2 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen

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1 2 Die atürliche, gaze ud ratioale Zahle 21 Aufgabe 21 Beweise Sie die folgede Aussage mittels vollstädiger Iduktio: (a) Für alle N gilt: Elemete köe auf 1 2 =! verschiedee Arte ageordet werde (b) Die Summe über die erste ugerade Zahle liefert für alle N de Wert 2 (c) Die Beroulli sche Ugleichug (1+x) 1+x gilt für alle reelle Zahle x 1 ud alle N (d) Für jedes N ist die Zahl durch 13 teilbar (e) Für alle N gilt: i=1 (i2 1) = 1 6 ( ) (f) Für alle N gilt: k k! =( +1)! 1 (g) Für alle N gilt: i=0 2i = (h) Für alle N >4 gilt: 2 > 2 (i) Die Fiboacci-Zahle F 0,F 1,F 2, sid rekursiv defiiert durch F 0 =0, F 1 =1 ud F = F 1 + F 2 für 2 Für alle N gilt: i=1 (F i) 2 = F F Zeige Sie, dass für die Biomialkoeffiziete die folgede Recheregel gelte, dabei sid k, N 0 mit k : (a) ( ) ( k = ( k), (b) ( ) =1= ) ( 0, (c) +1 ) ( k = ( k) + k 1) 23 Stelle Sie die folgede Dezimalzahle x i der Form x = p q dar: mit p Z ud q N (a) x =10124, (b) x =009, (c) x = I eiem Neubaugebiet wurde ierhalb eies Zeitraumes vo etwa 12 Jahre isgesamt 4380 Woheiheite fertiggestellt Pro Tag wurde jeweils eie Wohug bezugsfertig Vom Bezugstag der erste Wohug bis eie Tag ach Übergabe der letzte Eiheit wurde vo de Bewoher isgesamt kwh Strom verbraucht Ermittel Sie de durchschittliche Verbrauch pro Tag ud Wohug 25 Ei Hypothekedarlehe über Euro wird mit 7 % jährlich verzist ud mit gleichbleibeder Rate A (Auität) jeweils am Ede eies Jahres getilgt Wie groß muss A sei, we das Darlehe mit der 20 Tilgugsrate gaz zurückgezahlt sei soll? C Karpfiger, Arbeitsbuch Höhere Mathematik i Rezepte, DOI / _2, Spriger-Verlag Berli Heidelberg 2014

2 6 2 Die atürliche, gaze ud ratioale Zahle 22 Lösuge 21 (a) Idafag: =1: Ei Elemet ka auf eie Art ageordet werde Iduktiosvoraussetzug: Die Aussage sei korrekt für N Wirhabe +1Elemete a 1,a 2,,a +1 Die erste Elemete a 1,a 2,,a lasse sich ach Aahme auf! viele Arte orde a 1 a 2 a 1 a a +1 Für jede der! Aorduge gibt es +1 Möglichkeite das Elemet a +1 eizufüge, folglich gibt es isgesamt!( +1)=( +1)!Aorduge (b) Iduktiosafag: =1: 1 (2k 1) = 2 1 1=1=12 = 2 Iduktiosvoraussetzug: Es gilt (2k 1) = 2 für ei N +1 (2k 1) = (2k 1) + 2( +1) 1= =( +1) 2 (c) Iduktiosafag: =1: (1 + x) 1 =1+x 1+1x für alle x R ud damit für alle x 1 Iduktiosvoraussetzug: Es gilt (1 + x) 1+x für ei N ud x R mit x 1 (1 + x) +1 =(1+x)(1 + x) (1 + x)(1 + x) =1+x 2 + x + x 1+( +1)x (d) Iduktiosafag: =1: =91=7 13 Iduktiosvoraussetzug: ist durch 13 teilbar für ei N 4 2(+1)+1 +3 (+1)+2 = = =16 ( ) Nach Iduktiosvoraussetzug ist durch 13 teilbar, ebeso ist durch 13 teilbar Damit ist auch 4 2(+1)+1 +3 (+1)+2 durch 13 teilbar

3 22 Lösuge 7 (e) Iduktiosafag: =1 1 i=1 (i2 1) = 1 1=0= 1 6 ( ) Iduktiosvoraussetzug: Es gilt i=1 (i2 1) = 1 6 ( ) für ei N +1 (i 2 1) = (i 2 1) + ( +1) 2 1= 1 6 ( ) i=1 i=1 = 1 6 ( ) = 1 6 (2( +1)3 +3( +1) 2 5( +1)) (f) Iduktiosafag: =1 1 k! k =1! 1=1=2! 1 Iduktiosvoraussetzug: Es gilt k k! =( +1)! 1 für ei N +1 k! k = k! k +( +1)! ( +1)=( +1)! 1+( +1)! ( +1) =( +2) ( +1)! 1=( +2)! 1 (g) Iduktiosafag: =1 1 i=0 = =1+2=3=4 1=2 2 1= Iduktiosvoraussetzug: Es gilt i=0 2i = für ei N +1 i=0 2i = i=0 2i = = =2 (+1)+1 1 (h) Iduktiosafag: =5: 2 5 =32> 25 = 5 2 Iduktiosvoraussetzug: Es gilt 2 > 2 für ei N mit > =2 2 > 2 2 = > =( +1) 2 Im obige Beweis wird 2 ach ute durch 2 +1 abgeschätzt, ma utzt also aus, dass für >4 stets die Ugleichug 2 > 2 +1 gilt Die Gültigkeit dieser Ugleichug lässt sich wiederum durch Iduktio beweise: Iduktiosafag: =5: 5 2 =25> 11 = Iduktiosvoraussetzug: Es gilt 2 > 2 +1für ei N mit >4 (+1) 2 = > = =2(+1)+2>2(+1)+1 (i) Iduktiosafag: =1 1 i=1 (F i) 2 = F1 2 =1 2 =1 1=1 (1 + 0) = F 1 (F 0 + F 1 )=F 1 F 2 = F 1 F 1+1 Iduktiosvoraussetzug: Es gilt i=1 (F i) 2 = F F +1 für ei N

4 8 2 Die atürliche, gaze ud ratioale Zahle +1 i=1 (F i) 2 = i=1 (F i) 2 +(F +1 ) 2 = F F +1 + F +1 F +1 = F +1 (F + F +1 )= F +1 F (a) ( ) k =! k!( k)! = ( k), (b) ( ) =!!( )! =1=! 0!( 0)! = ( 0), (c) Es gilt: ( ) ( )! + = k k 1 k!( k)! +!!( k +1) = (k 1)!( k +1)! k!( k +1)! +!k k!( k +1)! ( ) ( +1)! = k!( k +1)! = +1 k 23 (a) Es gilt: 1000 x 10 x = 990 x = = Nu folgt: x = = (b) Es sei a = =09 Da gilt 10 a a =99 09 =9 Nach a aufgelöst erhalte wir a =1ud damit x =009 = 1 10 (c) Es gilt Nach x aufgelöst erhalte wir: 10 6 x x = = x = = = Wir ummeriere die Woheiheite i der Reihefolge ihrer Fertigstellug durch Die k-te Wohug hat 4380 (k 1) Verbrauchstage, k =1, 2,,4380 Die Zahle 4380 (k 1) durchlaufe die Werte 4380, 4379,, 1 DieAzahlN der Wohugsverbrauchstage ist N = 4380 k = = Damit ist der durchschittliche Verbrauch pro Tag ud Wohug =195 kwh N

5 22 Lösuge 9 25 Wir bezeiche die Schuld ach der k-te Rate mit S k DerVerzisugsfaktor ist q =107 Damit erhalte wir S 0 = Euro, S 1 = S 0 q A, S 2 = S 1 q A =(S 0 q A) q A, S =( (S 0 q A) q A) q A) ) q A = S 0 q A (q 1 + q q +1) = S 0 q A q 1 q 1 Die Bedigug S 20 =0liefert demach Aufgelöst ach A bedeutet das: 0=S 0 q 20 A q20 1 q 1 A = S 0 q 20 q 1 q Euro 1

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