2 Vollständige Induktion

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1 2 Vollstädige Iduktio 22 2 Vollstädige Iduktio Die vollstädige Iduktio ist ei Beweisverfahre der Mathematik, das sich vom allgemeie Beweisverfahre abhebt. Prizipiell ka ma beim Beweise zwei Situatioe uterscheide. Die Mege der Elemete, auf die sich eie Aussage bezieht, ist edlich. Beispiel: Für alle dreistellige Zahle gilt.... Da es ur edlich viele dreistellige Zahle gibt (je ach Defiitio sid das 900, 999 oder 000), ka ma letztlich alle Zahle durchprobiere ud so teste, ob die spezielle Aussage gilt. Hat ma dieses Überprüfe durchgeführt, ist die Aussage bewiese. Allerdigs ka dieses Vorgehe sehr mühsam sei, we die Azahl der Fälle zwar edlich, aber doch sehr groß ist. Bei eier Milliarde zu prüfeder Fälle ka ma schwer wirklich jede eizele Fall prüfe. Ma ka diese Überprüfug mit eiem Computer durchführe, was da ei korrekter Beweis wäre, oder ma überlegt sich trotz der edliche Azahl eie allgemeigültige Argumetatio. Grudsätzlich aders ist die Situatio, we eie Aussage für eie uedlich große Bezugsmege behauptet wird. Das fide wir scho bei recht elemetare Aussage über alle reelle Zahle, alle rechtwiklige Dreiecke oder alle quadratische Fuktioe. I solche Fälle ka das Überprüfe vo edliche viele Beispiele eiem zwar eie subjektiv empfudee Sicherheit gebe, es ist aber iemals ei Beweis für die eigetliche Aussage, die sich auf uedlich viele mathematische Objekte bezieht. 2. Grudprizip der vollstädige Iduktio Bei der vollstädige Iduktio wird das systematische Durchprobiere aller (edlich viele) Objekte so verallgemeiert, dass es für uedlich viele Fälle gilt. Dabei muss allerdigs i der Mege der zu überprüfede Objekte klar sei, wie sie ageordet sid, welches ach eiem überprüfte Objekt das ächste ist. Das ist immer der Fall, we die Bezugsmege die atürliche Zahle sid. Die vollstädige Iduktio wird daher häufig zum Beweis vo mathematische Gesetzmäßigkeite agewedet, die Aussage über alle atürliche Zahle mache. Das Beweisprizip schaue wir us zuächst a eiem Beispiel a. Für alle mehrstellige Zahle gilt, dass die Quersumme kleier ist als die Zahl selbst. Der erste Schritt der vollstädige Iduktio ist, dass ma die Aussage für die kleiste Zahl achweist, die i der Behauptug geat wird. Die kleiste mehrstellige Zahl ist 0. Sie hat die Quersumme ud das ist kleier als 0, die Zahl selbst.

2 2 Vollstädige Iduktio 23 Im ächste Schritt überlege wir us, was wir über die Quersumme aussage köe, we wir eie Zahl weiterzähle. Kommt es beim Weiterzähle icht zu eiem Übertrag, so wird die Quersumme ebefalls um größer. Beispiel: 25 26, die Quersumme wächst vo 7 auf 8. Kommt es beim Weiterzähle zu eiem Übertrag, so ist die Quersumme der ächste Zahl kleier als die der Ausgagszahl. Beispiel: 39 40, die Quersumme fällt vo 2 auf 4. Beim Weiterzähle wird also die Quersumme ebefalls um größer oder sie wird kleier. Da u die Quersumme am Afag, also für 0, kleier war als 0, köe wir immer weiter Zähle ud die Quersumme muss da immer kleier als die Zahl sei. Damit habe wir usere Aussage für alle (also uedlich viele) mehrstellige Zahle bewiese. Wir wiederhole u das, was wir gerade gemacht habe, allgemeier ud i eier formale Schreibweise. Die vollstädige Iduktio ka zum Beweise eier Aussage A verwedet werde, die für alle atürliche Zahle gelte soll oder eie Teilmege der Form M = m m!! 0 ud m " m 0 mit m 0!! 0 { }. Usere Behauptug ist also formal:! " M : A() Der erste Beweisteil ist der Iduktiosafag. Wir zeige, dass die Aussage A für das kleiste Elemet m 0 der Mege M erfüllt ist. Iduktiosafag: A(m 0 ) ist erfüllt Der zweite, umfagreichere Beweisteil ist der Iduktiosschluss, i dem achgewiese wird, dass ma aus der Aussage für eie beliebige atürliche Zahl auf die Gültigkeit der Aussage für die ächste Zahl + schließe ka. Iduktiosschluss: A()! A( + ) Für de Beweis dieser Implikatio hat ma also die Gültigkeit der Aussage für eie beliebige atürliche Zahl als Vorraussetzug ud die Gültigkeit der Aussage für + als Behauptug. Betrachte wir u ei etwas formaleres Beispiel Wir betrachte die Summe der erste atürliche Zahle, also ( + ) ,. Dafür gilt die Formel =! k =. 2 Diese Summeformel heißt auch gaußsche Summeformel, weil sie auf Carl Friedrich Gauß zurückzuführe ist, der diese als 9jähriger Schüler etdeckt hat. Ma ka sich geauer überlege, dass bei eiem Übertrag vo der Eier- i Zeherstelle die Quersumme um 8 kleier wird. Bei zwei Überträge fällt die Quersumme um 7. Allgemei sid es bei k Überträge eie Verkleierug um (k ) = 9k-

3 2 Vollstädige Iduktio 24 Die Bezugsmege sid die atürliche Zahle, also!!. Der Iduktiosafag ist die Überprüfug der Formel für =, de ist die kleiste atürliche Zahl. (+ )! k = = 2 Für = stimmt also die aufgestellte Behauptug. Im ächste Schritt des Beweises muss u achgewiese werde, dass das Weiterzähle immer fehlerfrei geschieht, dass ma aus der Gültigkeit der Aussage für die Zahl schließe ka, dass die Aussage auch für die Zahl + richtig ist. Dieser Iduktiosschluss ist also der Beweis eier Implikatio, bei der die Aussage für die Zahl die Voraussetzug ist ud die Aussage für die Zahl + die Behauptug. Iduktiosvoraussetzug: ( + ) Es gilt =! k =. 2 Die Behauptug ist + ( + )( + 2) ( + ) =! k =. 2 Für de Beweis müsse wir die Summe bis + so umforme, dass sich der i der Behauptug rechts stehede Term ergibt. +!## 2 + " 3+ ##...+ $ + ( + ) die Iduktiosvoraussetzug awede Summe laut Voraussetzug ( + ) = + ( + ) Haupteer 2 ( + ) 2( + ) ( + ) = + ausklammer ( + )( + 2) = 2 Durch de Iduktiosafag für = ud de Iduktiosschluss, der sicherstellt, dass die Summeformel für die ächst folgede atürliche Zahl auch richtig ist, ist die Summeformel für alle atürliche Zahle bewiese. De da sie für = gilt, gilt sie auch für = 2. Da aber auch für = 3, = 4 u.s.w. 2.2 Amerkuge zur vollstädige Iduktio a) Isbesodere für Summeformel, aber auch och weitere Gebiete der Mathematik ist die vollstädige Iduktio die Stadardbeweisform. Ma darf dabei aber icht vergesse, dass die vollstädige Iduktio als Beweisweg häufig auch durch eie adere Beweisargumetatio (direkter Beweis oder idirekter Beweis) ersetzt werde köte. Allerdigs werde diese Beweiswege da oft umstädlicher ud uübersichtlicher.

4 2 Vollstädige Iduktio 25 b) Im Vergleich zum Iduktiosafag ist der Iduktiosschluss häufig der umfagreichere ud schwierigere Teil des Beweises. So köte ma i eier flüchtige Durchführug geeigt sei, de Iduktiosafag als verachlässigbar abzutu. We der (schwierigere) Iduktiosschluss geligt, wird der (eifachere) Iduktiosafag scho richtig sei. Folgedes Beispiel soll zeige, dass für eie falsche Aussage die vollstädige Iduktio deshalb versagt, weil es keie Iduktiosafag gibt, der Iduktiosschluss sehr wohl durchführbar ist. Zur falsche Aussage Jede Zeherpotez ist durch 7 teilbar. verläuft der Iduktiosschluss folgedermaße: Iduktiosvoraussetzug: 7 ist Teiler vo 0, d.h. es gibt ei k!! mit 0 = 7k Iduktiosbehauptug: 7 ist Teiler vo 0 + Beweis: 0 + = 0!0 u köe wir die Iduktiosvoraussetzug awede = 0!7k = 7!(0k) Also ist auch 0 + ei gazzahliges Vielfaches vo 7, folglich durch 7 teilbar. Damit ist der Iduktiosschluss: 7 ist Teiler vo 0! 7 ist Teiler vo 0 + geluge. Der Beweis ka aber icht abgeschlosse werde, da es keie Iduktiosafag gibt, also kei!! gefude werde ka, für das die Aussage 7 ist Teiler vo 0 richtig ist. c) Eie der Grudregel bei eiem direkte Beweis ist, dass ma die zu zeigede Behauptug im Beweis atürlich icht verwede darf. Beim Beweis eier Aussage A durch vollstädige Iduktio sieht es so aus, als we ma beim Beweis des Iduktiosschlusses mit der Verwedug der Iduktiosvoraussetzug gege de obe geate Grudsatz verstößt. Das ist aber icht so. Beim Iduktiosschluss beweist ma die Implikatio A()! A( +). Dabei wird weder A() och A(+) bewiese, soder mit dem Iduktiosschluss beweist ma, dass ma korrekter Weise weiterzähle ka. Dass beim Übergag zur ächste atürliche Zahl + die Aussage A icht falsch werde ka, we sie für die Ausgagszahl gültig war. Zusamme mit dem Iduktiosafag wird daraus ei vollstädiger Beweis der Aussage A für alle atürliche Zahle größer als die Zahl, die im Iduktiosafag verwedet wurde. d) Die vollstädige Iduktio ka immer da agewedet werde, we eie Aussage die atürliche Zahle oder eie obe beschriebee Teilmege davo als Bezugsmege hat. Solch eie Struktur ist otwedig, da im Iduktiosschluss vo eier Zahl auf die ächste geschlosse wird. Dieses Voraschreite muss eideutig defiiert sei, ma muss wisse, wie ma die ächste Zahl erhält. Für die reelle Zahle ist das icht möglich, de ierhalb der reelle Zahle gibt es zu eier Zahl keie ächste Zahl. Ei aderes Beispiel

5 2 Vollstädige Iduktio 26 ist die Mege der Primzahle. Das ist zwar eie Teilmege der atürliche Zahle, aber bei de Primzahle gibt es keie Algorithmus, zu eier Primzahl die ächste zu ermittel. Daher ka ma Aussage über Primzahle icht mit vollstädiger Iduktio beweise. Ei klei weig kiffliger ist es für die ratioale Zahle, also die Mege aller Brüche. Dekt ma a die Aordug auf dem Zahlestrahl, so gibt es - wie bei de reelle Zahle - keie ächste. Ma ka allerdigs die ratioale Zahle so aorde, dass es i eideutiger Weise eie ächste Zahl gibt. Diese Aordug ist jedoch für algebraische Betrachtuge vollkomme ugeeiget, so dass ma algebraische Aussage über ratioale Zahle icht mit vollstädiger Iduktio beweise ka. 2.3 Iduktio gege Deduktio Uter Iduktio versteht ma eie Weg der Erketisgewiug, der auf eizele Beispiele oder Experimete beruht. Das ist die typische Arbeitsweise i de Naturwisseschafte. Das Gravitatiosgesetz beruht auf edlich viele Messuge ud hat sicher viele Bestätiguge erfahre. Die Aussage zielt aber auf alle Gegestäde, letztlich auch auf Dige, die es heute och gar icht gibt. Der Schluss vo eiige auf alle ist geau das, was ma Iduktio et. Deduktio ist geau das Gegeteil. Ma hat ei geerelles Gesetz ud leitet daraus ei spezielleres Gesetz ab oder schließt vo eiem Gesetz, das für sehr viele Dige gilt, auf die Gültigkeit für ur eie Teilmege. Der Schluss vom allgemeie auf das Spezielle ist das, was ma Deduktio et. Dieses ist die wesetliche Erketisgewiug i der Mathematik. Beide Arte, Iduktio ud Deduktio, habe ihre Stärke ud Schwäche. Beim iduktive Vorgehe i de Naturwisseschafte orietiere wir us a der Realität, setze us aber der Gefahr aus, bei der Verallgemeierug falsche Schlüsse oder Vorstelluge zu etwickel. Beim deduktive Schließe habe wir de Vorteil, dass sich die Wahrheit mit Sicherheit überträgt. Doch die afägliche Basis sid die Axiome, Gedakegebilde, die oft i Bezug zur Realität stehe, was aber kei Test für ihre Wahrheit i Bezug auf die Realität ist. Albert Eistei hat diese Zwiespältigkeit folgedermaße ausgedrückt: Sofer sich die Gesetze der Mathematik auf die Realität beziehe, sid sie icht gesichert; ud soweit sie gesichert sid, beziehe sie sich icht auf die Realität. Im geschichtliche Rückblick wird der Uterschied ebefalls deutlich. Mathematische Sätze ud Beweise der Grieche vor über 2000 Jahre sid heute och aerkat, da sie weiterhi wahr sid. Dagege vertritt iemad heute mehr die Erketisse ud Asichte vo Aristoteles

6 2 Vollstädige Iduktio 27 zum Aufbau der Welt, physikalische Grudfrage oder biologische Vorstelluge. Es bleibt die Frage, wie die Iduktio ei aerkates, mathematisches Beweismittel liefer ka. Wesetlich ist das Adjektiv vollstädig, de durch de Iduktiosafag ud de bewiesee Schritt vo auf + ist eie Gesetzmäßigkeit tatsächlich für alle Elemete der behauptete Mege bewiese. Diese darf sogar uedlich sei. 2.4 Übugsaufgabe Beweise Sie alle achfolgede Aussage mit vollstädiger Iduktio.. Eie Mege mit Elemete hat 2 Teilmege. 2. Die Azahl der Permutatioe vo Dige ist!. 3. Im Pascalsche Dreieck ist die Summe aller Zahle eier Zeile immer eie Zweierpotez. 4. Beweise Sie die Summeformel durch vollstädige Iduktio für alle!! : a.! 2k = + c.! k 2 = 6 + ( ) b. 2 i! = 2 + " i=0 ( ) ( 2 + ) d. k ( k + ) ( )( k + 2) e.! k k + = 4 + f. h.! = 3 + ( )( + 2) ( + 3)! = " 2 i 2 g.! = k k + + i= " = 2i! i= ( )( 2i + ) k.! x i = x+ " x " i=0 2 + x #! + \ { } i. ( ) " = 3i! 2 i= ( )( 3i + ) ( )( + 2) I eiem -Eck ist die Azahl aller Verbidugsliie V() zwische de Pukte um größer als die Azahl der Diagoale D(). Kurz V() = D() Teilt ma ei Rechteck durch Gerade i Teilfläche, so ka ma die Teilfläche immer so durch Schwarz ud Weiß färbe, dass

7 2 Vollstädige Iduktio 28 Teilfläche, die a eier Kate zusammestoße, verschiedee Farbe habe. 7. Gegebe ist ei Quadrat der Seiteläge 2. Es ist also i ( 2 ) 2 Eiheitsquadrate eigeteilt. Ma bedeckt irgedwo ei Eiheitsquadrat mit eiem Quadratstei. Nu hat ma ur och Steie aus drei Eiheitsquadrate der Form Beweise Sie, dass ma das Quadrat (ohe das eie Eiheitsquadrat) mit diese Dreiersteie lückelos zudecke ka. A de hier aufgezeichete 8x8-Quadrate köe Sie es eimal ausprobiere. 8. Hat ma Aufgabe 7 gelöst, so fällt ebebei die Eigeschaft ab: Für alle!! 0 gilt: 3 ist Teiler vo 2 ( ) 2! Beweise Sie diese Eigeschaft rei algebraisch.