Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

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1 Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a) Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez 2 3 +, (ii) 2 2, (iii), (iv) ( + ) (b) Bestimme Sie die Kovergezradie folgeder Potezreihe! x, (ii) 7 + x 3 2, (iii) p x, p, (iv) 0 x k 3 k Lösug: (a) Utersuche Sie bei (ii), (iii) ud (iv) auch das Kovergezverhalte auf dem Rad Die Reihe ist ach Majoratekriterium koverget: De ud die geometrische Reihe 2 3 kovergiert (ii) Die Reihe ist ach Wurzelkriterium koverget: Daher ist die Folge kovergiert die Reihe Alterativ klappt es auch mit dem Quotietekriterium (Satz 36): beschräkt ud sup < Nach Satz 34 ( + ) ( + ) < (+) Daher ist die Folge 2 2 (+) beschräkt ud sup < 2 (iii) Die Reihe ist ach Mioratekriterium diverget: De ( + ) + für alle ud die Reihe + 2 ist divergiert

2 (iv) Die Reihe ist ach Wurzelkriterium koverget: De Daher ist die Folge + 2+ Satz 34 kovergiert die Reihe < beschräkt ud sup < Nach (b) Wir verwede das Quotietekriterium ud setze hierzu a :! x, Da gilt a + a ( + )! x +!( + ) + x x + x, + also a + a x + x + x e a Zuächst ist festzuhalte, dass die Folge + beschräkt ist, da koverget Für x mit x < e a a ist sup + a a + a <, daher kovergiert die Reihe! x i diesem Fall absolut ach dem Quotietekriterium Für x mit x > e ist a + a a für fast alle, da + a > Somit divergiert die Reihe i diesem Fall Demach ist der Kovergezradius der Potezreihe gleich e (ii) Wir setze y : x 3 ud a : /(7 + ) / 2 Da hat die zu utersuchede Potezreihe die Form 0 a y, so dass wir de Satz vo Hadamard awede köe: falls die Folge Nu gilt für alle r sup 7 +, 2 beschräkt, aber keie Nullfolge ist ud wege /(2 2 ) ist damit ach dem Sadwichtheorem Damit sid wir tatsächlich i Fall (c) vo Satz 52, daher ist r 7 für die Reihe 0 a y Diese kovergiert also für alle y mit y < 7 absolut ud divergiert für y > 7 Mit y x 3 ist also die ursprügliche Reihe absolut koverget, we x < 3 7 ud diverget falls x > 3 7 gilt Somit ist der gesuchte Kovergezradius 3 7 Alterativ zur Substitutio ka ma auch die ursprügliche Potezreihe 0 b x mit, falls 3k für ei k b 7 k + k 2 0, 0 sost direkt mit Hadamard utersuche, oder das Quotietekriterium verwede Wir utersuche u och das Kovergezverhalte der Reihe auf dem Rad des Kovergezitervalls Sei dazu x mit x 3 7 gegebe Da gilt für jedes a x 3 x , also kovergiert die Reihe für x 3 7 ud x 3 7 ach dem Majoratekriterium, da kovergiert 2 2

3 (iii) Es ist p p, wir sid also i Fall (c) des Satzes vo Hadamard Daher erhalte wir für de Kovergezradius r sup p p Sei u ei x mit x gegebe Da gilt p x p x p für alle Die Folge der Summade ist i diesem Fall keie Nullfolge, die Reihe ist also für x ud x diverget (iv) Es gilt für alle 3 k k Da ist, habe wir ach dem Sadwichsatz damit auch sup k k k k Somit sid wir im dritte Fall des Satzes vo Hadamard, daher ist der Kovergezradius r sup k /k Ist x mit x gegebe, so ist die summierte Folge wege k x k x k k diverget ud damit sicher keie Nullfolge Die Potezreihe divergiert also für x ud x Aufgabe G2 (Cauchy-Produkt) Zeige Sie x ( x) 2 für alle x (, ), idem Sie die Potezreihe x als ei Cauchy-Produkt schreibe Lösug: Die Potezreihe x ist das Cauchy-Produkt der geometrische Potezreihe 0 x mit sich selbst De dieses ist durch die Potezreihe 0 c x mit c k0 + gegebe ud 0 c x 0 ( + )x x Nu hat 0 x Kovergezradius ud für alle x mit x < de Wert Daher hat ach Satz x 58 auch x midestes Kovergezradius ud für alle x mit x < de Wert 0 k 2 x x ( x) 2 k Aufgabe G3 (Kovergez vo Reihe) Welche der folgede Aussage impliziere die absolute Kovergez der Reihe a? Welche der Aussage impliziert die Kovergez? Welche sid sogar äquivalet zur Kovergez? (a) Die Folge 2 a kovergiert a (b) Für alle gilt die Ugleichug + a < 0 +p (c) ɛ > 0 0 p < ɛ 0 a 3

4 (d) Die Folge (e) a+ a a kovergiert ist eie Nullfolge a (f) 0 ɛ > a (g) Es gibt ei 0, so dass > ɛ a + a für alle > 0 (h) Die Folge der Partialsumme s m m, wobei s m : m a, ist beschräkt Die Folge der Partialsumme s m m, wobei s m : m a, ist beschräkt ud a 0 (j) Die Folge b m m, wobei b m : m a, ist beschräkt Lösug: Es bezeiche C die Aussage: Die Reihe a kovergiert Weiter sei AC die Aussage: a kovergiert absolut Offesichtlich gilt AC C, aber C AC Gilt also S impliziert AC, da gilt auch S C ud C S (a) AC Beweis: Da die Folge ( 2 a ) kovergiert, folgt, dass diese beschräkt ist Das heißt, es gibt ei M, so dass 2 a M für alle Dies impliziert, dass a M für alle Also folgt AC aus dem Majoratekriterium 2 Weiter gilt C ach obiger Bemerkug (b) C Als Gegebeispiel diet zum Beispiel die harmoische Reihe (c) C Diese Aussage ist äquivalet zur Aussage, dass die Partialsumme eie Cauchyfolge bilde: Die Richtug folgt sofort Für de Beweis (c) Die Partialsumme bilde eie Cauchyfolge wähle 0, so dass 0 +p 0 a < ɛ für alle 2 p Für k, p mit k p erhalte wir 0 +p 0 +k 0 +p 0 +k a a a, 0 0 ud somit 0 +p 0 +k a 0 +p 0 a + 0 +k a 0 < ɛ 2 + ɛ 2 ɛ Damit gilt atürlich (c) AC (d) C Als Gegebeispiel wähle wir a für alle (e) AC Dies folgt umittelbar aus dem Quotietekriterium Damit gilt auch C (e) (f) AC, Dies folgt wiederum aus dem Quotietekriterium (g) C Als Gegebeispiel wähle wir a / für alle (h) C Als Gegebeispiel wähle wir a ( ) für alle C Wir betrachte die Folge (a ) defiiert durch, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, Offesichtlich gilt a 0 Für die Partialsumme s m : m a gilt s m [0, ] für alle m, also ist (s m ) m beschräkt Da s m für uedlich viele m ud s m 0 für uedlich viele m, ist die Reihe a diverget (j) AC Da ach Voraussetzug (b m ) beschräkt ist, gibt es C > 0, so dass b m < C für alle m Da folgt a b b < 2C für 2, also a < 2C Nu ist die Folge 2C/( ) 2C/ 3/2 absolut koverget (Satz 39), daher ach Majoratekriterium auch a Hausübug Aufgabe H (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a) Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez , (ii) 0 ( )

5 (b) Bestimme Sie die Kovergezradie folgeder Potezreihe Lösug: (a) 0 x 3 (5 + ( ), (ii) ) 2 Utersuche Sie bei auch das Kovergezverhalte auf dem Rad Die Reihe ist diverget ach Mioratekriterium: De für ist 2 x ud die Reihe 2 7 divergiert (ii) Die Reihe ist koverget ach dem Leibiz-Kriterium: Die Nullfolge b, wobei b : falled, de für gilt (( + ) 2 + ) ( + )( 2 + ) ( + ) 2 + b b + Nach dem Leibiz-Kriterium kovergiert die Reihe ( )+ b ( )+ (b) Mit der Substitutio y : x 3 ud der Defiitio a : 0 y (5+( ) ) 2 0 a y Nu ist 2 + (5+( ) ) 2, falls gerade a 6 2, falls ugerade 4 2 Also sup a 4 2, dh ach Hadamard hat 0 y (5+( ) ) 2, ist mooto 2 + erhalte wir die Potezreihe de Kovergezradius 4 2 Demach kovergiert die ursprügliche Potezreihe für alle x mit x 3 < 4 2 ud divergiert für x mit x 3 > 4 2, hat also Kovergezradius 4 2/3 Ist x auf dem Rad des Kovergezitervalls, also x 4 2/3, da gilt für alle ugerade x 3 (5 + ( ) ) 2 42, 42 die summierte Folge x 3 (5+( ) ) 2 0 ist daher keie Nullfolge Die Potezreihe kovergiert also auf de Radpukte icht (ii) Wir verwede das Quotietekriterium ud setze a : 2 a + a x Da ist (2 + 2)! x + (!) 2 (( + )!) 2 (2)! x (2 + )(2 + 2) x ( + ) 2 4 x, a also ist die Folge + a beschräkt ud sup + a 0 a 4 x <, falls x < I diesem Fall ist 4 die Potezreihe ach Quotietekriterium absolut koverget Falls x >, da ist 4 a + a >, daher a + a für fast alle, somit die Potezreihe diverget Also ist der Kovergezradius r 4 Aufgabe H2 (Gegebeispiele) (a) Zeige Sie, dass die Reihe 0 ( ) + kovergiert, aber das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst icht kovergiert Warum ist dies kei Widerspruch zu dem i der Vorlesug bewiesee Satz über die Kovergez des Cauchy- Produktes? 5

6 (b) Es sei a, 2, falls gerade, falls ugerade Zeige Sie, dass die Reihe a icht kovergiert Ist dies ei Widerspruch zum Leibiz-Kriterium? Lösug: (a) Die Folge + fällt mooto ud kovergiert gege 0 Daher ist ach dem Leibiz-Kriterium die alterierede Reihe ( ) ( ) + koverget Das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst ist durch 0 a mit a ( ) k ( ) k k0 k+ k+ gegebe Nu ist ( ) k ( ) k a k + k + k0 k0 k + k + k0 ( + ) + + +, also ist a 0 keie Nullfolge Daher kovergiert das Cauchy-Produkt 0 a icht Das ist kei Widerspruch zum Satz über die Kovergez des Cauchy-Produkts, da die Reihe ( ) 0 + icht absolut kovergiert (b) Es sei ud b c Da ist a b c Es gilt c 2 Da, falls gerade, 0, falls ugerade 0, falls gerade, 2, 2 falls ugerade kovergiert (Beispiel 33 b), ist c ach dem Majoratekriterium koverget Wäre u a koverget, da ach Satz 28 auch (a + c ) ist die 2m-te Partialsumme der Reihe b gleich 2m b m m 2 m b Nu Da aber die Partialsumme der harmoische Reihe ubeschräkt sid, ka die Reihe b icht kovergiere Also ist a icht koverget Das ist kei Widerspruch zum Leibiz-Kriterium, da die Folge ( ) + a icht mooto gege Null kovergiert Aufgabe H3 (Potezreihe) Es sei 0 a x eie Potezreihe mit Kovergezradius r > 0 (dabei ist auch r zugelasse) (a) Zeige Sie: Die Potezreihe a x hat ebefalls Kovergezradius r (b) Ist ϱ mit 0 < ϱ < r, da kovergiert die Reihe a ϱ (c) Ist das auch für die Reihe p a ϱ, wobei p, bzw für Lösug: Da r > 0, ist die Folge a a ϱ richtig? ach dem Satz vo Hadamard beschräkt (a) Wege ist mit Aufgabe G (b) auf dem 5 Übugsblatt sup a sup a sup a Nu ist die like Seite Null geau da, we die rechte Seite Null ist, ud i diesem Fall habe beide Potezreihe Kovergezradius Sid beide Seite vo Null verschiede, da gilt ach dem Satz vo Hadamard für de Kovergezradius r vo a x : r sup a sup r a 6

7 (b) Da ϱ < r r ist, befide wir us ach Teil (a) im Kovergezitervall ( r, r) der Potezreihe a x, also kovergiert ach Hadamard die Reihe a ϱ Da kovergiert auch a ϱ ϱ a ϱ (Satz 28) (c) Dieses Mal wede wir das Wurzelkriterium auf die Reihe p a ϱ a Es ist (wieder mit Aufgabe G (b) auf dem 5 Übugsblatt) sup p a ϱ sup p a ϱ ϱ sup a, ϱ da p p ud ϱ Nu gibt es die beide Fälle r < : Da ist sup a, also ϱ sup r a ϱ <, daher kovergiert r p a ϱ ach Wurzelkriterium r : Nu ist sup a 0, daher ϱ sup a 0 ud p a ϱ kovergiert wieder ach Wurzelkriterium Für die zweite Reihe habe wir wieder die beide Fälle r < : Da sup a > 0 ist, ist die Folge a r ubeschräkt (ma wähle zb eie gege de Häufugspukt kovergete Teilfolge vo a ) Wege ϱ > 0 gilt das da auch für a r ϱ, de a ϱ ϱ a 2ϱ a ϱ für fast alle, weil ϱ ud daher ϱ < 2 für fast alle Somit divergiert die Reihe a ϱ ach dem Wurzelkriterium r : Nu ka alles passiere, je achdem welche der beide Folge () ud a scheller dibzw kovergiert Ei Beispiel für die Kovergez der Reihe a ϱ liefert etwa a 0, Für a ud ϱ > divergiert a ϱ, de da ist a ϱ 0 ϱ die altbekate geometrische Reihe 7