Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

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1 Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a) Welche Maßeiheit hat der Impuls i SI-Eiheite ausgedrückt? [p] kg m N s s b) Aus welchem Gesetz ka ma die Krafteiheit herleite? F d dt (p) c) Wer hat dieses Gesetz zuerst formuliert? Newto d) Welche Dimesio hat die Arbeit? [W] J N m e) Welche Eiheit hat die elektrische Feldstärke? [ E] V m f) Astroome beutze oft die Eiheit 1 Parsec (1 pc). 1 pc ist die Etferug, aus dem der Erdbahradius ( 1, m) uter dem Wikel eier Bogesekude (1 1/300 ) erscheit. Wieviel Meter etspreche 1 pc? 1 ( ) π 30 1pc 1, m ta (1 ) ( , m ) 1, m 1, m 1 π wie i folgeder Graphik veraschaulicht wird: 30 ( )

2 Aufgabe 1.: Umrechug vo Maßeiheite a) Bereche Sie 30,45, 0 ud 180 i Radia ud 1 rad bzw. rad i Grad. Ausgehed vo der Umrechug eies Vollkreises 30 π rad erhält ma: 30 1 π rad 0, 5 rad 45 1 π rad 0, 79 rad π rad 1, 05 rad π rad 3, 14 rad 1 rad 180 π rad 30 π 57, 3 114, b) Wie viele Sekude hat ei Sterejahr (siderisches Jahr) mit 35 Tage, Stude, 9 Miute ud 9,54 Sekude? 1 Sterjahr 35 d + h + 9 mi + 9, 54 s s s s + 9, 54 s , 54 s

3 c) Wieviel kostet es bei eiem Strompreis vo 0,19 EURO/kWh, we Sie eie Nacht lag sechs Stude eie 0-Watt Glühbire bree ud Ihre PC laufe habe, der ca. 00 Watt verbraucht? 00 W + 0 W 0 W 0, kw Gesamtverbrauch. 0, kw h 0, 19 EURO kwh 0, 3 EURO d) Zwei amerikaische Kider messe ihre Traiigsstrecke mit eiem Stab aus, der 5 Fuß ud Iches lag ist. Der Stab paßt 54 mal hiei. Wie heiß der Lauf bei us? Wieviele Rude müsse die beide laufe, bis sie eie Meile zurückgelegt habe? (1 Meile 1,09 km (USA), 1 Fuß 1 ft 30,48 cm, 1 Ich 1 i 1/1 ft,54 cm) Eie Umrechug des Stabes ergibt eie Läge vo 5 ft + i 5 1 i + i 157, 48 cm Daraus ergibt sich für die Läge der Traiigsstrecke: 157, 48 cm , 9cm 400 m Der etsprechede Lauf heißt im Deutsche 400-m-Lauf. Um eie Meile (109 m) zurückzulege, müsse sie 4,05 Rude laufe. e) Bill Gates sagte: If Geeral Motors had kept up with techology like the computer idustry, we would all be drivig twety-five dollar cars that got 1000 miles per gallo. Meite er das 3 Liter-Auto? (1 mile 1,09 km (USA), 1 gallo 3,785 l (USA)) miles 109 km Daraus ergibt sich die Azahl der Liter pro Kilometer a 1 ud daraus die Azahl der Liter pro 100 km a 100 wie folgt: a 1 3, 785 l 109 km 0, 0035 l km a 100 a , 35 l 100 km Bill Gates meite icht das 3 Liter-Auto, soder ei och effizieteres Fahrzeug.

4 Aufgabe 1.3: Dezimalvorsilbe a) Drücke Sie die Läge eies Sterejahres (siderisches Jahr) (35 d + h + 9 mi+ 9,54s) i Megasekude aus. Aus Aufgabe 1.. b) ist die Dauer eies Sterjahres i Sekude bekat. Daraus folgt: , 54 s 31, Ms b) Die ideale Dauer eies wisseschaftliche Vortrags beträgt ei Mikrojahrhudert. Wie viele Miute sid das? a mi 5, 5 mi c) Wie lage braucht ei Photo, um mit der Lichtgeschwidigkeit vo c, m/s 1 m weit durch de Hörsaal zu fliege? t 1, s s 70 s d) Bei der Plack-Eergie vo E p 1, 10 1 TeV werde für die Elemetarteilche Gravitatioseffekte erwartet. Drücke Sie die dieser Eergie etsprechede Plack-Masse M p i Gramm aus (1 ev 1, J) E p M p c M p E p c M p 1, , (, ) kg 10 g µg

5 Aufgabe zu Kapitel Aufgabe.1: a) Zeige Sie mit dem vorgeführte Gaußsche Rezept, dass m(m + 1) auch für ugerade m gilt. Nach dem Gaußsche Rezept, vo auße ach ie die Terme der Summe jeweils paarweise zusammezufasse, ergibt sich ach Umordug der Terme i der Summe 1 für ugerade m folgedes: 1 + m + + (m 1) m 1 ( m 1 + ) ( ) m Fasst ma vo liks begied die Terme immer paarweise zusamme, erhält ma (m-1)/ Terme, die (m+1) ergebe. Aufgrud des ugerade m bleibt ei Term der Summe, der icht mit eiem Parter addiert werde ka. Daraus ergibt sich: m 1 ( m 1 (m + 1) + Vollstädige Iduktio: ) + 1 m 1 (m + 1) + m + 1 (m + 1) m 1. Iduktiosbehauptug: m m(m+1) gilt für ugerade m.. Iduktiosafag: Die Behauptug gilt offesichtlich für m 1: 1 1 1(1+1) 3. Iduktiosvoraussetzug: m m(m+1) gilt für alle ugerade m kleier m Iduktiosschritt: Zeige, dass aus der Gültigkeit der Behauptug für m die Gültigkeit der Behauptug für die folgede ugerade Zahl (m+) folgt. 5. Iduktiosschluss: m+ m (m + )(m + 3) + (m + 1) + (m + ) 1 Die Umordug ist ur i absolut kovergete Summe erlaubt q.e.d.

6 b) Beweise Sie m(m + 1)(m + 1) Hiweis: Betrachte Sie m ( + 1)3 ud extrahiere Sie die Summe aus der Behauptug daraus, um das Gewüschte zu zeige. Bei explizitem Aufliste der Terme i der Summe im Hiweis, stellt ma fest, dass ma de Idex um eis i positiver Richtug verschiebe ka, um eie eifachere Summade zu erhalte: m ( + 1) (m + 1) 3 m+1 3 Adererseits ist die Summe im Hiweis gleichzeitig mit Hilfe des Pascalsche Dreiecks ausmultiplizierbar, woraus sich folgedes ergibt: ( + 1) m Um u die Behauptug zu zeige, werde die beide Ergebisse, die aus dem Hiweis gewoe wurde, gleichgesetzt ud diese Gleichug ach der Summe über aufgelöst: 3 m m (m + 1) (m + 1) m m (m 3 + 3m + 3m (m + 1) m m m 3 + 3m + m m (m + 1)(m + 1) woraus die Behauptug folgt, achdem beide Seite dieser Gleichug durch drei geteilt wurde. Zu beachte ist, dass sich im erste Schritt Terme vo bis m aus de erste beide Summe gegeseitig auliere ud das Ergebis aus Aufgabe.1. a) für die Summe über beutzt wurde. Der letzte Schritt ka am eifachste durch Ausmultipliziere des Ergebisses ud aschließedem Vergleich der eizele Terme erfolge.

7 Vollstädige Iduktio: 1. Iduktiosbehauptug: m m(m+1)(m+1) gilt für alle m N.. Iduktiosafag: Die Behauptug gilt offesichtlich für m 1: 1 1 1(1+1)( 1+1) 3. Iduktiosvoraussetzug: m m(m+1)(m+1) gilt für alle m kleier m Iduktiosschritt: Zeige, dass aus der Gültigkeit der Behauptug für m die Gültigkeit der Behauptug für die folgede Zahl (m+1) folgt. 5. Iduktiosschluss: m+1 m + (m + 1) (m + 1) (m + )(m + 3) q.e.d. wobei der letzte Schritt am eifachste durch Ausmultipliziere des Ergebisses ud aschließede Vergleich der eizele Terme erfolgt. Aufgabe.: a) Bestimme Sie die Läge der Raumdiagoale i eiem Würfel der Kateläge a. Mit Hilfe des Satzes vo Pythagoras ergibt sich a 3. b) Bereche Sie (a4 b 4 ) (a b) (a 4 b 4 ) (a b) (a b )(a +b ) (a b) (a b)(a+b)(a +b ) (a b) (a + b)(a + b ) a 3 + a b + ab + b 3 c) Bereche Sie ( ( 0) ud ). 0! ( 0)! 0!! ( )!! 1 d) Bereche Sie ( ( 7 4) ud 8 3). ( ) 7 7! 4 (7 4)! 4! 35 ( ) 8 8! 3 (8 3)! 3! 5

8 e) Zeige Sie: ( ( k) ) k k! ( ( k))! ( k)!! ( k)! k! k f) Beweise Sie das Bildugsgesetz des Pascalsche Dreiecks: ( ) ( ) ( ) k 1 k k + k 1 k! ( k + 1)! (k 1)! +! ( k)! k!!(k + k + 1) ( k + 1)! k! ( + 1)! ( + 1 k)! (k 1)! + 1 k