A Ω, Element des Ereignisraumes

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1 ue biostatisti: grudlegedes zur wahrscheilicheit ud ombiatori 1/6 WAHRSCHEINLICHKEIT / EINIGE BEGRIFFE Ereigisraum Ω Elemetarereigis A: Ω ist die Mege aller mögliche Elemetarereigisse A Ω, Elemet des Ereigisraumes Beispiele 1 Ma werfe eie Würfel: Ω {1,2,3,4,5,6}, 6 Elemetarereigisse Jedes Elemetarereigis ommt gleich oft vor 2 Werde 2 Würfel geworfe, da ist der Ereigisraum Ω {(1,1), (1,2),(6,6)} die Azahl aller mögliche Kombiatioe der Augezahle der beide Würfel; De gleiche Ergebisraum erhält ma, we 1 Würfel 2-mal hitereiader geworfe wird I beide Fälle gibt es 36 Elemetarereigisse Für die Defiitio der Wahrscheilicheit ist u wesetlich, was als Elemetarereigis defiiert wird Im gegebee Beispiel mit X 6, ist X die Ziffersumme aus 2 Würfe oder 1 Wurf mit 2 Würfel Die Wahrscheilicheit p(x6)ist da, A {(1,5);(2,4);(3,3);(4,2);(5,1)}; 5 aaruge erfülle die Bedigug p( X 6) Azahl der Elemetarereigisse mit X Azahlder Elemete vo Ω 6 p( X 6) 5 ; 36 allgemei p(x A) A Ω Bem: Die Azahl der Elemete i eier Mege A wird mit dem Mächtigeitssymbol A geezeichet 2 Zur persöliche Kotemplatio ei ählich gelagertes roblem vo Galilei: Wie groß ist die Wahrscheilicheit bei 3malige Müzwurf die Ziffersumme X 10 zu erziele? ( X 10)??? Historisches: Spieler hatte etdect, dass beim Wurf mit 3 Würfel die Augesumme 10 leichter zu erreiche ist als die Augesumme 9 Galilei ( ) fad dafür die richtige Erlärug Zeige Sie durch Berechug der Wahrscheilicheite der beide Augesumme, welch leier Uterschied durch die Spieler damals bemert worde war

2 ue biostatisti: grudlegedes zur wahrscheilicheit ud ombiatori 2/6 Ei paar Regel für das Reche mit Wahrscheilicheite Ve Diagramm: Diet der graphische Darstellug vo Wahrscheilicheite I der Darstellug schließe sich A ud B icht gegeseitig aus!! A B Ω A B A B Regel 1: Für sich gegeseitig ausschließede Ereigisse gilt: (i) 1 + () 1 + ( 2) ( ) 1 Regel 2: Für beliebige Ereigisse A ud B gilt die allgemeie Additiosregel, ( Aoder B) ( A) + ( B) ( Aud B) Bsp: Die Wahrscheilicheit, dass bei eier zufällige Stichprobe aus der Bevölerug eie erso mälich (m) oder älter als 30 Jahre (A>30) ist, wird demach wie folgt berechet: (m (A > 30)) (m) + (A>30) (m (A>30)) Regel 3: Bei sich gegeseitig ausschließede Ereigisse A ud B gilt die spezielle Additiosregel ( Aoder B) ( A) ( B) + Bsp: Wie groß ist die Wahrscheilicheit, dass i eier Stichprobe aus eier Riderherde ei Exemplar weiblich (w) oder ei Jugstier mit weiger als 2 Jahre ist (J < 2) I der Herde mit 120 Stüc gibt es 85 weibliche Rider ud 21 Jugstiere, die maximal 2 Jahre alt sid (w (J<2)) (w) + (J<2) Regel 4: Häufig ist die Bestimmug der Gegewahrscheilicheit (A) des Ereigisses A leichter als die Bestimmug vo ( A) Da a die Subtratiosregel agewedet werde: Z B ( A) 1 ( A) Regel 5: Für uabhägige Ereigisse gilt die spezielle Multipliatiosregel Uabhägig bedeutet, dass A eie Eifluß auf B hat ud umgeehrt Z B ist die Wahrscheilicheit bei 3 Würfe 3mal hitereiader eie "6" zu werfe gleich 1/6*1/6 *1/6 1/216

3 ue biostatisti: grudlegedes zur wahrscheilicheit ud ombiatori 3/6 ( Aud B) ( A) ( B) Bedigte Wahrscheilicheit (Bayes Statisti) Die grudlegede Fragestellug lautet: Wie hoch ist die Wahrscheilicheit für das Eitrete des Ereigisses A, uter der Voraussetzug, dass B bereits eigetrete ist So ist auch die Schreibweise zu lese: ( A B) (A) wird als a priori Wahrscheilicheit ud (A B), die bedigte Wahrscheilicheit, als a-posteriori-wahrscheilicheit bezeichet ( A B) ( A ud B) ) ( B) oder, zwar aders geschriebe, aber mathematisch idet: ( A B) ( A) ( B A) ( A) ( B A) + ( A) ( B A) Diese Formel ist vielleicht etwas uaschaulich ud verwirred Sie wird sicher larer, we ma sich de Sachverhalt eimal ahad eies umerische Beispieles vor Auge führt (Im Buch "Das Eimaleis der Sepsis vo Gerd Gigerezer gibt es dazu sehr gute Erläuteruge) Nehme wir zuächst ei atuelles Beispiel: I der Ausgabe 4/2004 der Zeitschrift Forum Gesudheit der Salzburger Gebietsraeasse werde i eiem Artiel über Brustrebs-Screeig desse Vorteile i Frage gestellt Die Kriti beruft sich dabei auf Fate, ach dee die Spezifität (Richtig-egativ-Rate) der Mammographie bei 93,5% ud die Sesitivität (Richtig-positiv-Rate) bei 90% liegt Weiters ist beat, dass bei 50 jährige Fraue statistisch bei 1 vo 10 ei Brustrebs erwartet wird Wie hoch ist u der Ateil der positiv getestete Fraue bei eiem Masse-Screeig, ud die Wahrscheilicheit, dass bei eiem positive Test Brustrebs tatsächlich vorliegt? Nehme wir a, i eiem Masse-Screeig werde jährige Fraue getestet, da sieht der darauf aufbauede Etscheidugsbaum folgedermasse aus: jährige Fraue Gesud: 9000 p(g) 09 Errat: 1000 p( G) 01 Gesud ud positiver Test: p( T G) Gesud ud egativer Test: p( T G) Errat ud positiver Test: p( T G) Errat ud egativer Test: p( T G)

4 ue biostatisti: grudlegedes zur wahrscheilicheit ud ombiatori 4/6 Es werde demach isgesamt Fraue positiv getestet Vo diese sid aber ur 900 tatsächlich a Brustrebs errat I der obe verwedete Notatio hieße dies: p(g) 09 Wahrscheilicheit, gesud zu sei p( G) 01 W errat zu sei, bzw icht gesud zu sei p( T G) 010 W für ei egatives Testergebis bei Krae (Nicht Gesude) p( T G) 0065 W für ei positives Testergebis bei Gesude (Falsch positiv) p( T G) 090 W für ei positives Testergebis bei Krae (Sesitivität richtig positiv) p( T G) 0935 Wahrscheilicheit für egatives Testergebis bei Krae (Spezifität richtig egativ) Die Wahrscheilicheit, dass es sich bei de positive getestete Fraue um eie tatsächlich a Brustrebs errate Frau hadelt ist demach icht 100% soder ur 900/( ) 60,6%!! Masse-Screeigs sid daher mit eier gebotee Sepsis zu bewerte, die sich, wie i dem gerade gezeigte Beispiel, quatitativ auf die Agabe der Spezifität, der Sesitivität ud Agabe über die tatsächliche Erraugshäufigeit bzw dere Schätzug stütze muß Die Wahrscheilicheit, dass ei positives Testergebis vo eier gesude erso stammt ist daher: ( G / T ) ( T / G) ( G) ( T / G) ( G) + ( T / G ) ( G ) % Ei weiteres Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheilicheit, bei eiem zweite Wurf mit eiem Würfel eie "6" zu würfel, we der erste Wurf auch eie "6" war ( x 6 x 6) (( x1 x2 ) 6) ( x 6) Das zweite Ereigis ist vom erste Ereigis uabhägig!!

5 ue biostatisti: grudlegedes zur wahrscheilicheit ud ombiatori 5/6 KOMBINATORIK a) ermutatioe ohe Wiederholug:! (Fatorielle) Bsp: wie viele Aordugsmöglicheite der Elemete a,b,c, gibt es? Atwort: 3! 6 verschiedee Möglicheite (abc,acb,bac,bca,cab,cba) mit Wiederholug: we vo Elemete r verschiede sid, r Eizele oder alle Elemete omme mehr als eimal vor w! r! r! r! 1 2 Bsp: Wie viele sechsstellige Zahle sid mit de Ziffer {1,1,1,2,2,3} möglich? A: w 6!/(2!3!1!) 60 b) Kombiatioe Ohe Wiederholug C ( )!!( )! etspricht der Auswahl vo Klasse mit Elemete aus Elemete (Vgl Biomialoeffiziete, ascalsches Dreiec) Bsp: Wie viele Klasse mit 2 Elemete öe aus de 3 Elemete a,b,c, gebildet werde? 3 3 3! A: Es gibt 3 Möglicheite C 2 ( 2 ), diese sid: ab, ac, bc 2!1! Mit Wiederholug we sich eizele Elemete bis zu -mal i eier Kombiatio wiederhole öe Bsp: Aus de Elemete a,b, ( 2, Azahl der für die Auswahl zur Verfügug stehede Elemete) öe folgede Kombiatio zu Klasse mit 3 Elemete gebildet werde: aaa,aab,abb,bbb w C + 1 ( ) ( + 1)!!( 1)! c) Variatioe

6 ue biostatisti: grudlegedes zur wahrscheilicheit ud ombiatori 6/6 Bei Variatioe ist auch die Reihefolge relevat, im Uterschied zu de Kombiatioe, bei dee die Reihefolge eie Rolle spielt Fragestellug: Wie viele Möglicheite gibt es Elemete aus der Ausgagsmege mit Elemete auszuwähle ud i eier Reihefolge azuorde a) Variatioe ohe Wiederholug: ( ) ( )! V! ^ ( )! 1 Alle Elemete der Ausgagsmege uterscheide sich voeiader 2 Es werde eiige Elemete ausgewählt 3 Ei Elemet a icht mehrmals ausgewählt werde Beispiel: Wie viele Möglicheite (Variatioe) gibt es aus eier esoegruppe vo 10 ersoe 3 auszuwähle ud diese i uterschiedliche Reihefolge zu brige? Es gibt isgesamt 10!(3! (10-3)!) 3er Kombiatioe aus 10 ersoe Diese öe i sich jeweils mit 3! permutiert werde, es gibt daher 10!/(10-3)! 720 Variatioe ohe Wiederholug, de jede erso a ur eimal voromme b) Variatioe mit Wiederholug w V 1 Alle Elemete der Ausgagsmege uterscheide sich voeiader 2 Es werde eiige Elemete ausgewählt 3 Ei Elemet a mehrmals ausgewählt werde Beispiel: Toto spiele; Es gibt isgesamt 12 Tipps, Für jede Tipp gibt es 3 Möglicheite Es öe daher 3 12 uterschiedliche (Tipps) Variatioe gebildet werde Im Dezimalsystem gibt es für eie 4-stellige Zahl 10 4 Variatioe etspricht der Azahl der Stelle, der Dezimalzahl, die Azahl der Elemete des Ziffervorrats vo 0 bis 9 - ist die Basis des Zahlesystems Ei Zahleschloss mit 3 Stelle hat demach wie viele uterschiedliche Eistellugsmöglicheite? (Im tägliche Sprachgebrauch als Zifferombiatioe bezeichet, eigetlich hadelt es sich dabei aber um Variatioe mit Wiederholug wie sie u wisse)