Monotonie einer Folge

Transkript

1 Mootoie eier Folge 1 E

2 Mootoe Folge We jedes Folgeglied eier Folge größer oder gleich dem vorhergehede Folgeglied ist a 1 a ℕ so et ma die Folge mooto steiged (oder mooto wachsed). Die geometrische Folge a 2 1 die dem Beispiel über die Weizekörer auf de Schachbrettfelder zugrude liegt ist eie streg mooto steigede Folge de für alle Folge glieder gilt a a 1 1

3 Mootoe Folge Aalog zur Eigeschaft mooto steiged defiiert ma die Eigeschaft mooto falled. Defiitio: Eie Folge heißt 1) mooto steiged we a 1 a 2) streg mooto steiged we a 1 a 3) mooto falled we a 1 a 4) streg mooto falled we a 1 a für alle ℕ 1 2

4 Mootoe Folge: Aufgabe 1 2 Aufgabe 1: Zeige Sie dass eie Folge mit dem gemeisame Glied a 1 eie steigede Folge ist. Aufgabe 2: Utersuche Sie die Mootoieeigeschafte der folgede Folge mit eiem gemeisame Glied a 2 A 2 1 2

5 Mootoe Folge: Lösug 1 a 1 ℕ a 1 a a 1 a ℕ Diese Folge ist eie mooto steigede Folge. Die Pukte der xy Ebee die ud de zugehoerige Folgeglieder etspreche liege auf der Kurve der Fuktio y(x 1)/x. 2 1a

6 Mootoe Folge: Lösug 1 Abb. L1: Die Fuktio y (x 1)/x mit de Pukte die erste Glieder der Folge ( 1)/ etspreche 2 1b

7 Mootoe Folge: Darstellug der Lösug 1 2 1c

8 Mootoe Folge: Lösug 2 a a 1 a ℕ Diese Folge ist eie mooto steigede Folge. y x Abb. 2: Die Fuktio y (2x + 1)/(x+2) mit de Pukte die de erste füf Glieder der Folge (2 + 1)/(+2) etspreche 2 2

9 Mooto steigede Folge: Beispiele Abb. 3: Mooto steigede Folge Folgede Folge sid streg mooto steigede Folge: a b 2 1 c log 2 Die Folge a ist eie mooto steigede Folge. 3

10 Mootoe Folge: Aufgabe 3 4 Aufgabe 3: Zeige Sie dass eie Folge mit dem gemeisame Glied a 1 eie fallede Folge ist. Aufgabe 4: Utersuche Sie die Mootoieeigeschafte der folgede Folge mit eiem gemeisame Glied a 1 4 A

11 Mootoe Folge: Lösug 3 a 1 a 1 a ℕ Da alle Folgeglieder egativ sid bedeutet diese Ugleichug dass a 1 a ud die Folge eie streg mooto fallede Folge ist. y x Abb. 4: Die Fuktio y - x - 1 mit de Pukte die de erste vier Glieder der Folge - ( + 1) etspreche 4 1

12 Mootoe Folge: Lösug 4 a 1 a 1 a 4 2 ℕ

13 Mooto fallede Folge: Beispiele Folgede Folge sid streg mooto fallede Folge: a 1 Die Folge 1 1 b 1 2 c ist eie mooto fallede Folge. 5 1

14 Mooto fallede Folge: Beispiele Abb.: Die Fuktio y 6/x mit de Pukte die de erste acht Glieder der Folge 6/ etspreche 5 2

15 Alterierede Folge Defiitio: Eie Folge heißt alteriered we je zwei aufeiader folgede Folgeglieder stets verschiedees Vorzeiche habe: a 1 a 0 Beispiele: a b c

16 Alterierede Folge am Beispiel eies Pedels Abb. 5: Auslekug eies Pedels aus der Ruhelage Ei Pedel werde ach rechts um 10 cm aus seier Ruhelage etfert ud losgelasse. Die Ausschläge ach beide Seite sie heiße Amplitude bilde da eie Folge a1 a 2 a3 a

17 Alterierede Folge am Beispiel eies Pedels Wir uterscheide die rechte ud die like Amplitude idem wir die like mit Miuszeiche versehe. Es sid also a 1 a 3 a 5... positiv ud a 2 a 4 a 6... egativ Aufgrud vo Reibug a der Pedelaufhägug Luftwider stad usw. Werde die auf a 1 folgede Amplitude icht mehr de Betrag der Afagsauslekug erreiche. Wir ehme a dass stets jeweils 80% des Betrags der vorher gehede Amplitude erreicht werde. Da köe wir die Glieder der Folge auf folgede Weise bereche a 1 10 a a 3 a a a

18 Alterierede Folge am Beispiel eies Pedels x Abb. 6: Folge der Pedelausschläge 6 4

19 Alterierede Folge am Beispiel eies Pedels Betrachte wir die Folgeglieder mit ugeradem Idex also die Pedelausschläge ach rechts so hadelt es sich bei dieser Teil folge um eie (streg) mooto fallede Folge. Dagege bildet die Teilfolge der Folgeglieder mit geradem Idex also die Pe delausschläge ach liks eie (streg) mooto steigede Folge. Es lasse sich auch Folge agebe die weder steiged och falled och alteriered sid. 6 5