Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,

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1 Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk. Zeige Sie, dass (a ) N mooto wa chst ud ach obe beschra kt ist, ud bestimme Sie de Grezwert der Folge (a ) N. Zeige Sie dazu iduktiv, dass a + (ii) Sei (b ) N rekursiv defiiert durch b ud b b,. + b Bestimme Sie de Grezwert vo (b ) N, idem Sie iduktiv zeige, dass b ( )+ + (iii) Seie die achstehede Folge gegebe: 8k + 5 ck : 7 + 3k X ud s : ck. k Bestimme Sie de Grezwert c vo (ck )k N ud zeige Sie, dass auch die Folge (s ) N gege de gleiche Grezwert kovergiert. Betrachte Sie dazu die Differez s c ud scha tze Sie diese geeiget ach obe ab. Fide Sie eie Folge (ck )k N, sodass (s ) N aber icht (ck )k N kovergiert. Lo suge zu Aufgabe P Zu (i): Da a k kk eie Summe vo positive Zahle ist, ist die Folge mooto wachsed ud a > 0. Wir zeige iduktiv, dass a + fu r alle N gilt. Fu r ist 3 a. Wir schließe vo ach +. Da gilt: a+ + X k Id. vor. k k ( + ) ( + ) + +3 ( + ) a +

2 Die Folge ist demach auch ach obe durch beschräkt. Für de Grezwert gilt Zu (ii): Wir setze : b. Da gilt lim lim +. b + b b b + +. Wir weise u iduktiv ach, dass ( ) + + gilt. Für ist a b ( ) + +. Wir schließe vo ach. Da gilt + I.V. (( ) ) ( )+ + + ( ) + + ( ) + ( ) + + Da ist lim ud damit lim b 0. Zu (iii): Für de Grezwert vo (c k ) k gilt: lim c 8k + 5 k lim k k 7 + 3k lim k k 7 k c. Wir betrachte die Differez s c mit s k c k: 8k + 5 s c 7 + 3k 8 3 k ( 8k k 8 ) 3 k 3(8k + 5) 8(7 + 3k ) 3(7 + 3k ) k 4k k ) 3(7 + 3k ) k 4 3(7 + 3k ) k 4 3(7 + 3k ) k 4 9 k 8 9 k Die Differez s c ist also eie Nullfolge. Die Summe s kovergiere gege c für.

3 Hierbei habe wir ausgeutzt, dass k k k k ist für alle. Dies zeigt ma wie folgt: k k k k k(k ) k k + < Sei c k ( ) k. Diese Folge kovergiert icht. Es ist s k ( )k 0, falls gerade ud s, falls ugerade. Also kovergiert (s ) gege Null. Aufgabe (a) Seie a, b > 0 ud a ab ud b (a + b). Defiiere für die Folgeglieder b ud b ( + b ). Zeige Sie, dass stets b ud dass ( ) mooto wächst ud (b ) mooto fällt. Zeige Sie, dass ( ) N ud (b ) N kovergiere, ud zwar mit dem gleiche Grezwert. (b) Sei ( ) N die durch a : ud + : + rekursiv defiierte Folge. Zeige Sie, dass die Folge mooto wächst ud ach obe beschräkt ist, ämlich. Bereche Sie lim. Lösuge zu Aufgabe Zu (a): Es gilt x + y xy ( x y) 0 für alle x, y 0. Daraus erhalte wir b. Weiter ist + b ud b + b ( b ) 0. Wir habe also a b b. Damit kovergiere beide Folge gege Grezwerte a 0 bzw. b 0. Für diese gilt aber Das ergibt aber a 0 b 0. a 0 a 0 b 0, b 0 (a 0 + b 0 ). Zu (b): Iduktiv zeige wir. Das gilt für a offesichtlich. Gilt es für, so habe wir + + +, also gilt die Abschätzug auch für +. Die Folge wächst mooto, de + a Der Grezwert a der Folge existiert ud erfüllt die Gleichug a + a. Somit ist a. Aufgabe 3 Seie a > 0 ud a 0 > 0. Sei (b ) N rekursiv defiiert durch b a 0 ud b + b + 3a 3b + a b 3

4 (i) Zeige Sie (iduktiv), dass aus a 0 > a bzw. a 0 < a auch b > a bzw. b < a folgt, idem Sie achstehede Gleichheit feststelle: b + a (b a) 3 3b + a. (ii) Utersuche Sie (b ) N auf Mootoie, idem Sie die Differez b + b betrachte ud die Falluterscheidug a 0 > a bzw. a 0 < a aus (i) beutze. (iii) Folger Sie, dass (b ) N kovergiert ud weise Sie ach, dass der Grezwert gleich a Lösuge zu Aufgabe 3 Zu (i): Es gilt: b + a b + 3a 3b + a b a b3 + 3ab 3b + a a b3 + 3ab a(3b + a) 3b + a b3 + 3ab 3b a a a 3b + a (b a) 3 3b + a. Ist u a 0 > a, so ist b a > 0. Wir schließe vo auf +. Ist also b a > 0, so folgt mit der obige Formel, dass auch b + a > 0 Der Fall a 0 < a geht aalog. Zu (ii): Wir habe b + b b + 3a 3b + a b b ( ) b + 3a 3b + a b ( b + 3a 3b ) a 3b b + a ( ) b + a 3b b + a ( ) a b b 3b + a Ist u a 0 b > a, so sid ach Teil (i) auch b > a, also b a > 0. Die Folge (b ) ist da mooto falled. Im Falle a 0 b < a ist sie mooto steiged. Zu (iii): Nach Teil (i) ud (ii) ist die Folge (b ) koverget. Sei b ihr Grezwert. Da gilt: b b + 3a 3b + a b 3b + a b + 3a b a Aufgabe 4 4

5 Ist ( ) eie Folge reeller Zahle, so bezeiche wir eie Wert a als Häufugswert der Folge ( ), we eie Teilfolge aus ( ) ausgewählt werde ka, die gege a kovergiert. Bestimme Sie zu der Folge : 4 + ( 5) ud zu der rekursiv defiierte Folge alle Häufugswerte. Lösuge zu Aufgabe 4 Es gilt a : a : ud + : +,, : ( ) + (4/5) + (4/5) Dies zeigt, dass ud Häufugswerte sid. Ageomme, es sei c / {, } ei Häufugswert ud (k ) k eie Teilfolge mit Limes c. Da ist k für uedlich viele k gerade, oder aderefalls ab eiem geüged große k 0 stets ugerade. Im erste Fall strebt eie Teilfolge vo (k ) k gege, also ka (k ) k icht gege c kovergiert habe, im zweite Fall gilt lim k k c, ebefalls ei Widerspruch. Somit ka kei c / {, } ei Häufugswert sei. Wir beobachte, dass (+ + ) Damit ist +6p für alle p. Die Folgeglieder a, a, a 3, a 4, a 5, a 6 wiederhole sich bei Durchlaufug der Folge periodisch. Es ergebe sich die Häufugswerte a a, a 3 a 6 0, a 4 a 5,. 5