Klausur zu,,einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie. Musterlösungen

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1 Istitut für agewadte Mathematik Witersemester 9/ Adreas Eberle, Matthias Erbar, Berhard Hader. (Reelle Zufallsvariable) Klausur zu,,eiführug i die Wahrscheilichkeitstheorie Musterlösuge a) Die Verteilugsfuktio F : R, (bzw. R) der Verteilug µ ist defiiert durch F (c) = µ (, c. b) Die Verteilugsfuktio F berechet sich jeweils wie folgt : i) Sei T Exp(). Da gilt : F (c) = P T c = P T > c = { e c, für c, für c < ii) F (c) =, für c < 3, für c <, für c

2 iii) F (c) =, für c c 3, für c 4, für c c) F ist mooto wachsed: Aus der Mootoie vo µ folgt: x y (, x (, y F (x) = µ (, x µ (, y = F (y). F ist rechtsstetig: Sei x R. Da gilt für ε : F (x + ε) = µ (, x + ε µ (, x = F (x). De für jede Nullfolge ε gilt wege der mootoe Stetigkeit vo µ : µ (, x + ε µ (, x + ε = µ (, x. Grezwerte: Für jede Folge c gilt : lim F (c ) = lim µ (, c = µ (, c = µ R =. Also lim c F (c) =. Ebeso gilt für jede Folge c : Also lim c F (c) =. lim F (c ) = µ (, c = µ =. d) Eie Wahrscheilichkeitsverteilug µ auf R heisst absolutstetig, geau da we ei f L (R) existiert, so dass für die Verteilugsfuktio F gilt: F (c) = c f(x)dx.

3 Eie äquivalete Bedigug hierzu ist: µb = f(x)dx für alle B B(R). B Ei Beispiel für eie Verteilug, die weder diskret och absolutstetig ist, ist : µ = δ + U,. e) (i) Betimmug vo c : = µr = lim a F (a) = = c t α exp( t α )dt f(x)dx = c exp( u) α du = c α Im vorletzte Schritt wurde die Substitutio u = t α, du = αt α verwedet. Es folgt somit c = α. (ii) Für die bedigte Wahrscheilichkeit gilt zuächst : P X s + t X t = P X s + t X t P X t Mit Hilfe der Substitutio u = t α berechet ma weiter : P X s = αt α exp( t α )dt = P X s + t P X t. t=s = exp( u)du = exp( s α ). u=s α Zusamme folgt damit : P X s + t X t = exp ( (s + t) α) exp ( t α) exp ( s α) = P X s. De für α ud s, t gilt die Ugleichug (s + t) α s α + t α. Im Fall α = gilt Gleichheit (Gedächtislosigkeit der Expoetialverteilug). 3

4 . (Zetraler Grezwertsatz) a) Seie X, X,... uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable i L (Ω, A, P) mit Erwartugswert EX i = m ud Variaz V arx i = σ. Da kovergiere die Zufallsvariable S := X X m i Verteilug gege die Normalverteilug N(, σ ). b) Seie X, X,... uabhägig ud Beroulliverteilt mit Erfolgswahrscheilichkeit, isbesodere P X i = ± =, EX i =, V arx i =. Nach dem Zetrale Grezwertsatz gilt : 4 S D N(, ). Hierbei ist i diesem Fall die Zufallsvariable S = X X biomialverteilt mit Parameter (, ). Damit folgt : ( ) S = P k x k: k x S = P ) x S x P x e u du π < x e u du π = x x π e u du. Zur Begrüdug vo *) : Die Kovergez des erste Summade folgt aus dem Zetrale Grezwertsatz. Die Kovergez des zweite Summade zeigt ma wie folgt : Nach der Vorlesug folgt aus der Verteilugskovergez für alle x R : S P x Φ(x), da Φ überall stetig ist. Damit gilt auch : Φ(x ε) lim if P S S lim P Also folgt : S P < x < x x Φ(x) = 4 lim sup = Φ(x). x S P π e u du. < x

5 c) Es gilt für alle c : P X > c = P log U > c = P log U < c = P U < e c = e c. Isbesodere gilt P X > =. Also ist X expoetialverteilt zum Parameter ud es folgt : EX = P X > c dc = e c dc =. Alterativ fidet ma die Verteilugsfuktio F X (c) = ( e c ) + ud damit die Dichtefuktio f X (c) = F X (c) = e c I (, ) (c) ud berechet : EX = cf X (c)dc = ce c dc = e c dc =. Für die Variaz berechet ma : EX = c e c dc = ce c dc = EX =, woraus folgt : V arx = EX EX = =. d) Da U i > P-f.s. für alle i ud da der Logarithmus mooto wachsed ist, gilt : P (U U U ) / e / a, b ( ) = P / log(u i ) + / log(a), log(b) i= ( ( ) = P S log(b), log(a) mit log(ui ) = X i ud X i = S ) i= ) = P log(b ) < S log(a ) = P S log(a ) P S log(b ) ) Φ(log(a ) Φ(log(b ) = log(a ) π e x dx log(b ) Die Gleichheit *) gilt, da i X i als Summe vo uabhägige expoetialverteilte Zufallsvariable wieder eie absolutstetige Verteilug hat. Die Kovergez **) folgt ach dem Zetrale Grezwertsatz, da die Zufallsvariable X i uabhägig ud idetisch verteilt sid mit EX i = V arx i =. 5

6 3. (Gesetz der große Zahle) a) Es seie Y, Y : Ω R ( N) Zufallsvariable auf (Ω, A, P). Da kovergiert (Y ) N gege Y P-stochastisch, geau da, we ε > : lim P Y Y > ε =. P-fast-sicher, geau da, we PY = lim Y = b) I diesem Beweis werde beötigt: Berstei-Ugleichug: Sei S := i= X i, wobei X i (i N) uabhägig ud idetisch Beroulli(p)-verteilt sid. Da gilt: P S p ε e ε N, ε >.. Borel-Catelli-Lemma: Es seie A ( N) Ereigisse aus (Ω, A, P). Da gilt A m = = PA < = PA tritt uedlich oft ei = P Setze A := { S p ε}. Mithilfe der Berstei-Ugleichug erhält ma PA e ε < für alle ε > (geometrische Reihe) = m = ud somit mittels Borel-Catelli P S m A m =. Weiter gilt p ε >, ε Q m : S m m p < ε S p ε >, ε Q m : S m p ε, m also zusamme P S p = P A m σ additiv P ε>, ε Q N m N, m ε>, ε Q N m N, m Alterativ: Vollstädiger Beweis des starke Gesetzes der große Zahle. A m = c) Es seie Z = a + i= Y i, Y i uabhägig ud idetisch verteilt mit PY i = = 8, 37 PY i = = 9. Da sid die Zufallsvariable X 37 i := I {Yi =}, i N uabhägige ud idetisch Beroulli( 8 )-verteilte Zufallsvariable. Aus dem Gesetzes der große 37 Zahle folgt S 8 37 P fast-sicher für, wobei S := ud weiter, da Y i = X i ( X i ) = X i Z = a + i= X i = a + S 37 i= X i P fast-sicher für also PA = P k Z k k }=. Aschaulich bedeutet dies, dass A = {Z schließlich} fast sicher eitritt, der Rui also ahezu garatiert ist. 6

7 4. (Charakteristische Fuktioe) a) Sei X : Ω R eie Zufallsvariable auf (Ω, A, P). Die charakteristische Fuktio φ X : R C ist defiiert durch t φ X (t) = Ee itx. Da e itx =, ist die Zufallsvariable e itx beschräkt, ud somit itegrierbar bzgl. P. b) (i) Für X Exp() ist die Verteilugsdichte f(x) = e x I (, ), also φ X (t) = e itx x dx = i + eit x= =, da lim it x e(it )x =. (ii) Für X Beroulli( ) ist X P-fast sicher oder, also φ X (t) = e it PX = + PX = = (eit + ). (iii) Für X Bi(, ) ist X i= X i, X i uabhägig Beroulli( ), also φ X (t) = E e itx k eitx k i.i.d. = Ee itx (ii) = (eit + ). k= (Eie explizite Berechug dieser charakteristische Fuktio ist möglich, aber aufwädig.) c) Für a, b R erhält ma φ ax+by (t) = Ee it(ax+by ) = Ee itax e itby X,Y uabhägig = Ee itax Ee itby = φ X (at)φ Y (bt) Seie u X,..., X uabhägig ud N(, )-verteilt. Ma erhält obiges + Id, φ i= X (t) = φ i Xi ( t ) = exp( t ) = exp( t ) = φ N(,)(t) i= Nach dem Fourieriversiossatz gibt es ur eie Wahrscheilickeitsverteilug mit charakteristischer Fuktio φ N(,), also gilt i= X i N(, ). d) Aalog zu c) erhält ma φ S (t) = k= φ X k ( t ). Wege X k L gilt ach eiem Satz aus der Vorlesug φ Xk C, ud somit, da EX k = ud VarX k = EX k =, φ Xk (t) = Ee itx k Tayloretw. = + EitX k + E(itX k) + o(t ) = t + o(t ), für t ud somit φ S (t) = ( t + o(t )) e t für. Hierbei wurde die Ugleichug i= z i i= w i i= z i w i für z i, w i C verwedet. e) Für X i Beroulli( ) gilt PX i {, } = für alle i N. Es existiert also eie abzählbare Mege R mit P S R N =, ud somit folgt P S N(, ) T V P S R N(, )R =. 7