Übungsaufgaben mit Lösungen. Mathematik I
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- Wilfried Hermann
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1 Fachhochschule Pforzheim - Eletrotechi / Iformatiostechi - Übugsaufgabe mit Lösuge zur Vorlesug Mathemati I Prof. Dr. Mazura ud Prof. Dr. Gohout) für Studete der Fachrichtuge Eletrotechi / Techische Iformati Dipl.-Phys. F. Schmidt
2 Ihaltsverzeichis Vetore ud Matrize Aalysis vo Futioe mit eier Variable Folge ud Reihe 6 Komplexe Zahle Aalysis vo Futioe mit mehrere Variable
3 Vetore ud Matrize Nr. Führe Sie, we möglich, die folgede Vetoroperatioe durch. a),, 8), 6) b),, ),, ) c),, ) d), ) Nr. Gegebe sid die folgede beide Vetore. a,, ) b,, ) a) Bereche Sie das Vetorprodut a b. b) Bereche Sie die Beträge der Vetore a, b, a + b ud a b. c) Zeige Sie, dass die Vetore a, b ud a + b serecht zu dem Vetor a b sid. d) Welche Fläche hat das Rechtec, dass vo a b ud a aufgespat wird? Nr. Sid die folgede Vetore liear uabhägig oder icht? a),, b), 7 6, 6 c),,,
4 Nr. Die folgede drei Vetore a, a ud a bilde eie Basis des R. a,, ) a,, ) a,, ) a) Wie laute die Koordiate vo b,, ) ud c 7, 9, ) bezüglich der Basis a, a, a )? b) Mithilfe eier elemetare Basistrasformatio wird a durch b ersetzt. Welche Koordiate hat c bezüglich der eue Basis ) b, a, a? Nr. Bilde Sie aus de Spaltevetore a,, ), a,, ), a,, ) eie Orthoormalbasis. Nr. 6 Bereche Sie die Räge, Determiate ud Iverse der folgede Matrize. 7 7 A B C D
5 Nr. 7 Bereche Sie die Determiate der folgede Matrize. A B 6 C Nr. 8 Bereche Sie die Iverse der folgede Matrize durch allgemeie Matrizeoperatioe ud verifiziere Sie Ihr Ergebis. A 8 B C
6 Lösuge Nr. a),, 8), 6) geht icht, da verschiedee Dimesioe b),, ),, ) geht icht, da Zeile mal Zeile c),, ),, ) 8 d), ), ) ),,, ),,, ) 8,,, ) Nr. a) a b,, ),, ), 7, 8) b) a, b, a + b 77, a b 9 c) a a b ), b a b ), b a b ), ) a + ) b a b d) a a b ),, ), 7, 8) 67,, ) 6 Nr. a) b) c) GAUSS 7 GAUSS 6 6 GAUSS l.u. l.a. l.u. 6
7 Nr. a) Gauss-Algorithmus liefert b 7.,,. ) Gauss-Algorithmus liefert c.,,. ) b) b : x 7., x, x. ) c : y., y, y. ) c hat bzgl. der eue Basis die Koordiate y, y ud y mit y y x y y y x x 8 y y y x x Nr. b a,, ) b,, ) b a a b b b,, ) b 6,, ) b a a b b b a b b b,, ) b,, ) Nr. 6 det A ) rag A) det B rag B) det C ; rag C) det D ; rag D) 7
8 A : 7 6 GAUSS 7 B : 7 9 GAUSS C existiert icht GAUSS liefert D Nr. 7 deta) 9 detb) 6 8
9 detc) 6 Nr. 8 a) 8 7 A 7 b) 6 6 B 6 6 9
10 c) C 6 8 7
11 Aalysis vo Futioe mit eier Variable Nr. Bilde Sie jeweils die Ableitug f x) zu gegebeem fx). a) fx) x x b) fx) si e x) c) fx) l + cos x) d) fx) l l x) e) fx) e si x f) fx) x si x l x Nr. Bestimme Sie die folgede Grezwerte. a) lim x cos x cos x c) lim x e) lim x si x ) x cos ax b) lim x cos bx x f) lim x + x si x cos x si ) x ) d) lim x l + x x si x ) ) x x Nr. Bestimme Sie die Stammfutioe F x) der folgede Futioe fx). a) fx) x b) fx) + x + x c) fx) e x d) fx) + x e) fx) x + 7 x f) fx) 7 x ) Nr. Bestimme Sie die Stammfutioe F x) der folgede Futioe fx) durch partielle Itegratio. a) fx) x e x b) fx) l x x c) fx) x cos x d) fx) cos x si x
12 Nr. Bestimme Sie die Stammfutioe F x) der folgede Futioe fx) durch Substitutio. a) fx) x + ) b) fx) x x c) fx) cos x e si x d) fx) x x ) e) fx) l x x Nr. 6 Bereche Sie die folgede bestimmte Itegrale. a) d) π x + dx b) x si x) dx e) x dx c) x e x dx f) l l x x 8 x + ) dx e x + e x) l + e x ) dx Nr. 7 Existiere die folgede ueigetliche Itegrale? Falls ja, da bestimme Sie ihre Wert. a) d) dx b) x e. x+ dx e) x dx c) dx f) + x) 6 dx x + x dx
13 Lösuge Nr. a) fx) x x e l x) x e x l x f x) e x l x l x + ) x x l x + ) b) fx) si e x) f x) cos e x) e x) x c) fx) l + cos x) f x) cos x) si x) +cos x d) fx) l l x) f x) l x x x l x e) fx) e si x e si x ) e si x f x) e si x cos x) f) fx) x si x l x f x) x x si x+ x cos x ) l x x x si x) l x) Nr. a) b) cos x cos x +x si x cos x si x ) x x si x si x x si x+x cos x +x si x +si x si x ) cos x ) cos x cos x x x cos x+ cos x+cos x x si x) +x si x si x+x cos x) +x si x) si x+x cos x) +x si x) c) x si x si x x x si x si x cos x+cos x x si x d) x l + x e) f) cos ax cos bx x cos x ) si x ) x cos x ) l+ x) x x x a cos ax cos ax a si ax cos ax cos ax ) si x x x si x e l x ) ) x cos x si x x si x x cos x si x) x x si x ) si x si x+x cos x ) si x x x e x x x e si x+x cos x x x + x x ) x + x a si ax b si bx + cos ax cos bx x x + b cos ) bx cos bx+ b si bx cos bx cos bx si x x l x )) ud l si x x ) x x x si x ) cos x cos x x si x x x b a x si x+x cos x Nr. a) fx) x x F x) x + c x + c x x x b) fx) + x + x F x) x + x + x6 + c c) fx) e x F x) e x + c e x + c d) fx) F x) l + x + c + x e) fx) x+7 x x + x + x F x) x + l x + c f) fx) 7 x ) e x l 7 F x) l 7 7 x ) + c
14 Nr. a) F x) x e x dx x e x e x dx x e x e x + c e x x ) + c mit u x u ud v e x v e x ) l x b) F x) dx x l x dx x l x + x dx x mit u l x u x ud v x v x ) x l x x + c l x + ) + c x c) F x) x cos x dx x si x x si x dx mit u x u x ud v si x v cos x) ) x si x x cos x + cos x dx mit u x u ud v cos x v si x) x si x + x cos x si x + c d) F x) cos x si x dx cos x cos x si x dx mit u cos x u cos x si x ud v cos x v si x) F x) cos x + c Nr. a) b) c) d) e) x + ) dx u du u + c x + ) + c mit u x + du dx dx du) x dx u du u + c x x + c mit u x du dx x dx du ) x cos x e si x dx cos x e u du e u du e u + c e si x + c cos x mit u si x du cos x dx dx cos x du) x x ) dx x u ) x du u du mit u x du x dx du ) dx x l x x u + c x ) + c dx u x du u du x u + c l x) + c mit u l x du dx x du) dx x Nr. 6 a) b) c) [ x + dx x + ) ] ) 7.99 x ) dx [ x ) ] x x 8 x + ) dx ).7 u du [ u ].7
15 d) π mit u x 8 x + du dx 6 x 8 dx 6 x 8 du) π + x cos x) dx mit u x u x ud v cos x) v si x) ) x si x) dx [ x cos x) ] π π + [ x si x)] π si x) dx mit u x u ud v si x) v cos x) ) π e) f) l l π + [ cos x)] π x e x dx π.9 x e u x ) du [ eu ] e e ).78 mit u x du dx x dx x du ) e x + e x ) l + e x ) dx e x u l u du u l u du e x mit u + e x du dx ex dx du ) e x [ x l x ] x dx [ x l x ] [ x] mit u l x u ud v x x v x ) x l x dx 8 l 9 l 7. Nr. 7 a) b) c) d) e) f) dx lim x b b x dx lim b lim 6 x + dx lim b [ x dx lim ] x b lim b + ) b b [ x dx lim ] x b b b b b ) b 6 x + ) [ dx lim 6 x + ) b ) lim 6 b + 6 d.h. It. ex. icht b [ e. x+ dx lim e. x+ dx lim e. x+ dx ] b b b b lim ) e e. b+ e b b dx lim + x) b lim + b) + ) b dx lim x) dx lim x b lim b b + x) dx lim b [ + x) ] b b ] b [ ] 8 x) b ) d.h. It. ex. icht b
16 Folge ud Reihe Nr. Utersuche Sie die gegebee füf Folge auf Beschrätheit, Mootoie ud Kovergez, ud gebe Sie evetuell vorhadee Häufugspute ud Grezwerte a. A : 9 ;. ; ; 6. ; 9 ;. ; ;... B : ; ; ; 6 ; 6 ;... C : ; ; ; ; ; 6 ;... D : d ; E : e e + ; e Nr. Eie arithmetische Folge ist gegebe durch ; ; ; 8 ; 76 ; 866 ; 877 ;... Welche Ordug hat diese Folge ud welches Polyom ebedieser Ordug erzeugt die Folge? Nr. Zeige Sie, dass a 7 eie arithmetische Folge. Ordug ist. Nr. Sid die Folge a ) overget oder icht? We ja, da bereche Sie ihre Grezwert. a) a b) a + + c) a + 6
17 Nr. Bestimme Sie die Grezwerte der Folge a ). Vorsicht! Nicht gaz leicht! a) a b) a c) a a + + ) ) ) b ; a, b ɛ R Nr. 6 Utersuche Sie das Kovergezverhalte der gegebee Reihe. a) d) b) ) e)! c) ) Nr. 7 Sid diese Reihe overget oder icht? We ja, da bereche Sie ihre Wert. Vorsicht! Nicht gaz leicht! a) d) ) + b)! e) + + +! c) f) ) + 7 Nr. 8 Bestimme Sie die Kovergezradie der folgede Potezreihe. a) c) e) g) i) a x a ) b) l ) x d) ) x! f) ) x )! h)! m + ) x j) m l x ) x ) x ) x m m m + ) m ) x m 7
18 Lösuge Nr. A: ach ute beschrät; streg mooto steiged; bestimmt diverget B: ach ute ud obe beschrät; icht mooto; overget mit Grezwert C: icht beschrät; icht mooto; diverget D: ach ute ud obe beschrät; streg mooto falled; overget mit Grezwert 7 6 E: ach ute ud obe beschrät; streg mooto steiged; overget mit Grezwert. Nr. a) Ordug b) L x) a i i i i j) L x) a x x x x a x x x x a x x x x x x + x j i j + a x x x x + + a x x x x + Nr Ordug Nr. a) a b) a c) a
19 Nr. a) a ) ). 6 + ) ) ) 6 + ) ).) 6 + ) ).) ) ).) 6 + ) ).) 8 6 ) ) ). ) ) ) b) a a b ) )) a b + ) a ) b + ) a b + a c) a ) a + b a b 6 + ) ). ) ) ) + ) a ) b b ) + ) + ) [ + ) + + ) + ] a + b + ) [ + ) ] + + ) + + ) + ) + + ) + + ) ) + ) + + Nr. 6 a) b) c) d) e) Wurzelrit.: l a ) de l Hospital ergibt:! a Quotieterit.: + a ) ) + e < Kovergez + + ud ) Majoraterit.: + )! + ) +! + + ) + < ist overget Kovergez ; a + a < ud ) + + ; a d.h. a ist eie Nullfolge Divergez l e < Kovergez ) + Kovergez + de l Hospital) 9
20 ) Nr. 7 a) ; ) + + ) 8 9 < Kovergez) ) ) ) ) 6 ) ) 6 8 ) b) + + ; + + overgiert Kovergez l+ l p c) + + p d) ) 8 9) ud + ; ist overget Argumetatio wie bei b)) !! ) + + l+ l p ; a + a! +)! )!! +) ) )!! p+! Kovergez)! + e) ; a + a! +)! + + Kovergez) +)! +) +) e!!! )!!!! f) ) + 7 ; ) ) < Kovergez) ) + 7 ) 9 7 ) 6 6 ) 9 ) ) ) ) ) 6 6 ) ) Nr. 8 a) a x a ) ; l a e r a a a e l a e l a ud
21 b) c) d) e) f) g) h) i) j) l x ; l l l l l ) e ; ud l ) ; e r l ) x ; l ) l + l ) l + l ud l < l + l < l für N). Da l ud l für gege gehe, muss auch l + l gege gehe r ) x a ; + a + ) + ) +... r +... ) x a! ; + a + )! + ) + ) +! + ) + + ) ) r e + e ) x a ; + a + )!!! ) + )! + )! )! + ) + ) + ) ) ) r + ) + ) + ) + ) x ; )! + ) + a + a + ) + )! + + )! ) + ) + ) ) + ) ) 8 + ) ) ) ) ) e mit de l Hospital) r e ) x ; a m m m m a ud ; a r m! m + ) ) + + m x ; r + ) m ) x ; m ) a + + )! ) a! ) a + a + ) + e r + e
22 Komplexe Zahle Nr. Gegebe sid die omplexe Zahle z + i ; z i ud z i. Bereche Sie ud stelle Sie die Ergebisse vo e) bis h) zusätzlich i Polaroordiate dar. a) z + z b) z z c) z z d) z ) e) z z ) z ) f) z ) z g) z z + z ) ) h) z z z z Nr. Trasformiere Sie die folgede i Polaroordiate dargestellte omplexe Zahle i die allgemeie Form. a) ; π) b) ). ; π c) ) ; π d) ) ; π Nr. Bereche Sie. a) + i) b) i) 6 c) + i d) 6 i e) 7 8 i
23 Lösuge Nr. a) z + z + i + i i b) z z + i) i) i z c) z z i) +i) i+ i+ i) +i) z z z + i d) z ) + i) + i + i + i 8 + i 6 i + i e) z z z ) z z ) z ) i i)) i)) + i) i)) i) i i i i) f) z ) z i) + i) 9 i ) + i) i) + i) 7 7 i g) z z + z ) ) i + i) ) i + i ) i) i h) z z z z z z z z ) z z z z z z z z z + i) 6 i) + i) + i) i) + i) + i zu e) z i r ) ud ϕ 9 7 zu f) z 7 7 i r 7) + 7) 8 ud ϕ arcta ) zu g) z i r ud ϕ arcta ) zu h) z 6 + ϕ arcta i r 6 6 ).8 ) ) + 6 ud Nr. Umrechug: x r cos ϕ ud y r si ϕ a) z + i b) z.. i c) z 6 i d) z i
24 Nr. a) + i) cos π + i si )) ) π cos π + i si ) π + i ) + i b) i) 6 cos.89 + i si.89) ) 6 ) 6 cos.97 + i si.97).96 + i.) c) d) e) 7 i + i cos π + i si π 8 cos π + π 6 )) ) + i si π 6 + π )) 6 i cos.89 + i si.89) ) mit,,, 6 cos ) )) π + i si π 7 8 i cos. + i si.) ) cos.98 + π mit,,..., ) )) + i si.98 + π mit,,...,
25 Aalysis vo Futioe mit mehrere Variable Nr. Gebe Sie alle partielle Ableituge erster ud zweiter Ordug der folgede Futioe a. a) fx, y) x x y + x y + y + b) fx, y) x + y ) e x y c) fx, y, z) x y z si x + y + z) d) fx, y, z) x e y z Nr. Utersuche Sie die folgede Futioe auf Extrema ud Sattelpute. a) fx, y) x + y x y b) fx, y) x + x y + y + x + y + c) fx, y) x y x y) d) fx, y, z) x + y + z x y + x + z Nr. Im R ist ei Körper K gegebe durch: K { x, y, z ; y + z ; x + z } Sizziere Sie de Körper K ud bereche Sie sei Volume. Nr. Im R sid die Körper K ud K gegebe durch: K { y + z }, ei uedlicher lager Zylider um die x-achse mit Radius K { x + z }, ei uedlicher lager Zylider um die y-achse mit Radius Sizziere Sie de Schittörper K K K ud bestimmme Sie sei Volume. Nr. Bereche Sie das Volume eier Kugel um de Ursprug mit Radius mit Hilfe eier Itegratio über Zylideroordiate. Nr. 6 Im R sid die Kugel K ud K gegebe durch: K { x + y + z } ud K { x + y + z ) } Sizziere Sie de Schittörper K K K ud bestimmme Sie sei Volume.
26 Lösuge Nr. a) fx, y) x x y + x y + y + f x x x y + y ; f y x y + x y + y f xx 6 x y ; f yy x + x y + y ; f xy f yx 8 x y + y b) fx, y) x + y ) e x y f x x y + x + y ) e x y f y x + y + x y ) e x y ; f xx x y + + y + x y ) e x y f yy x y + + x + x y ) e x y ; f xy f yx x + y + x y + x y ) e x y c) fx, y, z) x y z si x + y + z) f x y z si x + y + z) + x y z cos x + y + z) f y x z si x + y + z) + x y z cos x + y + z) f z x y si x + y + z) + x y z cos x + y + z) f xx y z cos x + y + z) x y z si x + y + z) f yy x z cos x + y + z) x y z si x + y + z) f zz x y cos x + y + z) x y z si x + y + z) f xy f yx y z + x z) cos x + y + z) + z x y z ) si x + y + z) f xz f zx y z + y x) cos x + y + z) + y x y z ) si x + y + z) f yz f zy x y + x z) cos x + y + z) + x x y z ) si x + y + z) d) fx, y, z) x e y x z e y z f x z e y ; f y x z e y ; f z x z e y f xx ; f yy x z e y ; f zz x z e y f xy f yx z e y ; f xz f zx z e y ; f yz f zy x z e y Nr. a) fx, y) x + y x y f x x y ud f y y x f x f y liefert zwei statioäre Pute ; ) ud ; ) f xx 6 x ; f xy f yx ; f yy 6 y det H) f xx f yy f xy ) 6 x y deth) ;) < Sattelput bei ; ) deth) ; ) > ud f xx ; ) > loales Miimum bei ; ) b) fx, y) x + x y + y + x + y + 6
27 f x x + y + ud f y x + y + f x f y liefert de statioäre Put ; ) f xx ; f xy f yx ; f yy deth) f xx f yy f xy ) deth) ; ) > ud f xx ; ) > loales Miimum bei ; ) c) fx, y) x y x y) x y x y x y f x x y x y x y x y x y) f y x y x y x y x y x y) f x f y liefert als statioäre Pute die x -ud die y-achse ud ; ) f xx 6 x y x y 6 x y 6 x y x y) f xy f yx 6 x y 8 x y 9 x y x y 6 8 x 9 y) f yy x x 6 x y x x y) deth) f xx f yy f xy ) x y x 6 x y + 6 x y + 6 y ) Bei alle Pute der x -ud der y-achse gilt deth), d. h. wir öe eie Aussage mache, ob Extrem -oder Sattelpute vorliege. deth) ; ) > ; f xx ; ) < loales Maximum bei ; ) 9 d) fx, y, z) x + y + z x y + x + z f x x y + ; f y y x ; f z z + f x f y f z liefert de statioäre Put ; ; ) f xx f yy f zz ; f xy f yx ; f xz f zx f yz f zy deth) f xx f yy f zz + f xy f yz f zx f xx f yz f yy f xz f zz f xy 6 > deth ) f xx f yy f xy > ; deth ) f xx > loales Miimum bei ; ; ) Nr. Der durch K { x, y, z ; y + z ; x + z } beschriebee Körper ähelt eiem Viertel eies Iglu-Zeltes. Es ergebe sich folgede Greze für die Itegratio: z ; y z ; x z V z z dx dy dz z dz [ z z ] z z y x z 7
28 Nr. Der Schittörper K der beide Zylider K ud K ergibt zwei Iglu-Zelte, also 8 Figure der Nr. zusammegefügt, ur mit eier leicht veräderte Radfutio. Es ergebe sich folgede Greze für die Itegratio: z ; z y z ; z x z V z z y z z x z dx dy dz z z dz [ z z ] z 6 Nr. Das Volume eier Kugel mit Radius soll bestimmt werde. I Zylideroordiate ergebe sich folgede Greze für die Itegratio: ϕ π ; z ; r z V π ϕ z z r r dr dz dϕ π z z r r dr dz dϕ π z [ ] z r dz r V π z z dz π [ z z ] z π Nr. 6 Die beide Kugel K ud K habe jeweils de Radius, ebeso beträgt der Abstad ihrer Mittelpute. Der Schittörper K besteht demach aus Kugelappe der Höhe ud Radius. Eie Asicht der x-z-ebee ergibt für de Rad der utere Kugelappe die Bedigug: r + z) I Zylideroordiate ergebe sich damit die folgede Greze für die Itegratio: ϕ π ; z ; r z z V π ϕ z z z r r dr dz dϕ π z z z r r dr dz π z [ ] z z r dz r V π z z z dz π [z ] z z [ π ] π 8
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Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. 6. Saalübung ( )
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Übungsblatt Folgen, Reihen, Finanzmathematik
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24 Konvergente Teilfolgen und Cauchy-Kriterium
120 IV. Uedliche Reihe ud Taylor-Formel 24 Kovergete Teilfolge ud Cauchy-Kriterium Lerziele: Kozepte: Teilfolge, Häufugswerte, Limes superior ud iferior, Cauchy-Folge Resultate: Satz vo Bolzao-Weierstraß,
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Kapitel IV: Unendliche Reihen
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe Kapitel IV: Uedliche Reihe 11 Uedliche Zahlereihe A Zum Begriff uedliche Zahlereihe B Uedliche Reihe
10. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
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Lösungen zur Nachklausur zur Analysis einer Variablen F. Merkl
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Lösungen Mathe 2 Repetitorium
Lösuge Mathe Repetitorium SoSe Ableitug. d dx = x x + + x e x d. dx = x x +x+ xx + six x + cosx partielle Ableitug. a f x = x y yz f y = xy z xz f z = yz xy b g x = x + x + y sixy x cosxy g y = y y + +
Aufgabensammlung aus Mathematik 1 UMIT, WS 2010/11
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8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und
Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte
Klausur zum Grundkurs Höhere Mathematik I
Korrektur 6.06.06:.,3. ; 7.07.06: 3. Name, Vorame: Studiegag: Matrikelummer: 3 4 5 6 Z Pukte Note Klausur zum Grudkurs Höhere Mathematik I für BNC, GtB, MB, EC, TeM, VT, KGB, WWT, ESM, FWK, BGi, WiW 0.
n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)
Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem
Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014
Übuge zu Eiführug i die Aalysis, WS 2014 Ulisse Stefaelli 19. Jauar 2015 1 Wiederholug 1. Seie p, q ud r Aussage. Zeige Sie, dass dei Aussage Tautologie sid. p ( p q), (b) ( p q) ( p q), [ ((p ) ( ) ]
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Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) WS 20/202 Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.tech. Raier Madel Lösuge 7.Übugsblatt Aufgabe 25 (K) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede
Grenzwertberechnungen
Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Folge ud Reihe Folge sid Fuktioe; die Begriffe beschräkt ud mooto trete daher auch bei Folge auf. Isbesodere habe sie eie
Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2
F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Übuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 06/07. Richtig oder Falsch? Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche
5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
6.2 Das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung. x für k
6. Das Newtoverahre zur Nullstellebestimmug Gesucht sid Nullstelle eier ichtlieare stetig di bare Futio :RR, also R mit = 0! Zurücührug des Nullstelleproblems au das izwische beate Fiputproblem. Also gesucht:
KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen
KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele
Lösungsvorschlag zur 2. Hausübung in Analysis II im SS 12
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK, CAMPUS ESSEN Prof. Dr. Patrizio Neff 0.04.0 Lösugsvorschlag zur. Hausübug i Aalysis II im SS Hausaufgabe (8 Pute): Bereche Sie für die Futio f : R! R; f() : ep( ) a der Stelle
n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =
Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:
Analysis I - Zweite Klausur
Aalysis I - Zweite Klausur Witersemester 2004-2005 Vorame: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Aufgabe 4 Pukte Bestimme Sie (mit Beweis)
Höhere Mathematik 3. Kapitel 12 Differenzengleichungen, z-transformation. Prof. Dr.-Ing. Dieter Kraus
Höhere Mathematik 3 Kapitel 1 Differezegleichuge, z-trasformatio Prof. Dr.-Ig. Dieter Kraus Höhere Mathematik 3 Kapitel 1 Ihaltsverzeichis 1 Differezegleichuge, -Trasformatio...1-1 1.1 Eiführug i Differezegleichuge...1-1
Übungen zur Analysis II SS 2006
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Modulabschlussprüfung Analysis Musterlösung
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Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie
3. Taylorformel und Taylorreihen
Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I
5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
Musterlösung Vortragsübung Blatt 14 Vorwort. Variante der harmonischen Reihe.
Musterlösug Vortragsübug Blatt 4 Vorwort. Variate der harmoische Reihe. Folgede Aussage wird i der achfolgede Musterlösug ab ud a gebraucht ud öte sich für Sie auch außerhalb der HM durchaus als ützlich
Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13
Musterlösug der Klausur Aalysis I WS 202/3 Aufgabe (C) Die Folge ( ) 2N 2 R N sei durch : (2 + 32 )( + 2) 2 3 + 2 2 gegebe Ma utersuche mittels der Recheregel für Kovergez, ob ( ) 2N kovergiert ud bereche
4. Vektorräume mit Skalarprodukt
4. Vektorräume mit Skalarprodukt Wiederholug: V=R x, y R: x= x x i x, y= y y, :R R R Skalarprodukt Stadardskalarprodukt lieare Abbildug mit 2 Argumete 4. Eigeschafte vo Skalarprodukte Def.: Es sei V ei
Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,
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Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt
Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)
Lösungsvorschlag zur Klausur zur Analysis III
Prof. Dr. H. Garcke, D. Deper WS 9/ NWF I - Mathematik 8..9 Uiversität Regesburg Lösugsvorschlag zur Klausur zur Aalysis III 6 Pukte pro Aufgabe) Aufgabe i) Bestimme Sie für die Fuktioefolge f :, 4) R,
0.1 E: Der Haupsatz der Mineralogie
0. E: Der Haupsatz der Mieralogie Satz: I eiem Kristall gibt es ur,,3,4 ud 6-zählige Symmetrie. Defiitio: Seie u, v 0 zwei Vektore, die icht auf eier Gerade liege. Die Mege heißt Gitter. Satz: Die Vektore
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.
3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
11. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 9/./3. Jauar Gruppeübug Aufgabe G Itegratio) Bereche
6. Die Gamma-Funktion
6.. Die Gamma-Futio ist für C mit Re > 0 defiiert durch Γ( := 0 t e t dt (Euler-Itegral. Bemerug. Es ist t e t = t x e t mit x = Re. Beatlich overgiert 0 t x e t dt für x > 0 (das ist die reelle Gamma-Futio.
Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr A Müller-Rettkowski Dr T Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 7..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 5. Übugsblatt Aufgabe
4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
D-HEST, Mathematik III HS 2015 Prof. Dr. E. W. Farkas R. Bourquin und M. Sprecher. Lösung 1
D-HEST, Mathematik III HS 15 Prof. Dr. E. W. Farkas R. Bourqui ud M. Sprecher Lösug 1 Das erste Kapitel der Vorlesug behadelt die Theorie der Fourier-Reihe. Bearbeite Sie bitte folgede Frage olie bis Diestag,
Monotonie einer Folge
Mootoie eier Folge 1 E Mootoe Folge We jedes Folgeglied eier Folge größer oder gleich dem vorhergehede Folgeglied ist a 1 a ℕ so et ma die Folge mooto steiged (oder mooto wachsed). Die geometrische Folge
Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze
Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug
1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch
Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w
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Taylorentwicklung. Manfred Hörz. Polynomfunktionen sind sehr leicht zu differenzieren und zu integrieren und sind wieder Polynomfunktionen: k a k
Tayloretwiclug Mafred Hörz Die Liearombiatio vo Potezfutioe et ma Polyomfutioe oder gazratioale Futioe P ( : P (=a +a +a +...+a = a, heißt der Grad der Polyomfutio, a die Koeffiziete der Polyomfutio. Beispiel
5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen
26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo
13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe)
Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +
n=0 f(x) = log(1 + x) = n=1
Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,
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FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom
Lösungen zur Übungsserie 10
Aalysis Herbstsemester 08 Prof Peter Josse Motag, 3 Dezember Lösuge zur Übugsserie 0 Aufgabe,,4,,6,8,9,,,3,4 Aufgabe Sei V der R-Vektorraum der stetige Fuktioe auf dem Itervall [0, ], ud sei d 0 eie gaze
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralüug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathemati Z Archimedische Aordug i R Mathemati für Physier (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugslatt http://www-m5matumde/allgemeies/ma90
HTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Folge ud Reihe INHALTSVERZEICHNIS 1. EINFÜHRUNG... 3. DARSTELLUNG EINER FOLGE... 3 3. BEISPIELE... 4 4. ENDLICHE REIHE... 4 5. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN... 4 6. GEOMETRISCHE
Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen
Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:
2.3 Determinanten. linear in jeder Spalte: det(a 1... λa i... a n ) = λ det(a 1... a i... a n )
Kreuzprodukt λ b = λ( b) = λb ( + b) c = c + b c ud (b + c) = b + c b = b 4 (b c) =, c b, b c 5 ( b) c =, c b b, c 6 ( b) (c d) = det(bd)c det(bc)d 7 ( b), c = det(bc) =, (b c) Liere Algebr Regel Es seie:
1. Zahlenfolgen und Reihen
. Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,
Analysis 1 für Informatiker und Statistiker Beispielslösungen, Woche 13
Mathematisches Istitut der LMU WS 016/17 Prof. Dr. S. Morozov Olie am: Dr. H. Hogreve 1. 01. 017 Aalysis 1 für Iformatiker ud Statistiker Beispielslösuge, Woche 1 1.1 (a Um festzustelle, ob die utestehede
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Funktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli
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1 Integrationsmethoden
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D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)
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