Binomialkoeffizienten und Binomischer Satz 1 Der binomische Lehrsatz

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1 Ihaltsverzeichis Biomialoeffiziete ud Biomischer Satz 1 Der biomische Lehrsatz wird als eie gaze Zahl vorausgesetzt, für die gilt: 0. a ud b werde als reelle Zahle vorausgesetzt, die icht Null sid. Bemerug: Für die Fälle a 0 oder b 0 sid die Poteze a 0 bzw. b 0 icht defiiert. Da im biomische Lehrsatz diese Poteze verwedet werde, setzt ma voraus, dass a 0 ud b 0 gilt. Uter diese Voraussetzuge lässt sich der Biomische Lehrsatz folgedermaße agebe: ( ) (a + b) a b 0 ist der Summatiosidex. ist eie gaze Zahl, für die gilt: 0. Die Summatio begit bei 0 ud wird i jedem Summatiosschritt um +1 erhöht, bis de Wert erreicht hat. Im folgede werde die eizele Summade der Summedarstellug agegebe: a b a b 0 + a 1 b 1 + a 2 b a 1 b 1 + a 0 b ( ) 1 Die i dieser Darstellug voromme Ausdrüce heiße Biomialoeffiziete. Sie sid folgedermaße defiiert:!( )! Bevor ich für de Biomische Satz ei ( ) Übugsbeispiel agebe, folge eiige Erläuteruge ud Beispiele zu de Terme ud. 1.1 Defiitio ud Übugsbeispiele für de Term Defiitio vo Der Term ist defiiert als das Produt aller atürliche Zahle, die leier oder gleich sid. Dabei wird vorausgesetzt: 0 ist eie atürliche Zahl. Natürliche Zahle begie bei 1. 1

2 Beispiele für : 1! 1, 2! 1 2 2, 3! spezielle Defiitioe ud Vereibaruge: 0! 1, ( 1)! 0 Mathematische Schreibweise für : ( 2) ( 1) Die drei Pute besage, dass icht alle Fatore des Produtes aufgelistet sid. Die Azahl der Fatore i der Defiitio für ist bestimmt, we eie atürliche Zahl ist. Es sid da geau Fatore. Per Kovetio beihaltet diese Schreibweise auch die Defiitioe für 1!, 2!, 3! Beispiel für 6: 6! ( )! Für, wird vorausgesetzt, dass sie gaze Zahle sid, für die gilt:, 0. Aus der Voraussetzug 0 folgt 0, da ist. ( )! wird zu 0!, hierfür gilt: 0! 1. Für erhält ma ( )! 0! 1 Im folgede wird ageomme, dass > gilt. Für de Ausdruc ( )! schreibt ma da ( )! ( ) Für bestimmte Problemstelluge ist es sivoll, die Produte mit agebe, die umittelbar vor ( ) stehe: ( )! ( 2) ( 1) ( ) Beispiel für diese Schreibweise: Es sei 10, 4 Da gilt ( ) , ( 1) , ( 2) Für (10 4)! 6! ergibt sich da: 6!

3 1.1.3 ( )!( + 1) Für, wird vorausgesetzt, dass sie gaze Zahle sid, für die gilt:, 0. Uter diese Voraussetzuge gilt: ( )!( + 1) ( + 1)! Der Soderfall ergibt 0! 1 1! 1. Für 0 folgt 0, da ud 0 vorausgesetzt wurde. Für de folgede Beweis wird vorausgesetzt, dass > gilt. Beweis: ( )!( + 1) ( ) ( + 1) ( + 1)! Beispiele: (1) Sei 6, 4, es folgt (6 4)!( ) 2! 3 3! 6 (2) Sei 13, 5, es folgt (13 5)!(13 4) 8! 9 9! Für 0 erhält ma: ( + 1) ( + 1)! Beispiele: (1) 6! 7 7! 5040 (2) 3! 4 4! ( )! ( )! ( ) Im Hiblic auf de zu ürzede Quotiete schreibe ich das gaze och etwas aders: ( )! ( ) ( + 1) ( ) Nach dem Kürze bleibt übrig: ( + 1)... Ergebis: ( )! Beispiel: ( + 1)... 3

4 49!, hier ist 49, 6 43! Ma erhält: ( + 1) Die Darstellug ( + 1)... ergibt Ergebis: 49! 43! ! och eimal ausführlich higeschriebe: 43! Aufgabe 1: 0 2 Ma verwede de Biomische Lehrsatz i der Form: 0 a b (a + b) ud spezialisiere: a 1, b 1 Es folgt: (1 + 1) Aufgabe 2: Für diese Aufgabe werde 2 Lösugswege agegebe. Lösugsweg 1 setzt die Defiitioe ei ud vereifacht die etstehede Ausdrüce durch algebraische Umformuge. Lösugsweg 2 löst die Aufgabe durch geeigetes Auslammer. 4

5 3.1 Lösugsweg 1 Eisetze der Defiitio für die Biomialoeffiziete ergibt folgede Gleichug:!( )! + ( + 1)!( 1)! ( + 1)! ( + 1)!( + 1 1)! Dabei gilt:!( )! + 1 ( + 1)!( 1)! + 1 ( + 1)! + 1 ( + 1)!( + 1 1)! ( + 1)! Der Ausdruc lässt sich folgedermaße vereifache: ( + 1)!( + 1 1)! ( + 1)! ( + 1)!( + 1 1)! ( + 1)! ( + 1)!( )! Damit erhält ma aus der ursprügliche Gleichug folgede, zu beweisede Gleichug:!( )! + ( + 1)!( 1)! ( + 1)! ( + 1)!( )! Die Beweisstrategie ist u folgede: Ma versucht die beide Neer des Ausdrucs!( )! + ( + 1)!( 1)! gleichamig zu mache, um die Terme da zusammefasse zu öe. Multipliziert ma!( )! mit + 1, so erhält ma ( + 1)!( )! Multipliziert ma ( + 1)!( 1)! mit, so erhält ma ( + 1)!( )! Ma hat also bereits eie Möglicheit gefude, die beide Neer gleichamig zu mache. Die folgede, allgemei gültige Aussage wird jetzt beutzt: Multipliziert ma Zähler ud Neer eies Bruches mit dem gleiche Ausdruc, so ädert sich der Wert des Bruches icht. Ma multipliziert jetzt de Term!( )! mit

6 ud de Term + 1!( )! + 1 ( ( + 1)!( 1)! ( + 1)!( 1)! mit ( + 1) ( + 1)!( )! ) ) ( ( ) ( + 1)!( )! Addiere der beide zuletzt berechete Terme ergibt ( + 1) ( + 1)!( )! + ( ) + + ( + 1)!( )! ( + 1)!( )! + + ( + 1) ( + 1)!( )! ( + 1)!( )! ( + 1)! ( + 1)!( )! + 1 Der zuletzt berechete Term ist aber gerade. Damit ist die Gleichug 3.2 Lösugsweg wie weiter obe i de Lösuge beschriebe + 1 ) bewiese. ( Durch geeigetes Auslammer wird die Aufgabe gelöst !( )! + ( + 1)!( ( + 1))! ( 1!( ( + 1))! + 1 ) + 1!( ( + 1))! ( )( + 1) ( ) ( + 1)! + 1 ( + 1)!( )! + 1 Es werde folgede Zwischeschritte verwedet: (1) ( ( + 1)!)( ) ( 1)!( ) ( )! (2)!( + 1) ( + 1)! (3) ( + 1) ( + 1)! 6

7 Ihaltsverzeichis Ihaltsverzeichis 1 Der biomische Lehrsatz Defiitio ud Übugsbeispiele für de Term Defiitio vo ( )! ( )!( + 1) ( )! 2 Aufgabe 1: ( ) + 1 Aufgabe 2: Lösugsweg Lösugsweg