Kommentar zu Kronthaler: Statistik angewandt

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1 Ei bissche Mathematik muss scho sei! Studie Autor: Helmut Vetter Ort, Datum: Arlesheim,

2 Diese Arbeit wurde mit TexLive erstellt. Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt Ei bissche Mathematik muss scho sei! Autor Vetter, Helmut Schillerweg 2 CH-4144 Arlesheim helmut.vetter@fhw.ch Auftraggeberschaft Fachhochschule für Wirtschaft Taer, Christia Arlesheim, September 2014 Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter i

3 Ehrewörtliche Erklärug Ich versichere, dass ich die vorliegede Arbeit selbststädig ud ohe Beutzug aderer als der im Literaturverzeichis agegebee Quelle ud Hilfsmittel agefertigt habe. Die wörtlich oder ihaltlich de im Literaturverzeichis aufgeführte Quelle ud Hilfsmittel etommee Stelle sid i der Arbeit als Zitat bzw. Paraphrase ketlich gemacht. Diese Arbeit ist och icht veröffetlicht worde. Sie ist somit weder adere Iteressete zugäglich gemacht och eier adere Prüfugsbehörde vorgelegt worde. Arlesheim, Helmut Vetter Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter ii

4 Maagemet Summary Auf Aregug vo Christia Taer für mehr Praxisbezug im Mathematikuterricht habe ich das Buch vo Fraz Krothaler Statistik agewadt gelese. Vom Asatz her ist das Buch ordetlich. I mathematische Details ethält es eiige Fehler. Ich möchte hier 4 Pukte herausgreife, die mir missfalle habe. Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter iii

5 Ihaltsverzeichis 1 Seite 37: Quatile 1 2 Seite 94: Grudgesamtheit Ω der Grösse Ω = N < 1 3 Seite 113: X N(µ, σ) 2 4 Seite 126: Alterativhypothese 3 Literaturverzeichis 4 Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter iv

6 1 Seite 37: Quatile Bei 8 Werte ergibt sich das 0.25-Quatil gemäss Statistik agewadt als Wert Nummer 2.5, also als x [2] (x [3] x [2] ). Obwohl das Buch sich auf die Statiatikberechuge i Excel stützt, ist diese Rechug icht koform mit der Berechug des Quatils i Excel! Excel (wie auch R) liefert Wert Nummer (8 1) = 2.75, also x [2] (x [3] x [2] ) Bemerkug: Dieser Asatz ist wohl dem Bestrebe geschuldet, dass ma i jedem Fall eie Wert ausweise will! Dies geligt, da der Idex 1 + q (8 1) [1, 8] für alle q [0, 1] Mathematisch fudiert wäre folgedes Vorgehe: Bezeiche q(x) := P (X x) das Quatil des Wertes x. Ziehe wir Werte ud orde diese aufsteiged X [1] X [2]... X [], so ergibt sich die Wahrscheilichkeitsdichte f k vo q(x [k] ) zu f k (q) = ( 1 k 1 ) qk 1 (1 q) k 1) Kotrolle Regularität: 1 0 ( 1 k 1 ) qk 1 (1 q) k dq = ( 1 ) B(k, k + 1) = k 1 = 2) Erwartugswert E[q(X [k] )]: 1 0 ( 1)! Γ(k)Γ( k + 1)! (k 1)!( k)! = = 1 (k 1)! ( k)! Γ( + 1) (k 1)! ( k)!! q ( 1 k 1 ) qk 1 (1 q) k dq = ( 1 ) B(k + 1, k + 1) = k 1 = ( 1)! Γ(k + 1)Γ( k + 1)! k!( k)! = = k (k 1)! ( k)! Γ( + 2) (k 1)! ( k)! ( + 1)! = k + 1 Wert Nummer k = 0.25 ( + 1) = = 2.25, also x [2] (x [3] x [2] ) Bei de drei Verfahre komme die 8 Messwerte a de folgede Quatile zu liege: Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter 1 vo 4

7 2 Seite 94: Grudgesamtheit Ω der Grösse Ω = N < I diesem Zusammehag werde schwammige ud auch uhaltbare Behauptuge aufgestellt! So sollte es sei: Defiiere µ := 1 Ω x Ω x σ 2 := 1 Ω (x µ) 2. x Ω Es wird eie Stichprobe X 1, X 2,... X vom Umfag N aus der Grudgesamtheit gezoge. X := 1 i=1 X i S 2 := 1 1 (X i X ) 2 i=1 Folgedes lässt sich zeige: Satz 1) E(S 2 ) = N N 1 σ2 2) V (X ) = N N 1 σ2 3) V (X ) = N N E(S2 ) Lemma Für 1 i, 1 j ud i j gilt (jeweils iklusive Beweis): E(X i ) = 1 Ω x = µ, speziell E(X i ) = E(X 1 ) x Ω V (X i ) = 1 Ω (x µ) 2 = σ 2, speziell V (X i ) = V (X 1 ) x Ω E(X 2 i ) = E(X i µ + µ) 2 = E(X i µ) E(X i µ) µ + µ 2 = σ µ + µ 2 = σ 2 + µ 2, speziell E(X 2 i ) = E(X2 1 ) E(X i X j ) = E(E(X i X j X i )) = E(X i Nµ X i N 1 ) = E(X i = µ 2 σ2 N 1, speziell E(X ix j ) = E(X 1 X 2 ) σ2 Nµ N 1 ) E( X2 i N 1 ) = µ Nµ N 1 µ2 + σ 2 N 1 = C(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) = µ 2 N 1 µ2 = N 1, speziell C(X i, X j ) = C(X 1, X 2 ) Beweis vo 1): E(S) 2 1 = E( 1 (X i X ) 2 ) = 1 E( 1 X 1 1 X i ) 2 = i=1 = 1)2 1 [(( ( 1) 2 ) E(X2 1 ) + ( 2 = (µ 2 + σ 2 ) (µ 2 σ2 N 1 ) = N N 1 σ2 qed. Beweis vo 2): V (X ) = V ( Beweis vo 3): X i i=1 ) = 2 V (X 1) + ( 1) 2 ( 1)2 2 + σ2 i=2 C(X 1, X 2 ) = 1 1 N 1 ( 1) ( 2) 2 ) E(X 1 X 2 )] = σ 2 = N N 1 σ2 Aus 2) ud 1) folgt: V (X ) = N N 1 σ2 = N N 1 E(S2 ) (N 1) = N N N E(S2 ) qed. qed. Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter 2 vo 4

8 3 Seite 113: X N(µ, σ) Heisst gaz klar: X ist ormalverteilt gemäss N(µ, σ). Krothaler spricht vo aäherd ormalverteilt. Das wäre aber X N(µ, σ) 4 Seite 126: Alterativhypothese H 0 : µ = 40, H A = H 0, also H A : µ 40 ud icht H A : x 40 wie im Buch steht. Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter 3 vo 4

9 Literaturverzeichis Krothaler, Fraz (2014): Statistik agewadt. 1. Auflage. Berli Heidelberg: Spriger Verlag Kommetar zu Krothaler: Statistik agewadt [Versio 1.1] Helmut Vetter 4 vo 4