GNS-Konstruktion. 1 GNS-Konstruktion

Transkript

1 Vortrag zum Semiar zur Fuktioalaalysis, Maximilia Brölsch Der Vortrag ist i zwei Teile gegliedert. Im erste Teil wird die eigeführt, ei Hilfsmittel um eie beliebige C -Algebra mit eier C -Uteralgebra des Raumes der beschräkte Operatore über eiem geeigete Hilbertraum zu idetifiziere. Im zweite Teil wird diese Kostruktio verwedet um die C -Algebre Struktur auf Matrix-Algebre über C -Algebre zu übertrage ud eie eue Charakterisierug der positive Elemete eier C -Algebra zu erhalte. 1 Im erste Abschitt wird u die eigetliche GNS- Kostruktio eigeführt, idem zuächst ei geeigeter Hilbertraum aus positive, lieare Fuktioale kostruiert wird ud da die Isometrieeigeschaft gezeigt wird. (1.1 Defiitio Sei A eie C -Algebra. Eie Darstellug vo A ist ei Paar (H, ϕ, wobei H ei Hilbert-Raum ud ϕ : A B(H ei -Homomorphismus ist. (H, ϕ heißt treu, falls ϕ ijektiv ist. (1.2 Lemma Sei A eie C -Algebra ud (H λ, ϕ λ eie Familie vo Darstelluge vo A. Da ist auch (H, ϕ mit H {(x λ, x λ H λ, P Λ abzählbar mit x λ 0, λ Λ \ P, λ P (x λ, x λ Hλ < } ud ϕ : A B(H, ϕ(a(x λ λ (ϕ λ (a(x λ λ eie Darstellug vo A. Des weitere ist (H, ϕ treu, falls für jedes 0 a i A ei λ i Λ existiert, so dass ϕ λ (a 0 ist. Zuächst wird gezeigt, dass H tatsächlich ei Hilbertraum, ud isbesodere wohldefiiert, ist. Sei dazu (, λ das Skalarprodukt auf H λ. Zuächst muss gezeigt werde, dass die Bedigug (x λ, x λ λ < uabhägig vo der Abzählug der Teilmege vo Λ ist, auf der die x λ ugleich ull sid. Sei dazu (x λ λ, S {λ Λ : x λ 0} ud θ eie Abzählug vo S, für die

2 1 (x λ, x λ λ (x λ, x λ λ λ S (x θ(i, x θ(i θ(i < ist. Da die (x λ, x λ λ alle größer ull sid, ist die Reihe auf der rechte Seite absolut koverget ud ka damit beliebig umgeordet werde. Damit folgt für jede adere Abzählug θ vo S: (x λ, x λ λ λ S (x θ(i, x θ (i θ(i (x θ(i, x θ(i θ(i Also ist die Mege H wohldefiiert. Zur Hilbertraumstruktur wird zuächst ei Skalarprodukt auf H defiiert durch ((x λ λ, (y λ λ H : (x λ, y λ λ (1 Zur Wohldefiiertheit P(x : P((x λ λ : {λ Λ, x λ 0}.Damit ist P(x für alle x aus H abzählbar. Sei u (x λ λ, (y λ λ aus H. Da gilt: (x, y H (x λ, y λ Hλ (x λ, y λ Hλ λ P(x P y Mit P x ud P y ist auch der Schitt abzählbar ud es gilt für jedes (x λ, y λ die Cauchy- Schwarz-Ugleichug, womit folgt: (x λ, y λ Hλ x λ Hλ y λ Hλ λ P(x P(y λ P(x P(y λ P(x P(y λ P(x (x λ, x λ 2 H λ (x λ, x λ 2 H λ λ P(y λ P(x P(y (y λ, y λ 2 H λ (y λ, y λ 2 H λ Der Ausdruck rechts ist dabei ach Defiitio vo H edlich. Damit kovergiert die Reihe aus der Defiitio des Skalarprodukts absolut ud ist damit Wohldefiiert. Isbesodere dürfe die Summade umgeordet werde, woraus folgt dass

3 1 die Summe über eie beliebige abzählbare Idexmege, die a priori keie Aordug besitzt wohldefiiert ist, da für jede Abzählug der Idexmege die Reihe de selbe Wert liefert (absolute Kovergez. Alle weitere Eigeschafte des Skalarprodukts folge sofort aus der Kostruktio, da sie scho für (, Hλ gelte. Die Vollstädigkeit folgt ebefalls daraus, dass die H λ alle vollstädig sid. Die Abbildug ϕ ist wohldefiiert, da für jedes a aus A ei beschräkter Operator auf H defiiert. Es gilt ämlich für -Homomorphisme ϕ λ (a a. Damit folgt für (x λ λ aus H: (ϕ(a(x λ λ 2 ϕ λ (ax λ 2 a 2 x λ 2 Da die Rechte Summe rechte Seite edlich ist, folgt die Beschräktheit vo ϕ(a. Die Liearität ist klar. Weiterhi ist ϕ ei -Homomorphismus, de es gilt: ϕ(a + b(x λ λ (ϕ λ (a + b(x λ λ (ϕ λ (a(x λ + ϕ λ (b(x λ λ λ (ϕ λ (a(x λ λ + (ϕ λ (b(x λ λ (ϕ(a(x λ λ + (ϕ(b(x λ λ Ud weiter ϕ(a b(x λ λ (ϕ λ (a b(x λ λ (ϕ λ (a(ϕ λ (b(x λ λ λ (ϕ(a(ϕ λ (b(x λ λ (ϕ(a(ϕ(b(x λ λ Zur Verträglichkeit mit der Ivolutio, sei a aus A ud (x λ λ aus H. Da ist (ϕ(a (x λ λ, (y λ λ H ((ϕ λ (a (x λ λ, (y λ λ H (ϕ λ (a (x λ λ, y λ Hλ (x λ, ϕ λ (a(y λ Hλ ((x λ λ, (ϕ λ (a(y λ λ H ((x λ λ, ϕ(a(y λ λ H 3

4 1 Weiterhi ist klar, dass falls für jedes a aus A welches icht ull ist, ei λ aus Λ existiert, ϕ ijektiv ist. (1.3 Defiitio Sei τ ei positives, lieares Fuktioal auf der C -Algebra A. Defiiere N τ {a A τ(a a 0} {a A τ(ba 0 b A}. (1.4 Lemma 1. Die Kostruktio N τ aus (1.3 ist ei abgeschlossees, liksseitiges Ideal i A. Des weitere ist durch A/N τ A/N τ C, (a + N τ, b + N τ τ(b a (2 eie wohldefiierte, positiv defiite Sesquiliearform ud macht A/N τ zum Prä-Hilbertraum. Die so defiierte Norm etspricht im Allgemeie icht der Norm, bezüglich der A/N τ zur C -Algebra wird. Mit A/N τ ist im folgede die durch die Sesquiliearform iduzierte Norm. 2. Für a aus A ist ϕ(a i B(A/N τ vermöge ϕ(a(b + N τ ab + N τ 1. Sei A eie C -Algebra, τ ei positives lieares Fuktioal auf A, a aus A ud b aus N τ. Da gilt: τ(c(ab τ((cab 0, für alle c A Damit ist N τ ei liksseitiges Ideal i A. Zur Abgeschlosseheit betrachte für festes b aus A die Abbildug τ b : A C, a τ(ba Damit ist τ b für alle b beschräkt ud liear ud damit stetig, also ist Ker(τ b abgeschlosse für jedes b i A. Nu ist N τ {a A τ(ba 0 b A} b A Ker(τ b 4

5 1 ud damit abgeschlosse, als beliebiger Durchschitt abgeschlosseer Mege. Damit ist A/N τ eie C -Algebra ud die Abbildug (2 ist (sofer sie wohldefiiert ist, was och zu zeige ist eie Sesquiliearform. Zur Wohldefiiertheit betrachte a + N τ ud ã + N τ mit a ã + c für ei c i N τ. Da gilt: τ(b a (a + N τ, b + N τ (ã + c + N τ, b + N τ τ(b (ã + c τ(b ã + τ(b c τ(b ã Damit folgt, dass die Abbildug (2 Repräsetateuabhägig i der erste Kompoete ist, ud mit der bereits bekate Symmetrie der Abbildug folgt daraus auch die Repräsetateuabhägigkeit i der zweite Kompoete. Also ist die Abbildug wohldefiiert ud damit tatsächlich eie Sesquiliearform auf A/N τ. Die positive Defiitheit folgt sofort aus der Defiitio vo N τ. 2. Die Wohldefiiertheit vo ϕ(a folgt sofort aus der Tatsache, dass N τ ei liksseitiges Ideal i A ist ud damit ϕ(a(b + N τ uabhägig vo der Wahl des Repräsetate b + N τ immer de selbe Wert liefert. Sei a aus A beliebig, zeige zuächst, dass ϕ(a beschräkt ist. Für beliebiges b + N τ aus A/N τ gilt ϕ(a(b + N τ 2 A/N τ τ((ab (ab τ(b a ab a 2 A b + N τ 2 A/N τ Damit folgt für die Operatororm vo ϕ(a ϕ(a B(A/Nτ sup b+n τ A/N τ 1 ϕ(a(b + N τ A/Nτ sup b+n τ A/N τ 1 a A b + N τ A/Nτ Damit folgt ϕ(a B(A/Nτ a A ud damit isbesodere die Beschräktheit vo ϕ(a für alle a aus A. (1.5 Defiitio ud Satz Sei H τ der Baachabschluss vo A/N τ bezüglich der durch die Sesquiliearform iduzierte Norm (dieser ist damit ei Hilbertraum ud ϕ τ (a die (eideutige Fortsetzug vo ϕ i B(H τ. Da ist die Abbildug ϕ τ : A B(H τ, a ϕ τ (a ei -Homomorphismus. Damit wird (H τ, ϕ τ zu eier Darstellug vo A, die Gelfad- Naimark-Segal Darstellug (kurz GNS-Darstellug bezüglich τ. Weiter sei für ichttriviale C -Algebra A die Uiverselle Darstellug defiiert durch die direkte Summe aller (H τ, ϕ τ τ S(A. 5

6 1 Seie im folgede a,b aus A ud c + N τ aus A/N τ. Reche u zuächst die Homomorphismus Eigeschafte ach: ϕ τ (a + b(c + N τ ac + bc + N τ ac + N τ + bc + N τ ϕ τ (a(c + N τ + ϕτ(b(c + N τ ϕ τ (ab(c + N τ ϕ τ (a(bc + N τ Zur Verträglichkeit mit der Ivolutio betrachte: ϕ τ (aϕ τ (b(c + N τ (ϕ(a(b + N τ, c + N τ (ab + N τ, c + N τ τ(c ab (b + N τ, a c + N τ (b + N τ, ϕ(a (c + N τ Damit folgt ϕ(a ϕ(a. Damit sid die -Homomorphismus Eigeschafte für die Eischräkug auf A/N τ gezeigt. Für alle Elemete a aus H τ \ (A/N τ betrachte Folge die i der durch (2 iduzierte Norm gege c kovergiere ud erhalte dadurch die Behauptuge. (1.6 Satz Sei A eie C -Algebra, da ist die uiverselle Darstellug vo A treu. Isbesodere existiert eie treue Darstellug. Sei (H, ϕ die uiverselle Darstellug vo A ud sei a aus Ker(ϕ. Da gibt es ei positives, lieares Fuktioal τ aus S(A mit τ(a a a a A. Sei u b (a a 1 4, da folgt: a 2 A τ(a a τ(b 4 ϕ τ (b(b + N τ A/Nτ 0 de ϕ(a 0, also ist ϕ τ (a a 0 ϕ τ (b 4 ud damit auch ϕ τ (b 0. Isgesamt folgt a 0 ud damit die Behauptug. 6

7 2 Aweduge der 2 Aweduge der Im zweite Abschitt wird die verwedet, um die C -Algebre Struktur vo A i eideutiger Weise auf die Matrix-Algebra M (A, also die Mege aller -Matrize mit Eiträge i A zu übertrage. (2.1 Defiitio Sei A eie C -Algebra. M (A {(a i,j i,j a i,j A} ist eie Algebra mit de übliche Verküpfuge (Additio kompoeteweise, Matrix-Multiplikatio. Mit der Ivolutio (a i,j i,j : (a j,i i,j wird M (A zur -Algebra. Ziel ist es jetzt eie Norm auf M (A zu fide, bezüglich der der Raum vollstädig ist. Hierzu wird zuächst eie etsprechede Norm auf M (B(H für eie Hilbertraum H defiiert ud da mittels (1.6 auf allgemeie C -Algebre übertrage. (2.2 Defiitio ud Satz Sei H ei Hilbertraum, H ( die orthogoale Summe vo Kopie vo H (das ist wieder ei Hilbertraum, vermöge (x, y H ( (x i, y i H. Für u aus M (B(H ist ϕ(u i B(H ( vermöge ϕ(u(x 1,..., x ( u 1,j (x j,..., für alle (x 1,..., x aus H (. Da ist die Abbildug u,j (x j ϕ : M (B(H B(H (, u ϕ(u ei -Isomorophismus. Mit diesem, sogeate kaoische -Isomorphismus, ka M (B(H mit B(H ( idetifiziert werde ud ma ka eie Norm auf M (B(H defiiere. Sei u aus M (B(H, da ist u M ϕ(u B(H ( eie Norm. Für diese Norm gelte da folgede Ugleichuge: u i,j B(H ( u M u k,l B(H ( (i, j 1,..., (3 k,l1 7

8 2 Aweduge der Die Beschräktheit vo ϕ(u folgt sofort aus der Beschräktheit der u i,j, ebeso die Liearität, damit ist die Abbildug ϕ wohldefiiert. Zuächste werde die Homomorphieeigeschafte achgerechet. Sei dazu stets u (u i,j i,j, v (v i,j i,j aus M (B(H ud x 1,..., x aus H da gilt für die Additio ϕ(u + v(x 1,..., x ( Sowie für die Multiplikatio ϕ(uv(x 1,..., x (u + v 1,j (x j,..., ( u 1,j (x j + v 1,j (x j,..., (u + v,j (x j ϕ(u(x 1,..., x + ϕ(v(x 1,..., x ( ( ( k1 ( ( k1 ( ϕ(u (uv 1,j (x j,..., ( u 1,k k1 ( u 1,k v k,j (x j,..., u 1,k v k,j (x j,..., (uv,j (x j v k,j (x j,..., v 1,j (x j,..., ϕ(uϕ(v(x 1,..., x Zur Verträglichkeit mit der Ivolutio gilt: u,j (x j + ( k1 ( v,j (x j u,k v k,j (x j k1 k1 u,k ( v,j (x j u,k v k,j (x j v k,j (x j 8

9 2 Aweduge der (( (ϕ(u(x 1,..., x, (y 1,..., y H ( u 1,j (x j,..., ( u i,j (x j, y i H ( ( (u i,j (x j, y i H (x j, u i,j (y i H x j, (x 1,..., x,, u i,j (y i ( H u,j (x j u i,1 (y i,...,, (y 1,..., y ((x 1,..., x, ϕ(u (y 1,..., y H ( Zur Ijektivität sei u i M (B(H mit ϕ(u 0. Da folgt sofort u i,j (x j 0 (x 1,..., x H (, i N Da müsse aber die u i,j scho alle 0 sei, also ist ϕ ijektiv. u i, (y i Für die Surjektivität sei u v aus B(H ( beliebig. Betrachte die Projektio H ( H ( P j : H( H, (x 1,..., x x j da ist P j v eie lieare Abbildug vo H ( ach H für alle j 1,...,. Setzt ma u u i,j : H H, x P i v(0,..., }{{} x,..., 0 j ter Eitrag so ist dies liear ud beschräkt (für alle i, j 1..., ud es folgt: u i,j (x j P i v(0,..., x j }{{} j ter Eitrag,..., 0 P i v(x 1,..., x 9

10 2 Aweduge der Damit ist für u (u i,j i,j scho die Gleichug ϕ(u v erfüllt ud damit folgt die Surjektivität. Die Normeigeschafte vo M : M (B(H R + folge sofort aus der Defiitio ud der Liearität vo ϕ. Für die erste Ugleichug gilt für i,j beliebig: ( i,j (x, u i,j (x H (u sup x H 1(u i,j (x, u i,j (x H sup x H 1 ( ( (u i,j (x j, u i,j (x j H sup x H ( 1 ( Damit folgt u i,j B(H u M. Für die zweite Ugleichug gilt: ( i,j (x j, u i,j (x j H (u ( sup x H ( ( Damit folgt auch u M ( sup x H 1 (u i,j (x, u i,j (x H ( ( sup x H 1 (u i,j (x, u i,j (x H. (2.3 Korollar Mit de Bezeichuge aus (2.2 ist M (B(H eie C -Algebra. Offesichtlich gilt x x M ϕ(x x B(H ( ϕ(x ϕ(x B(H ( ϕ(x 2 B(H ( x M also bleibt lediglich zu zeige, dass M (B(H bezüglich der i (2.2 defiierte Norm vollstädig ist. Sei dazu (u k k eie Cauchy-Folge, das heißt u m u l 0. Nach der erste Ugleichug i (2.2 folgt da, dass auch (u k i,j k eie Cauchyfolge 10

11 2 Aweduge der ist (für alle i,j ud da B(H vollstädig ist existiert u (u i,j i,j i M (B(H, so dass u k i,j u i,j (k i der B(H ( -Norm. Mit der zweite Ugleichug folgt u: u k u M i, u k i,j u i,j B(H ( 0 (k Damit folgt die Vollstädigkeit, also ist M (B(H eie C -Algebra. (2.4 Satz Sei A eie C -Algebra, da gibt es eie Norm bezüglich der M (A eie C - Algebra ist. Sei (H, η die uiverselle Darstellug vo A, da ist η : M ((A M (B(H, (a i,j i,j (η(a i,j i,j ebefalls eie ijektive -Homomorphie, da η ach (1.6 ijektiv ud somit isometrisch ist. Defiiere u durch M (A : M (A R +, a M (A η(a M (4 eie Norm auf M (A. Die Normeigeschafte folge umittelbar aus der Ijektivität ud Liearität vo η. Weiterhi gelte für a aus M (A ud folgede Ugleichuge für (4 de es gilt: a i,j A a M (A a M (A η(a M a k,l A für alle i,j (5 k,l1 ( η(a k,l B(H (η(a k,l B(H k,l1 k,l1 Da η eie Isometrie ach (1.6 ist, folgt die zweite Ugleichug ud völlig aalog: a M (A η(a M ( η(a i,j B(H (η(a i,j B(H Ebefalls völlig aalog zu obigem zeigt ma u mit diese Ugleichuge die Vollstädigkeit vo M (A. 11

12 2 Aweduge der Als Abschluss kommt och ei Satz, der mit Hilfe der eie Charakterisierug der positive Elemete eier C -Algebra liefert: (2.5 Satz Sei A eie C -Algebra ud a aus A selbstadjugiert. Da ist a i A + geau da, we τ(a 0 für alle positive, lieare Fuktioale τ vo A. Die Vorwärtsimplikatio ist gerade die Defiitio der positive, lieare Fuktioale, für die Rückrichtug sei a aus A ud τ(a 0 für alle positive lieare Fuktioale τ. Sei weiter (H, ϕ die uiverselle Darstellug vo A ud x aus H. Da ist die Abbildug τ : A C, b (ϕ(b(x, x H ei positives, lieares Fuktioal auf A, de b ϕ(b ist positiv. Nach Voraussetzug gilt damit (ϕ(a(x, x H 0. Da ϕ(a ach Kostruktio selbstadjugiert ist, ud diese Ugleichug für alle x aus H gilt, ist ϕ(a aus ϕ(a + ud da ϕ eie Isometrie ist, folgt die Behauptug. 12