MATHE-BRIEF. April 2016 Nr. 68. Wer fürchtet sich vor der vollständigen Induktion? Als ich als Mathematik-Student zum ersten Mal einen Beweis

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Karola Hase
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MATHE-BRIEF April 01 Nr. 8 Herausgegebe vo der Österreichische Mathematische Gesellschaft http: // www.oemg.ac.at / Mathe Brief mathe brief@oemg.ac.at Wer fürchtet sich vor der vollstädige Iduktio?

1 MATHE-BRIEF April 01 Nr. 8 Herausgegebe vo der Österreichische Mathematische Gesellschaft http: // / Mathe Brief mathe brief@oemg.ac.at Wer fürchtet sich vor der vollstädige Iduktio? Als ich als Mathematik-Studet zum erste Mal eie Beweis mit vollstädiger Iduktio vorgeführt bekam, hatte ich de Eidruck, hier geschehe etwas Geheimisvolles aus de lichte Höhe uzugäglicher Mathematik. Erst mit der Zeit habe ich begriffe, dass ur ei paar sehr eifache ud durchaus verstädliche Überleguge agestellt werde, um sicherzustelle, dass eie ageblich für jede atürliche Zahl geltede Behauptug tatsächlich zutrifft. Wir köe us etwa vorstelle, dass wir vor eier Leiter stehe (möglicherweise ist ihr Ede gar icht i Sicht) ud us besorgt frage, ob wir wohl imstade sid, auf dieser Leiter beliebig hoch hiaufzusteige. Wir köe jedefalls da beruhigt sei, we wir über zweierlei sicher sid: erstes, dass wir es auf die erste Sprosse schaffe, ud zweites, dass wir imstade sid, vo jeder Stufe auf die ächste hiaufzukletter. We beides zutrifft, sid wir sicher, dass wir vo der erste Sprosse auf die zweite, vo dieser auf die dritte usw. ud schließlich auf jede beliebig hoch gelegee Sprosse hiaufkomme. Eie für alle atürliche Zahle aufgestellte Behauptug ist so eie Leiter. Beispielsweise köe wir us für die Summe der erste atürliche Zahle s 1 () k k1 iteressiere. 1 Die Formel s 1 () (+1) wäre eie Sprosse dieser Leiter, ud hiaufkletter heißt i diesem Falle, sich davo zu überzeuge, dass für jedes diese Behauptug tatsächlich stimmt. Komme wir auf die erste Sprosse hiauf? Stimmt es tatsächlich, dass s 1 (1) 1 ist? Ja, atürlich, s 1 (1) 1 ud 1 ist ebefalls 1 (das et ma de Iduktiosbegi ). Nu ehme wir a, wir hätte die -te Sprosse bereits erstiege, das heißt, wir köte us bereits darauf verlasse, dass für dieses die Formel s 1 () (+1) stimmt (das et ma die Iduktiosvoraussetzug ; für 1 habe wir das ja gerade achgeprüft). Köe wir us da irgedwie vergewisser, dass diese Formel auch für die ächste Zahl + 1 a Stelle vo zutreffe muss? Hier hilft us die folgede Überlegug: Die Summe s 1 ( + 1) +1 k1 k ( + 1) 1 Ob ma mit de atürliche Zahle die Mege {0,1,,3,...} oder die Mege {1,,3,,...} meit, ist Asichtssache ud offebar der Mode uterworfe. Derzeit wird i Östererreich i de vom zustädige Miisterium veröffetlichte Lehrpläe ud Grudkompeteze zur Reifeprüfug davo ausgegage, dass 0 zu de atürliche Zahle gehört. I diesem Mathe-Brief geht es us um die Zahle 1,, 3 ud so weiter, wir wolle sie gere, der Traditio folged, als die atürliche Zahle bezeiche. Wer darauf besteht, dass die atürliche Zahle auch 0 ethalte ud die hier vorkommede Summe auch für de Fall 0 betrachte möchte, muss ur eier leere Summe de Wert 0 zuweise, also zum Beispiel 0 k1 k 0.

2 ist offebar gleich s 1 ( + 1) s 1 () + ( + 1). Weil wir bereits davo ausgehe köe, dass s 1 () (+1) stimmt, köe wir s 1 ( + 1) tatsächlich ausreche: s 1 ( + 1) s 1 () ( + 1) ( + 1) + ( + 1) ( + 1)( + ). Das ist aber geau die Formel, ach der die Summe der erste + 1 atürliche Zahle ageblich zu bereche ist. Wir sid also tatsächlich i der Lage, vo Sprosse auf Sprosse +1 zu klimme (das et ma de Iduktiosschritt ). Also so schließe wir stimmt die Formel für jede atürliche Zahl. Eie bekate Aekdote berichtet, dass der berühmte Mathematiker GAUSS als Schüler seie Lehrer i Erstaue versetzt hat, als dieser der Klasse, um eie zeitlag Ruhe zu habe, die Aufgabe stellte, die Zahle vo 1 bis 100 zusammezuzähle. Gauß kam ach kurzer Zeit mit der Atwort Die Summe ist 5050 daher. Gefragt, wie er de darauf gekomme sei, erklärte der Kleie eifach, ma köe doch jeweils die Zahle 1 ud 100, ud 99 usw. zu 101 zusammezähle, ud das 50 mal mache. Usere Formel ergibt die gleiche Summe, we auch der kleie Gauß für seie Überlegug keie vollstädige Iduktio brauchte. Wie steht es aber mit der Behauptug, die Summe s () der erste Quadratzahle s () k k1 wäre gleich ( + 1)( + 1) s ()? Versuche wir es wieder mit vollstädiger Iduktio: Gilt die Formel für 1? Jawohl, de Nehme wir a, sie stimmt für ei festes ud prüfe wir ach, ob sie da auch für +1 ad Stelle vo gilt: s ( + 1) s () + ( + 1) ( + 1)( + 1) + ( + 1) ( + 1)[( + 1) + + ] ( + 1)( ) ( + 1)( + )( + 3) Wieder stelle wir fest: we die Formel für ei stimmt, da stimmt sie auch für die ächste Zahl + 1, also muss sie für alle atürliche Zahle stimme.

3 Allerdigs bleibt dabei die Frage offe, welche Quelle us de die Formel, dere Richtigkeit wir bewiese habe, geliefert habe köte. Hier hilft ei Tip, der atürlich auch eimal bewiese werde muss, woach die Summe s p () der erste Poteze 1 p, p,, p durch ei Polyom des Grades p + 1 gegebe ist, also für p (1) s () a 3 + b + c + d. Ud wie kommt ma a die Koeffiziete a,b,c,d?. Beispielsweise, idem ma i (1) auf beide Seite für der Reihe ach vier Zahle eisetzt. Das liefert vier lieare Gleichuge i de vier Ubekate a,b,c,d, die ma da ausreche ka. Beispielsweise liefer die Zahle 1,,3,4 die Gleichuge 1 a + b + c + d 5 8a + 4b + c + d 14 7a + 9b + 3c + d 30 4a + 1b + 4c + d ud damit die Zahle a 1 3, b 1, c 1, d 0, also s () ( ) ( + 1)( + 1). Die Tatsache, dass d gleich Null ist, hätte wir auch scho aus der Gleichug s (0) 0 ableite köe, allerdigs mit etwas schlechtem Gewisse, weil der Fall 0 (Summe ohe Summade) eigetlich ausgeschlosse war. Noch eifacher ist die folgede Berechug: () s () s ( 1) a 3 + b + c + d a( 1) 3 b( 1) c( 1) d a 3 + b + c + d a 3 + 3a 3a + a b + b b c + c d 3a 3a + a + b b + c 0 (3a 1) (3a b) + a b + c Weil das für jedes gelte muss, ei quadratisches Polyom aber höchstes Nullstelle habe ka, folgt daraus umittelbar, dass alle Koeffiziete dieses Polyoms verschwide müsse, also User Tip, a 1 3, b 1, c 1. Behauptug. Für jede Wahl vo p gibt es ei Polyom P vom Grad p + 1 mit ratioale Koeffiziete ud der Eigeschaft, dass s p () für alle atürliche Zahle gilt k p 1 p + p + + p P() k1 ruft wieder ach vollstädiger Iduktio. Als Hilfsmittel überzeuge wir us vo folgeder Tatsache:

4 Hilfssatz. Für jede Wahl vo p gibt es ei Polyom der Form P() a p+1 p+1 + a p p p a 1 a m m m1 mit ratioale Koeffiziete, sodass für alle atürliche Zahle gilt: P() P( 1) p. BEWEIS (des Hilfssatzes): Wir erier us a (x 1) m x m mx m 1 + m(m 1) x m + ± mx 1 ud überlege da wie folgt: We usere Behauptug stimmt, da muss P(x) P(x 1) x p p+1 m1 a m x m p+1 m1 a m (x 1) m x p ei Polyom des Grades p + 1 sei, das für alle atürliche Zahle de Wert 0 aimmt. Weil ei icht verschwidedes Polyom des Grades p + 1 höchstes p + 1 Nullstelle habe ka, müsse also alle p + 1 Koeffiziete dieses Polyoms zu 0 werde. Das liefert p + 1 lieare Gleichuge i de Koeffiziete a m (1 m p+1). We ma sich die Mühe macht, diese aufzustelle, erhält ma ei ihomogees lieares Gleichugssystem i Dreiecksform, welches ohe weitere Elimiatio vo Variable eideutig ud explizit auflösbar ist. Als Kosequez sid auch alle Koeffiziete a m (1 m p + 1), die ma aus diesem Gleichugssystem bereche ka, ratioale Zahle, wie scho i () gesehe; beispielsweise ist a p+1 p+1 1. Jedefalls ist damit das Polyom P eideutig bestimmt. BEWEIS (der Behauptug): Obwohl i userer Hilfs-Überlegug vo alle atürliche Zahle die Rede war, hatte das bisher och ichts mit vollstädiger Iduktio zu tu, weil bloß als Platzhalter für beliebig eisetzbare Zahle fugiert hat. We wir aber behaupte, das gegestädliche Polyom hätte für jedes de gleiche Wert wie usere Summe s p (), müsse wir das mit vollstädiger Iduktio achweise: Wie steht es mit dem Iduktiosbegi? Für 1 ist P(1) P(0) P(1) 1, also das Gleiche wie s p (1) 1. Wir gehe also davo aus, dass s p () P() (das ist usere Iduktios-Voraussetzug) ud kümmer us um s p ( + 1) s p () + ( + 1) p P() + ( + 1) p P( + 1) (ach userem Hilfssatz). Damit habe wir aber de Iduktiosschritt scho erfolgreich vollzoge ud bewiese, dass die Behauptug (der Tip ) zutreffed ist. Traut sich jetzt jemad über die Formel Der Koeffiziet vo 0 ist also 0. k 3 ( + 1)? k1 4 Gilbert Helmberg

5 Viele weitere iteressate Aufgabe fide sich im Buch [3], das explizit für Schülerie ud Schüler verfasst wurde. LITERATUR [1] R. E. Graham, D. E. Kuth ad O. Patashik, Cocrete Mathematics. Addiso-Wesley, Readig (MA), [] M. Koecher, Klassische elemetare Aalysis. Birkhäuser, Basel [3] I. S. Somiskij, L. I. Golovia ud I. M. Jaglom, Die vollstädige Iduktio. Harri Deutsch, Thu Frakfurt a.m., 1991.

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