3. Grundbegrie der Schätztheorie

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1 Statistik, Abschitt Grudbegrie der Schätztheorie I der kormatorische Statistik will ma uter aderem auf Grud eier Stichprobe vom Umfag Iformatioe über ubekate Parameter θ der Verteilug F der zugrudeliegede Grudgesamtheit erhalte. Dabei faÿt ma die Stichprobe als Vektor X X,..., X vo uabhägig idetisch verteilte Zufallsvariable X i aus eier Verteilug F mit Parameter θ auf. Die grudsätzliche Frage ist, auf welche Weise ma vo eier Stichprobe auf die zugehörige Grudgesamtheit schlieÿe ka, ud welche Geauigkeit im statistische Si dieser Schluss aufweist. I diesem Kapitel iteressiere wir us für zwei besoders wichtige ud aheliegede Fragestelluge. Wie erhält ma Schätzgröÿe T T X,..., X für θ aus eier Stichprobe vom Umfag mit mathematisch verüftige Eigeschafte? Wie ka ma Kodezitervalle Vertrauesbereiche für de ubekate Parameter θ mit Hilfe der Schätzgröÿe kostruiere? Zur Illustratio ei eifaches Beispiel. Beispiel 8 Die Grudgesamtheit Ω bestehe aus alle erwachsee Mäer der Regioe Aichfeld ud Murau. Wir betrachte als Merkmal X die Vitalkapazität VC ud ehme a, dass X ormalverteilt sei mit ubekate Parameter µ ud σ. X i Xω i ist da die Vitalkapazität eies zufällig ausgewählte Maes mit X i Nµ, σ. Im folgede werde wir zeige, dass X X i bzw. S X i X bzw. die Variaz σ der Vitalkapa- verüftige Schätzer für de Erwartugswert µ zität sid. Die aimu.datstichprobe liefert Stichprobewerte vo x 5.54 [l] bzw. s [l ]. Vertrauesbereiche für µ ud σ lasse sich mit Hilfe der Zufallsvariable X bzw. S ud der Ketis ihrer Verteilug kostruiere. Aufgrud userer Stichprobe vo 79 ka ma ei kokretes 95%Kodezitervall für die erwartete Vitalkapazität µ vo [5.37, 5.7] agebe siehe Abschitt 3... Das etsprechede 95%Kodezitervall für σ ergibt sich als [0.43, 0.83] siehe Abschitt 3...

2 Statistik, Abschitt Puktschätzer Wir ehme a, dass die Verteilug F der Stichprobevariable X i ubekate Parameter θ ethält ud dass eie Fuktio T T X,..., X existiert, die θ schätzt Eigeschafte Deitio 3. Schätzfuktioe T T X,..., X heiÿt Stichprobefuktio oder Statistik. Schätzt T eie ubekate Parameter, da et ma T eie Schätzfuktio oder kurz Schätzer. Eie Realisierug t tx,..., x des Schätzers T Wir werde de Begri Schätzug aber auch für de Schätzer T heiÿt Schätzwert oder Schätzug. selbst verwede. Beispiel 9 Die Verteilug F der X i ethalte die Parameter µ ud σ mit µ EX i ud σ V arx i. Die Realisierug X XX,..., X x ˆµ X i ist Schätzer für µ. x i schätzt µ aus der Stichprobe. x heiÿt empirisches Mittel der Stichprobe x,..., x. Die Realisatio s S S X,..., X s ˆσ X i X ist Schätzer für σ. x i x approximiert σ. bezeichet ma als empirische Variaz der Stichprobe. Deitio 3. Eie Folge vo Schätzer T IN des Parameters θ heiÿt kosistet, falls Ei Schätzer T heiÿt erwartugstreu ubiased, falls lim P T T θ > ɛ 0. ET θ.

3 Statistik, Abschitt 3. 3 Ei icht erwartugstreuer Schätzer heiÿt verzerrt biased. heiÿt systematischer Fehler Bias. bθ, T : ET θ 3 Eie Folge T IN vo Schätzfuktioe et ma asymptotisch erwartugstreu, we lim ET θ. 4 Lemma 3. gilt: X i seie uabhägig idetisch verteilt mit EX i µ, V arx i σ. Da. X ist erwartugstreuer ud kosisteter Schätzer für µ.. S ist erwartugstreuer Schätzer für σ. 3. Aus X i Nµ, σ folgt die Kosistez vo S wege V ars σ4 ud der TschebyschevUgleichug. Beweis. Die Erwartugstreue vo X folgt sofort aus der Liearität des Erwartugswertes EX E X i EX i µ. Die Kosistez läÿt sich wie folgt achweise: V arx V ar X i V arx i σ. P X X µ > ɛ P X X EX > ɛ ɛ V arx σ 0 für. ɛ

4 Statistik, Abschitt Für de Erwartugswert vo S erhält ma ES E X i X E [ X i X ] { } EXi EX i X + EX { µ + σ EX } i j X j + µ + σ { µ + σ } + EX i i/ j EX ix j 3. Wir werde später zeige, dass Y σ S σ { µ + σ + µ + σ µ} { σ µ + µ} σ. X i X χ Chi-Quadrat-Verteilug ud somit EY, V ary. Für S ergibt sich somit σ ES E Y σ EY σ, σ V ars V ar Y σ 4 σ4 V ary. Beispiel 0 Als Schätzer für σ wird machmal S L X i X beutzt. Diese Schätzug ist icht erwartugstreu. Der Bias ist bσ, SL ESL σ σ σ σ. S L ist aber asymptotisch erwartugstreu wege lim ES L σ. Die Güte verschiedeer Schätzfuktioe T i für θ wird vor allem aufgrud ihrer zu erwartede quadratische Abweichuge E[T i θ ] vo θ bestimmt.

5 Statistik, Abschitt 3. 5 Deitio 3.3 T ud T seie zwei Schätzer des Parameters θ. T heiÿt wirksamer als T, falls Sid T ud T erwartugstreu, so bedeutet das E [ T θ ] < E [ T θ ]. 5 V art < V art. T 0 heiÿt eektiver wirksamster Schätzer vo θ, falls gilt: für alle Schätzer T vo θ. E [ T 0 θ ] E [ T θ ] 6 Satz 3. Für Stichprobevariable X i mit EX i µ, V arx i σ gilt: X ist wirksamster liearer Schätzer für µ. Für X i Nµ, σ hat S L Beweis de quadratische Fehler E [ S L σ ] σ4 Dieser quadratische Fehler ist kleier als der quadratische Fehler vo S, der sich ergibt als Sei Z liearer Schätzer mit Z V ars E [ S σ ] a i X i, wobei. σ4. a i, a i IR. V arz σ a i ist geau da miimal, we die Koeziete a i so gewählt werde, dass a i mit der Nebebedigug a i miimal wird. a i a i + a i + a i + }{{} 0 a i +. Dies ist miimal für a i, i,...,.

6 Statistik, Abschitt 3. 6 Nach Lemma 3. gilt: V ars E[S σ ] ES 4 E S σ4 E[S L σ ] ES 4 L σ ES L + σ 4. Mit S L S folgt E[S L σ ] ES 4 σ ES + σ 4 V ars + E S σ4 + σ 4 Satz 3. σ4 σ 4 + σ 4 σ4 σ σ4. Seie X i iid F stetige Zufallsvariable mit Dichte f, k p + ud fx p > 0, wobei x p das pquatil der Verteilug F : F x p p. X X X die Ordugsstatistike. Da hat die kte Ordugsstatistik X k folgede Eigeschafte. a X k ist as. erwartugstreuer ud kosisteter Schätzer vo x p mit EX k x p + a + O p p V arx k f x p, b X k as N p p x p,. fx p Beispiel Media ud arithmetisches Mittel für N0, σ ud L 0, λ Sei ugerade, p, k +, da ist X Xmed X k der Schätzer für de Media m x 0.5 mit der asymptotische Eigeschaft X as N x 0.5, fx 0.5. Sei X i N0, σ, fx π σ e x /σ fx 0.5 f0 πσ dass X as N 0, πσ N 0,.53 σ, womit folgt, d.h. σ X.53 σ.53 σx.

7 Statistik, Abschitt 3. 7 Sei X i L0, λ, fx λ e λ x, EX 0, V arx, f0 λ. λ Da ist V arx V arx woraus σx λ λ folgt. V ar X λ ud σ X λ σ X σ X. Bemerkug Das arithmetische Mittel X ist ach Satz 3. wirksamster liearer Schätzer für die Lokatio EX µ. Bei symmetrische Verteiluge stimmt der Erwartugswert µ mit dem Media x 0.50 m überei. Nach Satz 3. wird der Media m durch de empirische Media X med geschätzt, der als Ordugsstatistik ei icht-liearer Schätzer ist. Beispiel vergleicht diese beide Schätzer. Falls X i N0, σ ist das arithmetische Mittel X ei wirksamerer Schätzer für die Lokatio µ x als der Media X med. Falls X i L0, λ ist aber der Media X med ei asymptotisch wirksamerer Schätzer für die Lokatio µ x als das arithmetische Mittel X.