Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden

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1 Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem vorstelle. 1 a 1 a 3 a 3. a Es gibt verschiedee Möglichkeite eie Folge zu defiiere. Die zwei häufigste Methode sid Explizit: Rekursiv: Ma drückt die eizele Folge - Glieder mit Hilfe eier Formel aus, z.b. a = 1 {1, 1, 1 3,...} Ma gibt die erste paar Folge - Glieder ud eie Vorschrift um damit das ächste Glied zu bilde vor, z.b. die bekate Fiboacci Folge ka rekursiv defiiert werde a 0 = 1, a 1 = 1, a = a + a 1 Eie häufige Aufgabestellug ist es, eie gegebee Folge auf verschiedee Eigeschafte zu utersuche. Dazu beötige wir die folgede Defiitioe! Eie Folge heisst... Beschräktheit... ach obe beschräkt, falls S o R, sodass a S o.... ach ute beschräkt, falls S u R, sodass a S u... beschräkt, falls sie ach obe ud ute beschräkt ist. Der Nachweis, dass eie Folge beschräkt ist, ist icht immer straight forward. Machmal ka ma die obige Ugleichug direkt löse, machmal ka ma vollstädige Iduktio verwede, aber es gibt leider kei allgemei gültiges Vorgehe. Mootoie... (strikt) mooto wachsed, falls a +1 a (a +1 > a )... (strikt) mooto falled, falls a +1 a (a +1 < a ) Mootoie lässt sich meist eifach prüfe. Ma ka versuche die Ugleichug i eie wahre Aussage umzuforme. Eie adere Möglichkeit ist es de Idex kurz als kotiuierlich azuehme ud daach abzuleite. d d a > 0 strikt mooto wachsed, usw. Aalysis I 1 Georg Bruer

2 Kovergez Eie Folge kovergiert gege de Grezwert L, we es für jedes och so kleie ε R ei N N gibt, sodass a L ε, N Falls die Folge kovergiert, schreibt ma a = L Ist L = 0, so heisst die Folge Nullfolge. Divergez Eie Folge, die icht kovergiert, heisst diverget. Das bedeutet allerdigs icht, dass die Folge gege ± strebt. So et ma auch die alterierede Folge a = ( 1) diverget. Sätze 1. Eie beschräkte & mooto wachsede/fallede Folge ist immer koverget! Mooto + Beschräkt Kovergez. Eie kovergete Folge ist icht zwiged mooto. Die Folge ka sich vo beide Seite dem Grezwert äher, z.b. a = e cos(10) 3. Eie kovergete Folge ist aber immer beschräkt. Recheregel für de Grezwert Sei a = L a ( ) & b = L b ( ) & c R da c ± a = c ± L a c a = c L a c = c a L a a ± b = L a ± L b a b = L a L b a b = L a L b Ausserdem gilt für stetige Fuktioe f(a ) = f( a ) = f(l a ) Tipps zur Berechug: 1. Bei Brüche Zähler ud Neer durch die höchste auftretede Potez vo teile.. Bei Wurzel - Ausdrücke erweiter ud biomische Formel (a+b)(a b) = a b verwede. 3. Bei rekursiv defiiert Folge gilt a +1 = 4. Folgede Ergebisse sid uetscheidbar: 0 0 a Aalysis I Georg Bruer

3 Beispiel 1: Bereche die Grezwerte a 1. a = a = a 1 = a +1 = + a I. Wir erweiter de Bruch mit 1 II. Wir erweiter mit = = = ( ) = = = = = = III. Wir bezeiche de gesuchte Grezwert mit x. Da gilt wege der Rekursiosformel der Folge a +1 = + a a +1 = + a x = + x x = + x 0 = x x x = { 1, } Da alle Folge - Glieder grösser Null sid, muss auch der Grezwert grösser Null sei ud damit folgt a = Aalysis I 3 Georg Bruer

4 Beispiel : Utersuche die Folge +1 auf Mootoie, Beschräktheit ud Kovergez Mootoie: Wir ersetze die diskrete Variable kurz durch die kotiuierliche Variable x > 0 ud bilde die Ableitug. ( ) d x dx x = x + 1 x + 1 (x + 1) Wege x + 1 x (x + 1) 0 1 x 0 1 x ist die Folge für > 1 mooto falled! Kovergez: Offesichtlich domiiert der Neer dieser Folge für grosse. Der Grezwert ist 0. Beschräktheit: Da die Folge kovergiert, muss sie beschräkt sei. Wir köe zum Beispiel prüfe, ob es sich bei dem Wert 1 um eie obere Schrake hadelt + 1 < 1 < < + 1 ( 0 < 1 ) ( 4 < 1 ) Diese Ugleichug ist i jedem Fall erfüllt, da die rechte Seite stets positiv ist! Aalysis I 4 Georg Bruer

5 Reihe g Ist eie beliebige Folge a gegebe, so ka ma aus ihr die sogeate Partialsumme s = a 1 + a a bilde. Die eue Folge s heisst Reihe. Falls die Reihe kovergiert, et ma ihre Grezwert auch Wert der Reihe. Folge Arithmetisch a = a 1 + ( 1) q s = Geometrisch Harmoisch Reihe a = a 1 + a k=1 = 1,,... a = a 0 q s = a 0 q k 1 q +1 = a 0 1 q = 0, 1,... S = a 0 q k 1 = a 0, ur für q < 1 1 q a = ( 1 α ( ) 1 α ) s = k α R = 0, 1,... Kovergez geau da, falls α > 1 Die Euler sche Zahl: I diesem Kotext ist och eie weitere Reihe erwäheswert. Euler sche Zahl defiiert. 1 e = k! ( Äquivalet ist die Defiitio e = ) Oft wird damit die Beispiel 3: Bereche x = Wir erkee ei Muster x = k=1 3 k= Um die Formel für die geometrische Reihe verwede zu dürfe, müsse wir och die Idizes apasse. x = x = x = x = Aalysis I 5 Georg Bruer