MATTHIAS HEINLEIN. 1. Einleitung

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1 SEMINRRBEIT: HUPTSTZ DER DIFFERENTIL- UND INTEGRLRECHNUNG MTTHIS HEINLEIN. Eileitug Oftmls wird ds Itegrl i de fägervorlesuge uf zweierlei Weise eigeführt. D ist zum eie ds formle Itegriere, lso ds uffide eier Stmmfuktio ud uf der dere Seite ds Bereche der Fläche zwische dem Grphe eier Fuktio ud der -chse i eiem bestimmte Bereich. uf de erste Blick hbe diese beide Dige ichts miteider zu tu, erst der Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug brigt die beide Begriffe zusmme. M ket ih vom Riem-Itegrl i zwei Fssuge: () Die Itegrlfuktio F eier stetige Fuktio f ist eie Stmmfuktio zu f. (2) We F eie Stmmfuktio zu f ist, lässt sich ds Itegrl über f vo bis b ls F (b) F () usdrücke. Der Huptstz fordert im Teil (2) lso die Differezierbrkeit vo F i lle Pukte. I der Mßtheorie weiß m ber über eie Fuktio oft ur fst lle Pukte bescheid. Dss sich der Huptstz icht eifch uf ur fst-überll differezierbre Fuktioe übertrge lässt, zeigt ds Beispiel der Ctorfuktio. Um deoch eie Huptstz für ds Lebesgue-Itegrl formuliere ud beweise zu köe (bschitt 4), beötige wir eie zusätzliche Eigeschft für Fuktioe: die bsolute Stetigkeit (bschitt 3). 2. Grudlge Wir beötige eie Reihe vo Grudlge, die etweder us der Vorlesug Mßtheorie bekt sid, i dere rbeite dieses Semirs vorkomme oder leicht us diese hergeleitet werde köe. ußer der zweite ussge sid sie icht epliziter Bestdteil dieser rbeit ud werde deshlb icht bewiese. () Seie im Folgede λ ds Lebesgue-Mß über der Borel-σ-lgebr E über der Grudmege Ω R ud η ds äußere Lebesgue-Mß (siehe rbeit vo Mrcus Heitel). We kei eplizites Mß gegebe ist, bedeutet der usdruck fst überll oder f.ü. immer λ-fst überll. (2) We f itegrierbr ist, gibt es für lle ε > ei δ >, sodss für lle messbre Mege mit λ() < δ gilt: f dλ < ε. (Elstrodt, ufgbe 3.7. i Kp. 4) Hier wolle wir eie kurze Beweis gebe: Beweis. Flls f beschräkt ist durch c >, so gilt f dλ c dλ = c λ() c δ. D.h. mit δ < ε c folgt die Behuptug. Sei f u icht zwiged beschräkt, d gilt { f >} f ( ) ud mit Lebesgue f dλ ( ) { f >} lso fidet m ei c N, sodss f dλ < ε 2 { f >c}

2 2 MTTHIS HEINLEIN Setze wir u f c = { f c} f. D ist f c beschräkt ud m fidet ch dem ebe bewiesee Teil ei δ >, sodss f c dλ < ε mit λ() < δ 2 { f >c} Dmit gilt isgesmt für lle Mege mit λ() < δ: f dλ = f dλ + f dλ < f dλ + f c dλ < ε 2 + ε 2 = ε { f c} { f >c} (3) Seie ei Itervll I mit I gegebe. Flls c f dλ = für lle c I gilt, so folgt, dss f f.ü. ist i I. (Elstrodt, ufgbe 5.8. i Kp. 4) (4) Flls die Totlvritio { } Vrf = sup f( i ) f( i ) : = <... < = b, N i= edlich ist, heißt f vo beschräkter Vritio (kurz BV) Jede BV-Fuktio lässt sich ls Differez zweier mootoer Fuktioe drstelle (Miimldrstellug). (Elstrodt, Kp..) (5) Jede mooto wchsede Fuktio f ist f.ü. differezierbr ud es gilt b f ()d f(b) f() Dmit ist jede Fuktio vo beschräkter Vritio fst überll differezierbr. Detils siehe rbeit vo Johes Wiesel. (6) us der rbeit vo Johes Wiesel wisse wir: Eie Fmilie F vo icht-etrtete Itervlle heißt Vitli-Überdeckug eier Mege R, flls es zu jedem ud ε > ei Itervll I F mit λ(i) < ε, sodss I. Der Stz vo Vitli besgt, dss es bei jeder Vitli-Überdeckug F eier Mege R ud für beliebiges ε > edlich viele disjukte Itervll I,..., I F gibt, sodss η( \ I k ) < ε.. 3. bsolut stetige Fuktioe 3.. Die Ctorfuktio. Die Ctorfuktio c : [, ] [, ] k schulich kostruiert werde, wie i bb. 3. gezeigt. Für eie formle Kostruktio verweise wir uf Elstrodt, Kpitel II, Beispiel 8.7 oder uch die Wikipedi uter dem Stichwort Ctor- Verteilug. M k zeige, dss c stetig ud, d es uf eiem kompkte Itervll defiiert ist, sogr gleichmäßig stetig ist. ußerdem ist c stückweise kostt. uf diese Bereiche, i dee c kostt ist, ist es differezierbr mit bleitug. Die Mege ller Pukte, i dee c icht differezierbr ist mit bleitug, bildet die sog. Ctormege, eie (überbzählbre) Nullmege. lso ist c f.ü. differezierbr mit bleitug. Offesichtlich erfüllt c icht die ussge des Huptstzes für ds Riem-Itegrl, Teil 2, de c dλ = c() c() =. Ds zeigt us, dss der Huptstz i der bisherige Form ttsächlich icht uf ur fst überll differezierbre Fuktioe übertrgbr ist. Um eie Versio des Huptstzes uch für solche Fuktioe ufstelle ud beweise zu köe, führe wir im Folgede de wichtige Begriff der bsolute Stetigkeit ei.

3 SEMINRRBEIT: HUPTSTZ DER DIFFERENTIL- UND INTEGRLRECHNUNG 3 bbildug. Etwicklug der Ctorsche Treppefuktio 3.2. bsolut stetige Fuktioe. Defiitio 3.. F : [, b] R heißt bsolut stetig, flls es zu jedem ε > ei δ > gibt, sodss für lle N ud i, b i [, b] (i =,..., ) mit < b... < b b gilt: We (b i i ) < δ gilt, d folgt Bemerkug 3.2. i= F (b i ) F ( i ) < ε. i= (i) Jede bsolut stetige Fuktio ist gleichmäßig stetig ud dmit stetig. Ds folgt us der Defiitio mit =. (ii) Die Ctorsche Treppefuktio ist icht bsolut stetig. Der Beweis wird dem geeigte Leser ls Übugsufgbe überlsse. (iii) Jede bsolut stetige Fuktio ist vo beschräkter Vritio ud dmit f.ü. differezierbr (Beweis siehe Elstrodt, Folgerug 4.2).

4 4 MTTHIS HEINLEIN Stz 3.3. Eie bsolut stetige Fuktio F, mit F = f.ü., ist kostt. Beweis. Wir zeige, dss F () = F (c) für beliebiges c (, b), idem wir F () F (c) durch eie Term i ε bschätze. Mit ε folgt die Kosttheit vo F. Seie lso c (, b) ud ε > beliebig. Wähle ds zu ε gehörige δ > us der Defiitio der bsolute Stetigkeit (Def. 3.). Wir fsse lle Pukte, dee F differezierbr ist mit bleitug, i eier Mege zusmme: = { [, c) : F () = } D F = f.ü., ist N = [, c) \ eie Nullmege. I jedem Pukt ist F j gleich, d.h. betrchtet m Differezequotiete h (F ( + h) F ()) i eier Umgebug vo, so werde diese Differezequotiete klei. Es gibt für jedes ei H = H() >, sodss gilt: F ( + h) F () h < ε ud dmit F ( + h) F () < ε h < h < H() Nu fsst m lle Itervlle [, + h] mit ud h klei geug i eie Fmilie E zusmme. D es zu jedem Pukt ei beliebig kleies Itervll [, + h] E gibt, i dem liegt, hdelt es sich bei E lso um eie Vitli-Überdeckug vo. Somit gibt es ch dem Überdeckugsstz vo Vitli edlich viele Itervlle [, ],..., [, ] E, wobei i = i + h i für i =,...,, die bis uf eie kleie Rest überdecke, geuer η( \ [ k, k ]) < δ. Defiiere wir och := ud + := c, lässt sich der Rest, der icht überdeckt wird, wie folgt ls Lücke zwische de Itervlle beschreibe: δ > η( \ [ k, k ]) = η([, c) \ [ k, k ]) = η( [ k+, k ]) = ( k+ k ) Bei der erste Gleichug wurde ur die Nullmege N = [, c) \ hizugefügt, die jedoch ichts m äußere Mß η ädert. Nu folgt ber us ( k+ k ) < δ wege der bsolute Stetigkeit vo F, dss uch (3.) F ( k+ ) F ( k ) < ε. Nch Defiitio der [ i, i ] = [ i, i + h i ] ist (3.2) F ( i ) F ( i ) < ε i i i =,...,. Mit diese beide bschätzuge ud dem folgede Trick köe wir u de Beweis bschließe: F (c) F () = F ( + ) F ( ) ( + ) ( = F ( k ) F ( k ) F ( k ) F ( k )) k= = [F ( k+ ) F ( k )] + [F ( k ) F ( k )] k= F ( k+ ) F ( k ) + k= (3.),(3.2) < ε + F ( k ) F ( k ) ε k k < ε (c + ) D m ε beliebig klei wähle k, folgt F (c) F () = für lle c (, b).

5 SEMINRRBEIT: HUPTSTZ DER DIFFERENTIL- UND INTEGRLRECHNUNG 5 Bemerkug 3.4. Die Ctorsche Fuktio ist ebeflls fst überll differezierbr mit bleitug, ber icht kostt, d sie icht bsolut stetig ist. M köte bsolute Stetigkeit etws schwmmig uch wie folgt beschreibe: Bei eier bsolut stetige Fuktio köe wir us ihrem Verhlte f.ü. schließe, dss sie uch uf der restliche Nullmege keie llzu große Überrschuge bereithält. Nu sid wir soweit, de Huptstz für ds Lebesgue-Itegrl formuliere ud beweise zu köe. Stz 4. (HDI). 4. Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug i) Sei f : [, b] R Lebesgue-itegrierbr ud F : [, b] R defiiert über F () := f(t)dt, ( b) D ist F bsolut stetig ud es gilt f.ü. F = f. ii) We F : [, b] K bsolut stetig ist ud F () := lle Stelle gesetzt wird, dee F icht differezierbr ist, so ist F Lebesgue-itegrierbr ud F (t)dt = F () F () Beweis. Zu (i): Wir beweise die ussge i de folgede Schritte: f ist bsolut stetig ud f.ü. differezierbr. Beweis für beschräkte Fuktioe. pproimtio ubeschräkter Fuktioe durch beschräkte. Sei F : [, b] R mit F () = f(t)dt gegebe. Drus folgt, dss F () F () = f(t)dt für lle, [, b] gilt. Grudlge (2) besgt, dss es für lle ε > ei δ > gibt, sodss für lle Mege mit λ() < δ d uch f dλ < ε gilt. Wählt m spezieller ls = [ k, b k ] mit beliebige Pukte < b 2 <... < b (d.h. die Itervlle sid disjukt), sodss λ() = (b k k ) < δ ist, d gilt lso F (b k ) F ( k ) Def bk = f(t)dt bk f(t) dt = f dλ < ε. k k Ds ist geu die Defiitio der bsolute Stetigkeit, F ist lso bsolut stetig ud dmit ch Bemerkug 3.2 (iii) uch f.ü. differezierbr. Betrchte wir u ur beschräkte Fuktioe, d.h. es gibt ei M > mit f() M für lle [, b]. Wir defiiere f ls gewisse Differezequotiete vo F : f := ( F ( + ) F () ) Def = ( + f(t)dt f(t)dt ) + = f(t)dt Die f kovergiere gege die bleitug vo F im Pukt. D f beschräkt ist, sid uch die f ls Itegrl über eiem kleie Itervll beschräkt: + f () = + f(t)dt + f(t) dt M dt = M [, b]

6 6 MTTHIS HEINLEIN D weiter der Mßrum ([, b], B([, b]), λ) edlich ist, k m bei * de Stz vo Lebesgue über die mjorisierte Kovergez wede: c c c F ()d = lim f () d = lim f ()d c ( ( = lim F + ) ) F () d [ c ( = lim F + ) c ] d F ()d [ c+/ ] +/ = lim F ()d F ()d c D F stetig ist, stimmt für F ds Lebesgue-Itegrl mit dem Riem-Itegrl überei ud F besitzt eie Stmmfuktio G, sodss us dem klssische Huptstz der Differetilud Itegrlrechug folgt, dss [ c c+/ ] +/ F ()d = lim F ()d F ()d c [ ] G(c + /) G(c) G( + /) G() = lim / / = G (c) G () = F (c) F () Def.F = c f()d. lso ist c (F f)dλ = für lle c [, b] ud dmit ch Grudlge (3) schließlich F = f. Die bleitug der Itegrlfuktio ist lso der Itegrd selbst, ws zu beweise wr. Wede wir us u dem llgemeie Fll zu, F ist lso icht zwiged beschräkt. Sei obd f, sost schreibe f ls f = f + f mit f +, f ud betrchte jede Teil eizel. Defiiere die Fuktioefolge g puktweise durch g () := mi(, f()). Dmit ht g die folgede offesichtliche Eigeschfte: g ist beschräkt durch. g () f() für lle [, b], d.h. f g uf [, b]. g () f() für für lle [, b]. Weiter defiiere wir die Itegrlfuktioe F () := g (t)dt, G () := (f(t) g (t))dt D die g beschräkt sid, ist ch dem ebe bewiesee Teil F = g f.ü. Weil f g, ist G () mooto wchsed. Nch der Differezierbrkeit mootoer Fuktioe (Grudlge (5)) ist G lso f.ü. differezierbr mit G. D F ()+G () = f(t)dt, gilt uch F ()+G () = d d f(t)dt = F () ud somit F () = F () + G () g () + für lle N. Läuft, wird us g u f ud us F () g () wird F f. Bildet m rechts ud liks u ds Itegrl, gilt uch b F ()d b f()d Def = F (b) F () D F ls Itegrlfuktio der positive Fuktio f mooto wchsed ist, gilt dmit ch de Grudlge (5) hier uch die umgekehrte Reltio b F ()d F (b) F () lso isgesmt die Gleichheit b F ()d = b f()d, d.h. b (F f)()d =. D ber obe gezeigt wurde, dss F f, ist der Itegrd ichtegtiv ud verschwidet fst überll, d.h. F = f.

7 SEMINRRBEIT: HUPTSTZ DER DIFFERENTIL- UND INTEGRLRECHNUNG 7 Es bleibt och der zweite Teil zu zeige. F ist ch Vorussetzug bsolut stetig, lso ch Bemerkug 3.2 (iii) vo beschräkter Vritio ud dmit ch de Grudlge (4) Lierkombitio (Differez zweier) mootoer Fuktioe. Jede dieser mootoe Fuktioe ist ch Grudlge (5) f.ü. differezierbr ud die etstehede bleituge sid wiederum itegrierbr. Dmit ist uch F ls ihre Lierkombitio itegrierbr. Zu zeige ist, dss die Itegrlfuktio über F mit F übereistimmt. Sei G() := F (t)dt. Nch Teil (i) ist G f.ü. differezierbr mit bleitug G = F. D F ch Vorussetzug ud G ch Teil (i) bsolut stetig sid, ist es uch H = G F. Für die bleitug vo H gilt H = (G F ) = G F =. Nch Stz 3.3 ist H kostt. Dmit gilt uch ud der Huptstz ist bewiese. F () F () = G() G() = F (t)dt Vergleicht m zum Schluss de Huptstz für ds Riem- ud für ds Lebesgue- Itegrl, fällt ds folgede uf: Bei Riem beötigt m stärkere Vorussetzuge, erhält ber uch stärkere Resultte: f muss stetig ud icht ur itegrierbr sei, Dfür ist die Itegrlfuktio F d überll differezierbr, bei Lebesgue ur fst überll. uch stimme bei Riem F ud f überll überei, währed wir bei Lebesgue ur eie f.ü.-idetität hbe. 5. Quelle Elstrodt, Jürge: Mß- ud Itegrtiostheorie, 4., korrigierte ufl.; Berli, Heidelberg, New York: Spriger, 25, ISBN: