Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

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1 Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrcheilichkeittheorie, Schät- ud Tetverfahre ÜBUNG. - LÖSUNGEN. Differetet für de Mittelwert (abhägige Stichprobe) Zwei Verfahre um Nachwei eie hormoale Dopigmittel olle miteiader vergliche werde; dau wurde 0 ufällig etommee Blutprobe vo geude Erwachee i je eie A- ud eie B-Probe aufgeteilt ud mit de beide Verfahre getret uterucht. Wir utercheide die beide Zufallvariable X i : ormogehalt der A-Probe i mit Methode A gemee Y i : ormogehalt der B-Probe i mit Methode B gemee Die Stichprobe im Umfag 0 habe folgede Differee de ormogehalt ergebe: i x y :, 0,, 3,,, 0,,, 0 [%o] i i Die mittlere Differe der Meergebie ud ihre Varia betruge 0 i i ,8 0 0 ( i ) ( 0 0 i i i 0,8) 7,6,95 9,3984 Wir tete die ypothee, da beide Verfahre im Durchchitt um elbe Meergebi führe, für da Sigifikaiveau α 5%! Die Nullhypothee lautet 0 : μ μ0 ud die Alterativhypothee : μ μ0 0 0 Seger Iduktive Statitik

2 ÜBUNG. - LÖSUNGEN Parametertet für de Mittelwert μ μ μ : [] Sigifikaiveau: α 0,05 α 0,95 [] Quatile der t-verteilug mit ν Freiheitgrade, da < 30: α α t t t (0,975),6 au t-tabelle für 9 [3] Stichprobemittel (Tetgröße) ud Stichprobevaria: 0,8,,95,,398 [4] Berechug der kritiche Abweichug: Δ t ˆ σ Z t,398 3,5948,6 0, ,68 [5] Betimmug de Aahmebereich: μ Δ μ + Δ Δ Δ μ 0! [6] Etcheidug über die Aahme < 0,8 < Da Stichprobemittel (Tetgröße) liegt im Aahmebereich. Der Uterchied wiche de beide Stichprobemittelwerte it icht igifikat. Die Nullhypothee, da beide Memethode im Durchchitt um elbe Reultat führe, wird bei eiem Sigifikaiveau vo α 5% durch de Tet betätigt ud ageomme. Wird alterativ al Tetgröße die t-verteilte Zufallvariable Z μ V S Z S mit μ 0 gewählt, da verläuft der Zweitichprobetet i folgede Schritte: Seger Iduktive Statitik

3 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 3 Parametertet für de Mittelwert μ μ μ : [] Sigifikaiveau: α 0,05 α 0, 95 [] Tetfuktio: v 0,8, ,57 0,8 [3] Quatile (au t-tabelle): α α t ; t ; t (0,975;9),6 [4] Betimmug de Aahmebereich:,6 v,6 [5] Etcheidug über die Aahme,6 < v,8<,6 Die Tetgröße v liegt im Aahmebereich. Die Nullhypothee wird bei eiem Sigifikaiveau vo α 5% durch de Tet betätigt ud ageomme.. Differetet für de Mittelwert (uabhägige Stichprobe) Eie Stichprobeerhebug de moatliche Eikomme bei 3 BWL- ud 33 VWL-Studete ergab bei de BWL-Studete mit 760 im Durchchitt ei höhere Eikomme al bei de VWL-Studete mit 690. E wird ageomme, da da Eikomme ormalverteilt ud die Stadardabweichug σ σ σ 00 au frühere Erhebuge bekat it. E oll geprüft werde, ob ei igifikater Uterchied wiche de Eikomme der BWL-Studete ud der VWL-Studete beteht. Wir utercheide die Zufallvariable: X: Eikomme eie BWL-Studete Y: Eikomme eie VWL-Studete Die Stichprobe habe ergebe: 3, x 760, σ 00, σ 0000 Seger Iduktive Statitik

4 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 4 33, y 690, σ 00, σ 0000 Da durchchittliche Eikomme der BWL-Studete war i de Stichprobe größer al da der VWL-Studete. Wir tete daher die ypothee, da der Eikommeuterchied icht igifikat, oder ufallbedigt war. Da Sigifikaiveau it mit α 4% gegebe. Die Nullhypothee ud die Alterativhypothee laute μ ; : μ μ 0 : μ Differetet für de Mittelwert [] Sigifikaiveau: α 0,04 α 0,96 [] Tetfuktio: v x y σ σ + σ x y + σ x y + σ x y , ,8 5 [3] Quatile der Tetverteilug N(0;) α α c c c(0,98),054 [4] Betimmug de Aahmebereich:,054 v,054 [5] Etcheidug über die Aahme,054 < v,8 Die Tetgröße v liegt icht im Aahmebereich. Die Nullhypothee wird bei eier Irrtumwahrcheilichkeit vo α 4% durch de Tet widerlegt ud verworfe. Der Eikommeuterchied wiche de BWL-Studete ud de VWL-Studete it igifikat; die Alterativhypothee wird durch de Tet betätigt ud ageomme. Seger Iduktive Statitik

5 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 5 3. Differetet für de Ateilwert Eie Wählerbefragug oll kläre, ob ich da Wahlverhalte vo Fraue ud Mäer utercheidet. Dau wurde je 00 ufällig augewählte wahlberechtigte Fraue ud Mäer ach ihre Präferee gefragt. 70 Fraue, aber ur 60 Mäer gabe a, da ie de Kadidate der Regierugkoalitio wähle würde. Wir utercheide die Zufallvariable X: Aahl der Fraue, die die Regierugkoalitio wähle würde Y: Aahl der Mäer, die die Regierugkoalitio wähle würde Die Stichprobe ergabe: 00, 70, x 70 p 00 0, 35 00, y 60,, y 60 p 00 0, 3 Der Ateil der Fraue, die die Regierugkoalitio wähle würde, betrug 35% ud der Ateil der Mäer 30%. Wir tete daher, ob der Uterchied der Wählerateile ufallbedigt war oder ob ich da Wahlverhalte vo Fraue ud Mäer igifikat utercheidet. Da Sigifikaiveau it mit α 0,03 gegebe. Die Nullhypothee lautet π 0 : π ud die Alterativhypothee : π π Zweieitiger Differetet für de Ateilwert [] Sigifikaiveau: α 0,03 [] Tetfuktio: Schätwert für π x + y p ,35 Seger Iduktive Statitik

6 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 6 Tetgröße v p p p( p) + 0,35 0,30 0,35( 0,35) ,05 0,35 0, ,94 0,05 0, ,05 0, ,05 0,084 0,6068 0,6 [3] Quatile der Tetverteilug (N(0;)-Verteilug): α c c (0,985),70 au N(0;)-Tabelle [4] Betimmug de Aahmebereich:,70 v,70 oder v,70 [5] Etcheidug über die Aahme:,70 < v 0,6 <,70 Die Tetgröße v liegt im Aahmebereich. Der Uterchied wiche dem Ateil der Fraue ud dem Ateil der Mäer, die de Kadidate der Regierugkoalitio wähle würde, it icht igifikat. Die Nullhypothee 0, da ich da Wahlverhalte vo Fraue ud Mäer icht utercheidet, wird beim Sigifikaiveau α 3% durch de Tet betätigt ud ageomme. Die Alterativhypothee, da ich da Wahlverhalte vo Fraue ud Mäer igifikat utercheidet, wird durch de Tet widerlegt ud daher verworfe. Seger Iduktive Statitik

7 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 7 4. Quotietetet für die Varia Ei erteller vo ady garatiert für die verwedete Akku eie hohe Stadby-Zeit. Durch eie Stichprobe oll überprüft werde, ob ei euer Akkutyp II die Varia der Stadby-Zeit gegeüber dem alte Akkutyp I reduiert hat. Wir utercheide die beide Zufallvariable X : Stadby-Zeit de Akkutyp I [h] ; N ( μ ; σ) Y : Stadby-Zeit de Akkutyp II [h] ; N μ ; σ ) Die Stichprobe habe ergebe: ( 4, x 0, 0 00, y 5, 5 5 Die Stichprobevaria der Stadby-Zeit war beim Akkutyp I kleier al beim Akkutyp II. Durch eie Tet oll geprüft werde, ob der i de Stichprobe beobachtete Uterchied der Variae bei de beide Akkutype durch de Zufall erklärt werde ka oder ob er auf eie igifikate Uterchied der Variae i der Grudgeamtheit σ ud σ hideutet. Aahmegemäß it die Stadby-Zeit der Akku ormalverteilt; N ( μ ; σ) für de Akkutyp I ud N ( μ ; σ ) für de Akkutyp II. Weder die Mittelwerte μ ud μ och die Variae σ ud σ der Grudgeamtheite id bekat. Die Awedugvorauetuge für de Variaquotietetet id alo erfüllt. Wir führe daher eie weieitige Quotietetet für die Variae durch. Da Sigifikaiveau it mit α 0,0 gegebe. Die Nullhypothee ud die Alterativhypothee laute 0 : σ σ : σ σ Zweieitiger Variaquotietetet (omogeitättet) [] Sigifikaiveau: α 0,0 ; α 0, 98 [] Tetfuktio: v 5 00,5 Seger Iduktive Statitik

8 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 8 [3] Quatile der Tetverteilug (F-Verteilug mit ν, ν Freiheitgrade): mit F F (0,99;0;3),78 F F (0,0;0;3) F(0,99;3;0),89 0, F ( 0,99;3;0),94 (,94,78), [4] Betimmug de Aahmebereich: 0,346 v,78 [5] Etcheidug über die Aahme: 0,346 < v,5 <,78 Die Tetgröße v liegt im Aahmebereich. Der Uterchied wiche de Variae der Stadby-Zeit der beide Akkutype i de Stichprobe it icht igifikat. Die Nullhypothee (Variahomogeität) wird bei eiem Sigifikaiveau vo α % durch de Tet betätigt ud ageomme. Die Alterativhypothee, da die Variae der Stadby-Zeit der beide Akkutype differiere (Variaihomogeität), wird durch de Tet widerlegt. 5. Differetet für de Mittelwert (uabhägige Stichprobe, Varia ubekat) Die Stichprobe der Aufgabe 4 olle u dau verwedet werde, u tete, ob der eue Akkutyp im Durchchitt eie lägere Stadby-Zeit hat. Wir utercheide wieder die beide Zufallvariable X : Stadby-Zeit de Akkutyp I [h] ; N ( μ ; σ) Y : Stadby-Zeit de Akkutyp II [h] ; N μ ; σ ) Die Stichprobe habe ergebe: ( 4, x 0, 0 00, y 5, 5 5 Die durchchittliche Stadby-Zeit de eue Akkutyp II war i der Stichprobe etwa größer al die durchchittliche Stadby-Zeit de alte Akkutyp I. Wir tete daher die ypothee, da die durchchittliche Stadby-Zeit der beide Akku- Seger Iduktive Statitik

9 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 9 type gleich it, der fetgetellte Uterchied icht igifikat, oder ufallbedigt war. Da Sigifikaiveau it wieder mit α 0,0 gegebe. Da die Variae der Stadby-Zeit der beide Akkutype icht bekat id, köe wir de Differetet für de Mittelwert ur uter Aahme der Variahomogeität durchführe, die wir bereit i Aufgabe 4 getetet habe. Die Nullhypothee lautet μ 0 : μ ud die Alterativhypothee : μ μ Zweieitiger Differetet für de Mittelwert (Varia ubekat): [] Sigifikaiveau: α 0,0 [] Tetfuktio: Stichprobevaria (gepoolt) Tetgröße v ( ) + ( ) (4 ) 00 + ( ) x y , , ,99,58 0,988 3,759 [3] Quatile der Tetverteilug (t-verteilug mit 43 Freiheitgrade): t α ; + t (0,99; 45 ),46 [4] Betimmug de Aahmebereich:,46 v,46 Seger Iduktive Statitik

10 ÜBUNG. - LÖSUNGEN 0 [5] Etcheidug über die Aahme:,46 < v 3,99,46 Die Tetgröße v liegt icht im Aahmebereich. Der Uterchied wiche de durchchittliche Stadby-Zeite der beide Akkutype it igifikat Die Nullhypothee 0, da die durchchittliche Stadby-Zeit der beide Akkutype gleich it, wird bei eier Irrtumwahrcheilichkeit vo α % durch de Tet widerlegt ud daher verworfe. Die Alterativhypothee, da ich die durchchittliche Stadby-Zeit der beide Akkutype igifikat utercheidet, wird durch de Tet betätigt ud ageomme. Seger Iduktive Statitik