Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 9 G8

Transkript

1 Gymasium Ecketal Mathematisch-aturwisseschaftliches Gymasium Neusprachliches Gymasium Gymasium Ecketal Neukircheer Straße 904 Ecketal Grudwisse Jahrgagsstufe: 9 G8. Wurzel, Poteze mit ratioalem Expoete Defiito der -te Wurzel: Die ichtegative Zahl a heißt -te Wurzel ( ) aus eier ichtegative Zahl b, we a = bgilt. heißt Wurzelexpoet, b heißt Wurzelradikad. Schreibweise: a = b Wurzelgesetze: a a a b = a b; = + b b a,b ; m, m m a = a Poteze mit ratioale Expoete: Potezgesetze: a m r ( a ) m = a ( a + ;m ; ) r r s r+ s a r s a a = a ; = a s a = ( ) r r r + a b a b a,b ;r,s s r s = a Welche der folgede Wurzel sid icht defiiert? ; (); a; x (x 0) Bereche im Kopf: 7; ( ) ; ; ; 0,0; a (a 0) 8 Bestimme jeweils die Defiitiosmege: 3 x ; ; x + ; x; 3 x 3 x Vereifache mit Hilfe der Wurzelgesetze: Radiziere teilweise: ; 3 3 ; ; 0; 48 (Bsp: 3 = = = 4 ) Schreibe als Potez: ; ( 3 ) ; ( ) Vereifache die folgede Terme soweit wie möglich. 3 a a ; 3 a b b a 4 ; ( ) 3 a b ; b + 4a + 4b a

2 . Quadratische Fuktioe ud Gleichuge Biomische Formel: a) Plusformel: b) Miusformel: c) Plusmiusformel: (a + b) = a + ab + b (a b) = a ab+ b (a + b)(a b) = a b Fuktiosgleichuge quadratischer Fuktioe: Allgemeie Form: y= a x + b x+ c (a 0) Scheitelform: y= a (x d) + e; Scheitelkoordiate: S(d e) Produktform: y = a (x x ) (x x ) ; Nullstelle: x udx Defiitosmege: D f = [e; + [ für a > 0 Wertemege: Wf = ] ;e] für a < 0 Beispiel für Scheitelbestimmug durch quadratische Ergäzug: y = x x + 4 = x 3x + = 3 3 = x 3x+ + = rechte Seite der Miusformel = x + = x 4 3 = x Die Graphe quadratischer Fuktioe heiße Parabel, für a = Normalparabel. Forme die folgede Terme mit Hilfe der biomische Formel um. (x 3) ; ( + x) ; (3d 4) ; (4 3b)(4 + 3b) ; (0, a)(a + 0,) Schreibe die folgede Terme als Potez oder Produkt. x x+ 9; 4a ; 4m + 9t mt Bestimme zu de folgede quadratische Fuktioe jeweils de Scheitel sowie die Wertemege ud zeiche de Graphe: f:x x 8x + 4 g: x x 8x h: x 3x+ x Gib jeweils eie Fuktiosgleichug eier quadratische Fuktio a, a) dere Graph durch de Pukt P(,) verläuft ud de Scheitel S( 3) besitzt. b) die die Nullstelle 4 ud besitzt ud dere Graph durch de Pukt P(3 ) verläuft.

3 Die x-koordiate der Schittpukte des Graphe mit der x-achse heiße Nullstelle. Für a > 0 ist die Parabel ach obe, für a< 0 ist sie ach ute geöffet. Je größer a, desto eger ist die Öffug der Parabel. Bestimme die Lösugsmege der folgede Gleichuge: a) 3x = 7x b) 8x + 3 = x 7 c) x x = 3+ x d) = 48 x x Bestimme jeweils alle Nullstelle. f:x 4 (x+ ) (7 x) g: x 3x + x + h: x x+ x s:x x + 4x + 3 t:x 3x + x Gegebe sid die Fuktiosterme zweier Fuktioe f ud g. Bestimme alle Schittpukte graphisch ud recherisch. Die Nullstelle werde über die Bedigug y= 0bestimmt. Durch Nullsetze der allgemeie Gleichug eier quadratische Fkt. erhält ma eie quadratische Gleichug: 0= ax + bx+ c Lösugsformel für quadratische Gleichuge: b± b 4ac x/ = a Lösuge existiere ur, we b 4ac 0gilt. Der Wurzelradikad b 4ac heißt Diskrimiate D. a) b) f(x) = x x ; g(x) = x + f (x) x + = ; g(x x 8 ) = + x+ 8 Bestimme die Lösugsmege der folgede Ugleichuge: a) (x 3)(x + ) 0 b) (x + )(x + ) < 0

4 3. Satzgruppe des Pythagoras Rechtwikliges Dreieck Höhesatz I jedem rechtwiklige Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächegleich zum Rechteck aus de beide Hypoteu- seabschitte. Gib für das Dreieck ABE de Satz des Pythagoras, de Höhesatz sowie für beide Kathete de Kathetesatz als Formel a! Kathetesatz I jedem rechtwiklige Dreieck ist das Quadrat über eier Kathete flächegleich zum Rechteck aus der Hypoteuse ud dem a der betrachtete Kathete aliegede Hypoteuseabschitt. Satz des Pythagoras I jedem rechtwiklige Dreieck habe die Quadrate über de Kathete zusamme de gleiche Flächeihalt wie das Quadrat über der Hypoteuse. Vervollstädige die folgede Tabelle! Rude die Ergebisse sivoll! a b c d h a),0 cm,0 cm b) 4,0 cm,0 cm c) 4,0 cm, cm

5 4. Trigoometrische Beziehuge im rechtwiklige Dreieck Gegekathete Sius eies Wikels = Hypoteuse Vervollstädige die folgede Tabelle ohe Verwedug des Satzes des Pythagoras! Rude die Ergebisse sivoll! Akathete Kosius eies Wikels = Hypoteuse Gegekathete Tages eies Wikels = Akathete a b c α γ a),0 cm 9,0 cm b) 4,0 cm c) 4, cm 48 d) 4,0 cm,0 cm Bereche de Flächeihalt des folgede Dreiecks!

6 . Prisma, Pyramide, Zylider ud Kegel Prisma Volume: V = G h Oberfläche: V= G + M Bereche das Volume ud die Oberfläche eies 4,0 cm hohe gerade Prismas, desse Grudfläche a) ei rechtwikliges Dreieck mit de Katheteläge,0 cm ud,0 cm ist. b) ei gleichseitiges Dreieck mit der Seiteläge 4,0 cm ist. Vo eiem gerade Prisma spricht ma, we der Matel ur aus Rechtecke besteht. Pyramide Volume: V = G h 3 Oberfläche: O = G+ M Eie Pyramide heißt gerade, we alle Seitekate gleich lag sid. Die Grudfläche besitzt deshalb eie Umkreis, desse Mittelpukt der Fußpukt des Lotes vo der Pyramidespitze auf die Grudflächeebee ist. Eie gerade Pyramide hat ei Quadrat mit der Seiteläge 4,0 cm als Grudfläche. Die Höhe der Pyramide beträgt,0 cm. a) Zeiche ei Netz dieser Pyramide. b) Zeiche ei Schrägbild dieser Pyramide. c) Bereche Oberflächeihalt ud Volume dieser Pyramide. d) Bestimme mit Hilfe eies Stützdreiecks de Neigugswikel der Seitekate gege die Grudfläche. Hiweis: Die Höhe h ud die betrachtete Seitekate sid Seite des Stützdreiecks.

7 Zylider Volume: V = π r h Nur für de gerade Zylider (die Verbidugstrecke der beide Kreismittelpukte steht sekrecht auf de Kreisebee) gilt: Matel: M = rh π Oberfläche: O = π r( r+ h) Ei Zylider besitzt eie Radius vo,0 dm. Seie Höhe beträgt,0 m. Bereche sei Volume ud de Ihalt seier Oberfläche. Eie zyliderförmige Walze, die i der Ladwirtschaft als Wiesewalze eigesetzt wird, hat de Durchmesser d =,0 m ud die Läge l =,0 m. a) Welche Wiesefläche wurde geglättet, we sich die Walze zehmal gedreht hat? b) Was wiegt die Walze, we sie aus Stahl ud hohl ist 3 (Wadstärke 0,80 cm)? Hiweis:,0 cm Stahl wiegt 7,9 g. Kegel Volume: = π 3 V r h Der Matel eies Kegels ist ei Kreissektor, desse Radius 4,0 cm ud desse Bogeläge,0 cm beträgt. Bestimme de Radius, die Höhe, das Volume ud de Ihalt der Oberfläche des Kegels. Nur für de gerade Kegel (der Fußpukt des Lotes vo der Spitze auf die Kreisebee ist der Mittelpukt des Kreises) gilt: Läge eier Matelliie: s= r + h Matel: M = π r s Ei kegelförmiges Sektglas wird halbvoll eigeschekt, d.h. bis zur halbe Höhe. Welche Ateil des Gesamtvolumes des Glases immt der Sekt ei? Oberfläche: ( ) O = π r r + s

8 . Mehrstufige Zufallsexperimete. Pfadregel: Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses, dem geau ei Pfad i eiem Baumdiagramm etspricht, ist das Produkt der Wahrscheilichkeite lägs dieses Pfades.. Pfadregel: Gehöre zu eiem Ereigis mehrere Pfade, so ist die Wahrscheilichkeit dieses Ereigisses die Summe der Wahrscheilichkeite der eizele Pfade. Beispiel: Ei Würfel wird dreimal hitereiader geworfe. P("dreimal ")= P("ur 3. Versuch ") = P("geau zweimal ") = + + I eier Ure befide sich 4 grüe ud rote Kugel. Es werde acheiader 3 Kugel ohe Zurücklege gezoge.. Zeiche ei Baumdiagramm.. Bereche die Wahrscheilichkeit, dass a) ur die erste gezogee Kugel rot ist. b) ur grüe Kugel gezoge werde. c) geau eie rote Kugel gezoge wird. d) die dritte gezogee Kugel grü ist. Ei Biathlet hat eie Treffsicherheit vo 8 %. Er schießt auf Scheibe. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass er a) alle Scheibe trifft? b) keie eizige Scheibe trifft? c) geau 4 Scheibe trifft? Iree ud Claudia schieße abwechseld mit eier Armbrust auf eie Apfel. Die Trefferwahrscheilichkeit vo Iree beträgt 40 %, die vo Claudia 0 %. Iree begit. Das Wettschieße ist beedet, we der Apfel getroffe wurde. Jedes Mädche hat maximal zwei Versuche. a) Zeiche ei Baumdiagramm. b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Iree gewit? c) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Claudia gewit? d) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass kei Mädche de Apfel trifft?