x 2 x y/ y 2 x 2 y 2 x y 2, (12)

Transkript

1 5 dem abgeschlossee Itervall [a, b] R Für f,g C[a, b] defiiere wir f g df b a dx f (x) g(x) (11) Wir komme u zu de ützliche geometrische Aspekte, die ei Prä Hilbert Raum gaz allgemei zu biete hat Def II Sei V ei Prä Hilbert Raum Zwei Vektore x, y V heiße orthogoal (zueiader), we x y 0 Sei I N eie Idexmege Eie Mege { x j } j I vo Vektore i V heißt eie orthoormal Mege, we x j x j 1 j I, ud x i x j 0, i, j I,i j gilt Wir schreibe kurzerhad x df x x Weiterute zeige wir, daß tatsächlich eie Norm ist Satz II1 (Satz vo Pythagoras) Sei { x a }, I N eie orthoormale Mege i eiem Prä Hilbert Raum V Da gilt für alle x V x x x a + x x a x a x (1) Beweis II1 Wir stelle x folgedermaße dar: x x a x a x + x x a x a x Eie kurze Rechug zeigt, daß x a x a x x x a x a x Folglich gilt x x a x a x + x x a x a x x a x + x x a x a x Damit ist der Satz bewiese < [{; 0) Lemma II1 (Besselsche Ugleichug) Sei { x a }, I N eie orthoormale Mege i eiem Prä Hilbert Raum V Da gilt für alle x V: x Beweis II Als Übug < [{; 0) x x a (13) Lemma II (Schwarzsche Ugleichug) Sei V ei Prä Hilbert Raum ud x, y V Da gilt: x y x y (14) Beweis II3 Der Fall y 0 ist trivial Sei also y 0 Der Vektor y/ y bildet selbst eie orthoormale Mege Mit Hilfe der Besselsche Ugleichug (II1) folgt daher für jedes x V: x x y/ y x y x y, woraus sich umittelbar die Behauptug ergibt < [{; 0) Aus der Lieare Algebra ist bekat, daß jeder ormierte Vektorraum ei metrischer Raum ist Der folgede Satz besagt u, daß jeder Prä Hilbert Raum ei ormierter Vektorraum ist Satz II Jeder Prä Hilbert Raum V ist ei ormierter Vektorraum bezüglich der Norm Beweis II4 Als Übug x df x x, x V (15) Eie umittelbare Eisicht, die sich aus Satz II ergibt ist, daß wir auf V eie atürliche Metrik d habe: Für x, y V defiiere wir d( x, y) df x y x y (16) Damit stehe us Kozepte wie Kovergez, Vollstädigkeit ud Dichte zu Verfügug Isbesodere köe wir V immer vervollstädige zu eiem ormierte Raum V,idemV isometrisch als dichte Utermege eigebettet ist Tatsächlich ist V selbst ei Prä Hilbert Raum, da das Skalarprodukt vo V auf V wege Stetigkeit erweitert werde ka Def II3 Ei vollstädiger Prä Hilbert Raum heisst Hilbert Raum Def II4 Zwei Hilbert Räume H 1 ud H heiße isomorph (zueiader), we es eie lieare Abbildug U : H 1 H gibt, sodaß U(x) U(y) H x y H1, x, y H 1 (17) gilt Eie solche Abbildug heisst uitärer Operator Wir vertiefe diese Kozepte ahad eiiger wichtige Beispiele, die Sie mit Hilverträume vertraut mache, die für die Quatemechaik relevat sid Bsp II3 Sei L ([a, b]) die Mege vo komplexwertige Fuktioe auf I [a, b] R, für die gilt: dx f(x) < (18) I

2 6 Wir defiiere ei Skalarprodukt durch: Für alle f,g L (I) f g dx f (x)g(x) (19) I Dies ist sivoll, da f (x)g(x) f(x) + g(x),also f (x)g(x) L 1 (I) I Ihrer eiführede Vorlesug zur Fuktioalaalysis beweise Sie, daß L (I) vollstädig ud daher ei Hilbert Raum ist Ausserdem lässt sich zeige, daß bezüglich der Norm f df dx f(x), (0) I L (I) gerade die Vervollstädigug vo C(I) ist Bsp II4 Sei die Mege der komplexe Zahlefolge {z } N,für die gilt: z < (1) 0 Wir defiiere ei Skalarprodukt durch: {y } N {z } N df (y ) z () 0 Bei hadelt es sich um eie archetypische Hilbertraum i folgedem Si: Jeder icht edlich dimesioale Hilbert Raum mit eier abzählbar dichte Utermege ist isomorph zu Damit ist ei kaoisches Beispiel für eie Hilbert Raum Bsp II5 Sei µ ei Borel Maß auf R Da bezeiche L (R, dµ) die Mege aller komplexwertige Fuktioe auf R,für die gilt: R dµ f(x) < (3) Bezüglich des Skalarproduktes f g df dµf (x)g(x) (4) R wird L (R, dµ) zu eiem Hilbert Raum B Der Satz vo Riesz Eie für us wichtige Methode zur Kostruktio vo eue Hilbert Räume aus alte besteht dari, eie abgeschlossee Uterraum M eies gegebee Hilbert Raumes H zu betrachte Dabei erbt M das auf H erklärte Skalarprodukt ud wird so selbst zu eiem Hilbertraum Dies erlaubt vertiefede geometrische Eisichte, die us da auch mit eier geometrische Vorstellug vo duale Zustäde ausstattet Wir defiiere das orthogoale Komplemet M vo M: M df { y H y x 0, x M} (5) Aus der Liearität des Skalarprodukts folgt, daß M ei liearer Uterraum vo H Ausserdem ist M abgeschlosse Also ist auch M ei Hilbert Raum Die Hilbert Räume M ud M habe lediglich de Nullvektor gemei Zetral wird folgede Aussage sei: Zu jedem abgeschlossee Uterraum gibt es sekrechte Vektore, ud zwar ausreiched viele, so daß H M + M x + y x M, y M (6) Lemma II3 Sei H ei Hilbert Raum, M H ei abgeschlosseer Uterraum, ud x H Da gibt es eie eideutig bestimmte Vektor z M, der zu x de kürzeste Abstad hat Beweis II5 Sei d : if y M x y Wirwähle eie Folge { y }, y M mit x y d Da gilt y y m y x ( y m x) y x + y m x + x + y + y y x + y m x + 4 x ( y + y ) / y x + y m x 4d d +d 4d 0 Die zweite Gleichug folgt aus der Parallelogramm Idetität, die Ugleichug resultiert aus ( y + y ) / M Also ist { y } eie Cauchy Folge Da M abgeschlosse ist, kovergiert { y } gege ei z M Es folgt, daß x z d Die Eideutigkeit überlasse wir eier Übug < [{; 0) Nu kommt die zetrale geometrische Aussage, das Projektiostheorem: Satz II3 Sei H ei Hilbert Raum ud M Hei abeschlosseer Uterraum Da ka jeder Vektor x H folgedermaße eideutig dargestellt werde: x z + w, z M, w M Beweis II6 Sei x H Nach dem Lemma II3 gibt es ei eideutig bestimmtes Elemet z M,daß x am aheste ist Wir setze w x z Klarerweise ist da x w + z Sei y Mud t R Für d x z gilt: d x ( z + t y) w t y d t Re (w y)+t y Folglich ist für alle t R: t Re (w y)+t y 0 Daher muß Re (w y) 0 Beutze wir it statt t, so liefert ei ähliches Argumet, daß auch Im (w y) 0 gilt Als Resultat habe wir somit: w M Eideutigkeit bleibt eier Übug vorbehalte < [{; 0)

3 7 Das Projektiostheorem liefert eie atürliche Isomorphismus zwische H ud M M Für us ist es vollkomme i Ordug, de Isomorphismus zu uterdrücke ud eifach H M M zu otiere Wir wede us u beschräkte lieare Abbilduge vo eiem Hilbert Raum H i eie adere H zu Sei B (H, H ) die Mege der beschräkte lieare Abbilduge vo H ach H Offebar ist B (H, H )eivektorraum Wir defiiere auf B (H, H ) die folgede Norm: Für T B(H, H )setzewir T df sup T ( x) H (7) x H1 Für Iteressierte: Bezüglich dieser Norm wird B (H, H ) ei Baach Raum Us iteressiert isbesodere der Fall H C: Def II5 Der Vektorraum B (H, C) heißt der zu H duale Raum ud wird mit H bezeichet Die Elemete vo H heisse stetige lieare Fuktioale Eie aschauliche Charakterisierug vo H verdake wir F Riesz ud M Fréchet Diese macht atürlich vo der geometrische Struktur auf H gute Gebrauch Satz II4 Zu jedem T H existiert geau ei y T H mit T ( x) y T x, x H Weiterhi gilt: y T H T H Beweis II7 Sei N : { x H T ( x) 0} Wege der Stetigkeit vo T folgt, daß N H ei abgeschlosseer Uterraum ist Falls N H, da ist T ( x) 0 0 x, x H ud wir sid fertig Wir ehme im weitere a, daß N H Der Projektiossatz II3 garatiert da, daß es eie vom Nullvektor verschiedee Vektor x 0 N gibt Wir setze y T : (T ( x 0 )) x 0 x 0 Es bleibt zu zeige, daß y T die richtige Eigeschafte hat Falls x N,da gilt T ( x) 0y T x (da y T x 0 N ) Weiterhi, für x α x 0,α C, habe wir T ( x) T (α x 0 )αt ( x 0 ) (T ( x 0 )) x 0 x 0 αx 0 y T αx 0 Da die Fuktioe T ( ) ud y T liear sid ud auf N ud x 0 übereistimme, stimme sie auch überei auf dem Raum, der vo N ud x 0 aufgespat wird Dieser Raum ist aber gerade H, de jedes Elemet y H ka folgedermasse dargestellt werde: y y T ( y) T ( x 0 ) x 0 + T ( y) T ( x 0 ) x 0 (8) Offebar ist y T ( y) x 0 /T ( x 0 ) N ud der letzte Term ist x 0 AlsoistT ( x) y T x, x H Nu zur Eideutigkeit: Sei y H ud außerdem T (x) y x Isbesodere gilt da eierseits T ( y y T ) y y y y T, ud adererseits T ( y y T ) y T y y T y T Daraus folgt u, y + y T y y T y T y 0,also y y T 0 y y T, womit Eideutigkeit gezeigt ist Es bleibt zu zeige, daß y T H T H Wir bemerke (C als ormierter Raum (C, )): T H sup T (x) sup y T x Schwarz x H1 x H1 sup y T H x H x H1 T H sup T (x) T ( y T / y T H ) x H1 y T y T / y T H y T H Damit ist auch die letzte Behauptug des Satzes bewiese < [{; 0) Die Umkehrug vo Satz II4 gilt auch: jedes y H defiiert ei stetiges lieares Fuktioal T y H durch T y ( x) y x, x H Daher schreibe wir i der Physik statt T y i der Regel y C Othoormale Base I diesem Abschitt übertrage wir das Kozept der Basis vo edlich dimesioale Vektorräume auf vollstädige Vektorräume, die mit eiem Skalarprodukt versehe sid, also auf Hilbert Räume Sei S H eie Mege orthoormaler Vektore im Hilbert Raum H, die i keier adere Mege orthoormaler Vektore i H ethalte ist Da heißt S eie vollstädige orthoormale Basis vo H, kurz vonb(h), oder eifach vonb Satz II5 Jeder Hilbertraum H hat eie vonb Beweis II8 Bezeiche F H die Familie vo orthoormale Mege i H Wir versehe diese Familie mit eier partielle Ordug: S 1 S we S 1 S für beliebige S 1, F Die Familie F ist icht leer, de mit v Hist v/ v eie orthoormale Mege Seie u {S a } a A eie liear geordete Utermege vo F Da ist die Vereiigug aller S a,a A eie orthoormale Mege, die jedes S a ethält ud daher eie obere Schrake für {S a } a A darstellt Da jede liear geordete Utermege vo F eie obere Schrake hat, köe wir das Lemma vo Zor awede Aus diesem folgt, daß F ei maximales Elemet besitzt Also ei orthoormales System, das i keiem adere orthoormale System echt ethalte ist < [{; 0) Der folgede Satz zeigt, daß, wie scho im edlich dimesioale Fall, jeder Vektor i eiem Hilbert Raum als Liearkombiatio vo Basisvektore dargestellt werde ka

4 8 Satz II6 Sei H ei Hilbert Raum ud S { e a } a A eie ONB Da gilt für jedes y H: y e a e a y, (9) a A y e a y (30) a A Die Gleichug (9) ist folgedermaße gemeit: Die Summe auf der rhs(9) kovergiert gege y H (uabhägig vo der Reihefolge) Umgekehrt, ist a A c a <,c a C, so kovergiert die Liearkombiatio a A c a e a gege ei Elemet aus H Beweis II9 Aus der Besselsche Ugleichug (Lemma II1) folgt, daß für jede edliche Utermege A Agilt: a A e a y y (31) Somit ist e a y 0für höchstes eie abzählbare Azahl vo a s i A, die wir ach Beliebe aorde: a 1,a,a 3,,a N Da die Summe N j1 eaj y mooto awächst ud gleichzeitig beschräkt ist, kovergiert sie im Limes N Sei y : j1 e a j e aj y Da gilt für >m, y y m e aj e aj y jm+1 eaj y jm+1 Also ist { y } eie Cauchy Folge Sei z H der Grezwert dieser Cauchy Folge Wir otiere: y z e ak lim y e ak e aj e aj y e a k j1 y e ak y e ak 0 (3) Ud für a a k,k {1,,,N} folgt y z e a 0 Somit ist y z orthogoal zu alle e a S,a A Da ach Voraussetzug S eie vonb ist, muß y z gelte Damit ist y lim e aj e aj y (33) j1 Also gilt (9) Weiterhi folgt 0 lim y e aj e aj y j1 lim y e aj y y a A j1 eaj y, (34) woraus sich (30) ergibt Die umgekehrte Schlussrichtug überlasse wir eier Übug < [{; 0) Die Gleichug (30) heißt Parzevalsche Gleichug Die Koeffiziete e a y werde oft Fourier Koeffiziete vo y bezüglich der Basis { e a } a A geat Der Grud für diese Namesgebug wird erst weiter ute klar Dies ist eie gute Stelle, um a das Gram Schmidt Verfahre zur Kostruktio eier orthoormale Mege zu erier Gegebe seie liear uabhägige Vektore u 1, u,wirdefiiere w 1 u 1 v 1 w 1 / w 1 w u v 1 v 1 u 1 v w / w w u 1 j1 v jv j u v w / w Die Mege { v j } ist eie orthoormale Mege ud hat folgede ützliche Eigeschaft: Sei I m : {1,,m},m N Für jedes m N spae die Vektore { u j } Im ud { v j } Im de gleiche Vektorraum auf Def II6 A metrischer Raum M heißt separabel, we es eie abzählbare Utermege U gibt, die dicht i M liegt Viele für die Praxis relevate Hilbert Räume sid separabel Diese köe bis auf eie Isomorphismus wie folgt charakterisiert werde (ohe Beweis): Satz II7 Ei Hilbert Raum H ist geau da separabel, we er eie abzählbare ONB S besitzt Sid N< Vektore i S, da ist H isomorph zu C N Gibt es abzählbar viele Elemete i S, soisth isomorph zu D Beschräkte Operatore 1 Adjugierte Es bezeiche L(X, Y) de Baach Raum vo Operatore O : X li Y, wobei X, Y selbst Baach Räume seie Us iteressiert am meiste der Fall L(H, H) L(H), mit H ei separabler Hilbert Raum Wir köe hier icht auf topologische Utersuchuge eigehe, allerdigs sei erwäht, daß L(X, Y) mit der Norm T T x Y sup, T L(X, Y), x X,(35) x 0 x X ausgestattet ist, die auf L(X, Y) eie Topologie iduziert, die sogeate Norm Topologie I dieser Norm ist die Kompositio L(X, Y) L(Y, Z) L(X, Z), (A, B) A B stückweise stetig

5 9 Sei T L(X, Y) Die Mege vo Vektore x X mit der Eigeschaft T x 0 Yheißt der Ker vo T ud wird folgedermaße otiert: Ker(T ) Die Mege der Vektore y Y mit y T x, x X heißt das Bild vo T ud wird mit Bild(T ) otiert Offebar ist Ker(T ) X ud Bild(T ) YDerKer(T )istei abgeschlosseer Uterraum, währed das Bild(T ) icht abgeschlosse zu sei braucht Im Folgede führe wir de zu eiem beschräkte Operator adjugierte Operator ei Mit obige Bezeichuge wird dabei zuächst (ei weig spitzfidig) uterschiede zwische Operatore aus L(X, Y) ud L(H) Def II7 Seie X, Y Baach Räume ud T L(X, Y) beschräkt Der beschräkte Operator T L(Y, X ) (wobei X, Y die zu X, Y duale Räume bezeiche) sei folgedermaße defiiert: (T y )( x) df y Tx, y Y, x X (36) Der so defiierte Operator T heißt Baach adjugiert zu T Die Kostruktio ist sehr atürlich, bitte mache Sie sich das klar Bemerke Sie folgede Schreibweise: T x T x Y Ei bissche klarer hätte ma die Defiitio so otiere köe: Sei Y z : T x Da soll gelte: (T y )( x) :y z I der Physik sid wir oft ituitiver was die Schreibweise betrifft: yt x : y Tx, wobei der duale Vektor (stetiges lieares Fuktioal) yt : T y I der Physik wird formal icht uterschiede zwische der Operatio vo Elemete des duale Vektorraumes ud dem Skalarprodukt als lieare Abbildug, weil wir immer Hilbert Räume zu Verfügug habe ud us daher zweckmäßig der Charakterisiug vo Fréchet ud Riesz bediee Satz II8 Seie X, Y Baach Räume Die Abbildug L(X, Y) L(Y, X ),T T ist ei isometrischer Isomorphismus Beweis II10 Die Abbildug L(X, Y) T T L(Y, X ) ist liear Die Aussage, daß T beschräkt ud obige Abbildug eie Isometrie ist folge aus der Rechug: T L(X,Y) sup x X 1 sup x X 1 sup y Y 1 T x Y sup y Y 1 y Tx sup (T y )( x) x X 1 sup T y X y Y 1 T L(Y,X ) Die zweite Gleichug beutzt ei Korrolar des Hah Baach Theorems < [{; 0) Wie weiter obe scho bemerkt, iteressiere wir us hauptsächlich für beschräkte lieare Trasformatioe O L(H) vo Hilbert Räume H Der Bach adjugierte Operator zum beschräkte Operator T L(H, H) ist da eie lieare Abbildug vo H ach H SeiC : H H, y C( y) : y Wir defiiere eie lieare Abbildug T : H H als folgede Kompositio T df C 1 T C Da gilt für alle x, y H: x T y (C x)(t y) (T C x)( y) C 1 T Cx y T x y T heißt der Hilbert adjugierte Operator zu T L(H, H) Es hat sich eigebürgert, eifach vom adjugierte Operator zu spreche Wir liste eiige Eigeschafte der Abbildug T T Satz II9 Es gilt mit offesichtliche Notatioe: (1) T T ist ei liearer isometrischer isomorphismus vo L(H) auf L(H) () (TS) S T (3) T T (4) Hat T ei beschräktes Iverses, T 1, so hat auch T ei beschräktes Iverses, ud es gilt T 1 T 1 (5) T T T Beweis II11 Als Übug < [{; 0) Die folgede Defiitio ist zetral für die Quatemechaik, isbesodere für die fuktioalaalytische Charakterisierug vo Observable Def II8 Ei beschräkter Operator T L(H) auf eiem Hilbert Raum H heißt selbstadjugiert, we T T gilt Wir erier dara, daß auf C, N, eie lieare Trasformatio geau da selbstadjugiert ist, we i eier orthoormale Basis die zugeordete Matrix ivariat ist uter der Kompositio vo Spiegelug a der Diagoale ud komplexer Kojugatio Eie wichtige Klasse vo Operatore auf eiem Hilbert Raum bilde die sogeate Projektore Def II9 Sei P L(H) GiltP : P P P, so heißt P eie Projektio Giltzusätzlich P P, so heißt P eie orthogoale Projektio

6 10 Bild(P ) ist ei abgeschlosseer Uterraum, auf dem P wie die Idetität operiert Ist P sogar orthogoal, da gilt:p (Bild(P )) 0 Sei H x y + z, y Bild(P ), z (Bild(P )), die vom Projektiossatz II3 garatierte Zerlegug, da gilt P x y P heißt die orthogoale Projektio auf Bild(P) Mit adere Worte: der Projektiossatz II3 kostituiert eie bijektive Korrespodez zwische orthogoale Projektioe ud abgeschlossee Uterräume Wir sid ausschließlich a orthogoale Projektioe iteressiert ud uterdrücke daher die Qualifikatio orthogoal im weitere Das Spektrum Sei u T L(C, C ), N Die Eigewerte vo T sid da die λ C mit T λi 0 Die Mege dieser λ heißt das Spektrum vo T Das Spektrum vo T ka höchstes aus Pukte bestehe, da det(t λi) ei Polyom vom Grade ist Ist λ kei Eigewert vo T,so ka T λi ivertiert werde, da da det(t λi) 0 Die Spektraltheorie vo Operatore auf uedlich dimesioale Vektorräume ist wesetlich iteressater ud extrem relevat für die Charakterisierug der Operatore selbst (ud damit der Observable, wie wir sehe werde) Wir werde präziser: Def II10 Sei T L(X ) Die Resolvetemege ρ(t ) vo T ist die Mege aller λ C, für die T λi bijektiv ist ud ei beschräktes Iverses besitzt R λ (T )(T λi) 1 heißt die Resolvete vo T bei λ Das Spektrum σ(t ) vo T besteht aus alle C λ ρ(t ) Wir merke och a, daß T λi automatisch ei beschräktes Iverses besitzt, we es bijektiv ist Wir uterscheide zwei Teilmege des Spektrums: Def II11 Sei T L(X ) (1) Ei Vektor x 0 mit T x λ x,λ C heißt Eigevektor vo T,udλ heißt der zugehörige Eigewert Istλ ei Eigewert, da ist T λi icht ijektiv, also ist λ σ(t ) Die Mege aller Eigewerte heißt das Puktspektrum vo T () Ist λ kei Eigewert ud ist Bild(T λi) irgeds dicht i X, so gehört λ zum Residualspektrum Der Grud warum hier diese Uterscheidug eigeführt wird ist, daß selbstadjugierte Operatore kei Residualspektrum besitze Satz II10 Sei T L(H) ei selbstadjugierter Operator auf eiem Hilbert Raum H Da gilt: (1) T besitzt kei Residualspektrum () σ(t ) R (3) Eigevektore zu uterschiedliche Eigewerte vo T sid orthogoal zueiader Beweis II1 Wir begie mit dem Beweis vo () Zuächst eie kurze Rechug: Seie λ C, x H Da ist [T (Re(λ)+iIm(λ))] x [T Re(λ)] x +(Im(λ)) x Also, [T (Re(λ)+iIm(λ))] x (Im(λ)) x Für Im(λ) 0 ist daher die Abbildug T (Re(λ) + iim(λ)) ijektiv ud hat ei beschräktes Iverses auf ihrem Wertebereich, der abgeschlosse ist Ist u Bild(T (Re(λ) +iim(λ))) H, so wäre (Re(λ) +iim(λ)) σ(t ), im Widerspruch zu obiger Ugleichug Also ist (Re(λ) +iim(λ)) ρ(t ) für Im(λ) 0 Damit ist () gezeigt Sei u Im(λ) 0ud λ ρ(t ) Da wäre λ λ σ(t )σ(t ), im Widerspruch zur Defiitio vo Pukt ud Residualspektrum, die ja disjukt sid Damit ist (1) gezeigt (3) überlasse wir eier Übug < [{; 0) Wir charakterisiere u eiige Klasse vo relevate beschräkte Operatore 3 Positive Operatore Wir wolle im Folgede zeige, daß eie spezielle Darstellug vo Operatore auf Hilbert Räume existiert, die ählich der Polardarstellug vo komplexe Zahle C z z exp (i arg(z)) ist Dazu beötige wir ei Aalogo zu de positive reelle Zahle Def II1 Sei H ei Hilbert Raum Ei Operator B L(H) heißt positiv, we Bx x 0, x HWir schreibe B 0, we B positiv ist ud B A (A H) we A B 0 Jeder beschräkte positive Operator auf eiem komplexe Hilbert Raum ist selbstadjugiert Das sehe wir folgedermaße ei: Ist A ei positiver Operator, so ist Az z Az z z Az, z H,dhz Az R Wir betrachte de Fall z x + y, x, y HDa A positiv ist, folgt aus obiger Gleichug Im (Ax y) Im (x Ay), x, y H Das ka ur der Fall sei, we Im (Ax y) 0, also Ax y x Ay, x, y H Dies bedeutet aber gerade, daß A selbstadjugiert ist Beachte Sie, daß es essetiell war, eie Hilbert Raum über dem komplexe Zahlekörper zu betrachte Für jede Operator A L(H) gilt: A A 0, de A Ax x A x 0, x H I Alehug a z z z, z C läge es u ahe A : A A zu defiiere Dafür müsse wir us aber versicher, daß wir Wurzel aus positive Operatore ziehe köe Wir begie mit eiem Lemma: Lemma II4 Die Taylor Reiheetwicklug vo 1 z a der Stelle z 0kovergiert absolut für z C mit z 1