TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Transkript

1 Prof. Dr. R. Köig Dr. M. Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Z8.. Kriterie für strege Mootoie Mathematik für Physiker 2 (Aalysis ) MA9202 Witersem. 207/8 Lösugsblatt W ( ) Jede stetige, ijektive Fuktio f : [a, b] R ist streg mooto (wachsed oder falled). Wege der Ijektivität gilt f(a) f(b). Ohe Eischräkug ehme wir f(a) < f(b) a ud zeige streg mootoes Wachstum vo f. Aahme: f ist icht streg mooto wachsed. Da gibt es, y [a, b] mit < y ud f() f(y). I jedem der folgede Fälle wird ei Widerspruch zur Ijektivität kostruiert:. Fall. f() f(a) ud f(y) f(a). Da ist f(y) [f(a), f()]. Nach dem Zwischewertsatz gibt es da ei z [a, ] mit f(z) = f(y). 2. Fall. f() f(a) ud f(y) < f(a). Da ist f(a) [f(y), f()]. Nach dem Zwischewertsatz gibt es da ei z [, y] mit f(z) = f(a). 3. Fall. f() < f(a). Da ist f() [f(y), f(b)]. Nach dem Zwischewertsatz gibt es da ei z [y, b] mit f(z) = f(). Z8.2. Stetigkeit ud Limes Sei D R, ξ D ei Häufugspukt vo D ud f : D R eie beliebige Fuktio. Da gilt: f ist stetig bei ξ f() = f(ξ). = : Sei f stetig i ξ. Da gilt also für jede Folge ( ) D mit ξ, dass f( ) = f(ξ) ist. Da ξ ei Häufugspukt vo D ist ud isbesodere auch für jede Folge ( ) D \ {ξ} mit ξ gilt, dass f( ) = f(ξ) ist, folgt scho, dass f() = f(ξ) ist. = : Gelte f() = f(ξ). Sei ( ) D eie beliebige Folge mit ξ. Zu zeige ist f( ) = f(ξ). Wäre ξ für alle N so köte wir dies sofort folger. Etwas umstädlich köe wir das so erreiche: Sei ( ) D \ {ξ} mit ξ. Setze u {, falls ξ, := falls = ξ. Da gilt also f( ) = f(ξ). Da per Kostruktio f( ) f(ξ) f( ) f(ξ) immer erfüllt ist, folgt auch f( ) = f(ξ). Z8.3. Stetigkeit der Umkehrfuktio Sei f : [a, b] R stetig ud streg mooto wachsed. (a) f : [a, b] [c, d] mit c := f(a) ud d := f(b) ist bijektiv. (b) Die Umkehrfuktio f : [c, d] [a, b] ist streg mooto wachsed ud stetig.

2 (a) Aus streg mooto wachsed folgt ijektiv. Zur Surjektivität. Sei z [c, d]. Wege f(a) z f(b) gibt es ach dem Zwischewertsatz ei [a, b] mit f() = z. Also ist f auch surjektiv. (b) Die Umkehrfuktio f : [c, d] [a, b] ist bijektiv. Sei, y [c, d], da sid u = f (), v = f (y) i [a, b]. Aus < y folgt sofort, dass u < v, aderfalls, ämlich u v, wäre = f(u) f(v) = y, also ist f streg mooto wachsed. Für die Stetigkeit sei ( ) eie beliebige Folge i [c, d] mit [c, d]. Zu zeige ist f ( ) f (). Mit = sup{ k k } ud = if{ k k } gilt: ( ) ist mooto falled, ( ) ist mooto wachsed, ud beide Folge kovergiere gege. Also ist (f ( )) mooto wachsed ud beschräkt durch f () ud somit koverget, f ( ) =: y f (). Wäre u y < f (), so hätte wir = f(f ( )) f(y) < f(f ()) = im Widerspruch zu. Also gilt f ( ) f (). Geauso zeigt ma, dass f ( ) = f (). Wege f ( ) f ( ) f ( ) folgt, dass f ( ) = f (), d.h. f ist stetig auf [c, d]. Präsezaufgabe P8.. Isolierte Pukte Sei M ei metrischer Raum ud D M. M heißt isolierter Pukt vo D, we es ei δ > 0 gibt, so dass B δ () D = {} ist. Zeige sie: M ist geau da ei isolierter Pukt vo D, we ei Berührpukt, aber kei Häufugspukt vo D ist. = : Sei ei isolierter Pukt vo D. Wähle also δ > 0, so dass B δ () D = {}, also ist D, ist also Berührpukt vo D, da die kostate Folge = trivialerweise gege kovergiert. ist kei Häufugspukt vo D, sost würde für jede Umgebug U vo gelte, dass (U \ {}) D ist. Nu ist aber B δ () eie Umgebug vo ud wir habe (B δ () \ {}) D =. = : Sei ei Berührpukt, aber kei Häufugspukt vo D. Weil kei Häufugspukt ist, gibt es ach Defiitio eie Umgebug U vo, so dass (U \ {}) D = ist. Da U eie Umgebug vo ist, gibt es ei ɛ > 0, so dass B ɛ () U ist. Daher gilt auch (B ɛ () \ {}) D =, bzw., B ɛ () D {}. Es bleibt D zu zeige: Da ei Berührpukt vo D ist, gibt es eie Folge ( ) D mit. Es gibt also ei N N, so dass N : d(, ) < ɛ. Wege (B ɛ () \ {}) D = folgt = für alle N, ud damit D. P8.2. Grezwertkalkül (a) Seie D R, ξ R ei Häufugspukt vo D, f : D R eie Fuktio mit Grezwert f() = η ud g : R R stetig i η. Da gilt: g(f()) = g(η). (b) Seie D R ach obe ubeschräkt, f : D R eie Fuktio mit dem Grezwert f() = η R ud g : R R stetig i η. Da ist g(f()) = g(η). (c) Gilt f() = für ξ R oder ξ = ±, so ist g(f()) = g(y), falls die y rechte Seite im eigetliche oder ueigetliche Sie eistiert. (d) Awedug: Bereche sie für k N die Grezwerte k e, log() k, 0 k log().

3 (a) Sei ( ) D \ {ξ} mit ξ beliebig. Nach Voraussetzug gilt also f( ) = η. Wege der Stetigkeit vo g i η gilt da auch g(f( )) = g ( f( ) ) = g(η). Also folgt die Behauptug, g(f()) = g(η) (b) Sei u ( ) D eie beliebige Folge mit. Nach Voraussetzug ist wieder f( ) = η. Wie i (a) erhält ma g(f( ) ) = g ( }{{} f( ) ) = g(η). η (c) Wir köe die Fälle ξ R ud ξ = ± gemeisam behadel. Dazu wähle wir eie beliebige Folge ( ) D \ {ξ} mit ξ (eigetlich oder ueigetlich). Nach Voraussetzug ist da die Folge (f( )) N ueigetlich koverget gege.. Fall: g(y) = z R. D.h. für jede Folge (y ) R mit y gilt g(y ) z. y Isbesodere also auch g(f( )) z. Somit gilt g(f()) z. 2. Fall: g(y) =. D.h. für jede Folge (y ) R mit y gilt g(y ). y Isbesodere also auch g(f( )). Somit gilt g(f()). (d) k e = e k e = y y = 0, da k log() k = k k log() = k y e k log y e y k log() = e k log log = 0 0 da 0 log =. P8.3. Zwischewertsatz = ist, = 0, da k log = ist. e k y y = y z e k z z = z z e k z, Jedes reelle Polyom vo ugeradem Grade hat midestes eie Nullstelle i R. Sei p() = a k k, a 0,..., a R, a 0 ud ugerade. O.E. sei a > 0. Als Polyom k=0 ist p stetig. Für 0 gilt p() = ( a + a + a a 0 ). Der Ausdruck i der Klammer kovergiert für ± gege a > 0. Somit gilt p() = ±. Es gibt also ei mit p( ) < 0 ud ei + mit p( + ) > 0. Nach ± dem Zwischewertsatz gibt es ei 0 (, + ) mit p( 0 ) = 0.

4 Hausaufgabe H8.. Ustetigkeit der Umkehrfuktio (a) Sei D R beliebig, f : D [a, b] stetig ud bijektiv. Gebe Sie ei Beispiel dafür a, dass f icht streg mooto sei muss. (b) Sei D R beliebig, f : D [a, b] streg mooto steiged ud stetig. Gebe Sie ei Beispiel dafür a, dass die Umkehrfuktio vo f icht stetig sei muss. (a) D := [, ) \ {0} { 3 2, 2}. Die Fuktio, für [, 0), +, für (0, ), f() =, für = 3 2,, für = 2. erfüllt alle geforderte Eigeschafte, wie ma sofort a Had des Graphe erkee ka:.0 f() (b) f : (, [0, ) [2, 3] [0, 2] mit f() = {, für [0, ),, für [2, 3], ist stetig. Die Umkehrfuktio ist f : [0, 2] [0, ) [2, 3] mit { f, für [0, ), () = +, für [, 2]. Sie ist offebar ustetig bei =. f() 2 f (-) ()

5 H8.2. Grezwerte ud Stetigkeit Bereche Sie die folgede Grezwerte mit Hilfe der Stetigkeit ud der Asymptotike vo ep ud log oder mit adere Mittel. (a) (, (b) ) (, (c) ) (!, (d) + ) 2. (a) (b) ( = e log ( ) log = ep( log ) = ep(0) =, da ) = e log 0 für. ( ) = ep( log ) = ep( log ) = ep(0) =. (c) Wir erier us das der Kovergezradius der Epoetialreihe! gleich ist =0 (mit Quotietekriterium). Nach dem Wurzelkriterium muss daher sup! = 0 ud wege! > 0 ud dem Eischließugskriterium auch! = 0 gelte. (d) Für a = + 2, b = gilt a 2, b. Nu ist ( ) ( ) ab = e b log a = e b log a = e log 2 = 2, wege der Stetigkeit vo ep ud log. ( ) ep ist stetig. H8.3. Zwischewertsatz Zeige Sie: (a) Die Gleichug = besitzt eie Lösug i R. (b) Jedes stetige f : [0, ] [0, ] besitzt eie Fipukt, d.h. es gibt ei [0, ] mit f() =. (a) Wir betrachte die Fuktio f() = , die auf gaz R defiiert ud 4 + stetig ist, da die Wurzelfuktio auf R + stetig ist. Nu ist f(0) = 2 > 0 ud 0 f(2) = 7 2 < 0. Nach dem Zwischewertsatz besitzt f eie Nullstelle 0 i (0, 2), 0 ist also eie Lösug der Gleichug.

6 (b) Sei g() = f(), da ist auch g stetig. Weiter ist g(0) [0, ] ud g() [, 0], also g(0) g(). Nach dem Zwischewertsatz gibt es also ei 0 [0, ] mit g( 0 ) = 0, bzw. f( 0 ) = 0. H8.4. ( ) Mootoe Fuktioe ud Stetigkeit Eie mooto steigede Fuktio f : (a, b) R besitzt i jedem Pukt ihres Defiitiosbereichs rechts- ud liksseitige Grezwerte. Sei (a, b), ( ) eie Folge i (a, ) mit. Da ist = if{ k : k } eie mooto steigede Folge, mit = if =. Nu ist auch f( ) mooto steiged ud beschräkt durch f(), also koverget, y := f( ). Für die ursprügliche Folge ( ) kovergiert f( ) auch gege y, de zu jedem ist <, es gibt also ei N N, so dass < N. Wege der Mootoie gilt somit auch f( ) f( ) f( N ) y. Sei u ( ) eie weitere Folge i (a, ) mit. Mit dem Argumet vo obe erhält ma, dass ỹ := f( ) f(). We wir zeige köe, dass y = ỹ, da ka die Eistez des Limes f( ) = y gefolgert werde. Ohe Eischräkug köe wir aehme, dass die beide Folge ( ) ud ( ) beide mooto wachse, z.b. durch Übergag zu ( ) ud ( ) Für jedes N N gilt N < ud wege gibt es ei M N mit N < M <. Es gilt also auch f( N ) f( M ) ỹ. Das bedeutet y ỹ. Die Ugleichug ỹ y erhält ma aalog. Isgesamt wurde gezeigt: Es gibt ei y f(), so dass für alle Folge ( ) i (a, ) mit auch f( ) y gilt. Die Eistez des rechtsseitige Limes f( ) f() wird aalog gezeigt.