Konvergente Folgen. Kapitel Reelle Folgen und Reihen. Motivation: Ein einem Kreis K einbeschriebenes (regelmäßiges) n-eck E n 19/11/99.

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1 Kapitel Kovergete Folge.0 Reelle Folge ud Reihe Motivatio: Ei eiem Kreis K eibeschriebees (regelmäßiges) -Eck E 9//99 approximiert die Fläche des Kreises: =6 Fläche (E ) Fläche(K) falls 0. Die mathematisch präzise Fassug solcher oder ählicher Approximatiosprozesse führt zum Begriff der Kovergez - dem zetrale Begriff der Aalysis. Defiitio.0.0 x R. Da heißt { x x < 0 x := x x 0 der (Absolut)betrag vo x. 38

2 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 39 Offebar ist () x x x (2) x 2 = x 2, d.h. x = x 2 Satz.0. Die Abbildug : R R, x x, hat folgede Eigeschafte N: x 0, x = 0 x = 0 N2: x y = x y N3: x + y x + y. N3 ist die sogeate - Ugleichug ( Dreiecksugleichug ). y x x + y Grob gesproche ist die Aalysis die Theorie der - Ugleichug. Beweis : N: x = x 2. N2: Πx y 0. Ist x y > 0 so ist x y = x y = ( x) ( y) = x y. Ist x y < 0 so ist x y = (x y) = ( x) y = x ( y) = x y. N3: x+y 2 = (x+y) 2 = x 2 +2 x y+y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. Da das -ziehe mooto ist, folgt x + y x + y. Folgerug.0.2 () 0 = 0, =

3 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 40 (2) x = x (3) x = x (4) x = x falls x 0 (5) x c c x c (6) x y x ± y x + y. Die Eigeschaft (6) ist die sogeate verschärfte -Ugleichug ; ihr Beweis beruht auf dem Fudametaltrick der Aalysis: x = x + (y y) = (x + y) + ( y) x + y + y, d.h. x y x + y I dem ma x ud y vertauscht, fidet ma y x y + x also x y x + y. Idem ma y durch y ersetzt, folgt x y x y x + y. Mit Hilfe des Absolutbetrages ka ma de Abstad zweier reeller Zahle messe: Satz.0.3 Die Abstadsfuktio d : R R R, (x, y) d(x, y) := x y hat folgede Eigeschafte: M: d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y M2: d(x, y) = d(y, x) M3: d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Außerdem ist sie traslatiosivariat, d.h. d(x + a, y + a) = d(x, y) für alle a R. Defiitio.0.4 X Mege, α : N X. Da heißt α eie X F olge mit dem -te Folgeglied α := α().

4 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 4 Ist X = R so spricht ma vo eier reelle Folge. Häufig werde Folge auch als (uedliche) Tupel geschriebe: α = (α ) = (α ) 0. WARNUNG: F olge {F olgeglieder}. α = N {} N R aber {α N} = {}. Defiitio.0.5 α : N R reelle Folge, a R. a Grezwert vo α ( α kovergiert gege a) : Zu jedem 0 < ε R gibt es ei N = N ε N so dass der Abstad α a < ε sofer N ε. Kovergez bedeutet icht, dass irgedei Folgeglied α mit dem Grezwert a übereistimme muss. Kovergez bedeutet, dass i dem offee Itervall (a ε, a + ε) egal wie ε > 0 gewählt ist, fast alle Folgeglieder liege, außerhalb aber höchstes edlich viele. hier fast alle α ( ) a ε a a + ε hier höchstes edlich viele α ud zwar egal, wie ε > 0 gewählt. Lemma.0.6 Eie reelle Folge α : N R hat höchstes eie Grezwert a. Ma schreibt da a = lim α oder α a. [HS] x R so dass x ε für alle ε > 0. Da ist x = 0. Beweis des Lemmas: a, a Grezwerte, ε > 0. Da gibt es N, N N so dass α a < ε 2 sofer N =alle bis auf edlich viele Ausahme α a < ε 2 sofer N

5 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 42 Für N + N ist da a a = a α + α a a α + α a < ε 2 + ε 2 = ε, d.h. a = a ach [HS]. EX: 23//99 [] Für α := cost. = { c R gilt lim α = c. = 0 [2] Für A R,α := A > 0, gilt lim α = 0. Beweis : α 0 = A A für. Zu ε > 0 existiert ach Archimedes ei N N + so dass d.h. N impliziert also α 0. KRITERIUM: β : N R, b R, c 0 so dass A ε < N, α 0 A < ε, β b c für fast alle. Da ist b = lim β. [3] Für x <, α := x gilt lim x = 0 x x Beweis : Œ x 0. x < x = + h, h > 0. Nach Beroulli ist x 0 = x = x = ( + h) + h h

6 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 43 für, also lim x = 0 ach dem Kriterium. [4] α := + ( ) kovergiert icht 2. Beweis : Ageomme a R ist Grezwert vo α. Zu ε = 2 ei N so dass α a < sofer N. 2 gibt es da Ist N, gerade, so ist α a = 2 a < 2, d.h. 3 2 < a < 5 2, ist dagege N, ugerade, so ist α a = 0 a < 2, d.h. 2 < a < 2, ei Widerspruch. { = 0 [5] Für x > 0, α :=, gilt lim α x > 0 =. Beweis : Sei x : x = + h, h 0 geeiget. Beroulli: x + h, d.h. h x,. Damit x = h x für also lim x = ach Kriterium. Sei 0 < x < : x = +h, h geeiget. Beroulli: h x x Damit x = + h = h h x + h x, also lim x = { ach Kriterium. = 0 [6] Für α :=, gilt lim α > 0 = Beweis : α = + h, h 0 Beroulli-Trick versagt. = ( + h ) + ( ) h + ( ) h 2 2 ( ) h 2 2 d.h. h für 3. Zu ε > 0 gibt es ach Archimedes ei N N so dass 3 < N ε 2 3 Für N + 3 ist da α = h < ε, d.h. α. Satz.0.7 : x <, s (x) = + x + x x. Da ist lim s (x) = x. Beweis : s (x) = x+ x = x x+ x also s (x) x = x + x x x cost für ach EX [3]. 2 =divergiert

7 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 44 Bemerkug.0.8 : Die Mege R N der reelle Folge α : N R ist auf atürliche Weise eie R-Algebra mit, d.h. ist die kostate Folge =, (α ), (β ) R N, λ R so ist (α )± (β ) := (α ± β ) λ (α ) := (λ α ) ( )(α ) = (α ) wieder eie reelle Folge. Überdies ist R N partiell geordet : (α ) (β ) : α β für alle ud mit (α ) gehört auch die Folge der Beträge zu R N. (α ) := ( α ) Stabilitätseigeschafte ( Die Glorreiche 8 ) () (α ) koverget Es gibt ei C 0 so dass α C für alle. (2) α a, α = β für fast alle β a. (3) α a, β b, λ R α ± β a± b, λα λa. (4) α a, β b, b 0, β 0 für alle α β a b. (5) α a α a. (6) α a, a 0 Es gibt ei C > 0 so dass α C für fast alle. (7) α a, β b, α β für fast alle a b. (8) α γ β für fast alle, α a, β a γ a. Beweis der Stabilitätseigeschafte: (): α a. Zu ε = gibt es ei N N so dass α a < für alle N. Für diese ist da α = α a + a < + a, also α C := max{ + a, α 0, α,..., α N }

8 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 45 für alle. (2): Zuächst gibt es ei N N so dass α = β für alle N. Da α a gibt es zu ε > 0 ei N so dass α a < ε sofer N, also β a < ε sofer max{n, N }. (3): Exemplarisch: α β a b α β a b = α β β a + β a ab β α a + a β b. Nach () gibt es ei C 0 so dass β C für alle 0, also α β a b A( α a + β b ) wobei max{c, a } = A. Zu ε > 0 gibt es u N, N N so dass also α a < β b < ε 2A +, N ε 2A +, N α β a b < ε sofer max{n, N }. (5): α a α a (6): Zu ε := 2 a gibt es ei N N, so dass α a < 2 a für alle N, also für N α a α a < 2 a. Dies ist gleichbedeuted mit 2 a < α a < 2 a d.h. α > C := a für alle N. 2 (7): Sei γ := β α, c := b a. Es gilt γ 0 für N, γ c. Ageomme c < 0. Da gibt es zu ε := 2 c ei N N so dass γ c < 2 c für alle N, also 2 c < γ c < 2 c ud damit γ < c + 2 c = 2 c < 0, ei Widerspruch. (8): α a γ a β a, isbesodere α a γ a β a, also γ a max{ β a, α a } < ε für N (siehe (2)). (4): α β a b = β α b b a b + a b a β β α a + a β β b b. Da b 0, gibt es ei C 0, N N so dass β, a C für alle N β b

9 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 46 also α a β b C α a + C β b für alle N. Daher gibt es zu ε > 0 ei N N so dass α a β b < ε für alle max{n, N } (vgl.(3)). WARNUNG: α a, α > 0 i.a. a > 0 (soder ur a 0). α > 0 aber lim α = 0. EX: [] { = 0 α :=. α := = 2 +. Weder die Folge im Zähler och die im Neer kovergiert, aber für ist α = + 0 = 0. 2 [2] x, y R x y := max{x, y} = (x + y + x y ) 2 α a, β b α β a β x y := mi{x, y} = (x + y x y ) 2 Aufgrud der Stabilitätseigeschafte des Kovergezbegriffes ist die Mege Ϝ kov := {α R N α koverget} auf atürliche Weise ei R-Vektorraum (vgl. VL Lieare Algebra ) ud die Limesbildug α lim α eie lieare Abbildug Der ker dieser Abbildug lim : Ϝ kov R ker(lim) := {α Ϝ kov lim α = 0} ist gerade der Utervektorraum der NULLFOLGEN.

10 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 47 Defiitio.0.9 α : N R () α beschräkt : {α N} beschräkt, d.h. es existiert ei c 0 so dass α c für alle. (2) α mooto steiged (falled) : α + α für fast alle ( α + α für fast alle ) Mooto steigede Folge werde mit α, mooto fallede Folge mit 24//99 α bezeichet. Theorem.0.0 α : N R mooto ud beschräkt. Da hat α eie Grezwert ud es gilt: { sup α α lim α := if α α. EX: [] Eulersche Zahl e = 2, { 2 = 0 e := ( + ) { e 4 = 0 := ( + + ) klar: 2 e e 4 für alle. e : e ( + = + ) ( e + ( + ) ( 2 + ) ( ) + ( + ) 2 + ( + ) 3 > ) e : e e = > = ( + ) ( + ( 2 ) ( ) ( + + ) )

11 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 48 also 2 = e 0 e < e 2 <... < e < e < e... < e = e 0 = 4 2 lim e = sup e 4 2 lim e = if e 4 e = e + e 2 e := lim e = lim e 4. [2] Natürlicher Logarithmus, x > 0 { x = 0 λ (x) := ( x ) > 0 () λ ( x) = x λ (x), > 0 (2) λ (x y) = λ (x) + λ (y) + λ (x) λ (y) (3) λ (x) < λ (y) falls x < y (4) λ () = 0 S Die reelle Folge (λ (x)) kovergiert für jedes x > 0. log : R + R, x log x := lim λ (x) ist der sogeate atürliche Logarithmus. Beweis : Da x, Œ x >. Für diese x ist λ (x) 0. λ λ = (y + ) ( + )(y ), x = y (+), y >. = y (y ) (y ) = y (y ) (y )(y + y ) = (y ) [ (y y ) + (y y 2 ) (y ) ] > 0. Damit ist λ λ + 0, also existiert lim λ (x) = if λ (x) Theorem.0. Der atürliche Logarithmus hat folgede Eigeschafte: log : R + R, x lim λ (x),

12 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 49 L log x y = log x + log y L2 log x < log y für x < y L3 log e =, log = 0 L4 x log x x Folgerug.0.2 log x = log x log x p q = p q log x für alle p q Q x log x ijektiv. Folgerug.0.3 log : (R x, ) (R, +) Homomorphismus vo abelsche Gruppe. Später: log ist sogar ei Isomorphismus. Beweis des Theorems: L: λ (x y) = λ (x) + λ (y) + λ (x) λ (y) L2: x < y y = A x, A >, log A > 0. L3: e e e + log ( + L4: λ = x > x + λ log ( x ) ( ) log e ( + ) log + + ) x log x x. x- log x e Defiitio.0.4 α, α : N X Folge. α Teilfolge vo α : Es gibt eie streg mooto steigede Folge ϕ : N N atürlicher Zahle, so dass α = α ϕ, mit adere Worte α = α ϕ(). Ist ϕ id so heißt α eie echte Teilfolge vo α.

13 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 50 Satz.0.5 α : N R reelle Folge äq (i) α koverget (ii) Jede echte Teilfolge vo α ist koverget ud sämtliche Grezwerte dieser Teilfolge stimme überei. Theorem.0.6 (Satz vo Bolzao 3 -Weierstraß 4 ) Jede beschräkte Folge reeller Zahle besitzt eie kovergete Teilfolge. [HS] Jede Folge reeller Zahle besitzt eie mootoe Teilfolge. Beweis des HS: 30//99 α : N R, s N. s Spitze vo α : α α s für alle s. S := {s N s Spitze vo α}. s s + s + 2 s + 3 s + 4 Ist S uedlich, so gibt es Spitze s 0 < s < s 2 < s 3 <.. < s k <.. also α s0 α s α s2 α s3... ud (α sk ) k 0 ist eie mooto fallede Teilfolge vo (α ). Ist S dagege edlich, defiiere { 0 S = 0 := max S + S Da gibt es ei 0 so dass α > α 0, isbesodere > 0. ist ebefalls keie Spitze, daher gibt es ei 2 so dass α 2 > α, isbesodere 2 >. Nach Iduktio existiere 3 Berhard Bolzao (78-848), ital. Mathematiker 4 Karl Weierstraß (85-897), deutscher Mathematiker

14 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 5 0 < < 2 < 3 <.. < k <.. so dass α 0 < α < α 2 <.. d.h. (α k ) k 0 ist eie (streg) mooto steigede Teilfolge vo (α ). Defiitio.0.7 α : N R reelle Folge. α Cauchy 5 -Folge : Zu jedem ε > 0 gibt es ei N N so dass für alle, m N. α α m < ε Lemma.0.8 () Jede CF ist beschräkt. (2) Jede kovergete Folge ist eie CF. WARNUNG: Selbst we der Abstad zweier aufeiader folgeder Folgeglieder beliebig klei wird, ist die Folge im allgemeie keie Cauchy-Folge: s 0 := 0, s := ,. s + s = + 2 k < 2 k+ m s m s 2 k k+ 2 k = 2 k+ 2 k+ 2. Theorem.0.9 α : N R reelle Folge äq (i) α koverget (ii) α Cauchy-Folge. Beweis : (i) (ii) :.0.8 (ii) (i): Nach.0.9 ist (α ) beschräkt ud besitzt deshalb eie kovergete Teilfolge α k α. Zu ɛ > 0 gibt es ei N 0 sodass α α α α k + α k α. α k α < ɛ 2, k N 5 Auguste Cauchy ( ), fraz. Mathematiker

15 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 52 α α m < ɛ 2,, m N Für k N ist k N, also α α < ɛ für N. Bemerkug.0.20 Eie ratioale Cauchy-Folge α : N Q hat i.a. keie Grezwert i Q : [ 2] 2 Q. EX: [] Goldee Zahl x 0 :=, x + := + x, 0 Iduktio: () 3 2 x 2 für x. (2) x +k x ( ) 4 9 x x 0 4 ( 4 9 (x ) ist damit CF, x := lim x, x = + x oder x2 x = 0 x = 2 ± 2 5 Da x 3 2 ist auch x 3 2, d.h. x = 2 ( + 5). ) [2] Allgemeie Potez p a > 0, 0 q Z, q Q a q := { a a q > 0 a a q < 0 a p q := (a p ) q = (a q ) p. Eigeschafte: r, s Q, a, b > 0 () a r a s = a r+s (2) (a r ) s = a r s (3) a r b r = (a b) r (4) Für r < s ist a r < a s falls a > a r > a s falls a < (5) Für < a ist a r a s a max{r,s} ( a r s ).

16 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 53 [HS] Zu jedem x R gibt es ratioale Folge x x ud x x. Beweis : [x] x < [x] +. Die beide äußere Folge besitze mootoe Teilfolge, die otwedigerweise mooto steiged bzw. mooto falled gege x kovergiere. S a > 0, x R, x, x Q so dass x x, x x. Da sid (a x ) ud (a x ) Cauchy-Folge ud ihre Grezwerte stimme überei: lim a x = lim a x. Zusatz: lim a x > 0. Beweis : Œ a >. Da existiert ei M N so dass x, x M für alle, isbesodere ( ) a x a x m a M a x x m, N ε a M. Zu ε > 0 gibt es ei p N + so dass a p = p a < Da x x, x m x gibt es ei N N so dass x x m < p für alle, m N, d.h. a x a x m < ε,, m N. Für xm = x m folgt, dass sowohl (a x ) als auch (a x m ) CF sid. y := lim a x, y := lim a x m existiert. y y y a x + a x a x m + a x m y < 3 ε für, m N N geeiget, d.h. y = y. Zusatz: x 0. x x, x x, x Q a x, also auch lim a x. x < 0. y x, y x, y Q a y, also lim a y d.h. lim a y = lim a y > 0. Defiitio.0.2 : a > 0, x R. a x := lim a x, x x, x Q. S Die Abbildug R R +, x a x hat folgede Eigeschafte: () a x+y = a x a y (2) a x y = (a x ) y (3) a x < a y falls x < y, < a a x > a y falls x < y, > a.

17 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 54 a< a> Beweis :()-(2) Stabilität des Limes. a > : y = x + h, h > 0. Wähle m N +, h Q so dass m h < h, h h. Da ist < m a a h, also lim a h = a h > ud damit a y = a x a h > a x. Folgerug: () log(e x ) = x, e log y = y (2) a x = e x log a (3) (R +, ) log (R, +) Isomorphismus abelscher Gruppe. Beweis : x x x, x, x Q, x, x x. Da ist für a > ud damit a x a x a x x log a log a x x log a, d.h. x log a = log a x. Für a = e folgt x = log e x. Da log ijektiv, folgt aus log e log y = log y, y = e log y. Theorem.0.22 Es gibt geau eie Abbildug λ : R + R mit L λ(x y) = λ(x) + λ(y) L2 λ(x) < λ(y) für x < y L3 λ(e) = ämlich λ = log.

18 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 55 [HS] ψ : R R so dass () ψ(x + y) = ψ(x) + ψ(y) (2) ψ(x) ψ(y) für x y Da ist ψ(x) = ψ() x, ψ() 0. Beweis des Hilfssatzes: Nach () ist ψ(2) = ψ() + ψ(). Mit (2) folgt 0 ψ(2) ψ() = ψ() =: A ud ψ(2) = 2 A. Mit Iduktio folgt ψ() = A für alle N +. ψ(0) = ψ(0 + 0) () = ψ(0) + ψ(0) ψ(0) = 0 0 = ψ(0) = ψ( + ( )) = ψ() + ψ( ) ψ( ) = ψ() = A, N +, isgesamt ψ(q) = q A für alle q Z. p q Q p = q p q = () ψ(p) = ψ q p q = q ( ) p ψ = q ψ q = ( ) p = ψ(p) q q = p A, q ( ) p q d.h. ψ(x) = x A, x Q. x, x Q, x R s.d. x x, x x A x = ψ(x ) ψ(x) ψ(x ) = A x, also ψ(x) = lim A x = ψ() x. Beweis des Theorems: () x ψ(x) := λ(e x ) geügt dem [HS] mit ψ() =, d.h. λ(e x ) = x, isbesodere ( λ e λ(x)) = λ(x), d.h. e λ(x) = x, da λ ijektiv. Beachte: e x > 0 für alle x ud daher ist λ(e x ) defiiert. (2) Sowohl λ als auch log sid Umkehrabbilduge zu x e x, also λ = log.

19 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 56 Defiitio.0.23 : (a ), (s ) reelle Folge () ((a ), (s )) uedliche Reihe mit -tem Reiheglied a ud -ter Partialsumme s : s = a a = a k für alle. k=0 (2) ((a ), (s )) kovergiert: (s ) kovergiert. Üblicherweise wird sowohl die Reihe ((a ), (s )) als auch dere möglicher 3/2/99 Grezwert mit bezeichet, da die Folge der Partialsumme (s ) die Reihe festlegt: a = s s. EX: [] x < Die geometrische Reihe hat de Grezwert [2] Die harmoische Reihe divergiert: [3] Die Reihe 0 s 2k = ( k 0 0 a k x x = x k ) ( k ) 2 k ( + ) kovergiert gege ( Teleskopsumme ): s = k= k(k + ) = k= 2 k + k 2. ( k ) = k + +

20 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 57 [4] Die Zeta-Fuktio ζ(s) := s kovergiert für s > ud divergiert für s. also ζ (s) ζ 2 (s) = + Bemerkug: 2 = ( + ) + ( 2 s + ) ( ) 3 s ( )s (2 ) s k 0 2 ( s)k = 2 ( s) () k N +, ζ(2k) = π 2k r k, r k Q, z.b.ζ(2) = π2 6. (2) ζ(3) Q ; ob ζ(5) ratioal oder irratioal ist, ist ubekat. (3) Die ζ-fuktio ist wesetlich beim Beweis des Primzahlsatzes: Satz.0.24 äq (i) k 0 a k koverget #{p N p prim} x log x. (ii) Zu jedem ε > 0 gibt es ei N N so dass, m N, m. m a k < ε für alle k= Folgerug.0.25 a k koverget (a ) Nullfolge. k 0 Ist (a ) eie Nullfolge, so braucht 0 a icht otwedig zu kovergiere. Satz.0.26 (Leibiz 6 ) a 0, a 0 0( ) a kovergiert. 6 Gottfried Wilhelm Leibiz (646-76), deutscher Uiversalgelehrter

21 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 58 Beweis : Sei s = ( ) k a k. Aus a k a k+ für alle k folgt k=0 s 2+2 s 2 = ( ) 2+ a 2+ + ( ) 2+2 a 2+2 = a 2+ + a 2+2 0, also (s 2 ), aalog s 2+3 s 2+ = a 2+2 a 2+3 0, also (s 2+ ) außerdem s 2+ = s 2 a 2+ s 2, also für alle gilt s s 3... s s 2 s s 2 s 0. Da (s 2+ ) mooto wachsed ud ach obe beschräkt (z.b. durch s 0 ) ud (s 2 ) mooto falled ud ach ute beschräkt (durch s ), existiere s = lim s 2+ ud s = lim s 2. Adererseits folgt mit STAB s = lim s 2+ = lim s 2 lim a 2+ = s 0 = s. Isgesamt folgt s = lim s. EX: ( ) kovergiert. Defiitio.0.27 Lemma a kovergiert absolut : 0 0 Kriterium.0.29 äq (i) 0 a kovergiert absolut a kovergiert. a kovergiert absolut i.a 0 a kovergiert. (ii) Es existiert ei c 0 so dass Mege E N. E a c für jede icht-leere edliche Beweis : A := a k, A. k=0 Daher kovergiert (A ) geau da, we es ei c 0 gibt mit A c.

22 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 59 0 Folgerug.0.30 (Allgem. Kommutativgesetz) a absolut koverget, π Aut(N). Da kovergiert auch die umge- ordete Reihe absolut ud die Grezwerte stimme überei. 0 a π() 0 a ud 0 a π() Beweis : Ist E N edlich, so ist a π() = a m c. E m π(e) s := lim a k, s := lim a π(k), ε > 0. k=0 k=0 Da gibt es ei N N so dass für alle N s a π(k) < ε 3 s k=0 a π(k) < ε 3 k=0 a k < ε 3 k Da π Aut(N) gibt es ei M N so dass {0,,... N} {π(0),..., π(m)}. Daher ist s s N s N M M a k + a k a π(k) + a π(k) s k=0 k=0 k=0 k=0 < ε 3 + a π(k) + ε 3 < ε π(k)>n

23 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 60 Bemerkug.0.3 (ohe Beweis) Kovergiert 0 bedigt, d.h. kovergiert aber kovergiert icht absolut, so gibt es zu jeder reelle Zahl A R ei π Aut(N) so dass a A = 0 a π(). Bemerkug.0.32 (Kovergezkriterie) () Majoratekriterium 7/2/99 c koverget, c 0 für fast alle, a c für fast alle. 0 Da kovergiert 0 a absolut. (2) Quotietekriterium 0 <, (a ) so dass (i) a 0 für fast alle (ii) a + a für fast alle. Da kovergiert 0 a absolut. (3) Wurzelkriterium 0 <, (a ) so dass a für fast alle. Da kovergiert 0 a absolut. EX [] log( + ) 2 log( + ) 2 2 = kovergiert (absolut), da 3 2 ud ξ ( ) 3 2 kovergiert.

24 KAPITEL. KONVERGENTE FOLGEN 6 [2] [3] a k+ a k = 2 k 0 k 2 kovergiert (absolut) ach QK; 2k ( + k ( ) 2 + ) 2 ( + ) 2 = 8 =: < für k ( ) a = + 2 kovergiert (absolut) ach WK; ach Beroulli. Warug: [] Weder aus a + a Kovergez vo 0 a : < für alle och aus a < für alle folgt die divergiert. [2] Aus der Kovergez vo a, a 0, folgt weder die Existez eies 0 0 < so dass für fast alle och die Existez eies a + a 0 < so das a für fast alle : kovergiert, aber 2 ( ) sup a + 2 a = sup =, sup a = sup + ( ) 2 =. [3] Aus a + a für fast alle folgt stets Divergez, ebeso aus a für fast alle, de da ka (a ) keie Nullfolge sei.