Denition 27: Die Fakultät ist eine Folge f : N N mit f(1) := 1 und f(n + 1) := (n + 1) f(n) für alle n N. Wir schreiben n! := f(n) für diese Folge.

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1 Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok, WWU Müster Fachbereich Mathematik ud Iformatik Ÿ3.2 Folge ud Summe (Fortsetzug) Eie wichtige Möglichkeit, wie ma Zahlefolge deiere ka, ist die über eie Rekursio (ud geht auf das 5. Peao-Axiom zurüc. Bei dieser wird auf vorige, scho deierte Folgewerte a zurückgegrie. Das wird i folgede Beispiele, wo wir eiige Zahlefolge rekursiv deiere, deutlich. Ud durch Agabe eies Afagswerts (ev. auch mehrerer) stellt ma sicher, dass diese rekursive Deitio auch irgedwo startet. Deitio 27: Die Fakultät ist eie Folge f : N N mit f() := ud f( + ) := ( + ) f() für alle N. Wir schreibe! := f() für diese Folge. Die erste Werte der Fakultätsfuktio sid! =, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = Die scho bekate Potezfuktio a := a a ( mal), ka ma auch rekursiv deiere: Deitio 28: a := a, ud a + := a a für alle N. We ma möchte, geht auch folgedes (A, A 2,... seie Mege): Deitio 29: A i := A, ud A i := A, ud + + ( ) A i := A i A + für alle N ( ) A i := A i A + für alle N A i := A, ud + ( A i := A i ) A + für alle N Ud ach demselbe Schema deiert ma u auch das Summe- ud Produktzeiche: Deitio 30: Sei eie Folge a gegebe. Da heiÿt die über + ( ) a i := a, a i := a i + a + für alle N deierte Folge die Summefolge vo a. Deitio 3: Sei eie Folge a gegebe. Da heiÿt die über a i := a, + ( ) a i := a i a + für alle N

2 deierte Folge die Produktfolge vo a. Das Zeiche heiÿt auch Summezeiche, das Zeiche das Produktzeiche. Die atürliche Zahl i, die dari vorkommt, ist eie lediglich eie Hilfszahl für die Deitio ud heiÿt Idex. Ma immt auch adere Buchstabe auÿer i dafür, typischerweise oder auch k. Die Summefolge ist also eie Folge s mit s := a ud s + := s + a +, i userer Püktcheschreibweise hat ma also s = a + + a, dieses -te Folgeglied vo s ist eifach die Summe der erste Folgeglieder a,..., a vo a. Ud ohe Püktche schreibe wir jetzt also s = a i. Das Summezeiche wird sehr häug verwedet. Eie Summefolge et ma auch eie Reihe, ud ihre Folgeglieder Partialsumme. I dieser Sprechweise ist eie Reihe also eie Folge vo Partialsumme. I userem Beispiel Nr. 6 zur vollstädige Iduktio hatte wir auf der like Seite der Behauptug die Summe (2 ) = (2i ), die dortige Formel ka ma jetzt auch schreibe als (2i ) = 2. Derartige Formel gibt es zuhauf, ma ka sie auch meistes ach dem Muster wie i Beispiel Nr. 6 mit vollstädiger Iduktio beweise. Beispielsweise ist es jetzt gaz leicht, mit vollstädiger Iduktio die Dreiecksugleichug a + b a + b zu verallgemeier zur Ugleichug N : a i a i. Ud die Behauptug der frühere Übugsaufgabe zur Iduktio lässt sich jetzt otiere als x i = x+ x, i=0 sofer x gilt; die Formel gilt für alle x R\{} ud heiÿt geometrische Summeformel. Ma ka auch Summeschreibweise beutze, i der Bediguge a de Idex gestellt werde, wie z. B. i a = a + a 2 + a 3, a = a + a 2 + a 5 + a 0 usw., 2 9 Das ist auch oft sehr ützlich., 0 Noch eie letzte Deitio i diesem Zusammehag: Ma ka rekursive Deitioe sogar wie folgt "i zwei Richtuge" mache: Ma deiert etwa das i der Kombiatorik übliche Symbol ( wie folgt:

3 Deitio 32: Es sei ( ( 0) :=, 0 := 0 für alle N0, k N, sowie ( ) ( ) ( ) + := + k + k + k für alle, k N 0. Ma et die Zahl ( Biomialkoeziet. Der Name kommt daher, dass diese Zahle i der allgemeie biomische Formel als Koeziete (d. h. Vorzahle) vorkomme: Satz 5. a, b R N 0 : (a + b) = k=0 ( a k b k. Beweis? Geht jetzt mit vollstädiger Iduktio. (Versuche Sie es selbst... ) Ud die Formel ( ) = k! k!(!, die Sie vermutlich aus der Schule kee, lässt sich wege obiger rekursiver Deitio jetzt elegat mit vollstädiger Iduktio beweise. (Das köe Sie auch mal versuche.) Ÿ3.3 Grezwerte vo Folge, Summe ud Fuktioswerte Wir studiere jetzt Folge ud Summe (die spezielle Folge sid) u daraufhi, ob ud wa ma ihe eie Grezwert zuorde ka. Deitio 33: Eie Folge (a ) N kovergiert (bzw. heiÿt koverget), we es eie Zahl c R gibt mit: ε > 0 0 N 0 : a c < ε Die Zahl c heiÿt da Grezwert der Folge. Ist eie Folge icht koverget, heiÿt sie diverget bzw. ma sagt, sie divergiert. Falls c = 0 Grezwert ist, heiÿt die Folge eie Nullfolge. Mit adere Worte: Kovergez gege c liegt vor, we es zu jeder (beliebig kleie) Zahl ε > 0 eie Idex 0 N gibt, so dass alle darauolgede Folgeglieder a mit 0 ahe a liege, geauer gesagt, ihr Abstad zu c ist kleier als die vorgegebee positive Zahl ε. Hiermit ist gaz geau ausgedrückt, was "beliebig ahe komme" bedeutet, idem wir de Abstad der Folgeglieder a zu c mit a c quatiziert habe ud forder, dass dieser für alle geüged groÿe Idizes uterhalb der vorgegebee Schrakezahl ε > 0 bleibt. Ud je kleier ε > 0 ist, umso kleiere Abstäde forder Sie; da muss ma ebe gröÿere Idizes ehme. Der Begri ist sehr wichtig, bilde Sie eimal die logische Vereiug ud ihre sprachliche Umsetzug ud überlege sich dere Bedeutug, am beste auch i Beispiele. Am Afag ist folgedes Beispiel gaz gut, mal sehr ausführlich aufgeschriebe: Beispiel 22: Die Folge der Stammbrüche, a := für N, ist koverget, ud ihr Grezwert ist gleich 0. Beweis: Wir zeige das Kriterium der Deitio, ämlich: Ist ε > 0 vorgegebe, gibt es dazu

4 ei passedes 0, mit der Eigeschaft, dass a 0 ε gilt für alle 0. Die zu erfüllede Ugleichug ist: ε, ud äquivalet zu: ε. Ka dies ab eiem 0 gelte? Ja, für die, die gröÿer oder gleich 0 sid, ud 0 deiere wir dabei als die kleiste atürliche Zahl, die gerade och gröÿer oder gleich der reelle Zahl ε ist. Es gibt also eie Zahl 0 derart, dass sie die gewüschte Eigeschaft erfüllt. Damit ist das Kriterium mit dem Grezwert c = 0 bewiese. Das ist jetzt scho sehr ausführlich. Aufschreibe würde ma diese Beweis eher so: Beispiel 23: Beweis: Sei ε > 0 gegebe ud dazu sei 0 deiert als die kleiste atürliche Zahl, die gröÿer oder gleich ε ist. Da gilt für alle 0, dass ε ist, also folgt ε, also 0 < ε. Aus der Deitio der Kovergez folgt, dass Grezwerte (das sid ja i erster Liie reelle Zahle) eideutig bestimmt sid, falls Kovergez vorliegt. Ma schreibt für diese Grezwert c da auch das Symbol a ud schreibt die Aussage, dass a gege c kovergiert, auch als a c. Die Schreibweise a = c bezeichet dieselbe Aussage, ämlich zweierlei: die Folge kovergiert ud ihr Grezwert ist c. Wir gebe och ei paar Beispiele, beweise würde ma die Kovergez wie im vorige Beispiel. Beispiel 24: (Beispiele für Kovergez) 2 = 0, =, 2 =, 2 i =. Beispiel 25: Beispielfolge, die divergiere: () N, ( + 2 ) N, (( ) ) N,... ( ) Vielleicht überrasched ist, dass divergiert (Beweis später). Diese Zahlefolge i N heiÿt harmoische Reihe. Ud auch mit Grezwerte ka ma reche, hier ei paar Recheregel: ((a ) N ud (b ) N seie kovergete Folge mit Grezwert a bzw. b) (a ± b ) = a ± b 2 (a b ) = a b 3 a 0 = a a 4 a = a 5 a = a, falls alle a 0 Mit diese Regel erhält ma da scho eifache Methode zur Bestimmug vo Grezwerte, wie etwa i folgedem Beispiel:

5 Beispiel 26: Sei a die Folge a := +3 2/. Da ist a = /2 + 3/ 2/ / = 0. Die Kovergez eier Reihe ist u ichts weiter als die Kovergez der Summefolge. I diesem Fall schreibt ma für de Grezwert der Reihe da auch das Symbol a i, wie z. B. i 2 i =. Vorsicht, Verwechsugsgefahr: Mit diesem Symbol ist machmal icht der Grezwert gemeit, soder das Symbol wird auch als Name für die Summefolge beutzt, wie z. B. i "die harmoische Reihe divergiert" also oebar auch da, we keie = Kovergez vorliegt. Ud jetzt köe wir auch edlich zeige, dass = gilt: Es ist = (9 0 i ) = 9 ( ) i, falls koverget. 0 Der Grezwert existiert tatsächlich, de ach userer frühere geometrische Summeformel, die Sie mit vollstädiger Iduktio gezeigt habe, ist also + ( i (/0) = 0) + /0 ( ) i = 0 9, = 0 ( ) , was obe eigesetzt zeigt, dass herauskommt für Ebeso zeigt ma: Satz 6. (geometrische Reihe) x R, x < : i=0 x i = x. Uter aderem werde Sie voraussichtlich auch die folgede Sätze 2 i Ihrer Aalysis- Vorlesug bewiese bekomme; sie sid ützlich für die Awedug i Beispiele. Satz 7. Lasse sich für alle 0 die Glieder der Folge (a ) N abschätze durch b a c mit b = c = c, da gilt auch a = c. Satz 8. Seie (a ) N, (b ) N kovergete Folge mit a b für alle 0. Da gilt: a b. 2 Satz 7 ist auch bekat als "Sadwich-Lemma" oder "Eischürugs-Satz".