Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen

Transkript

1 Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass N 0 für N 0. IA 0 : 0 N 0 IS + : [ ] + + N 0 iii Beweise de biomische Satz Vollstädige Idutio: IA 0 : x + y 0 0 x + y 0 x y x y

2 IS + : + + x y + + [ ] + x y + x y + + yx + y + xx + y x + y x y + iv Sei a eie overgete Folge, da gilt b mit b : a a + ist eie Nullfolge. Da a overget ist, gilt a a < ɛ mit > N. Aufgabe : Vollstädige Idutio a a + a a + a a + ɛ i Beweise > für > durch vollstädige Idutio. IA 3 : 3 8 > 6 3 IS + : + > + > + für ei N N ud > N. Daher gilt ii Es seie F N die Fiboacci-Zahle, d.h. F 0 0, F ud F + F + + F. Zeige die folgede Relatioe: a F + F + IA 0 : 0 F + F F IS : F + F + + F + F + + F F + b F + F F + + IA 0 : F 0 + F 0 F + 0 IS + : F + F F + F + + F F + + F + F F + F + F + F + + F + iii Zeige 3 4 für 0. IA 0 :

3 IS + : iv Zeige + + für N. IA : + IS + : v Ma für 0 durch vollstädige Idutio. IA 0 : 0 0 IS + : [ ] vi Beweise die Beroulli Ugleichug + x > + x für ud x >, x 0. IA : + x + x + x > + x Beachte das x 0 gilt. IS + : +x + +x +x > +x+x +x+x+x > ++x vii Zeige folgede Relatioe! für >, N IA :! IS + : +! +! +! 3 für >, N IA 0 :! 3 IS + : +! +! +! +!

4 Aufgabe 3: Folge i Ma zeige, ob diese Folge overgiere oder icht, ud bestimme im Falle der Existez de Grezwert. a a ist eie Nullfolge: mit Nɛ : ɛ. a i + a < ɛ Ist icht overget, da a 4 ud a 4+ 0 zwei verschiedee Häufugswerte sid Grezwert ist eideutig. 3 a! Wege! 3 für 3 folgt a 3 3 ud daher ist a ubeschrät ud damit icht overget. 4 a 5 + Behauptug a 5 a < ɛ mit 5 Nɛ N ɛ++n ɛ+ : ɛ 5 a si π a < ɛ mit Nɛ : ɛ. 6 a 3+4i 5 Kovergierrt icht, da eie Nullfolge ist. 7 a a mit a > 0 a a + 5 Hiweis: Verwede die Beroullische Ugleichug. Wir mache eie Falluterscheidug: Für a ist die Folge larerweise overget mit Grezwert lim a. Für a > sei u x a, da folgt aus + x > + x > x a < a < ɛ mit Nɛ : a ɛ. Für de verbleibede Fall 0 < a < gilt u lim a lim ud a wege a > folgt die Kovergez aus dem Recheregel ud dem Beweis der Kovergez für de Fall a >. Der Grezwert lautet ach de Recheregel ebefalls lim a. 4

5 8 a a s a + a R, s Q s Falluterscheidug: lim s a + s a, für a > oder a, s < 0 lim a a lim s a s, für a < oder a, s > 0 0, für a ud s 0 Für die restliche Fälle ist a icht overget. ii Bestimme sie die Grezwerte: a mit N Wede die Multipliatiosregel -mal auf a: a + a a 3 4 a + ++ a a a+ a 6 a + 3 a a + a a a + a + a a a +si +cos Beiweis: 8 a c a + si + cos lim a c + c c + c c 5

6 iii Gebe de lim sup ud lim if zu de gegebee Folge a. Gib ebefalls zu jedem Häufugswert eie overgete Teilfolge a. a Kovergete Teilfolge sid c lim sup {, für N, für N + a, lim if a lim lim lim + lim + Da c eie Nullfolge ist ud es gilt c 0, N, folgt lim if c 0. Außerdem folgt aus c ud c dass lim sup c. Kovergete Teilfolge sid. lim c 0 lim c + iv Beweise die Kovergez der folgede, reursiv defiierte Folge ud bestimme de Grezwert: a + a + 4 mit a 4 ud Zuächst eimal beweise wir die Kovergez, dazu beweise wir, dass a + a a a ud a für alle N gilt. Die Beweise werde durch Idutio geführt. Für die erste Behauptug gilt IA : a a IS + : a + a a + 4 a + ud die Folge ist daher mooto wachsed. Desweitere erhält ma aus IA : a IS + : a + a ud die Folge ist isgesamt vo obe beschrät ud mooto wachsed, daher auch overget. Der Grezwert existiert also. Da bereche wir de Grezwert a vo a N. Obe wurde gezeigt, dass dieser existiert ud wir schreibe daher lim a + lim a + 4 a a + 4 woraus a folgt. x + x + a x für alle 0 ud x 0, a > 0. Beim Beweis gehe wir wie i vor. Zuächst beweise wir die zwei Relatioe x a ud x x + für alle. Die erste folgt aus 6

7 IA 0 : x 0 > 0 ach Voraussetzug IS + : x + x + a x > 0 ud mit x a x + a x x a + a a x folgert ma, dass x a ud die Folge ist daher ach ute beschrät. Weiterhi x + x + a x + a x x + x x ud die Folge ist zusätzlich mooto falled. Daher folgt, dass x overget ist ud ma a folger lim x lim x + a x x + a x x ud ma erhält x : lim x a. v Sei a eie overgete Folge mit lim a : a ud b : Zeige, dass lim b a gilt. Sei ɛ > 0, da folgt aus der Kovergez vo a, dass es eie Idex Nɛ N gibt, so dass a i a < ɛ, für i > N Für > max N, ɛ i N a i a, gilt b a N a i a + i i in+ a i a i a ɛ + ɛ N vi Fide alle Häufugswerte ud gebe zu jedem Häufugswert eie overgete Teilfolge a. a i + Die Häufugspute sid, i,, i ud damit lim a 4 lim + 4 lim a 4+ lim i + 4+ i a + lim a 4+ lim lim a 4+3 lim Die Häufugspute sid, + 4+ i ud damit lim a lim + i lim a + + lim + + ɛ 7