Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 9 1

2 Ihalt der heutige Übug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Iformatioe zur Testatprüfug Besprechug der der Hausübug E.6 Gemeisames Löse der Übugsaufgabe E.13: Bayes sches Updatig E.14: Regressiosaalyse Keie Hausübug

3 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Testatprüfug am Doerstag 5.Mai Wa? Doerstag, 5. Mai, 8:00 Uhr Dauer der Prüfug: 60 mi Wo? Die Raumaufteilug wird och auf userer Homepage veröffetlicht: 3

4 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Testatprüfug am Doerstag 5.Mai Ihalt 60 mi. Multiple Choice Gesamter Stoff bis eischliesslich Vorlesug 9 ud Übug 9. Hilfsmittel Eie DIN A4 Seite doppelseitig Formelsammlug erlaubt. Keie weitere Hilfsmittel erlaubt! 4

5 Aufgabe E.13 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die Betodruckfestigkeit vo Probekörper eier bestimmte Produktio wird als ormalverteilt ageomme: ~ N, Aus frühere Testergebisse ist der Mittelwert ud die Stadardabweichug der Druckfestigkeit bekat. Nach Berücksichtigug der statistische Usicherheit ist der Mittelwert der Betodruckfestigkeit ebefalls ormalverteilt (Eiheit i MPa): ~ ' 35, ' 3 N Die Stadardabweichug wird als bekat (determiistisch) ageomme: 10MPa 5

6 Aufgabe E.13 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Um die Verteilug des Parameters zu aktualisiere, wurde 0 Versuchskörper auf ihre Druckfestigkeit geprüft. Die Ergebisse sid i der Tabelle gegebe. Bestimme die a posteriori Verteilug des Mittelwertes sowie die prädiktive Verteilug der Beto Druckfestigkeit ~ ' 35, ' 3 N 10MPa Es wird ur die Verteilug des Mittelwertes aktualisiert. Nr. Druckfestigkeit [MPa] Nr. Druckfestigkeit [MPa]

7 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aktualisierug vo Wahrscheilichkeitsverteiluge Durch eue Messuge ˆx köe wir usere A Priori Wahrscheilichkeitsdichte für de Mittelwert aktualisiere Dazu verwede wir de Satz vo Bayes. A Posteriori Likelihood A Priori f '' xˆ f xˆ f xˆ f ' d f ' 7

8 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aktualisierug vo Wahrscheilichkeitsverteiluge 8

9 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.13 Die kojugierte a priori Verteilug für das Aktualisiere des Mittelwertes eier Normalverteilug bei bekater Stadardabweichug ist die Normalverteilug. ~ ' 35, ' 3 N 10MPa Für diese Fall gibt es eie aalytische Lösug! Kojugierte Verteiluge: Sowohl die a priori als auch die a posteriori Verteilug gehöre zur selbe Verteilugsfamilie. 9

10 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aktualisierug vo Wahrscheilichkeitsverteiluge Wolle wir de Mittelwert eier Normalverteilug aktualisiere, ergibt sich folgeder Zusammehag: f '' xˆ f ˆ x f ' xˆ ' f f d Die a priori Verteilug f ' ˆ ud die Likelihood x f xˆ sid Normalverteiluge. Da ist auch die a posteriori Verteilug Normalverteilug! f '' xˆ eie 10

11 Aufgabe E.13 Nr. Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die kojugierte a priori Verteilug für das Aktualisiere des Mittelwertes eier Normalverteilug bei bekater Stadardabweichug ist die Normalverteilug. x ~ ' 35, ' 3 N Für die aalytische Lösug beötige wir de Stichprobemittelwert x ud die Stichprobegrösse 10MPa Druckfestigkeit [MPa] Nr. Druckfestigkeit [MPa]

12 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E x A priori Verteilug für : Parameter der a posteriori Verteilug für : '' ~ ' 35, ' 3 N ' x ' 1 1 ' 0 Stichprobegrösse (Azahl Date) ' ' «Stichprobegewichtug» der a priori Verteilug 0 Je mehr Date zum Aktualisiere der A priori Verteilug verwedet werde, desto grösser ist der Eifluss der Likelihood (der Date) auf die a posteriori Verteilug Je kleier die Usicherheit i der A priori Verteilug ist, desto grösser ist ihr Eifluss auf die a posteriori Verteilug 1

13 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E x A priori Verteilug für : ~ ' 35, ' 3 N Parameter der a posteriori Verteilug für : ' x '' ' ' ' ' 3 9 ' 10 3 '' ' ' ' 3 3 '

14 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E x A priori Verteilug für : ~ ' 35, ' 3 N Parameter der a posteriori Verteilug für : ' x '' ' ' ' 10 3 '' ' ' ' 3 3 ' A posteriori Verteilug : ~ '' 33.5, '' 1.8 N 14

15 Aufgabe E.13 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug I der A Posteriori Wahrscheilichkeitsdichtefuktio für de Mittelwert sid die Iformatioe aus der A priori Verteilug ud der Likelihood (de Date) ethalte. A priori Verteilug für : A posteriori Verteilug : ~ ' 35, ' 3 N ~ '' 33.5, '' 1.8 N 15

16 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.13 Die (a posteriori) prädiktive Verteilug ist die eue Verteilug userer Zufallsvariable ach dem Aktualisiere der Verteilugsparameter: f x xˆ f x, f '' xˆ d Prädiktive Dichte Dichte bei gegebee Parameter A posteriori Verteilug der Paramter 16

17 Aufgabe E.13 f x xˆ 1 1 x exp N(, ) Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug I userem Beispiel ist die (a posteriori) prädiktive Verteilug wiederum eie Normalverteilug: A posteriori Mittelwert 17

18 Aufgabe E.13 f Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug I userem Beispiel ist die (a posteriori) prädiktive Verteilug wiederum eie Normalverteilug: x xˆ 1 1 x exp N(, ) Streuug des Mittelwerts Streuug um de Mittelwert 18

19 Aufgabe E.13 f N(, ) Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug I userem Beispiel ist die (a posteriori) prädiktive Verteilug wiederum eie Normalverteilug: x xˆ 1 1 x exp MPa MPa 19

20 (Lieare) Regressio Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Problemstellug: Der fuktioale Zusammehag zwische zwei Zufallsvariable soll bestimmt werde. Im Falle der lieare Regressio eie Gerade Ästigkeit [ ] Zugfestigkeit [N/mm²] 0

21 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 Datum Richtug 1 Richtug Us wurde Verkehrsdate der Rosegartestrasse i Zürich zur Auswertug übergebe. Richtug 1 gibt die Verkehrsbelastug zum Bucheggplatz, Richtug die Belastug zum Escher Wyss Platz a. 1

22 Aufgabe E.14 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Der Zusammehag der Verkehrsdate für die beide Richtuge soll mit Hilfe eier lieare Regressio bestimmt werde. a) Erstelle ei Regressiomodell für die Abhägigkeit zwische de Date der beide Richtuge: Bestimme die Regressioskoeffiziete sowie die Variaz des Residualwertes ud der geschätzte Modellparameter. Verwede hierzu ur die erste 10 Datepaare. b) Das Regressiosmodell soll u mit eue Date aktualisiert werde. Bestimme die a posteriori Regressioskoeffiziete ud quatifiziere die Usicherheit des aktualisierte Regressiosmodells. Verwede hierzu die zweite Hälfte des Datesatzes.

23 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 Der Zusammehag der Verkehrsdate für die beide Richtuge soll mit Hilfe eier lieare Regressio bestimmt werde. Regressiosgerade: Y 0 1 Täglicher Verkehr i Richtug 4 x Y Verkehr Richtug Verkehr Richtug Täglicher Verkehr i Richtug 1 x

24 Aufgabe E.14 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug a) Erstelle ei Regressiomodell für die Abhägigkeit zwische de Date der beide Richtuge: Bestimme die Regressioskoeffiziete sowie die Variaz des Residualwertes ud der geschätzte Modellparameter. 1 1 yˆ xˆ y x Formel für die Regressioskoeffiziete: 0 i 1 i 1 i1 i yx ˆˆ y xˆ yx ˆˆ yx i i i i i i1 i1 i1 Y s ˆ ˆ ˆ xi x xi xi x i1 i1 i1 s 4

25 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 Mit de Verkehrsdate vom 1. bis zum 10. April 001 ergebe sich die folgede Werte: x y 1 i 1 1 i 1 xˆ i yˆ i 1 i 1 1 i 1 xˆ i xy ˆˆ i i 1 ˆˆyx i i i (33 377) xˆ i x i1 0 y1x

26 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 Die Regressiosgerade hat die folgede Form: Y Der Zusammehag ist jedoch icht determiistisch: YN 0 1, ~ N(0, ) Täglicher Verkehr i Richtug 4 x Residualwert, Fehler Täglicher Verkehr i Richtug 1 x

27 Aufgabe E.14 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Ahad der Summe der quadratische Fehler ka ma beurteile, wie gut das Regressiosmodell die Date abbilde ka. i i i i1 i1 y 0 1x ˆ ˆ 8'814'936 Berechug der Stadardabweichug des Fehlers: i i1 8'814' k 10 Azahl Date Azahl Parameter 7

28 Aufgabe E.14 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Auf das gleiche Ergebis kommt ma mit der Matrix Schreibweise: Schätzug der Regressioskoeffiziete: T 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 T β y 1 Quatifizierug der statistische Usicherheit: T ˆ ˆ yˆ β yˆ β / k β V T V 1 Cov ˆ ˆ ˆ yˆ

29 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 1 xˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ 1 1 xi T i xˆ i ˆ ˆ x1 x xˆ ˆ i x i i1 i1 1 xˆ V ˆ T ˆ

30 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 ˆ T yˆ yˆ 1 yˆ i 1 1 i ˆ ˆ x1 x yˆ xy ˆˆ i i i1 Nu lasse sich die Regressioskoeffiziete bestimme: 1 T 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 T β y

31 Aufgabe E.14 Die Fehlervariaz berechet sich wie zuvor: Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 1 1 k k T ˆy β ˆ ˆy β ˆ ˆyi ˆ 0 1xi Hieraus ergibt sich die Kovariaz Matrix der Modellparameter: Cov β V Var[ ] Cov[, ] Cov[ 0, 1] Var[ 1] i1 31

32 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 Regressiosmodell: YN 0 1, Regressioskoeffiziete: β Usicherheit des Modells: Täglicher Verkehr i Richtug 4 x Cov β Täglicher Verkehr i Richtug 1 x

33 Aufgabe E.14 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug b) Das Regressiosmodell soll u mit eue Date aktualisiert werde. Bestimme die a posteriori Regressioskoeffiziete ud quatifiziere die Usicherheit des aktualisierte Regressiosmodells. Verwede hierzu die zweite Hälfte des Datesatzes. β'' V '' V ' β' ˆ yˆ A posteriori Modell A priori Modell 1 T eue Date V V ˆ ˆ 1 1 T '' ' Die Iformatioe aus dem bestehede a priori Regressiosmodell ud de eue Date werde für das a posteriori Modell kombiiert. 33

34 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 Das a priori Modell aus Teilaufgabe a) soll mit eue Date aktualisiert werde. Das a posteriori Modell wird folgedermasse bestimmt: β'' V '' V ' β' y ˆ ˆ '' ' 1 T V V ˆ ˆ 1 1 T Täglicher Verkehr i Richtug 4 x Täglicher Verkehr i Richtug 1 x

35 Aufgabe E.14 ˆ Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug T T Zuächst bereche wir ud yˆ für die eue Date: ˆ ˆ ˆ ˆy ˆ ˆ 1 ˆxi i ˆx ˆ i x i i1 i1 T y ˆ ˆ ŷi i ˆˆ xy i i i1 T 35

36 Aufgabe E.14 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Die eue Date werde mit dem a priori Modell kombiiert: A priori eu 1 1 ˆ T ˆ V V = '' ' V '' Nu köe die a posteriori Regressioskoeffiziete bestimmt werde: ˆ β'' V '' V ' β' y 1 T 0 ˆ

37 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Aufgabe E.14 Das a priori Modell wurde mit de eue Date aktualisiert. Die a posteriori Regressiosgerade hat die folgede Form: Y Täglicher Verkehr Richtug 4 x Täglicher Verkehr Richtug 1 x