Der Satz von Stone-Weierstraß

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1 Der Satz vo Stoe-Weierstraß Vortrag zum Prosemiar Aalysis, Valetia Gerber, Sabria Kielma Aus der Vorlesug Aalysis I ud II kee wir das Kozept des Approximieres. Us wurde die Begriffe Taylor- ud Bersteipolyome vorgestellt, die us de Umgag mit reelle ud komplexe Fuktioe erleichter. Nu wolle wir dieses Kozept vertiefe. Wir schaue us zuerst de Satz vo Weierstraß a ud gehe da eie Stufe tiefer durch de Stoe-Weierstraß,der Approximatioe auf dem metrische Raum ermöglicht. Um dies erfolgreich durchführe zu köe, müsse wir zuächst de Begriff der Fuktioealgebra defiiere ud us äher mit seie Eigeschafte beschäftige. Durch sorgfältige Vorarbeit köe wir da de des Satzes vo Stoe-Weierstraß führe ud schließe ab, idem wir de Satz direkt awede. Ihaltsverzeichis 1 Approximatiossatz vo Weierstraß Fuktioealgebra Approximatiossatz vo Weierstraß Hilfsaussage Der Satz vo Stoe-Weierstraß 10 3 Aweduge 13

2 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß I diesem Abschitt wolle wir sämtliche Vorarbeit leiste um später leichter de Satz vo Stoe-Weierstraß beweise zu köe. Fuktioealgebra Zuächst müsse wir de Begriff Fuktioealgebra ud die Eigeschafte dieser eiführe. (1.1) Defiitio (Fuktioealgebra) Sei M ei kompakter metrischer Raum ud C 0 (M, R) beziehugsweise C 0 (M) der vollstädige reelle Raum der über M stetige reellwertige Fuktioe. Wir bezeiche A C 0 (M) als Fuktioealgebra, we A bezüglich Additio, skalarer Multiplikatio ud der Multiplikatio vo Fuktioe abgeschlosse ist, das heißt seie f, g A ud c eie reele Kostate, da gilt: f + g A, c f A, f g A. Ei eifaches Beispiel ist das Folgede. (1.2) Beispiel Die Mege der Polyome ist eie Fuktioealgebra. De wie wir aus der Aalysis wisse, sid die Polyome sowohl bezüglich Additio als auch bezüglich Multiplikatio ud der skalare Multiplikatio abgeschlosse. Eie Fuktioealgebra ka och zwei weitere Eigeschafte habe, welche us später das Reche i metrische Räume erleichter werde. Diese werde wir u defiiere. 2

3 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß (1.3) Defiitio Sei A C 0 (M) eie Fuktioealgebra. (i) Eie Fuktioealgebra verschwidet i eiem Pukt p M, we f (p) = 0 für alle f A gilt. (ii) Eie Fuktioealgebra A heißt puktetreed, we zu jedem Paar x 1, x 2 M mit x 1 = x 2, ei f A existiert mit f (x 1 ) = f (x 2 ). Auch für diese Eigeschafte gibt es ei aschauliches Beispiel. (1.4) Beispiel Die Fuktioealgebra der Polyome mit 0 als kostate Term verschwidet im Pukt x = 0. Approximatiossatz vo Weierstraß Es sei eie stetige, icht differezierbare Fuktio gegebe. Um mit dieser Fuktio besser arbeite zu köe, wolle wir diese Fuktio leicht veräder ud sie i eie Fuktio überführe, mit der wir scho viel Erfahrug habe ud die viele ette, us bekate Eigeschafte besitzt. Die wohl bekateste ud umgäglichste Fuktio ist das Polyom. Deshalb werde wir versuche Elemete aus der Mege der stetige Fuktioe durch Polyome zu approximiere. Da wir für de des Approximatiossatzes Bersteipolyome brauche, werde wir us vorab mit de besodere Eigeschafte folgeder Fuktio: beschäftige. (1.5) Bemerkuge Für k, N gilt: a) b) r k (x) = 1, r k (x) := ( k )xk (1 x) k, k, N ud x R (k x) 2 r k (x) = x(1 x). a) Betrachte wir die us scho bekate Biomische Formel mit x, y R: 3

4 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß (x + y) = ( k )xk y k. Ersetzt ma u y durch 1 x, erhält ma r k (x) = 1. b) Nu betrachte wir die erste ud zweite Ableitug der Biomische Formel ach x ud erhalte: (x + y) 1 = ( k )kxk 1 y k, ( 1)(x + y) 2 = ( k )k(k 1)xk 2 y k. Ersetzt ma u wieder y durch 1 x ud multipliziert die erste Ableitug mit x ud die zweite mit x 2, erhält ma: x = x ( 1)x 2 = x 2 ( k )kxk 1 (1 x) k = kr k (x), ( k )k(k 1)xk 2 (1 x) k = k(k 1)r k (x). Nu ka ma die Summe der zweite Ableitug auch schreibe als k 2 r k (x) kr k (x). Verschmilzt ma u die Erketisse aus der erste ud zweite Ableitug ergibt sich: k 2 r k (x) = ( 1)x 2 + kr k (x) = ( 1)x 2 + x. Verwedet ma u dazu a) erhält ma: (k x) 2 r k (x) = k 2 r k (x) 2x kr k (x) + (x) 2 r k (x) = ( 1)x 2 + x 2(x) 2 + (x) 2 = x 2 + x = x(1 x). 4

5 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß Nu sid wir soweit de Approximatiossatz vo Weierstraß zu formuliere ud zu beweise. Dieser legt de Grudstei für de Satz vo Stoe-Weierstraß. Der Letztere ist zwar eie Verallgemeierug des Approximatiossatzes, ka ohe diese jedoch icht bewiese werde. (1.6) Satz (Approximatiossatz) Die Mege der Polyome ist dicht i C 0 ([a, b], R) mit a, b R ud a < b, das heißt für jedes f C 0 [a, b] ud jedes ε > 0 gibt es ei Polyom p, so dass für alle x [a, b] gilt: f (x) p(x) < ε. Ohe Eischräkuge der Allgemeiheit utersuche wir statt dem Itervall [a, b] das Itervall [0, 1]. Da das Itervall abgeschlosse ist, gilt weiterhi die gleichmäßige Stetigkeit, welche wir für de brauche. Außerdem wisse wir, dass eie Folge stetiger Fuktioe auf eiem kompaktem Itervall gleichmäßig gege eie stetige Fuktio kovergiert. Auch das Maximum der Fuktio auf dem Itervall [a, b] lässt sich bestimme, weil es ei abgeschlossees Itervall ist. Zu der stetige Fuktio f : [0, 1] R betrachte wir die Fuktio p (x) = ( k ) f ( k )xk (1 x) k N, x [0, 1], welche us scho aus der Vorlesug Aalysis II, VII (3.8) als Bersteipolyom bekat ist. Wir überprüfe u die Tatsache, dass die Folge der Bersteipolyome (p (x)) N gleichmäßig gege f kovergiert für auf [0, 1]. Nu greife wir auf die Fuktio ud die Eigeschafte aus Bemerkug (1.5), die wir so ebe bewiese habe, zurück. Da wir i diesem ur x [0, 1] betrachte, sid die hier verwedete r k immer positiv. So erhalte wir : p (x) Def r k = f ( k )r k(x), f (x) (1.5)a) = f (x)r k (x). 5

6 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß Daraus köe wir folger, dass p f = Fehlt also ur och zu zeige, dass ( f ( k ) f )r k. ( f ( k ) f )r k kleier ist als ε. Dazu spalte wir die Summe i zwei Teile auf. Im erste Teil utersuche wir die Elemete, für die k i der Nähe vo x liegt, ud im zweite Teil Elemete, für die k weiter weg vo x liegt. Das Gaze lässt sich auch formal aufschreibe: Wir utze die gleichmäßige Kovergez der Fuktio f auf dem geschlossee Itervall [0, 1] aus, um zu jedem ε > 0 ei δ > 0 zu fide, so dass gilt: f (i) f (j) < ε 2 für alle i j < δ. Dafür kostruiere wir zwei Mege, so dass sie diese beide Eigeschafte habe: K 1 = {k N 0 : k x < δ} ud K 2 = N 0 \ K 1. Nu köe wir die Summe aufspalte: p (x) f (x) f ( k ) f (x) r k(x) = k K 1 f ( k ) f (x) r k(x) + k K 2 f ( k ) f (x) r k(x) ud abschätze. Die Faktore f ( k ) f (x) aus der erste Summe lasse sich durch 2 ε abschätze, aufgrud der Kostruktio der Mege K 1, i der k x < δ gilt. Da r k (x) = 1 immer och gilt, ist die erste Summe kleier als 2 ε. Um die zweite Summe abzuschätze beutze wir (1.5)b) ud folger: x(1 x) = (k x) 2 r k (x) (k x) 2 r k (x) k K 2 k K 2 (δ) 2 r k (x). 6

7 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß Da max x(1 x) = 4 1 für alle x aus dem Itervall [0, 1] gilt, köe wir die folgede Abschätzug mache: r k (x) x(1 x) 1. (δ) k K 2 4δ 2 2 Durch die Norm M := f köe wir die Faktore f ( k ) f (x) aus der zweite Summe durch 2M abschätze ud wisse, dass es für alle x [0, 1] ei N 0 (ε) > 0 gibt, so dass für alle > N 0 (ε) gilt : f ( k ) f (x) r k(x) k K 2 M 2δ 2 < M 2N 0 δ 2 ε 2 also für N 0 M εδ 2. Da wir u beide Summe erfolgreich abgeschätzt habe, köe wir u folger, dass für ud für alle x [0, 1] gilt: f (x) p (x) < ε. Nu köe wir achvollziehe, wie wir eie Fuktio durch Polyome approximiere köe. Auch ist us u das Zustadekomme der Polyome bekat, auf die später im Stoe-Weierstraß zurückgegriffe wird. Hilfsaussage Der Satz vo Stoe-Weierstraß ist sehr umfagreich, so dass eiige Hilfsaussage ausgelagert werde um später im mehr Übersicht zu habe. (1.7) Lemma Sei A C 0 (M, R) eie puktetreede ud irgeds verschwidede Fuktioealgebra, weiter seie die voeiader verschiedee Pukte p 1 ud p 2 ud die Kostate c 1 ud c 2 i R gegebe, da existiert eie Fuktio f A mit f (p 1 ) = c 1 ud f (p 2 ) = c 2. Wähle g 1,g 2 A so, dass g 1 (p 1 ) = 0 = g 2 (p 2 ). Da gehört g = g1 2 + g2 2 A ud g(p 1 ) = 0 = g(p 2 ). Wähle h A so, dass h die Pukte p 1 ud p 2 tret ud betrachte die Matrix 7

8 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß [ ] a ab H := := c cd [ ] g(p1 ) g(p 1 )h(p 1 ). g(p 2 ) g(p 2 )h(p 2 ) Nach Kostruktio sid a, c = 0 ud b = d. Da die Determiate vo H det(h) = acd abc = ac(d b) = 0 ist, hat H de Rag 2 ud das lieare Gleichugssystem aξ + abη = c 1 cξ + cdη = c 2 hat eie Lösug (ξ,η). De aus Lieare Algebra wisse wir, dass ei Gleichugssystem, desse Koeffizietematrix eie Determiate ugleich 0 hat, eideutig lösbar ist. Da ist f = ξg + ηgh A ud f (p 1 ) = c 1, f (p 2 ) = c 2. (1.8) Lemma Der Abschluss eier Fuktioealgebra i C 0 (M, R) ist wieder eie Fuktioealgebra. Sei A eie Fuktioealgebra i C 0 (M) ud g A. Das bedeutet,dass g { f C 0 (M) f ist Berührugspukt vo A}. Es ist offesichtlich, dass alle f A bezüglich Additio, Multiplikatio ud skalarer Multiplikatio abgeschlosse sid. Nu müsse wir och f / A betrachte. Aus Aalysis II (VII (2.4)) wisse wir, dass eie Folge stetiger Fuktio auf eiem kompakte Itervall gleichmäßig gege eie stetige Fuktio kovergiert. Auch diese Fuktioe sid bezüglich Additio, Multiplikatio ud skalarer Multiplikatio abgeschlosse. (1.9) Hilfssatz Sei A eie Fuktioealgebra, da ist A = A. Sei f A Dies bedeutet, dass f {v C 0 (M, R) v A oder v ist Häufugspukt vo A}. Daraus folgt, dass A U λ ( f ) ugleich der leere Mege ist. Das heißt es existiert ei g A U λ ( f ), isbesodere ist g A. We g i A liegt, 8

9 Stoe-Weierstraß 1 Approximatiossatz vo Weierstraß ist es etweder Elemet oder Häufugspukt vo A. Das heißt es existiert ei h i A U λ d( f,g) (g). Da die Umgebug U λ d( f,g) (g) um y eie Teilmege der Umgebug U λ ( f ) vo f ist, liegt h isbesodere i A U λ ( f ). Das heißt A U λ ( f ) ist icht leer, also liegt f im Abschluss vo A. Sei f A, da liegt f auch im Abschluss vo A, also f A. Damit habe wir gezeigt, dass A = A. Mit Hilfe desse wir das folgede Lemma beweise. (1.10) Lemma Sei A eie eie Fuktioealgebra i C 0 (M), die i keiem Pukt verschwidet ud puktetreed ist. Sei f A, da ist auch f A, wobei A der Abschluss vo A i C 0 (M) ist. Sei ε > 0 gegebe. Nach dem Weierstraß sche Approximatiossatz, existiert ei Polyom p, so dass sup{ p(y) y : y f } < 2 ε ( ) y ist eie stetige Fuktio, welche auf dem Itervall [ f, f ] defiiert ist. Der kostate Term vo p ist kleier gleich 2 ε, da p(0) 0 < 2 ε. Sei q(y) = p(y) p(0). Da ist q ei Polyom desse kostater Term Null ist ud ( ) wird zu q(y) y < ε Setze q(y) = a 1 y + a 2 y a y ud g = a 1 f + a 2 f a f. Da (1.8) besagt, dass A eie Algebra ist, ist g A. We x M ist ud y = f (x) ist, da ist zudem g(x) f (x) = q(y) y < ε. Daher ist f A = A mit Hilfssatz (1.9). Mit Hilfe dieses Lemmas köe wir das Folgede zeige. (1.11) Lemma Sei A eie puktetreede Fuktioealgebra, die i keiem Pukt verschwidet ud seie f, g A. Da sid max{ f, g} ud mi{ f, g} auch Fuktioe i A. Sei A puktetreede Fuktioealgebra, die i keiem Pukt verschwidet ud seie f, g A. Das Maximum ud das Miium zweier Fuktioe ka wie folgt ausgedrückt werde: max{ f, g} := f +g 2 + f g 2 mi{ f, g} := f +g 2 f g 2. 9

10 Stoe-Weierstraß 2 Der Satz vo Stoe-Weierstraß Da liege Maximum ud Miimum zweier Fuktioe aus A wege der Abgeschlosseheit vo Fuktioealgebre ud dem Lemma (1.10) wieder i A. Wiederholuge zeige, dass das Maximum ud das Miumum edlich vieler Fuktioe aus A wieder i A liege. Da die Vorarbeite jetzt geleistet wurde, köe wir us u dem vom Satz vo Stoe-Weierstrass widme. 2 Der Satz vo Stoe-Weierstraß I diesem Abschitt werde wir de Satz vo Stoe-Weierstraß beweise. Dieser ist eie Verallgemeierug des Approximatiosatzes vo Weierstraß auf Fuktioealgebre i C 0 (M, R), wobei M ei kompakter metrischer Raum ist. (2.1) Satz (Stoe-Weierstraß) Sei A eie Fuktiosalgebra i C 0 (M, R) wie i (1.1) defiiert, die i keiem Pukt verschwidet ud puktetreed ist. Da liegt A dicht i C 0 (M): Zu gegebee F C 0 (M) ud ε > 0 ist ei G A gesucht, so dass für alle x M gilt: F(x) ε < G(x) < F(x) + ε. (**) Sei F C 0 M ud ε > 0 gegebe. Wir versuche u G A zu fide, so dass der Graph vo G im ε-schlauch vo F liegt. Wir halte zuächst alle uterschiedliche Pukte p, q M fest. Nach Lemma (1.7) ka ma eie Fuktio H pq A fide mit gegebee Werte für p, q, so dass die folgede Bedigug erfüllt ist: H pq (p) = F(p) ud H pq (q) = F(q). Nu halte wir p fest ud lasse q variiere. Aus der Stetigkeit vo H pq folgt, dass jedes q M eie Umgebug U q hat, so dass aus x U q folgt, dass F(x) ε < H pq (x) 10

11 Stoe-Weierstraß 2 Der Satz vo Stoe-Weierstraß ist. (1) H pq (x) F(x) + ε ist wieder eie stetige Fuktio i x, welche positiv a der Stelle x = q ist. H pq löst lokal lokal ei Teil useres Problems (**) (siehe Bild 1). Bild 1: I eier Umgebug vo q löst H pq das Problem (**) im Sie vo (1) Die Kompaktheit vo M impliziert, dass ur edliche viele dieser Umgebuge U q otwedig sid um die Mege M zu überdecke, seie diese Umgebuge U q1,..., U q. Defiiere G p wie folgt G p (x) = max{h pq1 (x),..., H pq (x)} Da ist G p A ach Lemma (1.11) ud G p (p) = F(p) ud F(x) ε < G p (x) für alle x M (2). (siehe Bild 2) Bild 2: G p ist das Maximum vo H pqi, i = 1,...,. 11

12 Stoe-Weierstraß 2 Der Satz vo Stoe-Weierstraß Stetigkeit impliziert, dass jedes p eie Umgebug V p hat, so dass aus x V p folgt, dass G p (x) < F(x) + ε. (3) (siehe Bild 3) Bild 3: G p (p) = F(p) ud G p löst (**) überall Da M kompakt ist, überdecke edliche viele dieser Umgebuge die Mege M, seie diese V p1,..., V pm geat. Setze G(x) = mi{g p1 (x),..., G pm (x)}. Wir wisse ach Lemma (1.11), dass G A ist ud die Stetigkeit zusamme mit de obe bewiesee Pukte (2), (3) impliziert dass F(x) ε < G(x) < F(x) + ε für alle x M ist. (siehe Bild 4) 12

13 Stoe-Weierstraß 3 Aweduge Bild 4: Der Graph vo G liegt im ε-schlauch vo F 3 Aweduge Nu wolle wir die Awedug des Satzes vo Stoe-Weierstraß a Had der folgede zwei Beispiele demostriere. (3.1) Korollar We M eie kompakte Teilmege des R k ist, da ka P als Fuktioealgebra aller Polyome i de k reelle Variable x 1,..., x k gewählt werde. Da liegt P dicht i C 0 M. Die Mege der reelle Polyome i R ist abgeschlosse bezüglich Additio, Multiplikatio utereiader ud mit Skalare. Es ist leicht zu zeige, dass dies auch für Polyome i k reele Variable (x 1,..., x k ) gilt. Für f, g P, a R k gilt: f (x 1,..., x k ) + g(x 1,..., x k ) = ( f + g)(x 1,..., x k ) P f (x 1,..., x k ) g(x 1,..., x k ) = ( f g)(x 1,..., x k ) P a f (x 1,..., x k ) P. Da a x i R für alle i {1,..., k} ud bei der Multiplikatio ud Additio der Fuktioe ka ma kompoete Weise vorgehe ud erhält damit wieder de Fall für Polyome i R, das heißt das eidimesioale Verhalte vo Fuktioe 13

14 Stoe-Weierstraß 3 Aweduge überträgt sich auf k-dimesioales Verhalte, aufgrud vo Uabhägigkeit der Variable x 1,..., x k ud der kompoete Weise Betrachtug der Fuktioe. Also ist P eie Fuktioealgebra. Sie verschwidet i keiem Pukt, da zum Bespiel die Fuktio jede Pukt auf Eis abbildet, das heißt die Fuktio f : (x 1,..., x k ) 1 bildet die Null auf Eis ab, was ugleich Null ist. K ist puktetreed, da für y 1, y 2 R k eie Fuktio existiert,für die f (y 1 ) = f (y 2 ) für y 1 = y 2, ämlich die Idetität f i : (x 1,..., x k ) x i für i = 1,..., k. Nach dem Satz vo Stoe-Weierstraß folgt, dass P dicht i C 0 M liegt. Ei weitere iteressate Awedug ist die Approximatio vo 2π-periodische Fuktio i R. Um dies zeige zu köe, ist es vorher och otwedig, eie Folgerug aus dem gerade bewieseem Satz vo Stoe-Weierstraß zu ziehe. Dieser gilt ämlich ur für reelwertige Fuktioe, wobei für die Approximatio vo reelle trigoometrische Fuktioe eie komplexe Versio des Approximatiossatzes vo Stoe-Weierstraß beötigt wird. Diese Folgerug wird u gezeigt. (3.2) Satz (Komplexer Stoe-Weierstraß) Sei M ei kompakter metrischer Raum ud A eie Fuktioealgebra i C 0 (M, C) wie i (1.1) defiiert, die i keiem Pukt verschwidet ud puktetreed ist, ud ethalte A zusätzlich och zu jedem p A auch das Kojugierte p. Da liegt A dicht i C 0 (M, C). Es sei P R ud C 0 (M, R) die Mege der reellwertige Polyome aus A beziehugsweise aus C 0 (M). Offesichtlich ist P R eie Fuktioealgebra i C 0 (M, R), die i keiem Pukt verschwidet, da die Fuktio, die alles auf das Eiselemet abbildet ethalte ist. Für alle komplexwertige Fuktioe g auf M ist der Real- Imagiärteil gegebe durch Re g := g+g 2 ud Im g := g g 2i. Nach de Vorrausstezuge liege sowohl Real- als auch Imagiärteil vo alle p A i P R. Die Fuktio h : x x + ix A mit dem Realteil Re h = h+h 2 = x ud dem Imagiärteil Im h = h h 2i = x bildet zwei beliebige Pukte x 1, x 2 aus M mit x 1 = x 2 stets auf uterschiedliche Pukte ab, da (Re h)(x 1 ) = (Re h)(x 2 ) ud 14

15 Stoe-Weierstraß 3 Aweduge (Im h)(x 1 ) = (Im h)(x 2 ). Also ist P R puktetreed. Daraus ergibt sich isgesamt mit dem reelle Satz vo Stoe-Weierstraß, dass P R dicht i C 0 (M, R) liegt. Nu köe wir zu eiem gegebee f C 0 (M, C) ud ε > 0 zwei Fuktioe u ud v aus P R fide, so dass f durch sie approximiert wird, also Re f u < ε 2 ud Im f v < ε 2 ist. Da aber u + iv zu A gehört ud die obige Abschätzuge ergebe, dass f (u + iv) = Re f + i Im f (u + iv) Re f u + Im f v < ε, liegt A dicht i C 0 (M, C). Nu ka ma mit Hilfe des komplexe Satzes vo Stoe-Weierstraß zeige, dass die stetige komplexe Fuktioe auf dem Eiheitskreis S 1 durch Fuktioe der Form k= c k z k approximiert werde köe. (3.3) Korollar Sei S 1 der Eiheitskreis i der komplexe Ebee. Da gibt es zu jeder stetige komplexe Fuktio f C 0 (S 1, C) ud jedem ε > 0 eie Fuktio c k z k mit c k C mit k= f (z) c k z k < ε für alle z S 1. k= Das heißt, die Mege P := { f : S 1 C : z C 0 (S 1, C). Als erstes ist zu zeige, dass P eie Fuktioealgebra ist. c k z k, c k C, N} liegt dicht i k= 1. Abgeschlosseheit bezüglich Additio: Für f, g P ud e k := c k + d k C für k = max{, m},..., max{, m} gilt: ( f + g)(z) = c k z k + m d k z k = max{,m} (c k + d k )z k k= k= m k= max{,m} max{,m} = k= max{,m} e k z k P 15

16 Stoe-Weierstraß 3 Aweduge 2. Abgeschlosseheit bezüglich skalarer Multiplikatio: Für f P ud d C mit e k := d c k für k =,..., gilt: (d f )(z) = d k= c k z k = k= (d c k )z k = k= e k z k P 3. Abgeschlosseheit bezüglich Multiplikatio: Für f, g P ud e k := ( f g)(z) = k= Cauchy-Produkt = k j= k m c k z k ( +m k= (+m) k= m c j d k j für k = ( + m),..., + m gilt: d k z k ) k c j d k j z k = j= k Daraus folgt, dass P eie Fuktioealgebra vo ist. +m e k z k P k= (+m) Sie verschwidet i keiem Pukt, da die Fuktio f : z c 0 := 1 alle z S 1 auf Eis abbildet, da für alle z S 1 : 0 c k z k für = 0 ud k= 1 z k = z 0 = 1 gilt. Sie ist puktetreed, da das Polyom h := id S 1 die Idetität ist mit h(z) = z = 1 c k z k mit c 1 = c 0 = 0 ud c 1 = 1. k= 1 Weiter gilt für z S 1, dass z = z 1 ist, was ma mit de Kojugatiosregel sieht. We p i der Mege P liegt, da folgt mit p(z) := k= c kz k, dass p(z) = k= c kz k = k= c k( 1 z )k = k= c k z k ud damit p auch i P liegt. Da P eie puktetreede Fuktioealgebra i C 0 (S 1, C) ist ud i keiem Pukt verschwidet ud zu jedem p P auch das Kojugierte i P ist, folgt mit dem komplexe Satz vo Stoe-Weierstraß, dass P dicht i C 0 (S 1, C) liegt. Also ka eie beliebige stetige komplexe Fuktio auf S 1 durch eie Fuktio der Form c k z k mit c k C approximiert werde. k= Da wir dies u gezeigt habe köe wir u die gewüschte Approximatio vo 2π-periodische Fuktioe i R zeige, da hierfür eie kurzzeitige Trasformatio is Komplexe beötigt wird. (3.4) Korollar Jede 2π-periodische stetige Fuktio i x R ka gleichmäßig durch ei trigoometrisches Polyom T(x) = α 0 + α k cos kx + β k si kx approximiert werde. k=1 k=1 16

17 Stoe-Weierstraß 3 Aweduge Das heißt die Mege T := {T : R R : x α 0 + α k cos kx + β k si kx, k=1 k=1 α 0, α k, β k R für k = 1,..,, N} liegt dicht i C 0 (R). Sei u f C 0 (R, R) ud 2π-periodisch. Jedes z S 1 ka ach Aalysis I (IV(5.11)) durch z = e iϕ mit eiem eideutig bestimmte ϕ [0, 2π), dem Argumet vo z, dargestellt werde. Daher wird durch g(e iϕ ) := f (ϕ), mit 0 ϕ < 2π, eie Fuktio g C 0 (S 1, R) defiiert. Sei ε > 0 beliebig, da gibt es ach (3.3) c,..., c 0,..., c, so dass g(eiϕ ) c k e ikϕ < ε für alle ϕ [0, 2π) k= ist. Setzt ma u c k := a k + ib k, mit a k, b k R ud stellt e ikϕ i der Form e ikϕ = cos kϕ + i si kϕ dar, ist c k e ikϕ = k= k= a k cos kϕ b k si kϕ + i k= b k cos kϕ + a k si kϕ ud mit (3.2) folgt sofort f (ϕ) k= a k cos kϕ b k si kϕ < 2 ε für alle ϕ [0, 2π). Der Imagiärteil wird durch Null approximiert, also 0 k= b k cos kϕ + a k si kϕ < 2 ε das heißt beim Approximiere wird der Imagiärteil immer kleier ud ma ka die Abschäzug wie folgt aehme: f (ϕ) k= a k cos kϕ b k si kϕ < ε für alle ϕ [0, 2π). (1) Dies sieht der Fuktio durch die wir approximiere möchte scho ählich, ma muss aber och eie leichte Umformug vorehme um zum Ziel zu gelage. Da die auftretede trigoometrische Fuktioe gerade beziehugsweise ugerade sid, ka ma die obige Summe auch i der Form 17

18 Stoe-Weierstraß 3 Aweduge a }{{} 0 + k=1 =:α o (a k + a k ) cos kϕ + (b }{{} k b k ) si kϕ }{{} =:α k mit de reele Koeffiziete α 0,..., α, β 1,..., β schreibe. Dieses Polyom ist immer 2π-periodisch. Da weiterhi f 2π-periodisch ist, gilt die Abschätzug (1) sogar für alle ϕ R. Das heißt mit der 2π-Periodizität vo f ud der Umformug ergibt sich, dass =:β k (α f (ϕ) 0 + α k cos kϕ + β k si kϕ) < ε für alle ϕ R k=1 Das heißt f lässt sich beliebig gut durch α 0 + α k cos kϕ + β k si kϕ approximiere. k=1 Das heißt T liegt dich i C 0 S 1. 18

19 Stoe-Weierstraß Literatur Literatur [1] C. C. Pugh: Real Mathematical Aalysis, Spriger Sciece+Busiess Media, Ic., USA, (2002), pp [2] A. Krieg: Aalysis I, RWTH Aache, Aache, (2007). [3] A. Krieg: Aalysis II, RWTH Aache, Aache, (2008). [4] H.Heuser: Lehrbuch der Aalysis, Teil 2, Teuber Verlag, Wiesbade, (2004), pp