Grundkurs Mathematik II

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1 Prof. Dr. H. Breer Osabrück SS 2017 Grudkurs Mathematik II Vorlesug 48 Itervallschachteluge Eie weitere Möglichkeit, reelle Zahle zu beschreibe, eizuführe, zu approximiere ud recherisch zu hadhabe, wird durch Itervallschachteluge gegebe. Defiitio Es sei K ei ageordeter Körper. Eie Folge vo abgeschlossee Itervalle I = [a,b ], N, i K heißt eie Itervallschachtelug, we I +1 I für alle N ist ud we die Folge der Itervallläge, also gege 0 kovergiert. b a ) N, Die Itervallläge müsse also isbesodere eie fallede Nullfolge bilde. Es wird icht eie bestimmte Geschwidigkeit dieser Kovergez verlagt. Die Itervallhalbierug ist eie spezielle Itervallschachtelug, bei der ma zusätzlich verlagt, dass das folgede Itervall jeweils die utere oder die obere Hälfte des Vorgägeritervalls ist. Zu eier Dezimalbruchfolge gehört die Itervallschachtelug x = a 10 I = [ a a 10, ]. Hier ist x der utere Rad des Itervalls I ud es gilt x +1 I ud wobei zusätzlich ausgeschlosse ist, dass x +1 der rechte Rad vo I ist). 1 Die Itervallläge sid hier. 10 1

2 2 Die Vollstädigkeit der reelle Zahle wirkt sich auf Itervallschachteluge folgedermaße aus. Satz Es sei I, N, eie Itervallschachtelug i R. Da besteht der Durchschitt N aus geau eiem Pukt x R. Eie reelle Itervallschachtelug bestimmt also geau eie reelle Zahl. Beweis. Es sei x I = [a,b ] beliebig gewählt. Wir behaupte, dass dies eie Cauchy-Folge ist. Zu gegebeem ǫ > 0 sei 0 derart, dass Für m 0 ist da I b 0 a 0 ǫ. x m x b a ǫ, da ja x m,x I ist. Es sei x der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre x / I m für ei m, so wäre x < a m oder x > b m ), doch wege der Kovergez der Folge gege x würde da auch die Folgeglieder für hireiched groß echt uterhalb vo a m ud damit vo a liege, im Widerspruch zu x I. Also ist x N I. Würde zwei Zahle x < y zum Durchschitt aller Itervalle gehöre, so wäre y x b a für alle im Widerspruch dazu, dass die Itervallläge gege 0 kovergiere. Dedekidsche Schitte Defiitio Uter eiem Dedekidsche Schitt versteht ma ei Paar A, B) bestehed aus Teilmege der ratioale Zahle, die folgede Eigeschafte erfülle. 1) A ud B sid icht leer. 2) A B = Q, d.h. es liegt eie Zerlegug der Mege aller ratioale Zahle i zwei Teilmege vor. 3) Für jedes x A ud jedes y B ist x < y. 4) Zu x A gibt es ei x A mit x > x.

3 3 Richard Dedekid ) Bemerkug Die Mege A bzw. B heiße auch die Utermege bzw. Obermege des Dedekidsche Schittes. Sie lege sich wege der Bedigug 2) gegeseitig fest. Jede reelle Zahl x R ud auch jedes Elemet i eiem archimedisch ageordete Körper) defiiert eie Dedekidsche Schitt, idem ma A := {q Q q < x} ud B := {q Q q x} setzt. Die Eigeschafte sid erfüllt, wie eie direkte Überprüfug zeigt. Ma spricht vo eiem Puktschitt. Ob ei Dedekidscher Schitt ei Puktschitt ist, hägt wesetlich vom Körper ab. Der durch 5 defiierte Dedekidsche Schitt ist i R ei Puktschitt, i Q aber icht. Die Vollstädigkeit der reelle Zahle hat folgede Auswirkuge auf die Dedekidsche Schitte. Satz I de reelle Zahle ist jeder Dedekidsche Schitt A, B) ei Puktschitt, d.h. es gibt ei x R mit A = {q Q q < x}. Beweis. Es seie a A ud b B. Wir defiiere rekursiv eie Itervallschachtelug[a,b ]mita Audb B.Wirsetzea 0 := audb 0 := b. We a ud b scho defiiert sid, so setze wir { a+b, falls a+b A, a +1 = 2 2 a sost, ud b +1 = { b, falls a+b A, 2 a +b sost. 2

4 4 Damit ist stets a A, b B ud isbesodere a < b, die Folge sid wachsed bzw. falled ud die Itervallläge wird i jedem Schritt halbiert. Somit liegt eie Itervallschachtelug vor. Nach Satz 48.2 gibt es geau eie reelle Zahl x, die i alle Itervalle [a,b ] liegt. Wir behaupte, dass dieses x der treede Pukt ist, d.h. wir müsse A = {q Q q < x} zeige. Sei zuächst q A. Da ist q < b für jedes ud da a ud b sich beliebig ahe komme, ist auch q a für hireiched groß. Da A mit jedem Elemet och größere Elemete ethält, gilt sogar q < a für hireiched groß die utere Folge ka icht irgedwa kostat werde, die obere Folge scho). Wege a x gilt auch q < x. We dagege x / A, also x B ist, so zeigt die gleiche Argumetatio mit vertauschte Rolle die Beziehug q x. Bemerkug Mit de Dedekidsche Schitte ka ma, wie mit Cauchy-Folge, die reelle Zahle kostruiere; Bei diesem Zugag defiiert ma direkt die reelle Zahle als die Mege aller Dedekidsche Schitte. Ma muss da atürlich auf der Ebee der Schitte eie Additio, eie Multiplikatio ud eie Ordugsrelatio eiführe ud die gewüschte Eigeschafte achweise, siehe Aufgabe 48.13, Aufgabe 48.14, Aufgabe 48.15, Aufgabe Dies ist ei gagbarer Weg. Der Vorteil liegt dari, dass es direkt eie Korrespodez zwische Dedekidsche Schitte ud de reelle Zahle gibt, ma muss icht verschiedee Darstelluge mit Hilfe eier Äquivalezrelatio) idetifiziere. Der Nachteil ist, das Dedekidsche Schitte abgesehe vo dieser Kostruktio keie wichtige Rolle i der Mathematik spiele, währed Folge ud Itervallschachteluge überall i der Mathematik begege. Auch der recherisch-approximative Aspekt ist bei Dedekidsche Schitte icht wirklich vorhade. Existez der Wurzel Die Vollstädigkeit der reelle Zahle sichert auch die Existez eier eideutig bestimmte Wurzel für eie ichtegative reelle Zahl. Für Quadratwurzel folgt dies auch aus Lemma ). Satz Zu jeder ichtegative reelle Zahl c R 0 ud jedem k N + gibt es eie eideutige ichtegative reelle Zahl x mit x k = c. Beweis. Wir betrachte de Dedekidsche Schitt A, B) mit ud A = { q Q 0 q k < c } Q B = { q Q 0 q k c }.

5 Die Eigeschafte eies Dedekidsche Schittes beruhe hierbei darauf, dass eie totale Ordug ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf Lemma ) ud auf dem biomische Lehrsatz, siehe Aufgabe Nach Satz 48.5 gibt es somit ei x R mit A = {q Q q < x}. Wir behaupte x k = c. Dies ergibt sich, da die beide Aahme x k < c bzw. x k > c jeweils zu eiem Widerspruch führe. Lemma Es seie a,b positive reelle Zahle ud m, N +. Da gelte die folgede Aussage. 1) Es ist m m b = b. 5 2) Es ist m ab = m a m b. 3) Es ist m b 1 = ) m 1. b Beweis. Wege der Eideutigkeit der Wurzel stimme zwei positive reelle Zahle überei, sobald eie gewisse Potez davo übereistimmt. Damit ka ma die Aussage auf die Potezgesetze mit gazzahlige Expoete zurückführe. 1) Es ist uter Verwedug vo Lemma ) ) m ) m ) ) m m b = b = b = b, was auch herauskommt, we ma vo der rechte Seite die m-te Potez immt. 2) Nach Lemma ) ist m ) m m a b = m ) ) m m m a b = ab, was auch liks herauskommt. 3) Dies folgt aus Teil 2) mit a = b 1. Defiitio Zu zwei ichtegative reelle Zahle x ud y heißt x y das geometrische Mittel.

6 6 Die eulersche Zahl e Wir bespreche eie Beschreibug der sogeate eulersche Zahl e. Lemma Die Itervalle I = [a,b ], 1, mit de Greze a = 1+ ) 1 ud b = 1+ 1 ) +1 defiiere eie Itervallschachtelug. Beweis. Wege 1+ 1 > 1 ist klar, dass a < a 1+ 1 ) = b ist, so dass also wirklich Itervalle vorliege. Um zu zeige, dass die Itervalle ieiader liege, zeige wir, dass die utere Greze wachsed ud die obere Greze falled sid. Wir betrachte zuerst a ) N. Aufgrud der Beroulli-Ugleichug gilt ) = 1 1. Dies schreibe wir als ) = ) = ) ) Daraus ergibt sich durch beidseitige Multiplikatio mit 1) es sei 2.) die Abschätzug a 1 = ) 1 1 ) +1 = a.

7 Für die obere Itervallgreze b ergibt die Beroullische Ugleichug die Abschätzug 1+ 1 ) Daraus folgt ) = 1 Durch beidseitige Multiplikatio mit +1 ) b = ) = +1 ) ergibt sich 1 ) ) ) = b 1. Wir betrachte schließlich die Itervallläge. Diese sid b a = a 1+ 1 ) 1 a = a b 1 ud kovergiere somit gege 0. Also liegt isgesamt eie Itervallschachtelug vor. 7 Leohard Euler ) Durch diese Itervallschachtelug ist aufgrud vo Satz 48.2 eideutig eie reelle Zahl bestimmt. Defiitio Die reelle Zahl e := lim 1+ 1 ) heißt Eulersche Zahl.

8 8 Ihr ummerischer Wert ist e = 2, Bemerkug Eie wichtige alterative Möglichkeit, die eulersche Zahl festzulege, ist 1 e := k!, d.h. die Zahl stimmt mit der Zahl k=0 lim überei. Es ist icht so eifach, die Übereistimmug dieser beide Defiitioe zu zeige. Die Kovergez i der Reiheetwicklug ist deutlich scheller. )

9 Abbildugsverzeichis Quelle = Illustratio ested itervals.svg, Autor = Beutzer Stepha Kulla auf Commos, Lizez = CC-by sa Quelle = Dedekid.jpeg, Autor = Jea-Luc W, Lizez = PD 3 Quelle = Itervallschachtelug e.gif, Autor = Beutzer Caldrac auf Commos, Lizez = CC-by-sa Quelle = Leohard Euler by Hadma.pg, Autor = Emauel Hadma = Beutzer QWerk auf Commos), Lizez = PD 7 9