V. Tests bez. zweier Verteilungsfunktionen

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1 7 V. Tests bez. zweier Verteilugsfuktioe Seie X ud Y zwei uabhägige oralverteilte Zufallsvariable, für die zwei kokrete Stichprobe x, x,..., x bzw. y, y,..., y it de Ufäge bzw vorliege. a) X ud Y seie bekat (doppelter GAUSS-Test) Ablehugsbereich K* ) X = Y t ber > z X Y ) X [ Y X Y t ber > z + 3) X Y t ber < z b) X = Y, jedoch sei der geeisae Wert ubekat (doppelter t-test) Ablehugsbereich K* ) X = Y t ber > t + X Y $(+ ) ; ) X [ Y t ber > t + ; X k X 3) X Y + Y l Y (+) t ber < t + ; c) Seie X ud Y bekat. Ablehugsbereich K* ) X = Y ( X t ber > f, ; k X ) ) X [ Y - t ber < f, ; t ber > f, ; ( 3) X Y l Y ) Y t ber < f, ;

2 d) Seie X ud Y ubekat (F-Test) Ablehugsbereich K* t ber > f ), ; - t ber < f, ; X k X X = Y ) X [ Y t ber > f, ; 3) X Y l Y Y t ber < f, ; 8 e) Seie X ud Y diskrete Zufallsvariable it gleiche Wertevorrat z, z,..., z r. H 0 : Die Wahrscheilichkeitsfuktioe vo X ud Y sid idetisch. Testgröße : T = ( + ), H. k + H. l H k H l Ablehugsbereich K* : t ber > r ;, Sigifikaziveau : approxiativ. h k bzw. h l sid die Azahl der Werte x k gleich z k bzw. y l gleich z l. Diese absolute Häufigkeite sollte sätlich größer 5 sei. Dieser sogeate Chi-Quadrat-Apassugstest läßt sich auch auf die Prüfug der Hypothese H 0 : Die Verteilugsfuktioe zweier Zufallsvariable X ud Y sid idetisch verteilt. awede. Zur Bestiug der Testgröße wählt a für die beide Zufallsvariable eie geeisae Klasseeiteilug für die beide Zufallsvariable it de obere Klassegreze s < s <... < s < s = +. Ma bestit uehr die Klassehäufigkeite h k bzw. h l für die Stichprobe x k bzw. für die Stichprobe y l bez. der Klasse (s k, s k ] bzw. (s l, s l ]. k bzw. l erstrecke sich dabei jeweils vo bis. s 0 = -.

3 9 VI. Tests bei eier lieare Regressiosfuktio. Art De achfolgede Ausführuge ist das folgede Regressiosodell zugrudegelegt. Y(x) = a + bx + V(x) Die Variable x ehe dabei Werte x, x,..., x a, die jedoch icht alle verschiede zu sei brauche. Die etsprechede Zufallsvariable V (x k ), k =,..., seie uabhägig, idetisch verteilt ud oralverteilt it de Erwartugswert 0 ud der Streuug. Ferer sei y k eie Realisierug der Zufallsvariable Y(x k ), k =,,...,. Das Wertepaar x k, y k faßt a als eie Vektor [x k, y k ] auf ud sieht diese Vektore (k =,,..., ) als Stichprobe vo Ufag für die Regressiosgerade a. Zur Vereifachug der achfolgede Tests bez. a, b, werde folgede Abkürzuge eigeführt: = (X k X), S Y = (Y k Y), Y = Y k Y X k X = ( Y k X k YX), bˆ = Y, â = Y bˆx, yˆk = â+ bˆx k, k =,...,, S = ( Y k yˆk) = S Y bˆ, S a = S ( ) + X ( ), S b = S.

4 a) a) 0 Hypothese H 0 Testgröße T Ablehugsbereich K* a = a a a 0 0 t ber > t ; S a a a 0 t ber < t ; - a[a 0 t ber > t ; b = b 0 b b 0 t ber > t ; S b bb 0 t ber < t ; - b[b 0 t ber > t ; ( ) S = 0 t ber < ; - t ber > ; 0 0 t ber < ; [ 0 t ber > ; b) Prüfug der Hypothese H 0 : Die Regressioisfuktio ist liear Zur Kostruktio eier ögliche Testgröße verfährt a wie folgt. Ma wählt eie Klasseeiteilug bez. der x-werte. Dabei ist darauf zu achte, daß die liksseitige bzw. die rechtsseitige offee Klasse keie x-werte ethält. Seie u x *,...,x * die Klasseitte derjeige Klasse, für die die Klassehäufigkeite respektive,..., größer 0 sid. Ferer seie y kl, l =,..., k geau die k y-werte, für die die x-werte i der Klasse it der Klasseitte x k *, k=,..., liege. Da ist die Testgröße T = k y k* a bx k & k y kl y k* ( ) ( ). Für de Ablehugsbereich K* : t ber f, ; beträgt das Sigifikaziveau approxiativ.

5 VII. Tests bez. zweier Regressiosgerade. Es öge zwei uabhägige lieare Regressiosodelle it de Regressiosgerade y = a (i) + b (i) x, i=, vorliege.. Die etsprechede Streuuge seie ud. Die beide Stichprobe seie x () () k, y k, k =,..., ud x () () l, y l, l =,...,. Die Größe S, S x () Bzw. S, S x () sid für die erste bzw. zweite Stichprobe aalog ach de Forel für S ud zu bereche. Ablehugsbereich K* t ber > f, = S ; - t ber < f, ; S t ber < f, ; [ t ber > f, ; Falls = ist, (diese Aahe läßt sich it de erste der drei vorstehede Tests überprüfe) hat a folgede Tests bez der Regressioskoeffiziete zur Verfügug. Hypothese H 0 Ablehugsbereich K* b () = b () t ber > t + 4; b () b () t ber < t + 4; b () [ b () t ber > t + 4; Die Testgröße ist i alle drei Fälle T = ( b () b () )( + 4) ( )S + ( )S ( )S x () + ( )S x ()