Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

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1 Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge

2 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig, jede Zahl hat ihre feste Positio. Die Folge 2,1,4,3, ist eie adere als 1,2,3,4, Eie Folge ist daher eie Abbildug IN IR: Jeder Positio i wird eie reelle Zahl r i zugeteilt. Die Abbildug f() = 2 erzeugt so die Folge der gerade Zahle: 2,4,6,8,. 2

3 Schreibweise f: f() als Schreibweise für Folge f: f als Idexschreibweise f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) f() Meist eifacher: (f ) ϵin oder eifach (f ) Die Klammer ist ötig zur Uterscheidug der Folge zu eiem eizele Elemet f. 3

4 Reihe Oft ist ma a de Differeze der Folgeglieder iteressiert s := f f -1. s defiiert da selbst eie Folge ud es gilt f = sk = k = 1 ( f f 1) + ( f 1 f 2) ( f1 ) (f :=) Die f sid da die Partialsumme der Reihe Beispiel eier Reihe: f = q k = 1 k k = 1 s k 4

5 Rekursiv defiierte Folge Speziell i der Iformatik trete (bei Kosteaalyse) oft rekursiv defiierte Folge auf, bei dee jede Zahl f ach eier feste Vorschrift aus dem Vorgäger f -1 (oder weitere Vorgäger) berechet wird. Wichtig: Festlege der Afags(Start)-Werte, damit die Folge überhaupt eideutig defiiert ist. Beispiele: g 1 = 1, g =2 g -1 für =2,3,4, (Verdoppel) f =1, f 1 =1, f = f -1 + f -2 für =2,3,.. (Fiboacci-F.) h 1 =1, h = h -1 für =2,3, (Fakultät) g: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,, also g +1 = 2 f: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, h: 1, 2, 6, 24,, also h =! 5

6 Wachstum Typisch Awedug vo Folge: Bestimmug der Laufzeit eies Programms für verschiedee Eigabe. Beispiel: Azahl der Vergleiche v zwische je zwei Elemete, die i eiem Sortierprogramm erfolge, um Elemete zu sortiere (Isert-Sort). Bei Laufzeitvergleiche ist isbesodere iteressat, wie sich die Laufzeite für immer größere verhalte. Wachse? Falle? Wie stark? Eie Folge heißt mooto wachsed, we jedes Elemet größer als sei Vorgäger ist: f f -1 für 2. Streg mooto wachsed, falls f > f -1. Etspreched (streg) mooto falled für ud <. 6

7 Schrake Midest- oder Maximallaufzeite sid wichtig, daher sid wir a obere/utere Schrake für usere Folgeelemete iteressiert: Gibt es eie Zahl C ϵ IR mit C f für alle, so et ma C eie obere Schrake. Alle Zahle größer als C sid da atürlich auch obere Schrake. Am iteressateste ist atürlich die kleiste obere Schrake = Supremum: sup f Etspreched heißt ei c ϵ IR mit c f für alle utere Schrake, isbesodere die größte utere Schrake = Ifimum: if f Hat eie Folge sowohl eie obere, als auch eie utere Schrake, so et ma sie beschräkt: < if k=1,2,.. f k f sup k=1,2,.. f k < für =1,2, 7

8 Kovergez I Iteressat ist vor allem, was mit f für große im Grezwert passiert. Gutmütiger Fall: die Folgeglieder kovergiere gege eie Grezwert y, d.h. dass für hireiched großes alle Folgeglieder beliebig ahe bei y liege: ε > : ( ε ) IN : ( ε ) f y < ε Für alle ε> gibt es ei, so dass gilt: aus folgt f -y <ε Zur Erklärug: defiiere ε-umgebug vo y { x IR x } U ε ( y) : = : y < ε Beliebig ahe bei y heißt u, dass für jedes och so kleie ε> die Folgeglieder ab eiem (ε) alle i U ε (y) liege. 8

9 Kovergez II Es dürfe also isbesodere ur edlich viele Folgeglieder außerhalb vo U ε liege! Für kleieres ε muss ma da meist ei größeres (ε) ehme. Kovergez heißt also: : ε > : ( ε ) IN : ( ε ) : y IR f Uε y Es gibt ei y, so dass es für alle ε> ei gibt mit der Eigeschaft: für alle gilt f ϵ U ε (y) ( ) Da heißt y der Grezwert der Folge: y = lim f 9

10 Kovergez III Beispiele: 1 lim = (Wähle ( ε ) : = 1/ ε 1.) lim = 1 (Umforme zu 1 + 1/ 1) ( 1) + lim = 1 ( (-1) / = 1/ ) 1

11 Kovergezkriterium Es gibt verschiedee Sätze, die sich mit Kovergezkriterie beschäftige, z.b.: Eie beschräkte, mootoe (wachsed oder falled) Folge reeller Zahle ist koverget. Der Grezwert ist da geau das Supremum, bzw. Ifimum! 11

12 Beispiele 3+1-Folge: Start mit irgedeiem k>. Ist k gerade: k k/2 Ist k>1 ugerade: k 3k+1 Ist k=1: STOP Beobachtug: Folge edet stets irgedwa mit STOP MATLAB-Programm Fiboacci-Folge beschreibt atürliche Wachstumsprozesse: f = f -1 + f -2 : Größe der -te Geeratio ergibt sich aus de beide Vorgägergeeratioe! Geometrische Reihe: j 1 q q = 1 q + 1 j q < oder 1: q = j= 1 j= 1 1 q 1 12

13 Häufugspukt Die Folge (f ) mit f : = ( 1) + 1 kovergiert icht gege eie Grezwert, aber die Werte 1 ud -1 habe ähliche Eigeschafte wie ei Grezwert: I jeder Umgebug sid uedlich viele Folgeglieder ethalte, aber ebe für beide Werte! Eie Wert mit dieser Eigeschaft (i jeder Umgebug sid uedlich viele Folgeglieder ethalte) et ma eie Häufugspukt der Folge. Ma beachte de Uterschied zwische ur edlich viele Folgeglieder liege außerhalb der Umgebug (Grezwert) ud uedlich viele sid i der Umgebug (Häufugspukt)! 13

14 Existez Eie beschräkte, uedliche Folge reeller Zahle besitzt immer midestes eie Häufugspukt! Beweis durch Itervallschachtelug: Ohe Beschräkug der Allgemeiheit liege die Folge i [,1]. Daher ethält das Itervall [,1] uedlich viele Folgeelemete Da muss eies der beide Teilitervalle [,.5] oder [.5,1] auch uedlich viele Glieder ethalte! Dieses Itervall köe wir da wieder halbiere mit demselbe Ergebis. Daher erzeuge wir auf diese Art ud Weise eie geschachtelte Folge immer kleierer Itervalle, dere Obergreze eie mooto fallede, beschräkte, also kovergete Folge bilde. Grezwert dieser Folge ist ei Häufugspukt! 14

15 Größter Häufugspukt I Vo besoderem Iteresse ist wieder der größte Häufugspukt oder Limes superior der Folge. Dazu betrachte wir zuächst für eie beschräkte Folge (f ) die Folge (g ) mit g = sup f. : m m Wege der Beschräktheit vo (f ) ist auch (g ) beschräkt. Weiter ist (g ) mooto falled(!), also koverget mit Grezwert limsup f : = lim g = limsup Dieser Grezwert ist der größte Wert, für de i jeder Umgebug uedlich viele f liege, also der größte Häufugspukt. m f m 15

16 Größter Häufugspukt II Zum Beweis sid zwei Eigeschafte zu zeige: I jeder Umgebug liege uedlich viele Glieder Kei größerer Wert hat diese Eigeschaft. Dazu überlege wir us, dass für C := limsup x für eie beschräkte Folge (x ) gilt, dass für jedes ε> ur edlich viele x größer als C+ε sid. Wäre uedlich viele Glieder größer als C+ε, so köte ma daraus eie uedliche Folge defiiere mit Häufugspukt! 16

17 Divergez Was passiert, we keie Kovergez vorliegt? Divergez: : ε > : ( ε ) IN : ( ε ) : y IR f Uε y Für alle y ex. ei ε>, so dass für alle gilt: es ex. mit f ϵ U ε (y) als Negatio der Kovergez: y IR : ε > : ( ε ) IN : ( ε ) : f Uε ( y) Es ex. ei y, so dass für alle ε> gilt: es ex. ei, so dass für alle gilt: f ϵu ε (y) Es gibt zwei verschiedee Forme der Divergez: (1) Divergez als Kovergez gege Uedlich (+ oder -) lim f = + : C IR : ( C) IN : ( C) : lim f = : C IR : ( C) IN : ( C) : (2) Divergez durch mehr als eie Häufugspukt: f :=(-1) (1 ud -1) oder g := (-1) (+ ud - ) f f > < C C ( 17 )

18 O-Notatio Wir schreibe eie Folge (f ) jetzt kurz ud eifach z.b. als 2 a Stelle vo 2. I eier Klasse vo Folge O( 2 ) wolle wir Folge zusammefasse, mit eiem bestimmte Divergezverhalte, z.b.:, weil 2, 16 2, weil us ei kostater Faktor egal ist, aber , weil das kleier ist als 3 2. Aber icht 2, weil ma für jedes kostates C ϵ IR ei fide ka mit 2 > C 2. 18

19 Defiitio Mathematisch schreibt ma das so: f O g C >, IN : > : f ( ) : C g Es ex. C> ud, so dass für alle > gilt: f Cg Neu ist das : Die Ugleichug muss icht für alle Glieder gelte, soder erst ab eiem bestimmte Idex (also für sehr große ); edlich viele Ausahme sid erlaubt. Uter der Voraussetzug : g > f O g ) : C >, IN ka ma dies umschreibe : ( > f : g I dieser Form ist das überflüssig: die Folge f /g muss eifach ur beschräkt sei. C 19