Fachschaft Mathematik der Staatlichen Fachoberschule und Berufsoberschule Augsburg

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1 Fchschft Mthemtik der Sttliche Fchoberschule ud Berufsoberschule Augsburg Auf de folgede Seite sid i kurzer Form die Schverhlte der Algebr drgestellt, mit eiige relevte Übugsbeispiele, i der Regel ch Schwierigkeitsgrd geordet. Sie köe die Blätter beutze, ls Vorbereitug für die FOS/BOS (d sid die #-Aufgbe och icht vo Belg) oder ls Begleitug ud Wiederholug zum Uterricht i der. Klsse oder. Klsse BOS.

2 D A S Z A H L S Y S T E M Im Verluf der Schulzeit hbe Sie verschiedee Zhlbereiche mit de dzu gehörede Recheopertioe kee gelert. Immer, we die Zhle für eie der Recheopertioe icht usreichte, wurde durch Hizufügug euer Zhle der Zhlbereich erweitert. So etstde us de türliche Zhle mit de egtive Zhle die gze Zhle, usw. Die meiste Lehrer beutze die folgede Symbole oder uch die etsprechede i ( ): A B bedeutet, dss die Mege A i B ethlte oder gleich B ist C D hier ethält C die Mege D Z bedeutet, dss die Zhl Elemet der gze Zhle Z ist N bedeutet, dss die Zhl icht zu de türliche Zhle gehört N { ;;;... } (N*) türliche Zhle N 0 { 0;;;... } (N) türliche Zhle mit 0 Z {...; ; ;0;;... } gze Zhle Q R R + z.b. Q 0, Q rtiole Zhle ( Brüche ) 7 z.b. R π R reelle Zhle ur die positive reelle Zhle R\{ ;} R ohe die Zhle ud N N 0 Z Q R Alle Zhlbereiche ethlte uedlich viele Zhle ud sid geordet, ds heißt, die Zhle lsse sich der Größe ch orde: < ist kleier ls 7, 7 ist größer oder gleich, Um sich Zhlemege besser vorstelle zu köe, zeichet m eie Zhlestrhl R 0 I Zukuft werde Sie es im Wesetliche mit de reelle Zhle zu tu hbe. Dher och ei pr wichtige Begriffe dzu: Teile des Zhlestrhls der reelle Zhle bezeichet m ls Itervlle: [ ;] heißt geschlossees Itervll, dies sid lle reelle Zhle zwische ud jeweils eigeschlosse, eie dere Schreibweise wäre { R } ] ; [ bei diesem Itervll gehöre ud icht dzu, deshlb offees Itervll Dss die Zhl 0 etws Besoderes drstellt, wisse Sie sicherlich, trotzdem möchte ich Sie och eiml druf hiweise: 0 0 0: 0 0 wobei eie Zhl oder ei gzer Term sei k N 0 :0 0 d streikt sogr der Tscherecher: durch Null teile geht icht!!! Diese drei Ttsche werde Sie im Verluf der FOS/BOS immer wieder beötige. FOS/BOS Augsburg

3 R E C H N E N Begriffe: Additio: Summd plus Summd ist gleich Summe Subtrktio: 6 Miued mius Subtrhed Differez Multipliktio: 6 Fktor ml Fktor Produkt Divisio: : 6 Divided dividiert durch Divisor Quotiet 6 Bechte: Sttt Differez sgt m uch Summe, we m ( 6) ls egtive Zhl uffsst. Scho de Bezeichuge erket m, dss m Summde ud Fktore vertusche drf, icht ber Miued ud Subtrhed bzw. Divided ud Divisor. Potez: dies ist eie Kurzschreibweise für Gz wichtig ist die Reihefolge der Recheopertioe:!!! Klmmer vor Poteze vor Pukt ( ; : ) vor Strich ( ; + )!!! (Ierhlb der Klmmer d i derselbe Reihefolge) ( 6) ( 8 ) ( vor Klmmer oder Buchstbe k m de Ml-Pukt weglsse ) Weiter sid die folgede Vorzeicheregel zu bechte: Bei der Multipliktio gilt: ( + 7 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( + ) Zusmme mit Klmmer: + ( b c ) + b c ( b c ) b + c Ebeflls oft gebrucht wird ds Distributivgesetz: ( b + c ) b + c Vo liks heißt es Ausmultipliziere 6( 7 b ) 8 0b Vo rechts heißt es Ausklmmer b + 9bc b( 7 + c ) oder Fktorisiere FOS/BOS Augsburg

4 B I N O M E ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) M multipliziert jede Summde der erste Klmmer mit jedem der zweite Klmmer. Besoders wichtig sid dbei die biomische Formel: ( + b) ( b) ( + b)( b) + b + b b + b b Produkt Summe Ds Umwdel eier Summe i ei Produkt oder umgekehrt eies Produkts i eie Summe wird i Zukuft eie wichtige Rolle spiele, d je ch Aufgbe ml die eie oder die dere Drstellug güstig bzw. ötig ist. Beispiele:. (6s t) (6s) 6s t + (t). + t + 0,6t ( + 0,t) Zuerst Qudrte suche, d b überprüfe 6s 6st + 9t Aufgbe: ( 0, + y) ( b) y + 9y (7 + b)(7 b) 6 9. d + c , +, y + y 6 69y + + 0,cd FOS/BOS Augsburg

5 P O T E N Z E N UND W U R Z E L N Defiitio: ml heißt Bsis, Epoet Beispiel: ml Aus der Defiitio ergebe sich die Recheregel für Poteze (siehe Formelsmm.). Die folgede Regel sollte Sie sich ber ubedigt merke: 0 ud Lere! Zusmmefsse k m ur Poteze mit gleicher Bsis, z.b.: ( ) m m + m m ( ) ( )( ) ( )( ) 6 6 oder mit gleiche Epoete b (b) 6 6 We m uch oft ur türliche Zhle ls Epoete ht, so gilt diese Eischräkug keieswegs, im Gegeteil: Wichtig sid uch egtive ud rtiole Epoete: Wurzelziehe ud Poteziere drf m vertusche: 7 ( 7 ) Bei irrtiole Epoete bleibt ur och der Tscherecher. Die folgede Aufgbe sollte Sie wie Vokbel triiere, eie Seite zugedeckt. ( ) m ( ) y r ( b ) 0 ( + ) ( ) 7 : y m+ r 0 b 6m y m 6r 00 0,0 0, ( + y) , ( + y) + y Bechte ber, die Gleichug ht keie Lösug i IR Zusmmefsse icht möglich Zusmmefsse icht möglich Zusmmefsse icht möglich ht zwei Lösuge :, ± FOS/BOS Augsburg

6 B R U C H T E R M E Ei Bruchstrich steht für : oberhlb des Bruchstrichs steht der Zähler, uterhlb der Neer.. Defiitiosmege: Bei Bruchterme drf der Neer icht 0 werde: Beispiele D R \{ } D R \ {, } + 9. Erweiter/Kürze: We m Zähler ud Neer mit derselbe Zhl 0 multipliziert oder dividiert, so ädert sich der Wert des Bruches icht. We m llerdigs mit Terme erweitert oder kürzt, so k sich ddurch die Defiitiosmege veräder. Beispiele:,, 0. 0, ( + )( ). gilt ur für 7 ( 7)( ) + 8 ( )( + ) + ( )( + ) { }. mit D R \ ; gekürzt ( wäre D R \ { } ) mit " ". Additio / Subtrktio: zwei Brüche k m ur ddiere bzw. subtrhiere, we sie de gleiche Neer hbe (Hupteer) Beispiele: zuerst geeiget erweiter bzw. kürze, d ds Ergebis soweit wie möglich kürze ( ) ( ) D R \ ( + y) + y. y y y ( y)( + y) y { R } D ± y. Multipliktio/Divisio: Eifch Zähler ml Zähler ud Neer ml Neer reche. Dbei ist es u.u. sivoll vorher zu kürze. Beispiele: + y 6 + y y. 6 D R \ D R \ 0 D R \ 0; { } { } { } + + ( + ) ( )( ). ur für D R \ ;0. { } 7 7 : M teilt durch eie Bruch, idem m 7 6 mit dem Kehrwert mlimmt { } FOS/BOS Augsburg

7 A U F G A B E N B R U C H T E R M E Vorweg och ei pr eigetlich eifche Aufgbe mit Lösugsweg:. ( + ) + +. : b 7y 6 b : 7y by A) Bestimme Sie die Defiitiosmege der Terme für y 0, +, + 9 B) Kürze Sie soweit wie möglich: b 9. 6b 9 0. y 6 y bc. b c C) Fsse Sie zusmme ud vereifche Sie soweit wie möglich:. +.. y. + 7 b + b pq q y 7y 9. p + q p q b 6 y t ts 0. : s r. 7b y y. +. z + z p p q + q p Die Lösuge dzu sid etws durcheider gerte, hoffetlich fide Sie sie wieder: A) D R \{ 7; 7 } D R \{ 7 } D R D R \{ } B) + y b b bc C) y 6b b q( p + q ) b b p q 9 9y + 0y 6 y z p q pq tr s 7by 6 FOS/BOS Augsburg

8 L I N E A R E G L E I C H U N G E N Beispiele:. + ( ) + usmultipliziere lle uf eie Seite ud zusmmefsse 6 durch de Fktor vor teile 0, Ziel der Umformug ist ei Term der Art: Term ohe Term ohe. Zum Schluss och durch de Term teile. D dieser Term icht 0 werde drf, k eie Flluterscheidug otwedig sei, we die Gleichug Formvrible ethält, dies sid Buchstbe, die für bestimmte och ubekte Zhle stehe:. Fll 0. Fll 0 ( + 6) ( ) usklmmer Aufgbe ( + ). 7 ( + ). 8 6 ( + ) ( ) ( 7 ) 0 7 [ ( 9 + ( ))] 00 für L für 0 L Löse Sie die folgede Gleichuge ch uf.,b R. { } d immer 0 0! b b ( b 8 ). 7 ( + ) ( 0 ) ( + ) ( + ) Bei de folgede Gleichuge ist die Lösug bhägig vo,b,k R k b 0 #8. + b #9. ( + b ) + 7 FOS/BOS Augsburg

9 L Ö S U N G E N Biome: , ( +,) ( + y) +,y + 6y 8b + 9b 9b ( + y)( y) () d ( ) y + (y) c ( + )( ) ( + )( + ) kei Biom (ysttt 8y!) liere Gleichuge:. L {6}. L {}. L {7} " " vor der Klmmer!. L lle Glieder i der Klmmer multipliziere. L { 7} 6. L {,7} L {} 8. 0b b. + b L {0} 7. L 6. für 0: L 6. für 0: L b für k 0: L k b 8. für : L für 0: L {} für 0: L {} für k 0 ud b 0: L {} ( 0 b ) für k 0 ud b 0: L R ( 0 0 ) für ud b : L R ( 0 b) für ud b L {} 9. für b : L + b für b ud : L R für b ud : L {} 8 FOS/BOS Augsburg

10 Q U A D R A T I S C H E G L E I C H U N G E N Qudrtische Gleichuge (d.h. kommt i der zweite Potez vor) k m i drei verschiedee Grudforme brige. reiqudrtisch:. 9 Wurzel ziehe ( Lösuge!!!) ht keie Lösug. b b 0 ( + b) + b ( + b). fktorisierbrer Fll: hierbei mcht m sich zuutze, dss 0 (irgedetws) 0 ist. + 0 ( + ) 0 0 usklmmer!., ( + )( ) 0 die Gleichug ist bereits i Lierfktore zerlegt. llgemeie Form: + b + c 0 die Lösug erfolgt mit Hilfe der Mitterchtsformel :, b ± b c Lere!!! ± 6 ( ) Beispiele: 0, 6 0, + k + 8k k 0, 8k k ± k 0, 8k, k ± k Aufgbe: , ( + 8). ( + ) #9. #0. #. #. #. #. 7 ( ) p m p + 9m ( ) ( ) 0 + b 0 (p + ) p + 0 m ( m) 9 FOS/BOS Augsburg

11 L Ö S U N G E N Qudrtische Gleichuge L L L L 0. L. L. L { ; } {,6;,6} { } ; {, ;,}. L ; 6. L { 0,;} L 0; usklmmer!! L 0; { 0;,86} 7 L orde! {,7;,7 } { 0,, 7,} {,7;,7} { ;} zuerst bi. Formel!. L. L. L 6. L L 8. L { 8;} { 0; } { } { p, p} { ;} { + ; } b 9. L 0; p + p + 0. L ;. L ; ur für p 0 p p. L ; ur für m (bi.formel!) m m. L ; orde, usklmmer! ( 7) für p 0 für 0,, für 0 ur für 0 ur für > 0 ur für 0 0 doppelte Lös. 0 doppelte Lös., 0 m. L 0; 9m ur für m 9, usklmmer! (9m ) + m 0 für m 0 dopp Lösug Häufiger sid uch Aufgbe der Art: Bestimme Sie so, dss die qudrtische Gleichug geu eie Lösug ht: + + 0, ± 6 lso 6 0, ht geu eie Lösug, we die Diskrimite D, ds ist der Term uter der Wurzel, Null ist ± Aufgbe Lösuge. + ( + 8) Für weitere Übuge ist ds Buch vo Volker Altrichter : Wiederholug Algebr, Strk Verlg, zu empfehle 0 FOS/BOS Augsburg

12 U N G L E I C H U N G E N Liere Ugleichuge: 8( 7) > > 9 > < : vorgehe wie bei Gleichuge Multipl. oder Zeiche drehe!!! Divisio mit egtiver Zhl Die Lösugsmege ist ei Itervll L ] ; [ Mit Formvrible wird evetuell eie Flluterscheidug ötig: ( + )( ) + < ( ).Fll : (.Fll :.Fll: < < + : ( ) ) > 0 lso für < < für > > für 0 < dieser Term k pos. oder eg. sei L IR z. B für 6 > Zähler Bruchugleichuge sid eifch, we m sie uf die Form > 0 oder < 0 brigt Neer 0 > 0 +.Fll : Zähler ud Neer > 0 0 > 0 ud + > 0 > ud > L oder.fll : Zähler ud Neer < 0 < ud < L Ei Bruch ist egtiv, we Zähler ud Neer verschiedee Vorzeiche hbe qudrtische Ugleichuge zuerst uf eie der beide folgede Forme brige ] ; [ L L L ] ; [ bzw..l 6 6 oder 6 bzw. L [ 6;6] ] ;: 6] [ 6; [ Lere!!!. + > 0 diese Ugleichug löst m m eifchste, idem m die dzu gehörede Prbel betrchtet: zuerst die Nullstelle ] [ wege ist die Prbel ch ute geöffet >0 bedeutet: gesucht sid die -Werte, für die Prbel oberhlb der -Achse liegt L ; Alle obige Beispiele gelte etspreched für lle Zeiche <, >,, FOS/BOS Augsburg

13 A U F G A B E N U N G L E I C H U N G E N Liere Ugleichuge: Lösuge:. 7 >. >. + <. <. 0 > 8. <. 6 <. >. > 7. > 6. + < 6. > ( ) > 7 8. > 9. ( + ) < > ( ) Bruchugleichuge:. > 0. < 0. > + # +. + #. > 0 # 0. >. 0 < <. < <. < oder >. < oder 0 Qudrtische Ugleichuge: 6. hier sid die Lösuge ml i Itervllschreibweise gegebe < 0 6. ] ;[ 0 7. ; ; ] ] [ [ 8. 7 < 8 8. L R 9. ] ;] [ ; [ [ ;] <. L { } # 9. + > 0 # 0. 0 #. # [ ; ] FOS/BOS Augsburg