1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung

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1 Grudwie Mthemtik 9.Kle Gymium SOB.Weiteretwicklug der Zhlvortellug Defiitio der Qudrtwurzel: Für 0 it diejeige icht egtive Zhl dere Qudrt ergibt. heißt Qudrtwurzel, heißt Rdikd. Beipiele: 0,5 0, Reelle Zhle telle eie Erweiterug der rtiole Zhle dr. Diee it ötig, d z.b. icht i Q liegt. Jeder uedliche ichtperiodiche Dezimlbruch it irrtiol, e gibt keie Bruchdrtellug für ih, π it irrtiol. Die reelle Zhle R umfe die rtiole ud die irrtiole Zhle. für 0 für < 0 b b : b : b Achtug! + b + b R Q Z N.Fuktiole Zummehäge..Grphe qudrticher Fuktioe ud ihre Nulltelle.Biomiche Formel: ² + b + b² ( + b)².biomiche Formel: ² - b + b² ( - b)².biomiche Formel: ² - b² ( - b)( + b) Der Grph eier qudrtiche Fuktio f(x) x² + bx + c mit 0 heißt Prbel. Beipiel: Grph für f(x) 0,5x² + x Der tiefte bzw. höchte Pukt eier Prbel wird Scheitel S get. Die Stelle dee der Grph die x Ache cheidet heiße Nulltelle. Fll > 0 it die Prbel ch obe geöffet. Fll < 0 it die Prbel ch ute geöffet. Fll > it, erhält m eie egere Prbel. Fll < it, erhält m eie weitere Prbel.

2 ..Löugverfhre für qudrtiche Gleichuge Eie Gleichug der Form x² + bx + c 0 heißt qudrtiche Gleichug. Durch qudrtiche Ergäzug k m ie uf Scheitelpuktform brige ud löe. Beipiel: 0,5x² + 4,5x + 0 0,5 uklmmer 0,5 [x² + 6x + 4] 0 qudrtich ergäze 0,5 [x² + 6x + ² - ² + 4] 0 biomiche Formel 0,5 [(x + )² - 5] 0 umultipliziere liefert die Scheitelpuktform 0,5 (x + )² -,5 0 Auflöe ch x (x + )²,5: 0,5 (x + )² 5 x 5 x 5 Au der Scheitelpuktform f(x) (x d)² + e le ich der Scheitel S(d/e), die Verchiebug der Prbel i x Richtug um d ud die Verchiebug i y Richtug um e direkt blee. Die Betimmug der Nulltelle k ebe der qudrtiche Ergäzug mit der Löugformel erfolge: x b ± b² 4c Der Rdikd i der Löugformel wird Determite D get ud gibt die Azhl der Löuge. Für D > 0 gibt e zwei Löuge, für D 0 eie Löug ud für D < 0 keie Löug...Aweduge Extremwertprobleme Schittpuktbetimmug vo zwei Prbel, Prbel ud Gerde ud Gerde ud Hyperbel. Eifche Bruchgleichuge.Erweiterug de Potezbegriff.. te Wurzel Für 0 it diejeige icht egtive Zhl, dere te Potez ergibt: ( ). heißt - te Wurzel u ( N, ) Beipiele: x³ -8 x 8 x 4 6 x ud x -..Poteze mit rtiole Expoete p p q p q q Defiitio: Für poitive Be gilt: q p Recheregel für r ud u Q ud ud b u R + : r r + r r ( ) r r b r ( b) r r : b r ( : b) r r :

3 4.Zummegeetzte Zufllexperimete Ei Zufllexperimet, d u mehrere 5 Teilexperimete beteht, et m mehrtufige Zufllexperimet. 8 8 Beipiel: I eier Ure id 5 gelbe ud blue Kugel. E werde cheider ohe 4 Zurücklege Kugel gezoge..pfdregel: Bei eiem mehrtufige Zufllexperimet erhält m die Whrcheilichkeit eie Ergebie, idem m die Whrcheilichkeite läg de zugehörige Pfde im Bumdigrmm 5 multipliziert: P(g,b). 8.Pfdregel: Bei eiem mehrtufige Zufllexperimet erhält m die Whrcheilichkeit eie Ereigie, idem m die Summe der Whrcheilichkeite der Pfde bildet, die zu dem Ereigi gehöre: P({(g,b),(b,b)}) D rechtwiklige Dreieck 5..Stzgruppe de Pythgor Kthetetz: Für jede rechtwiklige Dreieck it d Qudrt übereier Kthete flächegleich zum Rechteck u der Hypoteue ud dem liegede Hypoteuebchitt. ² c p b² c q Die Hypoteue it die dem rechte Wikel gegeüberliegede Seite. Die Kthete id die dere beide Seite. Die Höhe der Hypoteue zerlegt diee i die Hypoteuebchitte. 5 Stz de Pythgor: I jedem rechtwiklige Dreieck hbe die Qudrte über de Kthete de gleiche Flächeihlt wie d Qudrt über der Hypoteue. ² + b² c² Kehrtz zum Stz de Pytgor: We i eiem Dreieck ² + b² c² gilt, d ht d Dreieck bei C eie rechte Wikel. Digole d im Qudrt mit der Seiteläge : d Höhe im gleicheitige Dreieck mit der Seiteläge : h

4 4 Höhetz: I jedem rechtwiklige Dreieck it d Qudrt über der Höhe flächegleich zum Rechteck u de beide Hypoteuebchitte. h² p q 5..Trigoometrie m rechtwiklige Dreieck i α Gegekthete vo α Hypoteue c coα Akthete vo α b Hypoteue c t α Gegekthete vo α Akthete vo α b i α co(90 α ); coα i(90 α ); t α i α ; i α + co α coα Beodere Werte: i 0 4 co 4 0 t 0.d.

5 5 6.Rumgeometrie 6.. Prim ud Zylider Netz de Prim: Höhe h h M G Mtelfläche M Netz de Zylider: Höhe h M πrh G Oberfläche ud Volume de Prim: O P G + M V P G h Oberfläche ud Volume de Zylider: O Z G + M + πr h V Z G h h 6.. Pyrmide ud Kegel Netz de Kegel ud der Pyrmide: bπr S Mπr Oberfläche ud Volume der Pyrmide: O P Grudfläche + Seitefläche V P / G h Oberfläche ud Volume de Kegel: O K + πr V K / G h / h