Terme und Formeln Potenzen II

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1 Terme ud Formel Poteze II Die eizige schriftliche Überlieferug der Mthemtik der My stmmt us dem Dresder Kodex. Ds Zhlesystem der Mys beruht uf der Bsis 0. Als Grud dfür wird vermutet, dss die Vorfhre der Mys mit Figer ud Zehe zählte. Die Mys kte die Zhl 0, ber verwedete keie Brüche. Für die Drstellug vo Zhle verwedete sie Pukte, Striche ud eie Muschel, die für die Ziffer, 5 ud 0 stde.

2 . Poteze mit gze Expoete Grudbegriffe Aufgbe : Die Potez kest du bereits. Fülle die Lücke us! Defiitio: =... (Potez) wobei die ud der m liest Aufgbe : Fsse zusmme! ) x + x + x + x + x + x = z z z z z z z z z z = = Aufgbe 3: Schreibe die folgede Zhle i Form vo Poteze (z.b. 64 = 6 ). ) 00'000 = 0'000'000'000 = 5 = '04 = e) 44'40'65 = f).5 = Aufgbe 4: Ei Eizeller (im Bild ei Bkterium) teilt sich ch 3 Stude i Teile, jeder Teil ch wiederum 3 Stude bermls i je Teile usw. Wie viele Eizeller köe uf diese Weise bei güstigem Nährbode us eiem eizige etstehe ) iert 4 Stude? iert eier Woche? Aufgbe 5: Bechte die Reihefolge der Opertioe gut! Diese Aufgbe kst du ohe Tscherecher löse! ) e) 4 ( 8) f) 4+ 3 g) h) 7+ ( 3) i) 3 3 j) ( 3) 3 k) 3 l) ( 3) Terme ud Formel: Poteze II Seite (November )

3 Potezgesetze Aufgbe 6: Die Potezgesetze kest du bereits. Fülle die Lücke us: Stz: Bei Produkte ud Quotiete vo zwei Poteze mit gleicher k ds erste Potezgesetz gewdt werde. m =... =... m Stz: Bei Poteze vo. k ds zweite Potezgesetz gewdt werde. m ( ) =... Stz: Bei Produkte ud Quotiete vo zwei Poteze mit gleichem k ds dritte Potezgesetz gewdt werde. b =... =... b Aufgbe 7: Schu dir diese Beweis für ds erste Potezgesetz eiem Quotiete : ml = = m m ml ( ) m ml = Kürze Die Beweise für die dere Potezgesetze sid log. Notiere de Beweis für midestes zwei weitere Potezgesetze suber. m Stz: Bei der Potezrechug gibt es eiige wichtige Spezilfälle: =... = =... =... 0 = Beweis:... Terme ud Formel: Poteze II Seite 3 (November )

4 Aufgbe 8: Vereifche die folgede Terme:. ) 5z 5 4z 3 : (36z 6 ) (3x) 4 : (3x 4 ) 6y 8 : (8y 3y 4 ) 0z : [60z 5 : (50z 3 )]. ) ( ) : 5 ( ) : 8 3. ) x+ x : 3x (6 x+ + 8 x ) : (4 x ) 5 7 d 6 4. ) 6 d 9 8 b b : ) ( 3 ) 4 ( 3 ) 5 ( 5 ) 6 : ( 4 ) 7 [(x ) 5 + 5(x 5 ) ] : (x 3 ) Aufgbe 9: Zerlege i Fktore:. ) b 3 b p q 3 + p 3 q 4 e 3 d 4 + e d 3 e d 6. ) ( ) + : ( ) 5 5 b : b (c +3 : c +3 ) 5 ( 4 7 ) 3 e) [0b 0 : (5b 5 )] 7.. ( 3 ) 4 (( ) 3 ) 4 ( 4 ) 3 (( ) 3 ) 5 8. ) ( 5 (b 4 ) 5 (6b : (. ) c d d 6 d 4 3 m + m Aufgbe 0: Verwdle i Poteze mit reie Buchstbeexpoete. Im Expoete soll lso im Ergebis ur och ei Buchstbe vorkomme: 3 5m+ = 3 3 5m = 9 (3 5 ) m = 9 43 m. ) 5 4 = q+5 = 3 r+4 = 5 3s+ =. ) 7 x = 0 3z+5 = 00 = 5 7 = Aufgbe : Schreibe diese Ausdrücke so, dss ur och ei Potezusdruck dri vorkommt. ) Terme ud Formel: Poteze II Seite 4 (November )

5 Negtive Poteze Stz: Für. Poteze gilt: =... = Beweis:... Vereifche vo Terme Aufgbe : Schreibe ls gewöhlicher Bruch oder, we möglich, ls gze Zhl. Diese Aufgbe ist durch Überleguge lso ohe Tscherecher zu löse! ) e) 0.5 f) 6 0 g) 0. h) ( ) i) ( ) 3 k) 4 5 l) m) 3 Aufgbe 3: Welche der folgede Zhle sid grösser ls? Diese Aufgbe ist durch Überleguge lso ohe Tscherecher zu löse! ) ( / ) 5 ( 3 / 5 ) 8 ( 5 / 3 ) 6 ( 8 / 9 ) e) 0.95 f) Aufgbe 4: Vereifche soweit wie möglich! Löse die Aufgbe ohe Tscherecher! ) 3 7 b 5 b 7 c 8 c 0 d 5 d 7 e) 4 5 : 4 f) 5 4 : 5 3 g) h) 6 0 : 6 i) : k) b : b l) c : c m) d 3 : d ) ( 0 ) 3 o) (( 0) ) 3 p) ( 0 3 ) q) (( 0) 3 ) r) s) 5. t) u) v) 9 :.5 w) 5 : 5 x) c : (5 y) (6x) 3 : (3x) 3 Aufgbe 5: Vereifche soweit wie möglich! ) (4 3 5 ) : (0 3 ) ( ) 3 ( ) : ( 3 ) ( + ) : e) ( + : ) : f) ( + ) : g) : 4 8 h) : 8 4 i) : Terme ud Formel: Poteze II Seite 5 (November )

6 Löse vo Gleichuge Aufgbe 6: Löse die Gleichug durch schlues Überlege (ohe Recher): ) x 4 = 6 x 3 = 8 x 3 = 5 x 6 = 6 e) x 0 = 04 f) x 6 = 6 3 g) x 3 = 3 9 h) x 4 = x 6 i) x = 5 3 k) x = 3 l) x = 3 m) x = 8 5 ) x = 8 4 o) x = 8 5 Wisseschftliche Schreibweise Aufgbe 7: Welche Wert besitzt (ohe Tscherecher!) ) ds 0-fche der Zhl ? ds '000-fche der Zhl 7.8 0? ds 4-fche der Zhl.5 0 5? ds Doppelte der Zhl ? e) ds Produkt der beide Zhle ud 4.5 0? Aufgbe 8: Bereche ohe Tscherecher: ) : ( 0 6 ) : (.5 0 ) Aufgbe 9: I der der Pulvermetllurgie werde Metllpulver hergestellt ud drus Werkstücke gepresst. Ei mikroskopisch kleies Sthlkügelche i eiem solche Pulver besitze eie Rdius vo.5 0 mm. ) Bereche die Grösse seier Oberfläche A. Bereche die Grösse seies Volumes V. Sthl besitzt eie Dichte vo etw 7.9 g pro cm 3. Wie viele derrtige Sthlkügelche beötigt m, um eie Gesmtmsse vo kg zu erhlte? Wie viele derrtige Sthlkügelche beötigt m, um dmit ei Volume vo m 3 uszufülle? Die Kugel fülle c. 65% des Volumes. Aufgbe 0: Die Welleläge vo grüem Licht misst etw λ = mm. Bereche die Frequez f (Azhl Schwiguge pro Sekude) eier solche grüe Lichtwelle, welches sich mit Lichtgeschwidigkeit (c = m / s ) fortpflzt. (Hiweis: c = λ f) Terme ud Formel: Poteze II Seite 6 (November )

7 . Poteze mit gebrochee Expoete Grudbegriffe Defiitio: Die Wurzel ist eie Umkehrfuktio der Potezopertio: b = b = 0 wobei der ud der m liest 0 = Beispiel:... Stz: Wurzel ud Poteze sid eg miteider verküpft: =... ( ) Beweis:... = Potezgesetze Stz: Die Potezgesetze gelte geuso für Wurzel: m =... =... m m ( ) = m... =... b =... =... b Beweis:... m = Terme ud Formel: Poteze II Seite 7 (November )

8 Aufgbe : Vereifche! ) ( ) 3 3 b b c :c 0 0 Aufgbe : Vereifche! ) : :5 ( 3 ) 3 : 0 Aufgbe 3: Vereifche! ) ( π π ) : ( 4 3 ) : : 3 3 0'000 :0 Aufgbe 4: Schreibe die folgede Ausdrücke i Form eier eizige Potez! ) x ( b ) b Aufgbe 5: Schreibe x ) ls Wurzel ud ls Potez. Aufgbe 6: Vereifche ud schreibe ds Ergebis uter Verwedug des Wurzelzeiches: ) b b b Aufgbe 7: Schreibe die folgede Ausdrücke so, dss weder egtive och gebrochee Expoete vorkomme - dfür lleflls türliche Expoete, Bruchstriche ud Wurzelsymbole. ) ( 4+ x) g ( u) /4 Aufgbe 8: Löse die Gleichuge ohe Tscherecher ch x uf (türliche Expoete). ) = 3 x = x = 5 x +4 8 = x e) (5 3 ) 4 : (5 ) 5 = 5 x f) (00 00 ) 00 = 0 x Aufgbe 9: Löse die Gleichuge ohe Tscherecher ch x uf (gze Expoete). ) 5 x 6 00 = 0 x x 3 = 8 x 6 = 6 e) x 4 = x 6 f) x 6 = 6 3 g) 5 8 x = 5 3 h) x = 6 i) ( ) x = k) x ( ) = l) ( x ) = m) ( x ) = 6 Aufgbe 30: Löse die Gleichuge ohe Tscherecher ch x uf (rtiole Expoete). ) x 0.75 = 8 x 0.8 = / 6 x 0 = 0 x = 0 e) x = 0.5 f) 8 x = 4 g) 000 x = 0. h) = x i) x 5 = 04 k) x 5 = 04 l) x 0.5 = 7 Terme ud Formel: Poteze II Seite 8 (November )

9 3. Aufgbe Aufgbe 3: Multipliziere diese Ausdrücke us!. ) ( ) 5 (x x + ) x ( + ) (c c ) c +. ) ( ) 4 (b b + + 3b + ) b 3 (4x 5 3x 4 x 3 ) x 4 (c + + 5c 7c ) c 4 3. ) (x 8 + 5x 6 3x 5 ) : x 4 (x + + x + + 3x ) : x ( ) : (9d + 6d ) : (3d + ) 4. ) (5 + 3 ) : + (3 p p ) : 3 p Aufgbe 3: Zerlege diese Ausdrücke i Fktore:. ) x + x x 4x + ( + + ) ( ) (y m y m ) (3y m + 6y m ) 5. ) (x 3 + y 3 ) (x 3 y 3 ) ( b ) ( + b ) (x m + 3x m ) (x m x m 3 ) (u 6 w 5 ) (w 5 + u 6 ) 6. ) ( m+ 7b ) ( m+ + 7b ) ( 3 + b 4 ) (y + y ) (4 + 9b ) 7. ) ( / 3 p + 3 / 4 p ) (x 3 + x + x + ) (x ) ( p + p b p + b p ) ( p b p ) (x p 3x p y q + 9y q ) (x p + 3y q ). ) 4 p b 4 p 9p 4 x 5 + x 4 + x 3 t 4p t p + 36 Aufgbe 33: Vereifche die folgede Brüche: 6 5 x + x. ) 4 3 x + x x + x p p+ c c p+ p c + c. ) 5z 4 4z 4 5z 5 z q q z 4z z 8z + 6z 8 3 b 7 6 b b 5 3 p q : 6 4 q p q+ q q 3. ) 4. ) r s r : s m+ m m+ 3 m+ x y z y z x 3m m m 5 m+ 3m m 3 b c b c u v u : v x y x : : y x y c c : + : : b d b d r r r : : s s s 8 m 5 m+ 9 m+ 4 m w y w y : + : : x z x z Terme ud Formel: Poteze II Seite 9 (November )

10 Aufgbe 34: Vereifche die folgede Brüche: ( 3 4 x y z ). ) 3 3 ( x y z ) ( ) x y ( x y ) ( x y ). ) 3 ( 5x y ) ( 4 6 b ) ( 4b ) ) ( x y ) ( 3xy ) ( 4 7 8u v ) 5 ( 4u v ) Aufgbe 35: Schreibe i Form eies eizige Bruches:. ) 5 x +. ) 7 x x x 8 6 x x b b + b b b b b + 3 m m 4 m x + 3x 3x x 5 5x 9x 5x 5 m+ m x 9x + + 3x 3x Merke: Folgede Regel sid sehr wichtig. Merke sie dir gut! Negtive Expoete: = Gebrochee Expoete: = Terme ud Formel: Poteze II Seite 0 (November )