Mittelwerte und Zahlenfolgen Beat Jaggi,

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1 vsmp sspmp ssimf Mittelwete ud Zhlefolge Bet Jggi, Eileitug Ds Bilde vo Mittelwete ist ei zetles Kozept i de Mthemtik: Lgemsse i de Sttistik (Mittelwet, Medi, Modus); Mitte, Mittelliie ode Schwepukte i geometische Figue; Mittelwetstz de Di eetilechug, Mittelwetstz de Iteglechug, etc. Klssische Mittelwete wie ds ithmetische, ds geometische ud ds hmoische Mittel tuche beeits i de Atike uf. Zwische Mittelwete ud Zhlefolge besteht ei ege Zusmmehg: So ist bei eie ithmetische Zhlefolge jedes Folgeglied (mit Aushme des este) ds ithmetische Mittel seie Nchbgliede. Aloges gilt fü geometische ud hmoische Zhlefolge. Mittelwete. Aithmetisches, geometisches ud hmoisches Mittel Fü positive eelle Zhle,,..., ist: A (,,..., ) + + G (,,..., ) p H (,,..., ) Beim Spezilfll wid Bemekuge: A (, b) + b Y i X i i! P i i ds ithmetische Mittel; ds geometische Mittel; ds hmoische Mittel. ; G (, b) p b ; H (, b) b + b + b. Ds ithmetische Mittel ist fü beliebige eelle Zhle defiiet, ds hmoische Mittel fü Zhle ugleich Null. Beim geometische Mittel df ds Podukt Q i fü gedes icht egtiv sei. De Eifchheit hlbe beschäke wi us im Folgede usschliesslich uf positive eelle Zhle.. Ds hmoische Mittel hägt mit dem ithmetische Mittel zusmme: H (, b) + b A, b De Kehwet des hmoische Mittels zweie Zhle ud b ist gleich dem ithmetische Mittel de Kehwete vo ud b. Numme 3 Septembe 03

2 Bulleti Behuptug: Es gilt: H (, b) ppleg(, b) pplea(, b) mit Gleichheit geu d, we b Beweis: Die beide Ugleichuge egebe sich us elemete Rechuge. 0 pple ( b) 0 pple b + b 4b pple +b + b ( + b) Dus folgt eieseits b pple ( + b) 4 + b ) p b pple + b deseits 4b ( + b) pple ) 4 b pple b ) ( + b) b pple b ) b + b + b pple p b Fü b wid A (, b) G (, b) H (, b) b. Die obige Rechuge zeige umgekeht, dss us A (, b) G (, b) esp.g (, b) H (, b) jeweils0( b) ud dhe b folgt. Fü Zhle beweist m die Ugleichuge H (,,..., ) pple G(,,..., ) pple A(,,..., ) mit vollstädige Iduktio (siehe z.b. []).. Itepettioe des ithmetische, geometische ud hmoische Mittels vo Zhle Die dei Mittelwete köe uf veschiedee Ate gedeutet wede: Aithmetisches Mittel: m + m {z + + m } () m Summde Geometisches Mittel: m m {z m} () m p Fktoe Hmoisches Mittel: m + m {z m} () m Summde Bemekug: Beim geometische Mittel liefet ds Bilde vo Kehwete ichts Neues: m m {z m} Fktoe ) m p. Septembe 03 Numéo 3 3

3 vsmp sspmp ssimf Geometische Itepettioe des ithmetische, geometische ud hmoische Mittels vo zwei Zhle Sid zwei Zhle ud b positiv, d köe sie ls Läge vo Stecke itepetiet wede, ud dmit d uch die Mittelwete A (, b) +b, G (, b) p b ud H (, b) b +b.. At: Übe de Stecke AB de Läge + b wid ei Hlbkeis mit Mittelpukt M gezeichet. De Pukt C uf AB ist so gewählt, dss AC ud CB b gilt. Duch C wid die Sekechte zu AB eichtet; diese scheidet de Hlbkeis im Pukt D. Vo C us wid die Sekechte CE zu MD eichtet. Beweis: Aithmetisches Mittel: D gilt: MD A (, b) + b CD G (, b) p b DE H (, b) b + b + b MA MB MD +b ( Rdius de Hlbkeises). Geometisches Mittel: Ds ist de Höhestz: Die Deiecke ACD ud DCB sid ählich, lso gilt AC CD ud somit CD CB CD AC CB,esp.CD b ode CD p b. Hmoisches Mittel: Die Deiecke MCD ud CED sid ählich, lso gilt DE CD CD MD esp. DE CD MD b +b b +b.. At: Die dei obe beschiebee Mittelwete köe uch i eiem Tpez dgestellt wede. Dzu wid ds Tpez mit eie Stecke pllel zu de beide pllele Seite des Tpezes i zwei Teiltpeze geteilt. 4 Numme 3 Septembe 03

4 Bulleti Behuptug: Wid ds Tpez mit de pllele Seite ud c so geteilt, dss die beide Teiltpeze gleich hoch sid, d ist die Läge de Teliie gleich dem ithmetische Mittel vo ud c. Beweis: Ds ist eie wohlbekte Ttsche fü die Mittelpllele eies Tpezes. Behuptug: Wid ds Tpez mit de pllele Seite ud c so geteilt, dss die beide Teiltpeze ählich sid, d ist die Läge de Teliie gleich dem geometische Mittel vo ud c. Beweis: Sid die beide Tpeze ählich, d muss G (, c) p c G(,c) G(,c) c gelte, lso Behuptug: Wid ds Tpez mit de pllele Seite ud c so geteilt, dss die Mittelliie duch de Digoleschittpukt geht, d ist die Läge de Teliie gleich dem hmoische Mittel vo ud c. Beweis: Mit de chfolgede Bezeichuge ud de Sthlesätze gilt: Also ist c m c c m e + f e + f e +c ud folglich m. Aus de este Gleichug folgt: c m +c + c ud c g + h + h g g +c ) c m( + c) ) m c + c Die gesuchte Läge hägt lso u vo ud c b ud betägt m + c H (, c) + c Bemekug: Ds ithmetische Mittel ist ute deem wichtig i de Sttistik (Mittelwet), ds geometische zum Beispiel beim Höhestz. Auch ds hmoische Mittel tucht i estulich viele Kotexte uf (siehe [3]). Septembe 03 Numéo 3 5

5 vsmp sspmp ssimf 5 3 Zhlefolge Wie i de Eileitug ewäht, besteht zwische de obe beschiebee Mittelwete ud gewisse Zhlefolge ei heliegede Zusmmehg. 3. Defiitio vo Zhlefolge duch Mittelwete Defiitio: Eie Zhlefolge,, 3,... heisst ithmetisch, we + + gilt fü geometisch, we p + gilt fü hmoisch, we gilt fü Bei eie ithmetische, geometische esp. hmoische Folge ist lso jedes Folgeglied (mit Aushme des este) ds ithmetische, geometische esp. hmoische Mittel seie Nchbgliede. Auflöse de obige Fomel ch + liefet zuest ekusive Bescheibuge diese Folge. Dus lsse sich schliesslich uch explizite Bescheibuge bleite. Folge ekusive Bescheibug explizite Bescheibug ithmetisch + +( )( )( ) ( ) geometisch + hmoisch + ud sid jeweils vozugebe. Bemekuge: +( ) ( ) ( ). Setze wi bei de ithmetische Folge d ud bei de geometische Folge q, so ehlte wi die wohlbekte explizite Bescheibuge +( )d esp. q.. Zu explizite Bescheibug de hmoische Zhlefolge: Fü udfü liefet die gegebee Fomel ( ) ( ) gede esp.. Eie ziemlich ufwädige Rechug zeigt fee, dss ( ) ( ) gleich dem hmoische Mittel vo ( ) ( 3) ud + ( ) ist. 3. Bei eie hmoische Zhlefolge sid ud so vozugebe, dss de Nee des Buches ( ) ( ) icht gleich Null wid: ( ) ( ) ( ) 6 6 Numme 3 Septembe 03

6 Bulleti 6 Die Afgsgliede ud sid lso so vozugebe, dss de Buch tu liche Zhl ist. keie 4. Die Vewdtschft vo ithmetischem ud hmoischem Mittel u bet gt sich uch uf die Zhlefolge: Eie Zhlefolge,, 3,... mit i 6 0 fu i,,... ist geu d hmoisch, we die Folge de Kehwete,, 3,... ithmetisch ist. Beweis: + ( ) () + ( ) Rechts steht die explizite Bescheibug eie ithmetische Folge mit de Afgsgliede ud. 3. Beispiele hmoische Folge Aithmetische ud geometische Zhlefolge wede i viele Schulbu che usfu hlich behdelt; hmoische ehe selte. Deshlb betchte wi dei Beispiele. Beispiel : Ds beu hmteste Beispiel eie hmoische Folge ist, lso,, 3,.... I de llgemeie Fomel de explizite Dstellug eie hmoische Folge setze wi ud ud bekomme ( ) ( ) Ds hmoische Mittel vo ud ( ) ( ) + ist tts chlich ++ Beispiel : Pespektivisches Sehe Septembe 03 Nume o 3 7

7 vsmp sspmp ssimf Behuptug: Die Läge de Bäume esp. de Holzschwelle bei de Geleise bilde bei pespektivische Abbildug eie hmoische Folge. Begüdug: Betchte dei ufeide folgede Bäume ud ds vo ihe ufgespte Tpez. Die Läge jede Bumes (mit Aushme des este) ist gleich dem hmoische Mittel de Läge de Nchbbäume (siehe m Ede vo Abschitt.). Beispiel 3: Die Bücke Die (koguete) Qude Q, Q, Q 3, Q4,...,Q sid so geodet, dss sie gede icht heuteflle. Behuptug: Die Stecke OP, P P, P P 3, P 3 P 4,... bilde eie hmoische Zhlefolge. (Wi ehme, dss theoetisch uedlich viele Qude ufgestpelt sid.) Begüdug: Zuest etws Physik: Sid homogee Qude zu eiem Stpel ufgeschichtet, d ist die x-koodite des Schwepuktes des Stpels gleich dem ithmetische Mittel de x-koodite de Schwepukte (Mittelpukte) m, m,...,m de eizele Qude. 8 Numme 3 Septembe 03

8 Bulleti 8 Wi köe ohe Eischäkug ehme, dss die Läge de Qude gleich ist. Die Qude seie ufgestpelt wie i de obige Zeichug: l i ist de like Rd, m i de Schwepukt des i-te Qudes. Folglich ist l i m i +. Wi wähle de Zhlesthl so, dss l 0 ud dmit m ist. Dmit de Stpel icht heutefällt, muss sich de like Rd des (i + )-te Qudes beim Schwepukt des Stpels de este i Qude befide, lso ist l i+ m + m + + m i i l + l + l i i + (D l i m i + fü jede eizele Qude gilt, gilt die etspechede Gleichug uch fü de gze Stpel.) Behuptug: Es ist l i (i ) mit i, 3, 4,... Begüdug: Mit vollstädige Iduktio: Fü i stimmt die Behuptug: l l +. Die Behuptug stimme fü,, 3,..., i. D wid l + l + + l i + pple 0+ + i i (i ) pple (i ) i +(i ) 4 + +(i (i )) + (i ) pple i i + i i i + (i ) 4 (i ) pple (i ) i i (i ) + i (i ) + i l i+ Die Stecke OP, P P, P P 3, P 3 P 4,... (siehe Bild uf Seite 7) bilde ttsächlich eie hmoische Zhlefolge, ämlich, 4, 6,... Septembe 03 Numéo 3 9

9 vsmp sspmp ssimf 9 4 Vellgemeiete Mittelwet ud vellgemeiete Zhlefolge Die obe beschiebee Mittelwete lsse sich zu eiem llgemeie Mittelwet zusmmegefsse. (siehe z.b. []) Defiitio: Fü zwei positive eelle Zhle ud b ud eie eelle Zhl defiiee wi + b m Eie eifche Rechug zeigt, dss m ds ithmetische ud m ds hmoische Mittel vo ud b ist. De Fll 0 ist besodes iteesst: Mit de Regel vo Beoulli-de l Hôpitl k m zeige, dss m 0 ds geometische Mittel ist! (Siehe [] ode [4]). Gleich wie im Abschitt 3. köe wi mit dem llgemeie Mittelwet Zhlefolge defiiee. Jedes Folgeglied soll gleich dem vellgemeiete Mittelwet seie Nchbgliede sei: + + hägt jetzt vo b, us Güde de Übesichtlichkeit vezichte wi be uf eie Apssug de Nottio. Auflöse de Gleichug ch + liefet die ekusive Bescheibug + Dus lässt sich ebeflls eie explizite Dstellug gewie: [( ) ( ) ] [ + ( )] Ausgehed vo zwei Afgsgliede ud liefet diese Fomel im Pizip fü jede eelle Zhl eie Zhlefolge: Fü eie ithmetische, fü eie hmoische ud fü 0 eie geometische. Diese Folge() ud eie dus bgeleitete ziemlich llgemeie Fuktio ist i [] geue beschiebe. De Auto dieses Atikels füht i seiem Mthemtikuteicht m Gymsium Zhlefolge wie obe beschiebe ei ud themtisiet vo llem hmoische Zhlefolge ud ds hmoische Mittel.. Litetu [] Hdy G., J.E. Littlewood J.E., Polyá G., Iequlities, Secod editio, Cmbidge Mthemticl Liby, 95 [] Jggi Bet, Übe eie ziemlich llgemeie Zhlefolge ud eie ziemlich llgemeie Fuktio, Bulleti de Schweizeische Mthemtik- ud Physiklehkäfte, Jui 0 [3] Jggi Bet, Plädoye fü ds hmoische Mittel, Bulleti de Schweizeische Mthemtik- ud Physiklehkäfte, Ju 03 [4] Vo Mgold ud Kopp, Höhee Mthemtik, Wisseschftliche Velgsgesellschft Stuttgt, Numme 3 Septembe 03