Positiv denken! Lösungen

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1 Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Positiv deke! Lösuge Aufgabe 1 (GMAMQM (ur für die Klasse 7/8) [ Pukte]). Seie a, b reelle Zahle. 1. Sei a 0 ud b 0. Zeige, dass a b a + b ist.. Zeige, dass a + b a + b ist. Hiweis. Ist x eie reelle Zahl mit x 0, so bezeichet die Wurzel x aus x die eideutig bestimmte reelle Zahl 0 mit ( x) = x. Wurzel habe die folgede Eigeschafte: Sid x, y 0 reelle Zahle, so gilt x y = x y; ist x y, so ist x y. Diese Eigeschafte darfst Du verwede, auch we Du i der Schule och ichts über Wurzel gelert hast. Lösug. 1. Seie a, b reelle Zahle mit a 0 ud b 0. Da ist a b = 1 ( a + b ( a b) ) 1 ( a + b 0 ) (ach ) = a + b. (Gleichheit liegt dabei ach geau da vor, we a b = 0 bzw. a = b gilt). Alterativ ka ma wie folgt vorgehe: Ist a = 0 oder b = 0, so ist die Ugleichug offebar erfüllt (de da ist a b = 0). Seie daher u a, b > 0. Aus de Erkläruge auf dem Themeblatt wisse wir bereits (agewedet auf a ud b), dass a b +. b a Idem wir diese Ugleichug mit a b = a b multipliziere erhalte wir (wege a b > 0) die Ugleichug ud damit a b (a + b)/. a b ( a + b ) = (a + b),. Idem wir de erste Teil auf a ud b awede, erhalte wir ( a + b ) a + a b + b = = a + b a + b = a + b. + a b a + b + + a + b a b (ach dem erste Teil) Thema vom 30. Mai 018. Eisede der Lösuge bis 13. Juli 018. Schülerzirkel Mathematik, Fakultät für Mathematik, 9300 Regesburg schueler.zirkel@mathematik.ui-regesburg.de Allgemeie Iformatioe zur Teilahme: Allgemeie Hiweise zum Löse vo Aufgabe:

2 Wege ((a + b)/) 0 ud (a + b )/ 0 folgt daraus auch a + b (a + b ) a + b. Aufgabe (kleie Zweierpotez (ur für die Klasse 7/8) [ Pukte]). Zeige: Für jede Wahl vo reelle Zahle a 1,..., a mit a 1 a 018 = 1 gilt Hiweis. GMAM! 018 (1 + a 1 ) (1 + a ) (1 + a 018 ). Lösug. Es gilt 1 = 1 (da 1 0 ud 1 = 1) = 1 a 1 1 a 018 (da a 1 a 018 = 1) 1 + a a 018 (ach dem erste Teil vo Aufgabe 1) = (1 + a 1) (1 + a 018 ), (Zusammesammel der 1/-Terme) ud damit 018 (1 + a 1 ) (1 + a ) (1 + a 018 ). Aufgabe 3 (ABC [ Pukte]). Zeige: Für alle reelle Zahle a, b, c 0 gilt (a + b) (b + c) (c + a) 8 a b c. Wa gilt Gleichheit? Begrüde Deie Atwort! Lösug. Es gilt 8 a b c = a b c = a b b c c a (a + b) (b + c) (c + a) (ach dem erste Teil vo Aufgabe 1). Gleichheit tritt dabei geau da ei, we a = b = c ist oder midestes zwei der Zahle a, b, c Null sid, de: Ist a = b = c, so ist (a + b) (b + c) (c + a) = a a a = 8 a a a = 8 a b c.

3 Sid zwei der drei Zahle a, b, c Null, so folgt 8 a b c = 0 = (a + b) (b + c) (c + a) (da liks ud rechts jeweils midestes eier der Faktore Null ist). Es gelte umgekehrt (a + b) (b + c) (c + a) = 8 a b c ud es sei höchstes eie der Zahle a, b, c Null. Da folgt (wege der Ugleichug aus dem erste Teil vo Aufgabe 1 ud da alle Faktore auf der like Seite icht Null sid) a + b = a b ud b + c = b c ud c + a = c a. Idem ma de Beweis des erste Teils vo Aufgabe 1 ochmal durchgeht, sieht ma, dass daraus a = b ud b = c ud c = a folgt. Also ist a = b = c. Aufgabe (Optimierug auf eiem Kreis [ Pukte]). Was ist die größte Zahl der Form 018 (x + y), die ma mit reelle Zahle x, y, die gleichzeitig die Kreisgleichug x + y = 1 erfülle, erreiche ka? Begrüde Deie Atwort! Hiweis. Betrachte für eie geeigete reelle Zahl a de Ausdruck (x a) + (y a). Wie muss ma a wähle, um die Kreisgleichug is Spiel brige zu köe? Lösug. Die größte Zahl dieser Form ist 018, de: Sei x := / ud y := /. Da ist ud x + y = + = = 1 ( 018 (x + y) = ) = 018. Seie umgekehrt x ud y reelle Zahle mit x + y = 1. Da folgt ( ) ( ) 0 x + y (wege ) = x x y y + 1 = (x + y) (wege x + y = 1) = (x + y), ud damit 018 (x + y) 018 = 018.

4 y 1 (, ) x 1 K {(x, y) R x + y = 1} {(x, y) R x + y = 0} Abbildug 1: Die Situatio i Aufgabe Also ist 018 die kleiste solche Zahl. Herzliche Glückwusch! Ihr habt damit eie Staatsexamesaufgabe (Lehramt Gymasium, Aalysis, Bayer, Frühjahr 018) gelöst. Die Aufgabe war dort ei weig aders formuliert (ud de Kadidate im Staatsexame stehe och adere Lösugstechike zur Verfügug), aber mit de obige Berechuge wird die Aufgabe vollstädig gelöst. Wie kommt ma geometrisch auf x = / ud y = /? Die Mege aller Pukte (x, y) i der Koordiateebee R mit x + y ist ei Kreis K um de Nullpukt (0, 0) vom Radius 1 (Abbildug 1). Ist c R, so ist die Mege aller (x, y) R mit x + y = c eie Gerade i R, die parallel zur zweite Wikelhalbierede liegt (ud umgekehrt). Je weiter auße solche Gerade im erste Quadrate liege, desto größer ist die Summe der beide Koordiate. Wir suche daher die Gerade, die zur zweite Wikelhalbierede parallel ist ud de Kreis K möglichst weit rechts obe scheidet. Dieser Schittpukt (x, y) liegt da aus Symmetriegrüde auf der erste Wikelhalbierede ud erfüllt somit (ebe x, y 0) x + y = 1 ud x = y. Daraus erhält ma x = / ud y = /. Aufgabe 5 (gaze Optimierug (empfohle ab Klasse 9) [ Pukte]). 1. Bestimme die kleiste Zahl der Form x + y 018 x y mit gaze Zahle x, y mit x + y = 018. Begrüde Deie Atwort!. Bestimme die kleiste Zahl der Form x + y 019 x y mit gaze Zahle x, y mit x + y = 019. Begrüde Deie Atwort!

5 Lösug. 1. Für alle gaze Zahle x, y mit x + y = 018 gilt x + y 018 x y = (x + y) x y 018 x y Nach ist dieser Ausdruck midestes = x (018 x) (da x + y = 018) = (x 1009) , wobei Gleichheit geau da eitritt, we x = 1009 ist (ud damit y = 1009). Also ist = die kleiste solche Zahl.. Für alle gaze Zahle x, y mit x + y = 019 gilt x + y 019 x y = (x + y) x y 019 x y = x (019 x) (da x + y = 019) ( = x 019 ) 019. Da x eie gaze Zahl ist, ist (x 019/) geau da miimal, we x 019 = 1 ist, d.h., we x = 1010 (ud y = 1009) oder x = 1009 (ud y = 1010) ist. Als miimal mögliche Wert erhalte wir somit ( ) = Aufgabe 6 (CS (empfohle ab Klasse 9) [ Pukte]). Seie x 1,..., x 018, y 1,..., y 018 reelle Zahle. Zeige, dass gilt. (x x 018) (y y 018) (x 1 y x 018 y 018 ) Hiweis. Wede auf eie geeigete Summe vo Quadrate a... Lösug. Sei := 018. Für alle reelle Zahle z erhalte wir mit ud der biomische Formel, dass 0 (x 1 + z y 1 ) + + (x + z y ) = (y y ) z + (x 1 y x y ) z + (x y ).

6 Da diese quadratische Gleichug (i z) somit höchstes eie reelle Nullstelle z besitzt, folgt mit der Mitterachtsformel, dass Also ist wie behauptet. (x 1 y x y ) (y y ) (x x ) 0. (x x ) (y y ) (x 1 y x y ), Allerlei Mittel ud Ugleichuge Sei eie atürliche Zahl ud seie x 1,..., x 0 reelle Zahle. Da bezeichet ma x 1... x als geometrische Mittel, x1+ +x x 1 + +x als arithmetisches Mittel, als quadratisches Mittel vo x 1,..., x. Für diese Mittel gilt die GMAMQM-Ugleichug x1... x x x x x. Im Fall = ist dies geau der Ihalt vo Aufgabe 1. De allgemeie Fall der erste Ugleichug ka ma zum Beispiel per Iduktio zeige, de allgemeie Fall der zweite Ugleichug ka ma aus Aufgabe 6 folger, Die Ugleichug aus Aufgabe 6 bezeichet ma als Cauchy-Schwarzsche Ugleichug. Diese Ugleichug spielt i der aalytische Geometrie (d.h. der Behadlug euklidischer Geometrie mit Methode der Lieare Algebra) eie wichtige Rolle. Weiterführede Liks A. Egel. Problem solvig strategies, Problem Books i Mathematics, Spriger, 1999.