Mathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6

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1 Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösuge zu Serie 6 26 Utersuche die folgede Fuktioefolge uf puktweise beziehugsweise gleichmäßige Kovergez, d.h. bestimme jeweils ob diese vorliegt ud gebe we möglich die Grezfuktio : f x = xx 21 x für N, x R, sowie dieselbe Formel für x [0, 2]. b f x = 2 xx 21 x für N, x R, sowie dieselbe Formel für x [0, 2]. { c f x = mi, 1 } für N, x > 0. x Für jedes x 0, 2 ist 1 x < 1, lso gilt lim 1 x = 0 ud somit uch lim f x = 0. Ist x = 0 oder x = 2 so hbe wir f x = 0 für jedes N ud dmit ist uch lim f x = 0. Ist dgege x R mit x > 2 oder x < 0, so ist 1 x > 1 ud somit ist die Folge 1 x N ubeschräkt. Wege xx 2 0 ist dmit uch f x N ubeschräkt, lso isbesomdere diverget. Dmit ist die Folge f N uf R icht puktweise koverget. Auf [0, 2] ist sie dgege puktweise koverget mit der Nullfuktio ls Grezfuktio. Wir behupte jetzt ds f N uf [0, 2] sogr gleichmäßig gege die Nullfuktio kovergiert. Sei lso ɛ > 0 gegebe. Setze δ := mi{ɛ/2, 1/2} ud d sid 0 < δ < 1 < 2 δ < 2 ud lim 1 δ = 0 lso existiert ei 0 N mit 1 δ < ɛ/2 für lle N mit 0. Seie jetzt N mit 0 ud x [0, 2] gegebe. Wir müsse zeige ds d f x < ɛ ist. Hierzu uterscheide wir zwei verschiedee Fälle. Fll 1. Zuächst sei x [δ, 2 δ], lso 1 x 1 δ ud es folgt f x = x x 2 1 x 21 δ < ɛ. Fll 2. Nu sei x / [δ, 2 δ], lso 0 x < δ oder 2 δ < x 2. Im Fll 0 x < δ ist xx 2 2x < 2δ ud im Fll 2 δ < x 2 hbe wir ebeflls xx 2 2 x 2 < 2δ. Wege 1 x 1 ist dmit wieder f x = xx 2 1 x < 2δ ɛ. b Geu wie i folgt ds f x N für jedes x R mit x / [0, 2] ubeschräkt lso isbesodere diverget ist. Auf gz R liegt lso keie puktweise Kovergez vor. Ist x = 0 oder x = 2 so ist f x = 0 für jedes N ud dmit ist lim f x = 0. 1

2 Ist x 0, 2, so ist 1 x < 1 lso uch lim 2 1 x = 0, d.h. lim f x = 0. Dmit kovergiert die Folge f N uf [0, 2] puktweise gege die Nullfuktio. Wir behupte ds diese Kovergez icht gleichmäßig ist. Aderflls gäbe es ei 0 N mit f x < 1 für lle N mit 0 ud lle x [0, 2]. Adererseits gilt für jedes N mit 1 stets f 1 = = d 1 1/ 1 1/e ist. Dmit hbe wir eie Widerspruch erhlte ud die Kovergez vo f N k icht gleichmäßig sei. c Ist x R >0, so existiert ch der rchimedische Eigeschft der reelle Zhle ei 0 N mit 0 x > 1 lso gilt für jedes N mit 0 uch > 1/x, d.h. f x = 1/x. Dmit ist lim f x = 1/x. Die Folge f N kovergiert lso uf R >0 puktweise gege die Fuktio f : R >0 R; x 1/x. Die Kovergez ist ber icht gleichmäßig de für jedes N mit 1 gilt wege = 2 > uch f 2 2 = ud somit f 1 1 f = 2 = 2 2 ud wie i b k die Kovergez vo f N gege f icht gleichmäßig sei. 27 Für jedes x R bezeiche [x] := mx{ Z x} de gzzhlige Ateil vo x. Weiter seie M eie Mege ud f : M R eie Fuktio. Zeige Sie ds die Fuktioefolge f 1 defiiert durch f x := [fx] für N mit 1 ud x M uf M gleichmäßig gege f kovergiert. fx b Zeige Sie ds die Fuktioefolge g 1 defiiert durch g x := für N mit 1 ud x M uf M geu d puktweise kovergiert we fx 0 für lle x M ist. Ws ist d die Grezfuktio? c Zeige Sie weiter ds die Fuktioefolge g 1 geu d gleichmäßig uf M kovergiert we es eie Kostte C 0 mit 0 fx C für lle x M gibt. Beweis: Sei ɛ > 0 gegebe. D 1/ 1 eie Nullfolge ist existiert ei 0 N mit 1/ < ɛ für lle N mit 0. Seie u N mit 0 ud x M gegebe. Setze k := [fx]. D ist k fx < k + 1 lso uch k fx < k + 1 2

3 ud somit f x fx = [fx] fx = k fx = fx k < 1 < ɛ. b = Wir zeige die Kotrpositio, es gebe lso ei x M mit fx < 0. D gibt es wieder d 1/ 1 eie Nulllfolge ist zuächst ei 0 N\{0} mit fx/ < 1 für lle N mit 0. Für jedes N mit 0 ist d uch 1 < fx < 0 lso fx fx = 1 ud somit g x = =. Dmit ist lim g x = ud die Folge g x 1 divergiert. Dmit ist die Fuktioefolge g 1 uf M icht puktweise koverget. = Nu ehme ds fx 0 für jedes x M ist. Wir behupte ds g 1 d uf M puktweise gege die Nullfuktio kovergiert. Sei lso x M gegebe. D fx/ 1 eie Nullfolge ist existiert ei 0 N\{0} mit fx/ < 1 für lle N mit 0. Für jedes N mit 0 ist dmit uch 0 fx fx fx < 1 lso = 0 ud g x = = 0. Dmit kovergiert g x 1 gege 0. c = Die Fuktioefolge g 1 sei uf M gleichmäßig gege eie Fuktio g : M R koverget. D ist g 1 isbesodere puktweise koverget ud ch b gelte g = 0 ud fx 0 für jedes x M. D g 1 gleichmäßig gege die Nullfuktio kovergiert gibt es ei N mit 1 ud g x < 1 für jedes x M. Für jedes x M ist dmit wege fx 0 fx fx 0 = g x < 1 lso 0 < 1 fx 1 ud somit = 0. Folglich ist fx/ < 1 ud somit uch fx <. Dies zeigt 0 fx für jedes x M. = Es gebe ei C R 0 mit 0 fx C für jedes x M. D C/ 1 eie Nullfolge ist existiert ei 0 N\{0} mit C/ < 1 für lle N mit 0. Ist lso N mit 0, so gilt für jedes x M 0 fx C < 1, d.h. fx = 0 ud somit g x = 0. Dmit ist g = 0 für jedes N mit 0 ud die Folge g 1 kovergiert uf M gleichmäßig gege die Nullfuktio.

4 28 Seie, b R mit < b ud f : [, b] R, f : [, b] R für jedes N stetig. Zeige Sie, dss die Fuktioefolge f N geu d gleichmäßig gege f kovergiert we für jedes x [, b] ud jede gege x kovergete Folge x N i [, b] uch die Folge f x N gege fx kovergiert. Beweis: = Wir ehme ds die Fuktioefolge f N gleichmäßig gege f kovergiert. Sei x N eie gege ei x [, b] kovergete Folge i [, b]. Sei ɛ > 0. D f ls stetig vorusgesetzt ist, kovergiert die Folge fx N gege fx, es existiert lso ei 1 N mit fx fx < ɛ/2 für lle N mit 1. Weiter existiert ei 2 N mit f y fy < ɛ/2 für jedes N mit 2 ud jedes y [, b], Setze u 0 := mx{ 1, 2 } N. Sei N mit 0. D hbe wir f x fx f x fx + fx fx < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Dmit kovergiert die Folge f x N gege fx. = Wir zeige die Kotrpositio, ehme lso ds die Fuktioefolge f N icht gleichmäßig gege f kovergiert. Wir müsse zeige ds es eie gege ei x [, b] kovergete Folge x N i [, b] gibt für die die Folge f x N icht gege fx kovergiert. D f N icht gleichmäßig gege f kovergiert gibt es ei ɛ > 0 so, dss es für jedes N stets m N mit m ud x [, b] mit f x fx ɛ gibt. Setze 0 := 0 ud y 0 :=. Ist u k N ud wurde k N ud y k [, b] bereits defiiert, so gibt es ch userer Ahme ei k+1 N mit k+1 k + 1 > k ud ei y k+1 [, b] mit f k+1 y k+1 fy k+1 ɛ. Dmit wird iduktiv eie Folge y k k N i [, b] defiiert ud ch dem Stz vo Heie Borel I. 4.Stz 1 existiere ei x [, b] ud eie gege x kovergete Teilfolge y kl l N vo y k k N. Wir defiiere u die Folge x N i [, b] durch { y kl, es gibt ei l N mit = kl, x := x, sost für jedes N. Nch I. 4.Lemm 1.d kovergiert die Folge x N d gege x. D f stetig ist, kovergiert dmit uch die Folge fx N gege fx, es gibt lso ei m N mit fx fx < ɛ/2 für jedes N mit m. Für jedes l N mit l m ist d uch kl k l l m ud somit f kl x kl fx f kl x kl fx kl fx kl fx = f kl y kl fy kl fx kl fx ɛ ɛ 2 = ɛ 2. Dmit kovergiert die Folge f kl x kl l N icht gege fx ud somit kovergiert uch f x N icht gege fx. 4

5 29 Seie, b R mit < b ud sei f : [, b] R eie stetig differezierbre Fuktio. Zeige Sie, dss es für jede Kostte ɛ > 0 ei reelles Polyom p mit fx px < ɛ ud f x p x < ɛ für lle x [, b] gibt. Beweis: Sei ɛ > 0 gegebe. D f : [, b] R stetig ist gibt es ch dem Weierstrßsche Approximtiosstz 4.Stz 1 eie Folge q N vo Polyome die uf [, b] gleichmäßig gege f kovergiert. Isbesodere existiert ei N mit f x q x < ɛ b + 1 für jedes x [, b]. D q ei Polymom ist gibt es weiter ei m N ud 0,..., m R mit q x = m kx k für lle x R. Für jedes x R ist dmit uch px := f + q t dt = f k k + 1 k+1 + k k + 1 xk+1, d.h. uch p ist ei Polyom. Dbei gilt p = q, für jedes x [, b] ist lso f x p x = f x q x < ɛ b + 1 < ɛ. Es verbleibt ur och die Aussge über die Approximtio vo f eizusehe, sei lso wieder x [, b] gegebe. Nch dem Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug 2.Stz 9 sowie der Dreiecksugleichug für Itegrle 2.Lemm 4 hbe wir d fx px = f + f t dt f + = f t q t dt q t dt f t q t dt b b + 1 ɛ < ɛ. 0 Für jedes N betrchte wir die Fuktio f : R R; x 2 k si. k Weiter sei R mit > 0 gegebe. Zeige Sie, dss die eigeschräkte Fuktioefolge f [, ] N uf dem Itervll [, ] gleichmäßig gege eie stetige Fuktio f : [, ] R kovergiert. b Zeige Sie weiter, dss die Fuktioefolge f N uf gz R icht mehr gleichmäßig koverget ist. 5

6 Beweis: Wir begie mit eier kleie Hilfsbehuptug ud behupte ds für jedes x R stets si x x gilt. Ist ämlich x > 0 so gibt es ch dem Mittelwertstz ei 0 < ξ < x mit si x = cos ξ x lso ist si x = cos ξ x x, im Fll x < 0 ist dmit si x = si x x = x ud im Fll x = 0 ist die Behuptug. Dmit komme wir zur eigetliche Behuptug, es sei lso > 0 gegebe. Wir wolle ds Cuchykriterium für die gleichmäßige Kovergez verwede, sei lso ɛ > 0. D existiert ei 0 N mit 2/ < ɛ/ für lle N mit 0. Seie u, m N mit m, 0 ud x [, ]. Wir müsse f x f m x < ɛ eisehe ud dies ist klr we m = gilt ud im Fll m köe wir durch evetuelles Vertusche vo ud m uch m > ehme. Seie lso, m N mit m > 0 ud x [, ] gegebe. D ist f m x f x = k=+1 2 k si k k=+1 2 k=+1 k 2 k 2 x m si k +1 2 k=+1 k = 2 k x k +1 2 < ɛ. Mit dem Cuchykriterium für die gleichmäßige Kovergez 4.Lemm 2 folgt u die gleichmäßige Kovergez der Folge f [, ] N. b Wir zeige ds die Folge f N ds Cuchykriterium icht erfüllt ud dmit uch icht gleichmäßig koverget ist. Hierzu zeige wir ds es für jedes N ei x R mit f +1 x f x gibt. Sei lso N ud setze x := π R. Für jedes 0 k gilt d lso ist ber si = si k π = 0 ber si = si π k +1 = 2 f x = lso uch f +1 x f x. 2 k si = 0 k +1 f +1 x = 2 k si = 2 k 6