Klausur zum Grundkurs Höhere Mathematik I

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1 Korrektur :.,3. ; : 3. Name, Vorame: Studiegag: Matrikelummer: Z Pukte Note Klausur zum Grudkurs Höhere Mathematik I für BNC, GtB, MB, EC, TeM, VT, KGB, WWT, ESM, FWK, BGi, WiW 0. Februar 006, Uhr Zugelassee Hilfsmittel: A4 Blätter hadschriftliche Notize (eigee Ausarbeituge) aber keie Mitschrifte; Formelsammluge (auch Bartsch, Brostei etc.) aber keie Lehrbücher; Tascherecher (auch grafikfähig) aber ohe Computer-Algebra-System (CAS). Bearbeite Sie bitte jede Aufgabe auf eiem separate Blatt bzw. auf separate Blätter. Das Aufgabeblatt ist mit abzugebe. Vergesse Sie bitte icht, auf dem Aufgabeblatt ud jedem Lösugsblatt Ihre Name ud Ihre Matrikelummer gut leserlich azugebe. Der Lösugsweg ist stets azugebe, er sollte i alle Schritte durch eigee Rechuge deutlich erkebar, begrüdet ud achvollziehbar sei. Nur da ka ach detaillierter Bewertug die volle Puktzahl erreicht werde. Viel Erfolg! Aufgabe : 8 Pukte (a) Welche reelle Zahle x erfülle die Ugleichug x > x? (b) Welche komplexe Zahle z erfülle die Ugleichug z > z? Skizziere Sie die Lösugsmege i der Gaußsche Zahleebee. (c) Bestimme Sie alle z = a + bi, für die gilt z 4 + i =. Rude Sie die Edergebisse auf zwei Nachkommastelle. 0 Aufgabe : Die Mege V := v R3 : v = a 0 + b, a, b R 0 ist ei Uterraum des R 3. 6 Pukte (a) Gebe Sie eie Basis vo V ud die Dimesio vo V a. (b) Welche geometrische Iterpretatio hat die Mege V? (c) Ergäze Sie die Basis vo V zu eier Basis des R 3. 0 (d) Ist die Mege W := v R3 : v = 0 + s 0, s R ebefalls ei Uterraum vo R 3? Begrüde Sie die Atwort.

2 Aufgabe 3: Gegebe ist das folgede lieare Gleichugssystem: x y + z = 8 x + y + z = b ( a)x + 3y + 3z = 3 9 Pukte (a) Für welche reelle Parameter a ud b besitzt das System (i) keie Lösug (ii) geau eie Lösug (iii) uedlich viele Lösuge? (b) Betrachte Sie das Gleichugssystem als System vo drei parameterfreie Ebeegleichuge. Was bedeutet da der obige Fall (iii) geometrisch? Bereche Sie für diese Fall die Lösugsmege. (c) Gebe Sie für obige Fall (i) die Lösugsmege des zugehörige homogee lieare Gleichugssystems a. Gibt es ichttriviale Lösuge? Welche Wert besitzt da die Determiate der Koeffizietematrix? Aufgabe 4: Bestimme Sie die Eigewerte ud Eigevektore sowie die algebraische ud geometrische Vielfachheit der Eigewerte der Matrix A = Pukte Aufgabe 5: 6 Pukte (a) Bestimme Sie de Grezwert (b) Utersuche Sie = (3b) + 3 ( + ) +. auf Kovergez (i Abhägigkeit vo b R). Aufgabe 6: Führe Sie für die Fuktio f(x) = l(x a) (x a) (a R kostat) eie Kurvediskussio durch (Defiitios- ud Wertebereich, Symmetrie, Nullstelle, Mootoieitervalle, Extrema, Krümmugsverhalte (kovex/kokav) ud Wedepukte, (Grezwert-) Verhalte im Uedliche bzw. am Rad des Defiitiosbereichs). Pukte Zusatz - Aufgabe: Bereche Sie das ubestimmte Itegral dx x 3x + mit der Methode der Partialbruchzerlegug. 3 Pukte

3 Aufgabe : 8 Pukte (a) Welche reelle Zahle x erfülle die Ugleichug x > x? (b) Welche komplexe Zahle z erfülle die Ugleichug z > z? Skizziere Sie die Lösugsmege i der Gaußsche Zahleebee. (c) Bestimme Sie alle z = a + bi, für die gilt z 4 + i =. Rude Sie die Edergebisse auf zwei Nachkommastelle. Lösug : (a) x > x, Vorzeichewechsel der Betragsargumete bei x = 0 bzw. x =, Falluterscheidug zur Auflösug der Beträge:.Fall: x < 0 (< ) -(x- ) > -(x ), > 0, wahre Aussage (!) L = ( ; 0)..Fall: 0 x < -(x- ) > x, > x, x < L = [0; ). 3.Fall: x (> 0) x > x, > 0, Widerspruch (!) L 3 =. Gesamtlösugmege L = L L L 3 = ( ; 0) [0; ) = ( ; ). Graphische Lösug: (b) z > z, z = a + b i z > z a + b i > a b i (a ) + b > a + b a a + + b > a + b a + > 0 a < b R Bemerkug: Die Lösugsmege aus (a) ist der Teil der Lösugsmege aus (b) für x = a ud b = 0. 3

4 (c) z 4 + i = z 4 = i = w = ( cos 5 4 π + i si 5 4 π) (3. Quadrat). Lösuge der Gleichug z 4 = w : ( 5 z k = (cos π + k π ) ( i si π + k π )) ( ( 8 5 = cos 6 π + k π ) ( 5 + i si 6 π + k π )) = 8 e i 5+k 8 6 π, k = 0,,, 3. z 0 = 8 e i 5 6 π = 8 ( cos 5 6 π + i si 5 6 π) 0, 6 + 0, 9 i z = 8 e i 3 6 π = 8 ( cos 3 3 π + i si π) 0, 9 + 0, 6 i 6 6 z = 8 e i 6 π = 8 ( cos π + i si π) 0, 6 0, 9 i 6 6 z 3 = 8 e i 9 6 π = 8 ( cos 9 9 π + i si π) 0, 9 0, 6 i 6 6 4

5 0 Aufgabe : Die Mege V := v R3 : v = a 0 + b, 0 ist ei Uterraum des R 3. a, b R 6 Pukte (a) Gebe Sie eie Basis vo V ud die Dimesio vo V a. (b) Welche geometrische Iterpretatio hat die Mege V? (c) Ergäze Sie die Basis vo V zu eier Basis des R 3. 0 (d) Ist die Mege W := v R3 : v = 0 + s 0, s R ebefalls ei Uterraum vo R 3? Begrüde Sie die Atwort. Lösug : (Korrigiert: ) 0 (a) Die Vektore v = 0 ud v = spae de Uterraum V auf. Sie sid eie 0 Basis, da sie liear uabhägig sid, de aus 0 α 0 α 0 + β = β = 0 0 α 0 folgt aus de erste beide Zeile, dass α = β = 0 sei muss. Da die Azahl der Basisvektore gleich ist, hat der Uterraum die Dimesio. (b) Geometrisch hadelt es sich um eie Ebee durch de Ursprug mit der Gleichug: x 0 y = a 0 + b. z 0 (c) Eie mögliche Ergäzug ist der Vektor u = v v = e x e y e z = 0 Er ist orthogoal zu v ud v ud folglich sid v, v ud u liear uabhägig, was ma auch direkt überprüfe ka durch α v + β v + γ u = 0 β = 0, α = 0, γ = 0. (d) W ist keie Uterraum, de 0 W, da das Gleichugssystem s 0 = 0 0 keie Lösug besitzt. Die erste ud die letzte Zeile (Gleichug) sid widersprüchlich. 5

6 Aufgabe 3: Gegebe ist das folgede lieare Gleichugssystem: x y + z = 8 x + y + z = b ( a)x + 3y + 3z = 3 9 Pukte (a) Für welche reelle Parameter a ud b besitzt das System (i) keie Lösug (ii) geau eie Lösug (iii) uedlich viele Lösuge? (b) Betrachte Sie das Gleichugssystem als System vo drei parameterfreie Ebeegleichuge. Was bedeutet da der obige Fall (iii) geometrisch? Bereche Sie für diese Fall die Lösugsmege. (c) Gebe Sie für obige Fall (i) die Lösugsmege des zugehörige homogee lieare Gleichugssystems a. Gibt es ichttriviale Lösuge? Welche Wert besitzt da die Determiate der Koeffizietematrix? Lösug : (Korrigiert: , ) x y z - 8 b a b 7 a a b zu (a) : (i) keie Lösug, we a = ud b, (ii) geau eie Lösug, we a, (iii) uedlich viele Lösuge, we a = ud b =. zu (b) : Lösugsmege: Aus de - Zeile erhält ma für a = ud b = das gestaffeltes System ud mit x = t als Parameter daraus die Lösugsmege x y +z = 8 3x +3z = 9 x 0 y = + t 0, t R. z 3 Geometrische Bedeutug: Die drei Ebee scheide sich i eier Gerade, gegebe durch die Lösugsmege. zu c) : Für die Fälle (i) ud (iii) falle die zugehörige homoge Systeme zusamme. Das gestaffelte System etspricht dem aus (b), we die rechte Seite durch 0 ersetzt werde. x Die Lösugsmege ist deshalb y = t 0, t R. z Für t 0 sid das ichttriviale Lösuge. Die Determiate der Koeffizietematrix verschwidet (besitzt de Wert 0), weil ihre Zeile liear abhägig sid. 6

7 Aufgabe 4: Bestimme Sie die Eigewerte ud Eigevektore sowie die algebraische ud geometrische Vielfachheit der Eigewerte der Matrix A = Pukte Lösug : Charakteristisches Polyom: det (A λe) = λ 0 λ 0 0 λ = ( λ)( λ) = 0 Eigewerte, Nullstelle des charakteristische Polyoms : λ =, (eifache Nullstelle) ; λ = λ 3 =, (doppelte Nullstelle). Eigevektore, Lösuge des homogee Gleichugssystems (A λe) v = 0 : λ = : Lösugsmege (Eigeuterraum) ist somit v R3 : v = t 0. 0 Damit hat der Eigewert λ = die algebraische ud geometrische Vielfachheit. λ,3 = : Lösugsmege (Eigeuterraum) ist also v R3 : v = t. 0 Folglich hat der Eigewert λ,3 = algebraische Vielfachheit ud die geometrische Vielfachheit. 7

8 Aufgabe 5: (a) Bestimme Sie de Grezwert (b) Utersuche Sie = (3b) + 3 ( + ) +. auf Kovergez (i Abhägigkeit vo b R). 6 Pukte Lösug : (a) ( + ) + = ( + ) ( + ) [ ( = + ) ] ( + ) [ = = e = e ( + ) ] ( + ) Variate (Kurzfassug): ( + ) + = ( + ) ( + ) = e (b) Quotiete-Kriterium: a + a = (3b) (+) (3b) = (3 b) b koverget, falls 9b < d.b. b < 3, diverget, falls b > 3. b = 3 k= + 3, diverget, harmoische Reihe. 8

9 Aufgabe 6: Führe Sie für die Fuktio f(x) = l(x a) (x a) (a R kostat) eie Kurvediskussio durch (Defiitios- ud Wertebereich, Symmetrie, Nullstelle, Mootoieitervalle, Extrema, Krümmugsverhalte (kovex/kokav) ud Wedepukte, (Grezwert-) Verhalte im Uedliche bzw. am Rad des Defiitiosbereichs). Pukte Lösug : f(x) = l(x a) (x a) Bemerkug: Die Rechug läßt sich bezüglich des Schreibaufwades erheblich verkürze, we ma statt f(x) die Fuktio g(x) = f(x + a) = l x diskutiert ud die berechete x-stelle x da um a lägs der x-achse verschiebt, d.b. zu dem berechete x-wert a addiert. Defiitiosbereich : Weil das Argumet des Logarithmus positiv sei muß, ist f(x) i D f = (a; ) defiiert (ud als Quotiet elemetarer Fuktioe mit positivem Neer dort überall) stetig. Symmetrie : Weder gerade och ugerade, weil f( x) f(x) ud f( x) f(x). Ableituge : f (x) = f (x) = f (x) = (x x a a) l(x a) (x a) = (x a) 4 l(x a) (x a) 3 x a (x a)3 ( l(x a)) 3(x a) (x a) 6 = 6 x a (x a)4 ( l(x a)) 4(x a) 3 (x a) 8 = l(x a) (x a) l(x a) (x a) 5 Hiweis für die weitere Rechug: : Wege x > a werde Nullstelle ud Vorzeiche der Fuktio ud der Ableituge bestimmt durch Nullstelle ud Vorzeiche des Zählers, weil der Neer stets positiv ist. Nullstelle ud Vorzeiche vo f(x) : f(x) = 0 l(x a) = 0 x a = e 0 x = + a ; f(x) > 0 l(x a) > 0 x a > e 0 x > + a ; f(x) < 0 l(x a) < 0 x a < e 0 x < + a. Damit ist f(x) egativ für x (a; + a), positiv für x ( + a; ) ud besitzt die eizige Nullstelle für x N = + a. 9

10 Extremwerte ud Mootoie (Nullstelle ud Vorzeiche vo f (x) ) : f (x) 0 l(x a) 0 l(x a) e x a e + a x. l(x a) Damit ist klar, daß f(x) i (a; e + a] mooto wächst, i [ e + a; ) mooto fällt ud folglich i x E = e + a ei relatives (lokales) Maximum mit dem Fuktioswert f( e + a) = l( e + a a) ( e + a a) = l e = e e besitzt. Weil i de offee Itervalle (a; e+a) ud ( e+a; ) strege Mootoie gegebe ist, besitzt f(x) i x E sei eideutig bestimmtes absolutes (globales) Maximum, isbesodere gilt f(x) für alle x D e f (Wertebereich!). Die Extremstelle läßt sich alterativ auch bestimme aus der otwedige Bedigug f (x) = 0 x = e + a ud bestätige mit der hireichede Bedigug f ( e + a) = l( e + a a) ( e + a a) 4 = e < 0. Wedepukte ud Krümmugsverhalte (Nullstelle, Vorzeiche vo f (x) ) : f (x) l(x a) 0 6 l(x a) 5 l(x a) 5 6 x a e 5 6 x 6 e 5 + a. Damit ist klar, daß f(x) i (a; 6 e 5 + a] kokav ist, i [ 6 e 5 + a; ) kovex ist ud folglich i x W = 6 e 5 + a eie Wedepukt mit dem Fuktioswert f( 6 e 5 + a) = l( 6 e 5 + a a) ( 6 e 5 + a a) = l e 5 6 = besitzt. e 5 e 5 3 Die Wedestelle läßt sich alterativ auch bestimme aus der otwedige Bedigug f (x) = 0 x = 6 e 5 + a ud bestätige mit der hireichede Bedigug f ( 6 e 5 + a) = 6 4 l( 6 e 5 + a a) ( 6 e 5 + a a) 5 = 6 6 e 5 > 0. Verhalte a de Greze des Defiitiosbereiches : ( ) l(x a) x a+ (x a) = = 0+ l(x a) ( ) x (x a) = x a = l Hospital x (x a) = x (x a) = 0+ Wertebereich : Weil f(x), f(x) = e ( ] x a+ W f = ;. e (ud f(x) stetig ist!) gilt für de Wertebereich 0

11 Aufgabe Z: Bereche Sie das ubestimmte Itegral dx x 3x + mit der Methode der Partialbruchzerlegug. 3 Pukte Lösug : dx x 3x + Nullstelle des Neers: x 3x + = 0 x, = 3 ± 9 8 4, x =, x = Asatz Partialbruchzerlegug: x 3x + = (x )(x ) = A x + B x Koeffizietebestimmug durch Eisetzte der Nullstelle: = A(x ) + B(x ) = (A + B)x + ( A B) x = A =, x = B =. Lösugsvariate: Koeffizietebestimmug durch Koeffizietevergleich: = 0 x + = (A + B)x + ( A B) A+B=0 A B= A =, B =. Itegratio: ( dx x 3x + = x + ) dx dx = x x + dx x = l x + l x + C = l x x + C