H ud Fiazieruge F = S S = - K S mit der durc die elemetare Zalugsströme K festgelegte Zalugsstromstrutur vorade sei: 1 1 K = ( K,1,0,,0) T, ,0 2 2,0 2 K = ( K, K 2,1,1,0,,0) T, K = ( K,0, K,1,, K, 1,1,0,,0) T, K = ( K,0, K,1,, K, 1,1) T, mit de Vorzeicebediguge K,0 < 0, K, 0 für = 1,,-1, ud de Kompoete K, = 1, K, = 0 für = +1,,, = 1,,, M = {H,S}. Die Zalugsstromstrutur wird wie bei de Termigescäfte T auc ier bei de Kassagescäfte K als Ivestitio (lexioegativer Zalugsstrom) agegebe. Wäred aber i der Matrix T uteralb der egative Hauptdiagoale ud der positive Subdiagoale (der uter der Hauptdiagoale gelegee Diagoale) ictegative lemete auftrete, at ma ier i der Matrix K zwisce der egative erste Zeile ud der positive Subdiagoale ictpositive lemete. Die Zalugsströme K sid Kassa- gescäfte im Zeititervall [0,] mit der Laufzeit. Dabei ist im Allgemeie K S K ud ur F = - K S ei Kapitalmartgescäft. Diese elemetare Zalugsströme K werde für die elegatere Formulierug des Beweises der eideutige Duplizierug bzw. Replizierug verwedet. Bei de Ivestitioe K erfolgt zum Zeitput t = 0 eie Auszalug: K,0 < 0.

12 12 2 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Kassagescäfte Zu de darauf folgede Zeitpute t = 1,,-1 erfolge öcstes Auszaluge ud eie izaluge. rst zum Zeitput t = erfolgt die eizige izalug i Höe vo eier Geldeieit. Diese Zalugstromstrutur gleict eiem Sparvorgag, bei dem über Jare iweg Spareilage auf ei Alageoto eigezalt werde ud zum Zeitput t = das gesamte agesparte Kapital abgeobe wird. Die ier vom Zissatztyp = H, S abägige -periodisce Kassagescäfte K sid eie Verallgemeierug der i Abscitt beadelte -periodisce Kassagescäfte K des vollommee Kapitalmarts. Als Spezialfall erält ma mit K,0 = - d, < 0 ud K, = 0 für = 1,,-1 als Verallgemeierug der i Abscitt beadelte reie Wertpapiere D des vollommee Kapitalmarts ier die reie Wertpapiere K = D = (- d,,0,,0,1,0,,0) T, des uvollommee Kapitalmarts. Diese besitze die Zalugsstromstrutur vo Nullupoaleie. Diese spezielle Kassagescäfte K werde i Abscitt 7.2 bei der Darstellug der lassisce Kapitalwertmetode als Spezialfall eier R-Präferezordug verwedet. s wird u die besodere Wirug bescriebe, we ei passedes Vielfaces des Zalugsstroms K mit eiem adere Zalugsstrom ombiiert wird. Dabei wird der eiface Fall betractet, dass zum Zeitput t = ( {1,,}) ei Fiazmittelbestad φ vorliegt. Dieser a als ei spezieller Zalugsstrom Z = (0,..,0,,0..,0) T = φ e +1 agesee werde. Dabei ist e +1 der (+1)-te Stadardbasisvetor des +1. Zur Zalug = φ a u mit dem elemetare Zalugsstrom K auf dem Kapitalmart das Supplemet (rgäzugsgescäft) K = λ ÿ K = λ ÿ( K,0, K,1,, K, 1,1,0,,0) T K mit λ = - φ, = H bei λ 0 ud = S bei λ < 0, gebildet werde, das für die zeitlice Versciebug (Traspositio) der Zalug φ verwedet werde a. Nimmt ma ämlic zum Zalugsstrom Z das Kapitalmartgescäft K izu, so erält ma de Kombiatioszalugsstrom Y = Z + K = = (λ K,λ,0 K,..,λ,1 K,,0,,0) T 1 mit ud Y = λ, K = φ ÿ(- K, ) für = 0,,-1 Y = 0 für =,+1,,. Die Zalug φ des Zeitputs t = a also mit dem Supplemet K zum Zeitput t = auf de Wert Null glattgestellt (repliziert) ud als abgeziste Zaluge φ ÿ(- K, ) auf die vorerige Zeitpute t = = 0, -1 verscobe (traspoiert) werde. Hisictlic dieser Wirug a das Supplemet (rgäzugsgescäft) K auc geauer als ei zur Zalug φ geöriges Traspoemet (Versciebugsgescäft) bezeicet werde. Da ier auf vorerige Zeitpute traspoiert wird, a K auc als ei zu φ geöriges Atepoemet bezeicet werde. Z 2015 Rudolf Pleier D tzerict

13 2.1 i Supplemetsystem mit spezielle Kassagescäfte 13 Die zu eiem Idexvetor = ( 1,, ) M aus de K gebildete (+1)x-Matrix K = ( K 1 1,, K ) 1 2 K 1,0 K 2,0... K,0 2 1 K 2,1.. K, =.. 1 K 1,. K, (+1)x K, at eie obere Dreiecsgestalt. Die Bezeicug ist ict gaz exat, da K eie quadratisce Matrix, soder eie (+1)x-Matrix ist. Die Matrix K bestet aus liear uabägige Spalte ud at somit Rag K =. beso at da auc die Matrix 1 L = ( S,, S 1 ) volle Spalterag. Der Normalevetor P = (P,0,,P, ) T (P,0 := 1) der Hyperebee H = li L = li K ist Lösug des omogee lieare Gleicugssystems P T K = O ud berecet sic ac der Festlegug P,0 := 1 suzessive für = 1,, zu 1 P,1 = - K 1,0 P,0 > 0, P, = - K,0 P,0 - K,1 P,1 - K, 1P,-1 > 0( = 2, ). Ausgeed vo P,0 = 1 > 0 folgt bei Verwedug der Vorzeicebediguge mittels vollstädiger Idutio für alle Idizes = 0,1,, die Positivität der Kompoete P, des Normalevetors P : P > O. Nac dem Satz über die Disuteit eier Hyperebee ud des scwac positive Ortate abe die Hyperebee H mit dem positive Normalevetor P ud der ictegative 1 Ortat ur de triviale Durcscitt (H 0 = O). Isbesodere ist da der ovexe lieare Kegel C (Œ H ), M, ud isgesamt die zulässige Supplemetmege C arbitragefrei. M Die Duplizierug ud die Replizierug erfolgt mit eiem spezielle Supplemetasatz S(X) = S, der durc die Supplemetbedigug (SB) S = L λ mit M, λ 0, λ 0 für = H, λ > 0 für = S. bescriebe wird. Bei Verwedug der Matrix K a Stelle vo L lautet die Supplemetbedigug (SBK) S = K λ mit M, λ, = H bei λ 0 ud = S bei λ < 0. ie Liearombiatio der elemetare Zalugsströme K, bei der die Supplemetbedigug (SBK) erfüllt ist, wird ier auc als eie SB-Liearombiatio der K bezeicet. Nacfolged wird u bewiese, dass das Supplemetsystem L sowol eie eideutige Duplizierug als auc eie eideutige Replizierug der Zalugsströme des +1 ermöglict.

14 14 2 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Kassagescäfte 2.2 Die Duplizierug mit de Kassagescäfte Die Duplizierugsgleicug X = S(X) + W(μ(X)) = S(X) + U + V(μ(X)) bzw. S(X) + V(μ(X)) = X - U =: ζ ergibt mit dem Supplemetasatz S = K λ die Vetorgleicug K (X) (X) = ζ - V(μ(X)) =: + (μ(x)) (= - s(μ(x))) mit eiem λ = (X), µ = μ(x) J ud eiem Idexvetor = (X) M, der die Supplemetbedigug (SBK) erfüllt. Gemäß der Beweisidee vo Kruscwitz (1976), S , für die Replizierug mit eiperiodisce Termigescäfte wird etzt zu eiem fest vorgegebee Beurteilugsparameter µ J das i λ lieare Gleicugssystem K = (μ) := ζ - V(μ) betractet. Da die Matrix K eie obere Dreiecsgestalt at ud i der Subdiagoale (der uter der Hauptdiagoale gelegee Diagoale) die vo de Supplemettype uabägige lemete -1 auftrete, öe aus de letzte Zeile des Gleicugssystems suzessive für =,,1 sowol die Trasformatiosparameter λ = λ (µ) als auc die Supplemettype = (µ) M gemäß der Supplemetbedigug (SBK) bestimmt werde. Die Futioe λ (µ) ud (µ) berece sic ac der folgede Reursiosformel: λ (µ) = (μ), (µ) = H bei λ (µ) 0, (µ) = S bei λ (µ) < 0, λ (µ) = σ (μ) + (µ) mit (µ) := - K ( ), ( ), (µ) = H bei λ (µ) 0, Hier bei der Duplizierug ist 2015 Rudolf Pleier D tzerict 1 (µ) = S bei λ (µ) < 0( = -1,,1). λ (µ) = X + (- K ( ),) ( ) - U - V (µ) ( = 1,,) 1 der zum Zeitput t = voradee Fiazmittelbestad, der sic als Summe der Zalugsstromompoete X ud der auf de Zeitput traspoierte ( abgeziste ) spätere Fiazmittelbestäde λ (µ) ( = +1,,) ud ac der tame der Marge W (µ) = U + V (µ) ergibt. Zu edem µ J ist eideutig der zugeörige Idexvetor (µ) ud Trasformatiosvetor (µ) festgelegt. Diese Vetore (µ) ud (µ) liefer geau da eie Lösug des Gleicugssystems K (µ) (µ) = (μ), we auc oc die Gleicug λ 0 (µ) := σ 0 (μ) + κ 0 (µ) = 0 der erste Zeile erfüllt ist, we also µ eie Nullstelle der reursiv defiierte Futio λ 0 (µ) ist. s existiert somit eie eideutige Duplizierug vo X +1 geau da, we es geau eie Nullstelle µ = μ(x) J der Futio λ 0 (µ) gibt. Nacfolged wird u ei Beweis für die eideutige Duplizierug sizziert. Durc de Beweis erält ma auc eie Berecugsmögliceit für die Duplizierug eies beliebige Zalugsstroms X +1 bei Verwedug eies derartige Supplemetsystems über die iterative Nullstellebestimmug der Hilfsfutio λ 0 (µ). Beweis der eideutige Duplizierug mit de Kassagescäfte: Zum Nacweis der xistez vo geau eier Nullstelle der Futio λ 0 (µ) wird die Bietivität ud Stetigeit der Futio λ 0 : J gezeigt. Für die Ietivität vo λ 0 (µ) wird bewiese, dass die λ (µ) ( =,,1) mooto falled sid ud λ 0 (µ) streg mooto falled ist. Für die Suretivität vo λ 0 (µ) wird bewiese, dass λ 0 (µ) stetig ud a de Itervallgreze ubescrät ist. A die Stelle der streg mooto steigede Futio

15 s(μ) = - ζ + V(μ) ud der mooto steigede Futioe λ (µ) ud γ (µ) = T ( ), ( ) Die Replizierug mit de Kassagescäfte 15 im etsprecede Beweis für die Termigescäfte trete ier die streg mooto fallede Futio (μ) = ζ - V(μ) ud die mooto fallede Futioe λ (µ) ud κ (µ) = - K ( ), ( ), 1 A Stelle der Vorzeicebediguge T, > 0, T, 0 ( = 1,,-1; = 1,,) des vorerige Abscitts at ma ier die Bediguge - K,0 > 0, - K, 0 ( = +1,,; = 1,,). Die strege Mootoie vo λ 0 (µ) folgt ier sco aus der scwace Mootoie vo σ 0 (μ) ud der λ (µ) ( = 1,,) ud der Tatsace, dass es zu beliebig fixierte Stelle c, d J, c < d, bzw. zu beliebigem Teilitervall J = [c,d] Œ J eie Idex i = i(j ) {0,,} gibt, so dass σ i (μ) i J ict ostat ist. Demzufolge ist ämlic λ i (µ) = σ i (μ) + κ i (µ) ict ostat i i J ud da wege K ( ),0< 0 auc i i κ 0 (µ) = - K ( ),0 ( ) (- K ( ),0) ( ) i i 1 i ud λ 0 (µ) = σ 0 (μ) + κ 0 (µ) ict ostat i J. Da J Œ J beliebig war, ist λ 0 (µ) streg mooto falled i J. Aus der Bietivität ud Stetigeit der Futio λ 0 : J folgt die xistez vo geau eier Nullstelle μ = μ(x) vo λ 0 (μ). Der ausfürlice Beweis der eideutige Duplizierug wird ier weggelasse, da er aalog zu dem etsprecede Beweis für die Duplizierug mit de spezielle Termigescäfte verläuft. Ñ 2.3 Die Replizierug mit de Kassagescäfte Die Replizierugsgleicug B + X + S (X) = W(ν(X)) = U + V(ν(X)) bzw. S (X) - V(ν(X)) = U - B - X =: ξ ergibt mit dem Supplemetasatz S = K λ die Vetorgleicug K (X) (X) = ξ + V(ν(X)) =: ρ(ν(x)) (= - r(ν(x))) mit eiem λ = (X), ν = ν(x) J ud eiem Idexvetor = (X) M, der die Supplemetbedigug (SBK) erfüllt. Nac der Beweisidee vo Kruscwitz (1976), S , für die Replizierug mit eiperiodisce Termigescäfte wird etzt zu eiem fest vorgegebee Beurteilugsparameter ν J das i λ lieare Gleicugssystem K = ρ(ν) := ξ + V(ν) betractet. Da die (+1)x-Matrix K eie obere Dreiecsgestalt ud i der Subdiagoale (der uter der Hauptdiagoale gelegee Diagoale) die vo de Supplemettype uabägige lemete +1 besitzt, öe die letzte Zeile des Gleicugssystems suzessive für =,,1 ac de Trasformatiosparameter λ = λ (ν) aufgelöst werde ud die Supplemettype = (ν) M ac der Supplemetbedigug (SBK) bestimmt werde. Die Futioe λ (ν) ud (ν) berece sic ac der folgede Reursiosformel: λ (ν) = ρ (ν), (ν) = H bei λ (ν) 0, (ν) = S bei λ (ν) < 0, λ (ν) = ρ (ν) + κ (ν) mit κ (ν) := - K ( ), ( ), (ν) Hier bei der Replizierug ist φ (ν) := - λ (ν) 1 = H bei λ (ν) 0, (ν) = S bei λ (ν) < 0( = -1,,1).

16 16 2 Die xistez ud izigeit der Duplizierug ud der Replizierug mit Kassagescäfte = B + X + (- K ( ),) ( ) - U - V (ν)( = 1,,) 1 der zum Zeitput t = voradee Fiazmittelbestad, der sic als Summe der Zalugsstromompoete X, der Basiszalug B ud der auf de Zeitput traspoierte ( abgeziste ) spätere Fiazmittelbestäde φ (ν) = λ (ν) ( = 1,,-1) ud ac der tame der Marge W (ν) = U + V (ν) ergibt. Zu edem ν J ist also eideutig der zugeörige Idexvetor (ν) ud Trasformatiosvetor (ν) festgelegt. Diese Vetore (ν) ud (ν) liefer geau da eie Lösug des Gleicugssystems K (ν) (ν) = ρ(ν), we auc oc die Gleicug der erste Zeile erfüllt ist, λ 0 (ν) := ρ 0 (ν) + κ 0 (ν) = 0, we also ν eie Nullstelle der reursiv defiierte Futio λ 0 (ν) ist. Somit existiert eie eideutige Replizierug vo X +1 geau da, we es geau eie Nullstelle ν = ν(x) J der Futio λ 0 (ν) gibt. Wie obe bei der Duplizierug a ei Beweis für die eideutige Replizierug bzw. für die xistez vo geau eier Nullstelle der Futio λ 0 (ν) agegebe werde. Das Beweisscema ist das gleice wie bei der Duplizierug, ur dass die streg mooto fallede Futio (μ) = ζ - V(μ) ier durc die streg mooto steigede Futio ρ(ν) = ξ + V(ν) ersetzt wird. Demzufolge ergebe sic ier die λ (ν) ud κ (ν) als mooto steiged ud λ 0 (ν) als streg mooto steiged mit dem Grezwertveralte λ 0 (ν) - bei ν a ud λ 0 (ν) + bei ν b. Der ausfürlice Beweis wird ier weggelasse, da er aalog zu dem etsprecede Beweis für die Duplizierug mit de spezielle Kassagescäfte verläuft. Durc de Beweis erält ma auc ier eie Berecugsmögliceit für die Replizierug bei Verwedug eies derartige Supplemetsystems über die iterative Nullstellebestimmug der Hilfsfutio λ 0 (µ) Rudolf Pleier D tzerict

17 3 Die Mootoie der Präferezorduge zu de spezielle Supplemetsysteme Der Beweis der Mootoie der betractete Präferezorduge im +1, die mit de spezielle Supplemetsysteme ostruiert wurde, verwedet wieder die gleice Hilfsfutioe wie der Beweis der eideutige Replizierug bzw. Duplizierug. Zum Nacweis der Mootoie beispielsweise der R-Präferezordug A RW ist für beliebige Zalugsströme X, X +1 mit der Ugleicug X X die Relatio RW X mit der strege RW zu zeige. Gleicbedeuted dazu ist es, die strege Mootoie der Präferezfutio w X = W(ν(X)) ( ) R W bzw. die strege Mootoie der Nutzefutio ν RW (X) = ν(x) aczuweise. Dazu ist zu vorgegebee X, X +1 mit X X für die Beurteilugsurvepute W(ν(X )), W(ν(X)) W(J) die strege Ugleicug W(ν(X )) W(ν(X)) bzw. für die Beurteilugsparameter ν(x), ν(x ) J die strege Ugleicug ν(x ) > ν(x) zu beweise. ie aaloge Aussage gilt für die Mootoie der D-Präferezordug A DW. Zu beacte ist, dass bei dem ier verwedete Begriff der strege Mootoie für die auf +1 defiierte Futioe w RW : +1 W(J) ud ν RW : +1 J ur Argumete (uabägige Variable) X, X +1 betractet werde, die mittels der strege Halbordug verglice werde öe. 3.1 Die Mootoie der R-Präferezordug beim Supplemetsystem der Termigescäfte Beim Beweis der Mootoie der R-Präferezordug A RW werde u die beim Beweis der eideutige Replizierug mit de Termigescäfte verwedete Hilfsfutioe r (ν) = - ξ - V (ν), λ (ν), (ν) ud γ (ν) auc oc i Abägigeit vom Parameter = U - B - X bzw. = U - B - X betractet. Falls für die bezüglic ν streg mooto fallede Futioe λ +1 (ν,) ud λ +1 (ν, ) im gesamte Itervall J die strege Ugleicug λ +1 (ν,) < λ +1 (ν, ) bei acgewiese wird, so gilt für dere eideutig bestimmte Nullstelle ν +1 () = ν(x) ud ν +1 ( ) = ν(x ) die gewüscte Ugleicug ν(x) < ν(x ). Als wictiges Hilfsmittel für de acfolged gefürte Nacweis der Stetigeit der im Abscitt defiierte Nutzefutioe ud Präferezfutioe wird auc oc die Stetigeit der Hilfsfutio λ +1 (ν,) bewiese. Beweis der Mootoie der R-Präferezordug A RW für das Supplemetsystem L der Termigescäfte ud der strege Mootoie der Hilfsfutio λ +1 (ν,): Für die Futio r(ν,) = - - V(ν) gilt wege der Voraussetzug X X bzw. - - die Ugleicug

18 18 3 Die Mootoie der Präferezorduge zu de spezielle Supplemetsysteme r(ν,) - r(ν,ξ ) = - + = X - X =: Δ O. s gibt also eie Idex = (Δ) {0,,} mit Δ = 0 für = 0,,-1, Δ < 0 für =, Δ 0 für = +1,,. bzw. r (ν,) = r (ν, ) für = 0,,-1, r (ν,) < r (ν, ) für =, r (ν,) r (ν, ) für = +1,,. Mittels vollstädiger Idutio soll daraus für die Fiazmittelbestäde die strege Ugleicug (*) λ (ν,) < λ (ν, ) für = +1,,+1, acgewiese werde. Dazu wird als rstes der Idutiosbegi für die Fälle = 0 ud 1 gesicert. Falls = 0 ist, ergibt sic umittelbar die Ugleicug λ 1 (ν,) = r 0 (ν,) < r 0 (ν, ) = λ 1 (ν, ) ud damit der Idutiosbegi für de Idex = +1 = 1. Falls 1 ist, wird erst die Idetität λ (ν,) = λ (ν, ) für = 1,, gezeigt ud zwar wiederum mittels vollstädiger Idutio: Für = 1 erält ma de Idutiosbegi 1 (ν,) = r 0 (ν,) = r 0 (ν, ) = 1 (ν, ). Für de Idutiosscluss vo -1 auf ( = 2,,) erält ma aus der Idutiosaame (ν,) = (ν, ), (ν,) = (ν, ) für = 1,,-1 für die erste -1 Fiazmittelbestäde ud Supplemettype zuäcst für die zu η = ξ, ξ geörige Summe der traspoierte ( aufgeziste ) Fiazmittelbestäde 1 γ -1 (ν,η) = T (, ), 1 (, ) η η 1 die zugeörige Idetitäte γ -1 (ν,) = γ -1 (ν, ) ud da mittels der Reursiosformel wege -1-1 für de Idex die gewüscte Idetitäte λ (ν,) = r -1 (ν,) + -1 (ν,) = r -1 (ν, ) + -1 (ν, ) = λ (ν, ), (ν,) = (ν, ). Aus de damit per vollstädiger Idutio bewiesee Idetitäte λ (ν,) = λ (ν, ), (ν,) = (ν, ) für = 1,, folgt oc für de Idex = ac der Reursiosformel die Gleicug (ν,) = (ν, ) ud daraus für de Idex = +1 ac der Reursiosformel die Ugleicug λ +1 (ν,) = r (ν,) + (ν,) < r (ν, ) + λ (ν, ) = λ +1 (ν, ), welce u auc für 1 de Idutiosbegi = +1 für die obige Beauptug der strege Ugleicug (*) darstellt. Als Näcstes wird der Idutiosscluss vo -1 auf (+2 +1) der obige Beauptug (*) erbract. Dazu get ma vo der Idutiosaame λ (ν,) < λ (ν, ), für = +1,,-1, also der strege Ugleicug für die Fiazmittelbestäde der Idizes = +1,,-1 aus. Zu beacte ist, dass außerdem für die Idizes = 1,, die Gleiceit gilt, λ (ν,) = λ (ν, ) für = 1,,, also isgesamt die Ugleicug λ (ν,) λ (ν, ) für = 1,,-1. I der Reursiosformel für λ (ν,), λ (ν,) = r -1 (ν,) + γ -1 (ν,) mit γ -1 (ν,) = T (, ), 1 (, ) ξ, solle u bei fest gedactem die eizele Summade i der Summe γ -1 (ν,), also die traspoierte Fiazmittelbestäde Rudolf Pleier D tzerict

19 3.1 Die Mootoie der R-Präferezordug beim Supplemetsystem der Termigescäfte 19 τ (ν,) := τ -1, (ν,) := T (, ), 1 (, ) ξ ( fest fixiert), für die Parameter ξ ud ξ verglice werde. Für die Idizes = 1,, sid eweils die Fiazmittelbestäde λ (ν,), λ (ν, ), die Supplemettype (ν,), (ν, ) ud damit auc die traspoierte Fiazmittelbestäde gleic: τ (ν,) = τ (ν, ). Für die Idizes = +1,,-1 sid drei Fälle zu utersceide: ) 0 λ (ν,) < λ (ν, ), (ν,) = (ν, ) = H, β) λ (ν,) < λ (ν, ) < 0, (ν,) = (ν, ) = S, γ) λ (ν,) < 0 λ (ν, ), (ν,) = S, (ν, ) = H. I de Fälle ) ud β) sid für η = ξ, ξ die Matrixelemete T (, ), 1gleic, ictegativ für -2 ud positiv für = -1. Somit folgt τ (ν,) τ (ν, ) für -2, τ (ν,) < τ (ν, ) für = -1. Im Fall γ) sid für η = ξ, ξ zwar die Matrixelemete T (, ), 1im Allgemeie versciede, aber deoc beide ictegativ für -2 ud positiv für = -1. Somit folge ebefalls die Ugleicuge τ (ν,) 0 τ (ν, ) für -2, τ (ν,) < 0 τ (ν, ) für = -1. Da i de Summe γ -1 (ν,η), η =,, der traspoierte Fiazmittelbestäde der öcste Idex = -1 ( +1) ist ud für diese Idex = -1 i alle drei Fälle ) - γ) die strege Ugleicug τ (ν,) < τ (ν, ) gilt, ist auc für die Summe γ -1 (ν,η) = 1 1 (, η ), η =,, die strege Ugleicug gültig: γ -1 (ν,) < γ -1 (ν, ). Da außerdem wege die scwace Ugleicug r -1 (ν,) r -1 (ν, ) erfüllt ist, erält ma mit Hilfe der Reursiosformel da die Ugleicug λ (ν,) = r -1 (ν,) + γ -1 (ν,) < r -1 (ν, ) + γ -1 (ν, ) = λ (ν, ). Damit gilt auc für de Idex (+2 +1) die strege Ugleicug (*) für die Fiazmittelbestäde ud der Idutiosbeweis ist erbract. Speziell für de Idex = +1 sid also die letzte Fiazmittelbestäde λ +1 (ν,) ud λ +1 (ν, ) streg mooto fallede Futioe vo ν, welce i J die Ugleicug λ +1 (ν,) < λ +1 (ν, ) erfülle. Für ire eideutig bestimmte Nullstelle ν +1 () = ν(x) ud ν +1 ( ) = ν(x ) gilt daer ν(x) < ν(x ) ud der Beweis für die Mootoie der Präferezordug bzw. für die strege Mootoie der Nutzefutio ud der Präferezfutio ist abgesclosse. Ñ Beweis der Stetigeit der reursiv defiierte Hilfsfutio λ +1 (ν,ξ) bei der Replizierug mit de Termigescäfte: Die durc de Term r(ν,ξ) = - ξ - V(ν) gegebee Futio r : (ν,ξ) J x +1 r(ν,ξ) +1 mit de Argumete (uabägige Variable) ν, ξ 0,, ξ ist als Summe der Terme - ξ ud - V(ν) stetig, we dies für die Futio V(ν) gilt. Für die Parameterdarstellug W(ν) = U + V(ν) eier Beurteilugsurve ist die Stetigeit vo V(ν) = W(ν) - U gegebe. Demzufolge sid die Kompoetefutioe r (ν,ξ) = - ξ - V (ν) i (ν,ξ) stetig für die Idizes = 0,,. Damit ist sco die erste Hilfsfutio λ 1 (ν,ξ) = r 0 (ν,) stetig ud der Idutiosbegi für = 1 gesicert. Mittels vollstädiger Idutio soll etzt die Stetigeit der Futioe λ (ν,ξ), = 1,,+1, bewiese werde. Für de Idutiosscluss vo -1 auf ( = 2,,+1) wird als Idutiosaame die Stetigeit der Futioe λ (ν,), = 1,,-1, vorausgesetzt. Naczuweise ist die Stetigeit der Futio λ (ν,ξ) = r -1 (ν,ξ) + γ -1 (ν,ξ) mit 1 γ -1 (ν,ξ) = 1, (, ξ ), 1

20 20 3 Die Mootoie der Präferezorduge zu de spezielle Supplemetsysteme τ -1, (ν,ξ) := T (, ), 1 (, ) ξ. Dazu geügt es, für die fest gedacte Izides -1 ud die Stetigeit der Futio τ,-1 (ν,ξ) a eier beliebige Stelle (ν 0, ξ 0 ) J x +1 zu begrüde. Im Fall λ (ν 0,ξ 0 ) 0 ist wege der Stetigeit der Futio λ (ν,ξ) auc i eier ireiced leie Umgebug U = U(ν 0,ξ 0 ) vo (ν 0,ξ 0 ) diese Futio vo Null versciede ud o.. positiv. Der Fall mit egative Futioswerte verläuft aalog. Demzufolge ist (ν,ξ) = H ostat i U ud τ -1, (ν,ξ) = TH, 1 (, ξ ) stetig i U ud isbesodere i (ν 0, 0 ). Im Fall λ (ν 0,ξ 0 ) = 0 ist zwar (ν,ξ) {H,S} ict ostat i eier Umgebug vo (ν 0,ξ 0 ), aber T (, ), { T 1 H, 1, TS, 1} bescrät für alle (ν,ξ) J x +1. Wege der Stetigeit vo λ (ν,ξ) gilt λ (ν,ξ) λ (ν 0,ξ 0 ) = 0 bei (ν,ξ) (ν 0,ξ 0 ) ud damit 0 lim (, ξ ) = 0 = T (, ξ ) = τ -1, (ν 0,ξ 0 ), 0 (, ξ) ( 0, ξ ) 1, o ( o, ξ ), 1 was die Stetigeit vo τ -1, (ν,ξ) i (ν 0,ξ 0 ) bedeutet. Damit ist die Stetigeit aller τ -1, (ν,ξ) für = 1,,-1, die Stetigeit vo γ -1 (ν,ξ) ud vo λ (ν,ξ) bewiese ud der Idutiosscluss erbract. Ñ 3.2 Die Mootoie der D-Präferezordug beim Supplemetsystem der Termigescäfte Zum Nacweis der Mootoie der D-Präferezordug A DW ist für beliebige Zalugsströme X, X +1 mit X X die Relatio DW X bzw. für die Beurteilugsparameter µ(x) ud µ(x ) die strege Ugleicug µ(x ) > μ(x) zu zeige. Dazu werde die beim Beweis der eideutige Duplizierug mit Termigescäfte verwedete Hilfsfutioe s (μ) = - ζ + V (µ), λ (µ), (µ) ud γ (µ) auc oc i Abägigeit vom Parameter ζ = X - U bzw. ζ = X - U betractet. Der Beweis der Mootoie der D-Präferezordug verläuft aalog zum etsprecede Beweis für die R-Präferezordug. Dabei tritt aber a die Stelle der i J streg mooto fallede Futio r(ν,ξ) = - ξ - V(ν) ier die streg mooto steigede Futio s(μ,ζ) = - ζ + V(μ) mit der Ugleicug s(μ,ζ) s(μ,ζ ). Daraus folgt für die streg mooto steigede Futioe λ +1 (µ,) ud λ +1 (µ, ) vo µ im gesamte Itervall J die strege Ugleicug λ +1 (µ,) > λ +1 (µ, ) ud für dere eideutig bestimmte Nullstelle µ +1 () = µ(x) ud µ +1 ( ) = µ(x ) die gewüscte Ugleicug µ(x) < µ(x ). befalls aalog zum etsprecede rgebis bei der Replizierug mit de Termigescäfte ergibt sic auc ier bei der Duplizierug die Stetigeit der reursiv defiierte Hilfsfutio λ +1 (ν,) Rudolf Pleier D tzerict

21 3.3 Die Mootoie der R-Präferezordug beim Supplemetsystem der Kassagescäfte Die Mootoie der R-Präferezordug beim Supplemetsystem der Kassagescäfte Beim Beweis der Mootoie der R-Präferezordug A RW ist für beliebige Zalugsströme X, X +1 mit X X für die Beurteilugsparameter ν(x) ud ν(x ) die strege Ugleicug ν(x) < ν(x ) zu zeige. Dazu werde die beim Beweis der eideutige Replizierug mit Kassagescäfte verwedete Hilfsfutioe ρ (ν) = ξ + V (ν), λ (ν), (ν) ud κ (ν) auc oc i Abägigeit vom Parameter ξ = U - B - X bzw. ξ = U - B - X betractet. Der Beweis verläuft ac dem gleice Scema wie die obige Mootoiebeweise. Ausgeed vo der i J streg mooto steigede Futio ρ(ν,ξ) = ξ + V(ν) ud der Ugleicug ρ(ν,ξ) ρ(ν,ξ ) folgt für die streg mooto steigede Futioe λ 0 (ν,ξ) ud λ 0 (ν,ξ ) im gesamte Itervall J die strege Ugleicug λ 0 (ν,ξ) > λ 0 (ν,ξ ) ud daer für dere eideutig bestimmte Nullstelle ν 0 (ξ) = ν(x) ud ν 0 (ξ ) = ν(x ) die gewüscte Ugleicug ν(x) < ν(x ). Des Weitere wird etzt oc der Beweis für die Stetigeit der der reursiv defiierte Hilfsfutio λ 0 (ν,ξ) agegebe. r verläuft ac dem gleice Scema wie der Beweis der Stetigeit der Hilfsfutio λ +1 (ν,) beim Supplemetsystem der Termigescäfte. Die Stetigeit der Hilfsfutio λ 0 (ν,) wird oc für de Nacweis der Stetigeit der im Abscitt defiierte Nutzefutioe ud Präferezfutioe verwedet. Beweis der Stetigeit der Hilfsfutio λ 0 (ν,ξ) bei der Replizierug mit de Kassagescäfte: Die durc de Term ρ(ν,ξ) = ξ + V(ν) = - r(ν,ξ) gegebee Futio ρ : (ν,ξ) J x +1 ρ(ν,ξ) +1 ist stetig, da die Futio V(ν) = W(ν) - U stetig ist. Demzufolge sid die Kompoetefutioe ρ (ν,ξ) = ξ + V (ν) i (ν,ξ) stetig für die Idizes = 0,,. Damit ist sco die i der Reursio zuerst berecete Hilfsfutio λ (ν,ξ) = ρ (ν,) stetig ud der Idutiosbegi für = gesicert. Mittels vollstädiger Idutio soll etzt die Stetigeit der Futioe λ (ν,ξ), =,,0, bewiese werde. Für de Idutiosscluss vo +1 auf ( = 0,,-1) wird als Idutiosaame die Stetigeit der Futioe λ (ν,), = +1,,, vorausgesetzt. Naczuweise ist die Stetigeit der Futio λ (ν,ξ) = ρ (ν,ξ) + κ (ν,ξ) mit κ (ν,ξ) = J, (, ξ), 1 J, (ν,ξ) := - K (, ), (, ) ξ. Dazu geügt es, für die fest gedacte Izides ud die Stetigeit der Futio J, (ν,ξ) a eier beliebige Stelle (ν 0, ξ 0 ) J x +1 zu begrüde. Im Fall λ (ν 0,ξ 0 ) 0 ist wege der Stetigeit der Futio λ (ν,ξ) auc i eier ireiced leie Umgebug U = U(ν 0,ξ 0 ) vo (ν 0,ξ 0 ) diese Futio vo Null versciede ud o.. positiv. Der Fall mit egative Futioswerte verläuft aalog. Demzufolge ist (ν,ξ) = H ostat i U ud J, (ν,ξ) = - K H, (, ξ ) stetig i U ud isbesodere i (ν 0, 0 ). Im Fall λ (ν 0,ξ 0 ) = 0 ist zwar (ν,ξ) {H,S} ict ostat i eier Umgebug vo (ν 0,ξ 0 ), aber K (, ), { K H,, K S, } bescrät für alle (ν,ξ). Wege der Stetigeit vo λ (ν,ξ) gilt λ (ν,ξ) λ (ν 0,ξ 0 ) = 0 bei (ν,ξ) (ν 0,ξ 0 )

22 22 4 Die Stetigeit der Präferezorduge zu de spezielle Supplemetsysteme ud damit lim J (, ξ) = 0 = - K 0 0 (, ξ ) = J, (ν 0,ξ 0 ), 0 (, ξ) ( 0, ξ ), ( 0, ξ ), was die Stetigeit vo J, (ν,ξ) i (ν 0,ξ 0 ) bedeutet. Damit ist die Stetigeit aller J, (ν,ξ) für = +1,,, die Stetigeit vo κ (ν,ξ) ud vo λ (ν,ξ) bewiese ud der Idutiosscluss erbract. Ñ 3.4 Die Mootoie der D-Präferezordug beim Supplemetsystem der Kassagescäfte Zum Beweis der Mootoie der D-Präferezordug A DW ist für beliebige Zalugsströme X, X +1 mit X X für die Beurteilugsparameter μ(x) ud μ(x ) die strege Ugleicug μ(x) < µ(x ) zu zeige. Dazu werde die beim Beweis der eideutige Duplizierug mit Kassagescäfte verwedete Hilfsfutioe σ (μ) = ζ - V (µ), λ (µ), (µ) ud κ (ν) auc oc i Abägigeit vom Parameter ζ = X - U bzw. ζ = X - U betractet. Der Beweis der Mootoie verläuft aalog zu de obige Mootoiebeweise. Dabei tritt aber a die Stelle der obe der Reie ac verwedete verwedete Futioe r(ν,ξ) = - ξ - V(ν), s(μ,ζ) = - ζ + V(μ) ud ρ(ν,ξ) = ξ + V(ν) ier die streg mooto fallede Futio (μ,ζ) = ζ - V(μ) = - s(μ,ζ) mit der Ugleicug (μ,ζ) (μ,ζ ). Daraus folgt für die streg mooto fallede Futioe λ 0 (μ,ξ) ud λ 0 (μ,ξ ) im gesamte Itervall J die strege Ugleicug λ 0 (µ,) < λ 0 (µ, ) ud für dere eideutig bestimmte Nullstelle µ 0 () = µ(x) ud µ 0 ( ) = µ(x ) die gewüscte Ugleicug µ(x) < µ(x ). befalls aalog zum etsprecede rgebis bei der Replizierug mit de Kassagescäfte ergibt sic auc ier bei der Duplizierug mit de Kassagescäfte die Stetigeit der reursiv defiierte Hilfsfutio λ 0 (μ,). Die Stetigeit der Hilfsfutio λ 0 (ν,) wird oc für de Beweis der Stetigeit der Nutzefutioe ud Präferezfutioe verwedet. Isgesamt liefer also die ier verwedete Supplemetsysteme vo Termigescäfte ud Kassagescäfte mit beliebige Beurteilugsurve stets mootoe Präferezorduge. 4 Die Stetigeit der Präferezorduge zu de spezielle Supplemetsysteme Für die i de Abscitt 9.4 des Bucs Fiazmatemati agegebee spezielle Supplemetsysteme L vo Termigescäfte bzw. Kassagescäfte wird u die Stetigeit der Nutzefutioe μ DW ud ν RW, die Stetigeit der Präferezfutioe w DW ud w RW ud die Stetigeit der Präferezorduge A DW ud A RW bewiese. Als wictiges Hilfsmittel wird dazu die i de vorerige Abscitte bewiesee Stetigeit der Hilfsfutioe λ +1 (ν,ξ) ud λ 0 (ν,ξ) ud dere strege Mootoie bezüglic der Variable ν verwedet. So ist die Futio λ +1 (ν,ξ) bezüglic ν streg mooto falled bei der Replizierug mit de spezielle Termigescäfte ud streg mooto steiged bei der Duplizierug mit de spezielle Termigescäfte. Die Futio λ 0 (ν,ξ) ist bezüglic ν streg mooto steiged bei der Replizierug mit de spezielle Kassagescäfte ud streg mooto falled bei der Duplizierug mit de spezielle Kassagescäfte. Zum Beweis der Stetigeit der Nutzefutioe wird u der Satz über implizite Futioe aus der Differezialrecug verwedet. Diese Satz samt Beweis fidet ma beispielsweise i de Aalysis-Lerbücer vo rwe, 2015 Rudolf Pleier D tzerict 0

23 3.4 Die Mootoie der D-Präferezordug beim Supplemetsystem der Kassagescäfte 23 Bd. I (1962), S , Grauert ud Fiscer, Bd. II (1968), S , ud Magoldt ud Kopp, Bd. II (1974), S Beweis für die Stetigeit der Nutzefutioe ud Präferezfutioe: Zu eiem Zalugsstrom X 0 +1 ist der Futioswert ν RW (X 0 ) der R-Nutzefutio ν RW : +1 J die eizige Nullstelle ν 0 = ν(x 0 ) der zur Replizierug mit de Termigescäfte reursiv defiierte Futio λ(ν) = λ +1 (ν,ξ 0 ), ξ 0 = U - B - X 0, als Futio vo ν. Der Put (ν 0,ξ 0 ) J x +1 ist eie Nullstelle der Futio λ +1 (ν,ξ): λ +1 (ν 0,ξ 0 ) = 0. Da (ν 0,ξ 0 ) ei ierer Put des Defiitiosgebiets J x +1 der Futio λ +1 (ν,ξ) ist, ist auc i eier Umgebug dieses Putes die Futio λ +1 (ν,ξ) stetig ud bezüglic der Variable ν streg mooto steiged. Demzufolge lässt sic der Satz über implizite Futioe awede ud es folgt, dass es zu ν 0 ud ξ 0 Umgebuge V(ν 0 ) ud U(ξ 0 ) derart gibt, dass geau eie Futio : U(ξ 0 ) Ø V(ν 0 ) existiert mit ( ξ o ) = ν 0, λ +1 ( () ξ,ξ) = 0 für alle ξ U(ξ 0 ). Die Gleicug λ +1 (ν,ξ) = 0 ist also i eier Umgebug U(ξ 0 ) vo ξ 0 eideutig ac ξ auflösbar, we die Futioswerte auf eie beliebig lei vorgegebee Umgebug vo ν 0 begrezt werde. Die Gleicug defiiert auf U(ξ 0 ) eie so geate implizite oder uetwicelte Futio () ξ. Die izigeit der Futio () ξ auf U(ξ 0 ) ergibt sic aus der ostrutive Forderug im Beweis des Satzes, dass ma die Variable ξ auf eie beliebig lei vorgebbare Umgebug vo ξ 0 eiscrät. Weiter ergibt sic aus dem Satz auc die Stetigeit der Futio () ξ a der Stelle ξ 0 mit dem vorgegebee Futioswert ν 0. Ma sagt, dass die acgewiesee loale implizite Futio sic durc stetige Fortsetzug aus dem Afagswert ( ξ ) = ν 0 ergibt. o Zu edem ξ i der Umgebug U(ξ 0 ) ist das zugeörige ν = () ξ eie Nullstelle vo λ +1 (ν,ξ) als Futio vo ν ud stimmt daer mit der eizige Nullstelle ν = ν(x) vo λ +1 (ν,ξ), ξ = U - B - X, überei. Daer stimmt i eier etsprecede Umgebug U(X 0 ) vo X 0 = U - B - ξ 0 die Futio ν(x) mit der i X U(X 0 ) stetige Futio ( U-B- X) überei: ν RW (X) = ν(x) = ( U-B- X) für X U(X 0 ). Damit ist die Stetigeit der R-Nutzefutio ν RW (X) i X 0 bewiese. Aalog lässt sic die Stetigeit der D-Nutzefutio μ DW : +1 J beweise. Bei der Duplizierug mit de Termigescäfte werde i der Reursiosformel zur Defiitio der Futio λ +1 (μ,ζ) etzt aber die Terme ζ = X - U ud s(µ) = ζ - V(µ) a Stelle vo ξ = U - B - X ud r(ν,ξ) = - ξ - V(ν) verwedet. Auf die gleice Weise lässt sic bei der Duplizierug ud der Replizierug mit de spezielle Kassagescäfte die Stetigeit der Nutzefutioe μ DW ud ν RW beweise. Zur reursive Defiitio der Futio λ 0 (ν,ξ) werde die Terme ξ = U - B - X ud ρ(ν) = ξ + V(ν) = - r(ν) verwedet ud zur Defiitio vo λ 0 (μ,ζ) die Terme ζ = X - U ud (μ) = ζ - V(μ) = - s(μ). Mit der Stetigeit der Nutzefutioe μ DW ud ν RW ist da auc die Stetigeit der Präferezfutioe w ( ) D W X = W(μ DW (X)), w ( ) R W X = W(ν RW (X)) als Zusammesetzuge vo stetige Futioe acgewiese. Ñ Als Folgerug aus der Stetigeit der Nutzefutio erält ma ier auc die Stetigeit der zugeörige Präferezordug. Beispielsweise wird die D-Präferezordug A DW geau da als stetig bezeicet, we es zu drei Zalugsströme X, Y, Z +1 mit der Relatio DW DW Z auc eie Zalugsstrom X(α) := Z + α(x - Z), α ]0,1[, auf der (bezüglic der Relativtopologie offee) Verbidugsstrece ]Z,X[ der Zalugsströme Z ud X gibt, der zu Y DW-idifferet ist: DW DW Z fl $ α ]0,1[ mit X(α) = Z + α(x - Z) > DW Y. Aalog zum acfolgede Beweis der Stetigeit der D-Präferezordug erfolgt auc der Beweis der Stetigeit der R-Präferezordug A RW. Die Defiitio der Stetigeit eier Präferezordug für allgemeiere Alterative X, Y, Z fidet ma beispielsweise bei Kruscwitz (1999), S. 30, ud Jarrow (1988), S. 10.