2 Vollständige Induktion

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1 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, ud , leite Sie eie allgemeie Formel für ( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes Kapital vermehrtsichi1 JahreumdeFaktor a = 1,05 1. Versuche Sie, eie möglichst gute Näherug für a im Kopf zu bereche. 3. Ei Darlehe wird i moatliche Rate zu 0, 5% Zise zurückgezahlt. Wa ist das Darlehe getilgt, we die Tilgug 0, 1% bzw. 0, % pro Moat beträgt? 4. Für welche Zahle x R ist die Mege M = {1+x+x + +x N} beschräkt?.1 Die arithmetische Summeformel. Für N beachtet ma ( 1)+ + +( 1) = (+1) ud erhält damit die arithmetische Summeformel k = 1 (+1) für N. (1) Bemerkug: Sicher war es für Sie icht schwierig, die agegebee Herleitug vo (1) achzuvollziehe; wesetlich schwieriger wäre es gewese, de verwedete Trick selbst fide zu müsse. Dieser Kommetar trifft sicher auch auf die Herleitug der geometrische Summeformel i (5) ute zu. I dieser Vorlesug werde och weitere Tricks dieser Art vorkomme. Ich empfehle Ihe driged, sich diese eizupräge, um sie bei eigee Überleguge verwede zu köe.. Das Summezeiche. a) Summe wie i (1) werde im folgede mit Hilfe des Summezeiches kürzer geschriebe: 1++ +( 1)+ = k. Die Formel rechts besagt, daß die Zahle k vo k = 1 bis k = summiert werde. b) Allgemei defiiert ma für,m Z mit m ud a m,a m+1,...,a R k=m a k := a m +a m+1 + +a ; die Zahle a k werde also vo k = m bis k = summiert. c) Auf die Bezeichug des Idex (hier k) kommt es icht a; ma hat etwa k=m a k = i=m Beispielsweise gilt auch a i. 7 a k = a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 = 6 a j+1 = 8 a l 1 ; k=3 j= l=4 hier wurde die Idex-Trasformatioe k = j + 1 bzw. k = l 1 durchgeführt. Dabei mußte die Summatiosgreze etspreched mittrasfor-

2 Vollstädige Iduktio 9 miert werde; würde ma dies uterlasse, erhielte ma für k = j + 1 etwa 7 a j+1 = a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8, ud dies ist 7 a k für a 8 a 3. j=3 k=3 d) Aaloge Erläuteruge gelte für das Produktzeiche k=m e) Leere Summe, z.b. defiiert. a k := a m a m+1 a. 0 a k, werde als 0, leere Produkte, z.b. k=+1 a k, als 1.3 Die arithmetische Summeformel (Variatio). a) Die bekate biomische Formel (x + y) = x + xy + y für x,y R folgt sofort aus Axiom D. Als Spezialfall ergibt sich (k +1) k = k +1 für k N. () Diese Formel ka so veraschaulicht werde: Die Differez zwische eiem Quadrat der Seiteläge k + 1 ud eiem Quadrat der Seiteläge k läßt sich zusammesetze aus zwei Rechtecke mit de Seiteläge 1 ud k sowie eiem Quadrat der Seiteläge 1. b) Addiert ma die Differeze i () über k = 1,...,, so erhält ma geometrisch die Differez zwische eiem Quadrat der Seiteläge + 1 ud eiem solche der Seiteläge 1; recherisch erhält ma etspreched ((+1) )+( ( 1) )+ +(3 )+( 1 ) = (+1) 1, da alle Summade bis auf de erste ud de letzte sich gegeseitig aufhebe. Eie solche Summe et ma eie Teleskopsumme. c) Die Summatio der Gleichuge () liefert also (+1) 1 = (k +1) = k + ud somit k = (+1) 1 = + = (+1) i Übereistimmug mit (1)..4 Die quadratische Summeformel. a) Aus der biomische Formel (x+y) 3 = (x +xy +y )(x+y) = x 3 +3x y +3xy +y 3 für dritte Poteze ergibt sich isbesodere die Formel (k +1) 3 k 3 = 3k +3k +1 für k N. (3) Diese ka ma sich a Würfel veraschauliche, aalog zur Veraschaulichug vo () a Quadrate.

3 10 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit b)wiei.3b)addierewirudiegleichuge (3)überk = 1,..., uderhalte liks wieder eie Teleskopsumme. Mit (1) ergibt sich (+1) 3 1 = 3 k +3 k +, also 3 k = (+1) (+1) = 1(+1)(+1). c) Somit erhält ma die quadratische Summeformel k = 1 (+1)(+1) für N. (4) 6 I Abschitt 1 wird sie zur Berechug des Flächeihalts vo Parabelstücke verwedet. d) Etspreched ka ma auch die Summe höherer Poteze acheiader bereche. Eie geschlossee Formel uter Verwedug vo Beroulli-Zahle fidet ma i [K1], Abschitt 41*..5 Die geometrische Summeformel. a) Für q R ud k N sei q k = q q (k Faktore q) die k-te Potez vo q; weiter setzt ma q 0 := 1 ud q k := ( 1 q )k (für q 0). Um die Summe q k = 1+q+q +q 3 + +q zu bereche, schreibt ma (1 q)(1+q +q + +q ) = 1+q +q + +q ud erhält sofort q q q q +1 (1 q) q k = 1 q +1 für N. (5) b) Eie Kosequez aus (5) ist die wichtige Abschätzug 0 q < 1 N : c) Aus (5) ergibt sich für alle x,y R die Formel q k 1 1 q. (6) (x y) x k y k = x +1 y +1 für N. (7).6 Iduktiosprizip. Für jede atürliche Zahl N sei eie Aussage A() gegebe. Es gelte: (a) (b) A(1) ist richtig, N : A() A(+1). Da ist A() für alle N richtig.

4 Vollstädige Iduktio 11 Etspreched lasse sich auch Aussage beweise, die für alle gaze Zahle Z mit 0 Z gelte: Ma muß ur die Gültigkeit vo A( 0 ) sowie die Implikatioe A() A(+1) für 0 zeige..7 Beispiele. a), b) Iduktiosbeweise der arithmetische Summeformel (1) ud der geometrische Summeformel (5) (vgl. [K1],.3). c) Die Dreiecks-Ugleichug (1.8) gilt auch für edlich viele Summade: a k a k für N. (8) d) Bei Iduktiosbeweise ist es wichtig, eie gültige Iduktiosafag zu habe. Beispielsweise ist für die falsche Aussage A() : = +5 die Implikatio A() A( + 1) durchaus richtig. Bemerkug: Im Gegesatz zur Herleitug vo (1) oder (5) erfordert der Iduktiosbeweis vo (1) oder (5) keie Trick, dafür aber bereits die Ketis des Ergebisses. Dies gilt etspreched auch für adere Formel ud Abschätzuge i dieser Vorlesug..8 Fakultäte atürlicher Zahle werde durch! := k = 1 3 (9) eigeführt. Ma setzt och 0! = 1. Die Fakultäte wachse mit sehr schell a; so gilt z.b.! =, 3! = 6, 4! = 4, 5! = 10, 6! = 70, 7! = 5040, 8! = 4030,..., 1! = , 16! =, , 30! =, oder 100! = 9, Für die Produkte der erste atürliche Zahle gibt es keie eifache Formel wie (1) im Fall der etsprechede Summe. Die möglichst geaue Erfassug des Wachstums vo! ist für die Aalysis wichtig. Eie grobe Abschätzug gibt Satz 6.4; sehr geaue Näheruge liefer die Stirligsche Formel, vgl. [K1], Abschitte 36 ud 41*..9 Satz. Es ist! die Azahl der mögliche Aorduge (Permutatioe) eier Mege aus Elemete. Beweis s. [K1], Biomialkoeffiziete. a) Mit der Notatio N 0 := N {0} werde die Biomialkoeffiziete für N 0, k = 0,..., defiiert durch ( ) ( 1) ( k +1)! := = k k! k! ( k)!. (10) Für k Z mit k < 0 oder k > setzt ma och ( ) k = 0. Es gilt z.b. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = = 1, 1 = 1 =, ) ( ) ( ) = ( 1), k = k, k = 0,...,. ( b) Beim Zahlelotto 6 aus 49 gibt es ( ) 49 6 = = = Ziehugsmöglichkeite. Allgemei hat ma (vgl. [K1],.5):

5 1 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit.11 Satz. Für k = 1,..., ist ( ) k die Azahl der mögliche Ergebisse eier Ziehug vo k Zahle aus der Mege der Zahle {1,,...,}. Die Biomialkoeffiziete köe rekursiv berechet werde, vgl. [K1],.6:.1 Pascalsches Dreieck. a) Für N 0 ud k = 0,...,+1 gilt ( ) ( ) ( ) +1 = +. (11) k k k 1 b) Formel (11) ka durch das Pascalsche Dreieck veraschaulicht werde: = 0 1 = = 1 1 = = = = I Zeile stehe die (+1) Biomialkoeffiziete ( ) k ; ach (11) ist jede Zahl die Summe der beide darüber stehede Zahle..13 Biomische Formel. Bekatlich (vgl..3) gilt die Formel (x + y) = x +xy +y für x,y R, ud aalog folgt (x+y) 3 = (x +xy +y )(x+y) = x 3 +3x y +3xy +y 3, (x+y) 4 = x 4 +4x 3 y +6x y +4xy 3 +y 4, (x+y) 5 = x 5 +5x 4 y +10x 3 y +10x y 3 +5xy 4 +y 5. Multipliziert ma allgemei de Ausdruck (x+y) aus, so erhält ma eie Summe vo Terme x k y k, wobei der k-te Term so oft auftritt, wie die Zahl der mögliche Ziehuge vo k Exemplare vo y aus der Mege {1,...,} agibt, ach Satz.11 also ( ) k mal:.14 Satz (Biomischer Satz). Für N, x,y R gilt: (x+y) = ( k ) x k y k. Eie Iduktiosbeweis fidet ma i [K1], Näherugsrechuge. a) Ist 0 y < x ud q := y x klei, so hat ma (x+y) = x (1+ y x ) x (1+q + ( 1) q ) x (1+q). b) Ei zu 5% Zise pro Jahr agelegtes Kapital vermehrt sich i 1 Jahre um de Faktorw = 1,05 1 = 1, DieNäherugsrechugeergebew 1+1 0,05 = 1,6 ud w 1+1 0, ,05 = 1,765.

6 Vollstädige Iduktio Beroullische Ugleichug. a) Aus dem biomische Satz folgt sofort (1+x) 1+x+ 1 ( 1)x für x 0 ud N, (1) isbesodere also auch (1+x) 1+x für x 0. Diese Abschätzug gilt sogar allgemeier (vgl. [K1], 4.1): (1+x) 1+x für x ud N. (13) IhreGültigkeitauchfüregativeZahlex istfüreiigebeweiseideraalysis wichtig. b) Eie wichtige Folgerug aus der Beroullische Ugleichug ist die Abschätzug 0 q < 1 C > 0 N : q C 1. (14) Aufgabe: Versuche Sie, für große N möglichst gute Näheruge für! zu fide!