Netzwerkreduktion und Pólya's Theorem

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1 Semiar über Bäume, Netzwerke ud Zufall Netzwerkreduktio ud Pólya's Theorem Dozete: HD Dr. Joche Geiger, Prof. Dr. Ato Wakolbiger Vortrageder: Björ Schwalb Vortragstermi:.Mai 2005

2 Ihaltsverzeichis Eileitug 3 2 Netzwerkreduktio 3 2. Reiheschaltug Beispiel Parallelschaltug Beispiel Ster-Triagel Beispiel Pólya's Theorem 9 3. Rekurrez ud Trasiez Der klassische Beweis vo Pólya's Theorem Literaturverzeichis 5 2

3 Eileitug Was der eektive Widerstad (Wirkwiderstad) eies Netzwerkes ist, bzw. desse Reziprok, der eektive Leitwert, ist bereits geklärt. Die Frage ist u, wie ma diese Werte berechet. Die Idee ist, ei Netzwerk durch ur eie eizige Leiter (Kate) zu ersetze. We wir dies tu wolle, ist es ahelieged ach ud ach Teile des Netzwerks (Graphe) mit sogeate eifache Trasformatioe zu vereifache. Es gibt drei solcher eifache Trasformatioe, die Reiheschaltug, die Parallelschaltug ud die Ster-Triagel, ud es stellt sich mittels eies Theorems vo Epifaov (wird icht behadelt) heraus, das diese geüge um jedes edliche, ebee Netzwerk zu reduziere. 2 Netzwerkreduktio Zwei Gesetze die im Folgede beutzt werde: Gesetz (Ohm'sches Gesetz) We x y, gilt für de Strom, der vo x ach y ieÿt: v(x) v(y) i(x, y)r(x, y) Gesetz 2 (Kirchho's Gesetz) Die Summe des Stroms, der aus eiem gegebee Kotepukt ieÿt ist 0, uter der Bedigug, daÿ dieser icht a die Batterie ageschlosse ist. i(x, y) 0 für alle x / A Z 2. Reiheschaltug Nu komme wir zur erste eifache Trasformatio: y Trasformatio (Reiheschaltug) Zwei Widerstäde r ud r 2 i Reihe geschaltet sid äquivalet zu eiem eizele Widerstad r + r 2. I adere Worte: Sei w V (G) \ (A Z) ei Kotepukt 2.Ordug mit Nachbar u, u 2, ud ersetze wir die Kate (u i, w) durch eie eizele Kate (u, u 2 ) mit Widerstad r(u, w) + r(w, u 2 ), so bleibe alle Potetiale ud Stromstärke i G \ {w} uverädert, ud der Strom, der vo u ach u 2 ieÿt, etspricht i(u, w). Beweis: Mit Kirchho's Gesetz gilt: i(u, w) i(w, u 2 ) 0 i(u, w) i(w, u 2 ) 3

4 es gilt aufgrud des Ohm'sche Gesetzes: v(u ) v(w) i(u, w)r(u, w) isgesamt folgt: v(w) v(u 2 ) i(w, u 2 )r(w, u 2 ) v(u ) v(u 2 ) i(u, w)r(u, w) + i(w, u 2 )r(w, u 2 ) i(u, w)(r(u, w) + r(w, u 2 )) i(u, w)r(u, u 2 ) (laut V orraus.) i(u, w) i(u, u 2 ) (Ohm sches Gesetz) Beim Vergleich mit weitere Nachbar vo u, u 2 garatiert Kirchho's Gesetz, das sich die Stromstärke i G \ {w} icht verädert habe köe. Da sich u weder Stromstärke och Widerstad zwische u ud u 2 verädert habe, folgt, daÿ die Potetialdierez (Voltuterschied) auch uverädert gebliebe sei muÿ, ud somit auch alle Potetiale. 2.. Beispiel Betrachtet ma eie eifache Irrfahrt auf Z mit 0 k, so gilt: P k [τ 0 < τ ] die Spaug im Kotepukt k, wobei i 0 eie Eiheit Volt agelegt ist, ud 0 Volt i. (Iterpretatio vo Spaug [DS] S.47) Ersetze wir u die Reihe der Widerstäde vo 0 bis k durch eie Widerstad k ud die vo k ach durch eie Widerstad vom Wert k, ädert sich die Spaug i k icht. Aber die Spaug i k ist u eifach die Wahrscheilichkeit eie Schritt zur 0 zu mache, d.h. P k [τ 0 < τ ] v(k) ( ) π(k) k c(k, y)v(y) k y k + k k ( (*) ist eie Folgerug aus dem Kirchho'sche ud dem Ohm'sche Gesetz [LP] S.22) 4

5 2.2 Parallelschaltug Nu komme wir zur zweite Trasformatio: Trasformatio 2 (Parallelschaltug) Zwei Leiter c ud c 2 parallel geschaltet sid äquivalet zu eiem Leiter c + c 2. I adere Worte: Ersetzt ma zwei Kate e ud e 2,die beide w, w 2 V (G) als Afagspukt oder Edpukt habe, durch eie eizele Kate e vo w ach w 2 mit Leitwert c(e) : c(e ) + c(e 2 ), so bleibe alle Spauge ud Stromstärke i G\{e, e 2 } uverädert ud die Stromstärke i(e) gleicht i(e )+i(e 2 ) (we e ud e 2 die gleiche Orietierug habe, d.h. de selbe Afags- ud Edpukt). Dies gilt auch für eie uedliche Azahl parallel geschalteter Kate. Beweis: Mit dem Ohm'sche Gesetz folgt: i(e ) + i(e 2 ) v(w ) v(w 2 ) + v(w ) v(w 2 ) r(e ) r(e 2 ) (v(w ) v(w 2 ))( r(e ) + r(e 2 ) ) (v(w ) v(w 2 ))(c(e ) + c(e 2 )) (v(w ) v(w 2 ))c(e) (laut V orraus.) v(w ) v(w 2 ) r(e) i(e) Beim Vergleich mit weitere Nachbar vo w ud w 2 garatiert Kirchho's Gesetz, das die Stromstärke uverädert gebliebe sid. Da der Leitwert zwische w ud w 2 gleichgebliebe ist, gilt dies auch für de Widerstad. Uveräderte Stromstärke ud Widerstad führt zu eier uveräderte Spaug. Die obige Rechug lässt sich demetspreched veräder, das dies auch für eie uedliche Azahl parallel geschalteter Kate gilt Beispiel Ma ehme a, jede Kate i dem u folgede Netzwerk habe de gleiche Leitwert. Was ist u P [a z]? 5

6 Folgt ma de Trasformatioe, wie sie ute agedeutet sid, erhält ma als eektive Leitwert C(a z) 7 2, ud somit: P [a z] ( ) ((*) Aussage (2.4) [LP] S.23) C(a z) π(a)

7 2.3 Ster-Triagel Nu komme wir zur dritte Trasformatio: Trasformatio 3 (Ster-Triagel) Die Koguratioe ute sid äquivalet, we i {, 2, 3} : c(w, u i )c(u i, u i+ ) γ wobei ma die Idizes mod 3 rechet ud γ : i c(w, u i) i c(w, u i) i r(u i, u i+ ) i r(u i, u i+ ) Ma et dies auch die Y Trasformatio. (ohe Beweis; wird ur im folgede Beispiel beützt) 2.3. Beispiel Was ist P x [τ a < τ z ] im folgede Netzwerk? Folgt ma de ute agedeutete Trasformatioe, erhält ma: ((*) Aussage (2.2) [LP] S.20) 20 P x [τ a < τ z ] ( ) π(x) c(x, a)

8 Bemerkug: Im zweite Schritt sid die Bediguge der 3.Trasformatio erfüllt, wie ma leicht veriziert. 8

9 3 Pólya's Theorem Im Folgede kommt u der klassische Beweis vo Pólya's Theorem für die Dimesioe,2 ud 3. Doch solle vorab och eiige Begrie geklärt werde: 3. Rekurrez ud Trasiez Deitio: Ei Zustad x heiÿt rekurret, falls W s x (T x < ), wobei T x : if{ : X x} (Zeitpukt der erste Rückkehr ach x), ud aderfalls trasiet, d.h. falls W s x (T x < ) <. Eie Markov-Kette heiÿt rekurret (trasiet), falls alle ihre Zustäde dies sid. Theorem (Rekurrez) Die Rekurrez eies Puktes (Zustades) ist äquivalet zu eier uedliche erwartete Azahl vo Besuche i diesem Pukt (d.h. erwartugsgemäÿ kehrt ei Irrläufer eier rekurrete Irrfahrt immer wieder zurück). Beweis: Es sei u u die Wahrscheilichkeit, das ei Irrläufer, welcher i eiem gewisse Pukt startet, dorthi zurückkehrt. Die Wahrscheilichkeit, daÿ ei Irrläufer geau k-mal zurückkehrt (Start mit ibegrie) ist: u k ( u) (geometrische Verteilug; Iterpretatio als Azahl der Erfolge vor dem erste Miÿerfolg möglich) Bezeichet ma mit m die Azahl der Besuche im Startpukt, so ergibt sich: (Erwartugswert der geom. Verteilug) m ku k ( u) k ( u) k ku k ( u) d du ( u k ) k0 ( u) d du ( u ) ( u) ( u) 2 u 9

10 Ist m, so ist u, ud folglich ist die Irrfahrt rekurret. Ist m <, so ist u <, ud folglich ist die Irrfahrt trasiet. m bestimmt also de Typ der Irrfahrt. Wir brauche u och eie alterative Ausdrucksweise für m: Sei u die Wahrscheilichkeit, daÿ die Irrfahrt im -te Schritt zurückkehrt. Oesichtlich gilt u 0. Weiter sei e eie Zufallsvariable mit Werte i {0, }, die de Wert aimmt, we der Läufer im -te Schritt im Startpukt ist, ud 0 sost. Da ist T die Gesamtazahl der Besuche im Startpukt, ud (Liearität des Erwartugswerts) 0 m E(T ) Aber E(e ) u + 0( u ) u, ud somit gilt: m 0 e E(e ) Also ist die Irrfahrt rekurret, we 0 u kovergiert, ud trasiet, we 0 u divergiert. 0 u 3.2 Der klassische Beweis vo Pólya's Theorem Theorem 2 (Pólya) Eifache, d-dimesioale, symmetrische Irrfahrte sid rekurret für d, 2 ud trasiet für d 3. Beweis: Die eifache symmetrische Irrfahrt für d Wir betrachte eie Irrfahrt i Z, die i eiem beliebige Pukt startet. Um zu diesem Pukt zurückzukehre, muÿ der Läufer die gleiche Azahl a Schritte ach rechts mache, wie ach liks. Folglich ist ur eie gerade Azahl vo Schritte möglich. Jeder Pfad der ach 2 Schritte zurückkehrt, hat die Wahrscheilichkeit. 2 2 Die Azahl möglicher Pfade etspricht der Azahl der Möglichkeite Zeite zu wähle ach rechts zu gehe, we ma sost ur Schritte ach liks macht, also folglich ist u 2 ( 2 0 ) 2 2

11 Wir müsse zeige, das 0 u 2 gilt, ud beutze hierzu die Stirlig-Approximatio: Demach ist! 2πe u 2 (2)!!! 2 2 2π2e ( 2πe ) πe (2πe ) 4π π 2π π π Hiermit folgt 0 u 2 aus dem Grezwertkriterium, da de somit habe 0 u 2 ud 0 aus der Aalysis bekat sei sollte. u 2 π Isgesamt gilt somit: Die Irrfahrt i Z ist rekurret. Die eifache symmetrische Irrfahrt für d 2 π das gleiche Kovergezverhalte, wobei 0 π Nu betrachte wir eie Irrfahrt i Z 2, die i eiem beliebige Pukt startet. Um zu diesem Pukt zurückzukehre muÿ der Läufer u die gleiche Azahl a Schritte ach Norde gehe, die er ach Süde geht, ud die gleiche Azahl a Schritte ach Oste gehe, die er ach Weste geht.auch hier ist ur eie gerade Azahl a Schritte möglich. Jeder Pfad der ach 2 Schritte zurückkehrt hat die Wahrscheilichkeit. 4 2 Die Azahl der Pfade, die k Schritte ach Norde, k Schritte ach Süde, k Schritte ach Oste ud k Schritte ach Weste gehe, ergibt sich durch ( ) 2 k, k, k, k (2)! k!k!( k)!( k)!

12 Folglich gilt: u ( ) 4 2 ( 2 2 k0 (2)! k!k!( k)!( k)! (2)!!!!! k!k!( k)!( k)! k0 ( ) ( ) 2 2 k ( 2 k0 ) ) 2 Die im letzte Schritt (*) beutzte kombiatorische Idetität k0 ( k) 2 ( 2 ) ist ei Spezialfall der Idetität, die sich aus der hypergeometrische Verteilug ergibt, aufgrud der Tatsache, daÿ sich die Gewichte der Verteilug zu summiere. Das obe errechete Ergebis ist gerade das Quadrat des Resultats der Irrfahrt i Z, d.h.: m u 2 < da 0 Igesamt folgt: Die Irrfahrt i Z 2 ist rekurret. Die eifache symmetrische Irrfahrt für d 3 0 π We ei Läufer i Z 3 zum Startpukt zurückkehre will, muÿ er i drei verschiedee Richtuge die gleiche Azahl vo Schritte hi ud zurück mache. So habe wir: u 2 (2)! 6 2 (wobei j + k ) j!j!k!k!( j k)!( j k)! j,k ( 2 j,k ) ( 2 j,k )!! j!j!k!k!( j k)!( j k)! ( 3! j!k!( j k)! )2 Betrachte wir u die Wahrscheilichkeit Kugel zufällig auf 3 Schachtel zu verteile, so daÿ j Stück i die., k Stück i die 2. ud ( j k) Stück i die 3.Schachtel komme, so ergibt sich:! 3 j!k!( j k)! ( ) 3 j, k, j k 2 ( )

13 Dieser Term ist ituitiv am gröÿte, we j, k, ( j k) möglichst ahe a 3 herareiche. Dies ka auch bewiese werde. Beweis: zu zeige ist also: ( ), 2, 3 ist am gröÿte, we, 2, 3 möglichst ahe bei 3 liege. Gilt i + j (oder j i 2), so folgt: ( ) ( ) i,..., j i +,..., j de! i! j! k! ( i + )! ( i + )! j ( j )! k!! i + ( i + )!( j )! k! j }{{}! ( i + )!( j )! k! I dem maximalste Multiomialkoeziete uterscheide sich die Eiträge, 2, 3 also maximal um eie gaze Zahl! Ma ka u eie der Faktore i (**) wie folgt ersetze, ud erhält die Abschätzug: u 2 ( ) (!! 3 [ 3 ]![ 3 ]![ 3 ]!)( 3 j!k!( j k)! ) j,k (wobei [ 3 ] die gröÿte gaze Zahl 3 bezeichet.) Die letzte Summe i diesem Term ergibt, de sie ist die Summe aller Gewichte des Spiels mit de 3 Schachtel. So folgt u ( ) 2 (! 3 [ ) 3 ]!3 Mit Hilfe der Stirlig-Approximatio ud der Ugleichug 3[ 3 ] schätze wir de rechte Term folgedermaÿe ab: 2 2 ( ) 2 ( π 3! 3 [ ) 3 ]!3 2πe ( 2π[ 3 ]e [ 3 ] [ 3 ][ 3 ] ) f() 3 3

14 wobei f() de Fehler bzgl. der Stirlig-Approximatio beschreibt. Aufgrud vo! 2π e +o() geht dieser gege ud ist somit beschräkt, wie ma sich leicht überlegt. 2e 3 2π[ 3 ]3 e 3[ 3 ] [ f() 3 ]3[ 3 ] 2e [ 3 (2π) [ 3 ] 3 ]3 e 3[ 3 ] 3[ 3 ]3[ 3 ] f() 2e 27 (2π) 3 3 e f()r() wobei r() de Fehler bzgl. der Abschätzug 3[ 3 ] beschreibt. Aufgrud vo 3[ 3 ] 2 ist dieser ebefalls beschräkt. 54 (2π) 3 f()r() 3 54 ( F R) (2π) 3 } {{ } :K K 3 3 wobei F ud R obere Schrake zu f() ud r() sei solle. Deshalb gilt: da 0 α m 0 u 2 K 3 u 2 K K < für α > kovergiert (für α divergiert) was aus der Aalysis bekat sei sollte. Isgesamt folgt: Die Irrfahrt i Z 3 ist trasiet. Bemerkug: Allgemei gilt: wobei d der Dimesio der Irrfahrt etspricht. u 2 K d K d 2 4

15 Literatur [LP] Lyos, R. with Peres, Y.: Probability o Trees ad Networks (Ÿ 2.3 p.26-30) [DS] Doyle, P.G. ud Sell, J.L.: Radom Walks ad Electric Networks,984 (S.9-24) 5