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1 ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow

2 Ihalt Eiführede Beispiele. Erste Defiitio. Beispiele: Zahlefolge i aufzähleder Schreibweise.3 Übuge.4 Aufgabe Lösuge zu.3 3 Lösuge zu Zahlefolge sid Fuktioe 5.6 Übuge dazu 6 Lösuge zu Rekursive Folge 8.8 Aufgabe dazu 8 Lösuge zu.8 9 Lieare Folge Arithmetische Folge 0. Defiitio eier lieare Folge 0. Aufgabe dazu.3 Die wichtige arithmetische Eigeschaft lieare Folge.4 Aufgabe 6 Lösuge zu. 7 Lösuge zu Arithmetische Folge höherer Ordug 3 3. Arithmetische Folge. Ordug 3 3. Arithmetische Folge 3. Ordug Aufgabe 6 Lösuge 7-30 Die Lösuge zu de meiste Aufgabe ud das Kapitel 3 befide sich ur auf der Mathematik-CD. Die Fortsetzug (Geometrische Folge) folgt i der Datei Folge Nr. 400.

3 Folge Eiführugsbeispiele. Erste Defiitio Eiführede Beispiele Eie Zahlefolge ist eie geordete ud umerierte Liste vo Zahle, die etweder i der aufzählede Schreibweise oder durch eie Berechugsvorschrift gegebe sei ka.. Beispiele Zahlefolge i der aufzählede Schreibweise: (a) ; 4; 6; 8;... Diese Folge besteht aus alle gerade Zahle i steigeder Folge, begied bei. (b) ; 4; 9; 6;... Es hadelt sich um die Folge der Quadratzahle, begied bei. (c) ; 3; 5; 7; ;... Es hadelt sich um die Folge aller Primzahle. Es gibt dazu keie algebraische Bildugsvorschrift. (d) ; ; ; ;... Dies ist die Folge aller Stammbrüche. Sie habe im 3 4 Zähler stets die Zahl. (e) 3 ; 7 ; ; 5 ;... Dies ist eie steigede Folge vo Zahle mit dem Abstad 4, begied bei 3. (f) 5; 5; 5; 5;... Die ist eie alterierede Folge (d.h. mit wechselde Vorzeiche), bestehed ur aus 5 ud -5. (g) 5; 5; 5; 5;... Diese Folge beschreibt ma wie (f), sie begit ur mit 5 ud ist daher eie adere Zahlefolge!! (h) 4 ; ; ; ;... Dies ist die Folge der Zahle, die aus 4 durch fort- gesetzte Halbierug etsteht. (i) ; ; ; 3 ; 5 ; 8 ;... Diese Folge begit mit zwei Eise, da folgt jeweils die Summe der beide Vorgäger 3 4 (j) ; ; ; ;... Die Folge begit mit. Da erhöhe sich Zähler ud Neer jeweils um. (h) 00 ; 99 ; 9 ; 73 ;... Die Folge begit mit 00. Da wird jeweils eie Kubikzahl subtrahiert, begied mit 3.

4 Folge Eiführugsbeispiele.3 Übuge mit Lösuge auf Seite 3 Gegebe sid die erste Glieder eier Zahlefolge. Schreibe die ächste 4 dazu ud gib die Bildugsvorschrift mit Worte a. (a) 8; 4; 0; 4;... (b) ; 6 ; 4 ; 3 ;... (c) 8 ; ; 4 ; 7 ;... (d) 8 ;4 ; 0 ; 6 ;... (e) 60 ; 59 ; 56 ; 5;... (f) 4 ; 3 ; 0 ; 5 ;.. (g) 3 ; 9 ; 7 ; 8; (h) 78 ; 7 ; 54 ; 0 ;... (i) 5 ; 0 ;5 ; 0 ;... (j) 5 ; 0 ; 0 ; 40 ;... (k) ; ; 3 ; 5 ;... (l) 4 ; ; 6 ; 3 ;... ; ; ; ; (m) Aufgabe Gegebe sid die erste Glieder eier Zahlefolge. Schreibe die ächste 4 dazu ud gib die Bildugsvorschrift mit Worte a. (a) ; ; 3 ; 5 ;... (b) ; ; ; ; (c) 40 ; 8 ; 6 ; 4 ;... (d) ; ; ; ; (e) 99 ; 96 ; 9; 84 ;... (f) ; ; ; ; (g) ; ; 3 ; 5 ; 8 ;... (h) 36 ; 9 ; ; ; (i) 0;6; 6;8;... (j) ; ; ; 0 ; (k) 4 ; 5 ; 8 ; 3 ; (l) ; ; ; ;

5 Folge Eiführugsbeispiele 3 Lösuge zu.3 (a) 8; 4; 0; 4; 8 ;;6;0 (blau die eue Glieder der Folge) Aufsteigede Folge mit Abstad 4, begied bei 8. 3 (b) = ; 6 = ; 4 = ; 3 = ; ; = ; ; = ;... (rot zur Erklärug) Die Folge besteht aus Brüche mit dem Zähler ud dem Neer,, 3 usw. (c) 8 ; ; 4; 7; 0; 7; 4 ; ;... Fallede Folge mit der Differez 7, begied bei 8. (d) 8;4; 0 ; 6; 3 ; 38 ; 44; 50 ;... Steigede Folge mit der Differez 6, begied bei 8. (e) 60 ; 59 = 60 ; 56 = 60 4 ; 5 = 60 9 ; 44 = 60 6 ; 35 ; 4 ; ;... Die Folge etsteht aus 60 durch Subtraktio der Quadratzahle 0,, 4, 9, 6,... (f) 4 ; 3 = 4 + ; 0 = ; 5 = ; = 8; ; 37; 50;... Die Folge etsteht aus 4 durch Additio der Quadratzahle 0,, 4, 9, 6,... (g) 3; 9; 7; 8; 43 ; 79 ; 87 ; 656;... Es hadelt sich um Dreierpoteze. (h) 78 = 8 3 ; 7 = 8 9 ;54= 8 7 ; 0 = 8 8; 6 ; 648 ; 59 ; 0368 Die Dreierpoteze werde vo 8 subtrahiert. Oder diese Lösug: = = = usw. (i) 5; 0;5; 0; 5 ; 30 ;35; 40;... Die Folge besteht aus gazzahlige Vielfache vo 5. Die geradzahlige Vielfache erhalte ei egativem Vorzeiche. (j) 5; 0;0; 40; 80 ; 60 ; 30 : 640 ;... Alterierede Folge, begied mit 5. Fortgesetzte Multiplikatio mit (-). (k) ; ; 3; 5; 7; 9; ; 3 ; 5 ;... Es wird fortlaufed subtrahiert, begied bei (l) = = = 3 = = ; = ; = ; ; ; ; ; 6 ; ; ;... Etweder: 4 dividiert durch Zweierpoteze ; ; 4 ; 8 ; 6 ; 3 ; usw. Oder 4 wird fortgesetzt durch dividiert. Zusätzlich alterieredes Vorzeiche (m) ; = ; ; ; = ; = ; ; = Begied mit 4 3 wird fortgesetzt im Zähler, im Neer 3 dazuaddiert.

6 Folge Eiführugsbeispiele 4 Lösuge zu.4 (blau = eu, rot = Erklärug) (a) ; ; 3 ; 5 ; 7; 9; ; 3;... Fallede Folge durch fortgesetzte Subtraktio vo, begied mit. (b) ; ; ; ; = ; ; 4; 8 ; Wachsede Folge durch fortgesetzte Multiplikatio mit, begied bei 6 (c) 40 ; 8 = 40 ; 6 = 8 ; 4 = 6 ; 8; 0; 3; 44 Fallede Folge durch fortgesetzte Subtraktio vo, begied bei (d) ; = ; ; = ; ; = ; ; = ; Folge vo Bruchzahle, dere Zähler um ud der Neer um vergrößert werde, begied bei. 4 (e) 99 = 00 ; 96 = 00 4 ; 9 = 00 9; 84 = 00 6 ; 75 ; 64 ; 5; 36 ;... Vo 00 wird die Folge der Quadratzahle subtrahiert. 9 (f) ( ) 8 ( ) 3 8 ( ) 4 ( ) 5 3 = ; ( ) ; = ; ; = = ; = ; ; 3 4 Der Bruch wird poteziert ud jeder folgede Bruch ist der Kehrwert des 3 Vorgägers. (g) ; ; 3 = + ; 5 = + 3; 8 = 3+ 5; 3 = ; ; 34 ; 55 ;... Die erste beide Zahle sid ud, da ist jede weitere Zahl die Summe ihrer beide Vorgäger (h) ; ; ; ; 9 ; ; ; ;... Die Folge begit mit 36, da wird fortlaufed durch 4 dividiert. (i) 0 = + ( ) ;6 = + ( ) ; 6 = + ( ) 3 ;8 = + ( ) 4 ; 30 = + ( ) 5 ; = + ( ) ; 6 = + ( ) ; 58 = + ( ) Zur Zahl werde gazzahlige Poteze vo (-) addiert (j) ; = ; ;0 = ; ; = ; = ; = Die Folge begit mit 5. Da wird fortgesetzt der Zähler um 5 verkleiert, der 8 Neer um vergrößert. (k) = 4 + = = = ; = = 9 + 4; 5 ; 8 ; 3 ; 9 ; 40 ; 53 Die Folge begit mit 4, da wird fortgesetzt die Folge der ugerade Zahle addiert (l) = = = ; ; ; ; 3; ; ; ;... Die Folge begit mit 6 7. Da wird fortgesetzt mit 3 multipliziert.

7 Folge Eiführugsbeispiele 5.5 Zahlefolge sid Fuktioe Eie Fuktio ist eie eideutige Zuordug: Jeder Zahl des Defiitiosbereiches wird ei eideutiger Fuktioswert zugeordet. Dabei wird die Grudmege der reelle Zahle zugrude gelegt. Der Defiitiosbereich ist die Teilmege der Grudmege, der auch wirklich Fuktioswerte zugeordet werde (köe). Nimmt ma als Grudmege die Mege N der atürliche Zahle, oder aber o = { 0;;;3;... }, da wird jeder atürliche Zahl ei Fuktioswert zugeordet. Ma et dies da auch Zahlefolge. (a) Nehme wir de Fuktiosterm f() = mit G= N, da erhalte wir diese Folge: f() = ; f() = 4 ; f(3) = 6 ; f(4) = 8 usw. Meistes schreibt ma dafür da kürzer a =, a = 4 ; a 3 = 6, a 4 = 8 usw. Die war das Beispiel (a) vo Seite. (b) Oder f() = bzw. a = ergibt a =, a = 4, a 3 = 9, a 4 = 6 usw. Dies war Beispiel (b) vo Seite. Hier eie Reihe weiterer Fuktiosterme für Zahlefolge: (c) f() = 4 bzw. a = 4. Dies ergibt die Folge 3 ; 7 ; ; 5 ;... (d) (e) (f) (g) (h) (i) f() = a = 50 5 ergibt a = 45; a = 40; a3 = 35; a4 = 30;... a = ergibt a = ;a = 0;a3 = 3;a4 = 8 usw. 6 6 a = ergibt a = 6;a = 8;a 3 = ;a 3 4 = 4; a = ergibt a = ; a = = ; a 3 = existiert icht!! a4 = 3 ; a5 = 8 ; a 6 = ;... 3 Hier gibt es für die Zahl 3 keie Fuktioswert, d.h. das 3. Glied der Folge existiert icht. Sie hat ausahmsweise eie eigeschräkte Defiitiosbereich D = N\ 3. { } a = ( ) ist eie gaz iteressate Folge. Für gerades wird der Wert +, für ugerades dagege : a = ; a = ; a3 = ;... usw. a = ( ) (+ 5) Der Faktor ( ) macht die Folge zu eier alterierede Folge, d.h. die Glieder habe abwechseld positives ud egatives Vorzeiche: a = 7 ; a =+ 9 ; a3 = ; a4 = 3 usw.

8 Folge Eiführugsbeispiele 6 (j) + a ( ) ( 5) = +. Vergleiche bitte die Folge (i) ud (j). Der eizige Uterschied ist der Faktor ( ) bzw. ( ) + Die Wirkug sieht ma i eier Tabelle am beste: ( ) ( ) (+ 5) ( ) + + ( ) (+ 5) We gerade ist, da ist + ugerade ud umgekehrt. Die Glieder der Folge i (i) ud (j) habe also stets das etgegegesetzte Vorzeiche: (k) Drei gaz wichtige Folge sid () a = Sie liefert alle gerade Zahle () a = Sie liefert alle ugerade Zahle. (3) a = + Sie liefert ebefalls ur ugerade Zahle, begied allerdigs ab a = 3. Läßt ma hier jedoch bereits ab 0 laufe, da erhält ma wege a0 = 0 auch alle ugerade Zahle..6 Übuge dazu Bereche jeweils 5 Glieder dieser Folge. (a) a = 3 (b) a = 4 0 (c) a 6 = (d) a = + 3 (e) (g) (i) 3 4 a = 8 (f) a = ( ) 4 + ( ) a = (h) a = a = ( ) (j) a = 4 8 a = (l) = 3 (k) (m) (o) (q) π a = + 4 () a = si( ) 4 ( ) + ( ) a = (p) a = a = ( ) (r) a = + a

9 Folge Eiführugsbeispiele 7 Lösuge zu.6 Nur auf der CD.

10 Folge Eiführugsbeispiele 8.7 Rekursive Folge Eie Folge heißt rekursiv, we ma keie direkte Möglichkeit hat, beliebige Glieder der Folge (z.b. a 37 ) zu bereche, soder we ma die Glieder der Folge aus seie Vorgäger berechet. Beispiele: (a) a = 5; a = a + 3. Hier berechet ma a = a + 3 = = 8. oder a 3 = a + 3 = =. Aber a 37 = a =? We ma a 36 och icht ket, da läßt sich auch a 37 icht bereche. (b) a = ; a = -a h- Also: a = - a = - Da a 3 = - a = a 4 = - a 3 = - usw. (c) a = 0 ; a = a Also: a = a = 0 Da a = a = 5 (d) a = a = 5 usw. a = ; a = 3a - Also a = 3 = Da a 3 = 3 3 = 0 a 4 = 0 4 = - 4 usw. (e) a = ; a = ; a = a - + a - Also a 3 = a + a = + = Da a 4 = a + a 3 = + = 3 a 5 = a 3 + a 4 = + 3 = 5 usw..8 Rekursive Folge - Aufgabe (a) a = ; a = (b) a = ; a = + a a 3 (c) a = 4 ; a+ = a (d) a = ; a = 4 a (e) a = ; a a = (f) a = ; a = ( ) a a a (g) a = ; a = (h) a = ;a = ; a = a a a (i) a = 4 ; a = a + (k) a = 0 ; a =

11 Folge Eiführugsbeispiele 9 Lösuge zu.8 Nur auf CD

12 Folge Arithmetische Folge 0 Didaktische Vorbemerkug Lieare Folge - Arithmetische Folge Ma ka die Eiführug dieser spezielle Folge auf zwei prizipiell verschiedee Arte mache. Etweder ma defiiert eie arithmetische Folge durch die kostate Abstäde ihrer Glieder, oder ma geht vom lieare Fuktiosterm aus. Ich beschreite hier de letzte Weg.. Defiitio eier lieare Folge Eie Folge, die durch eie lieare Fuktiosterm wird, heißt eie lieare Folge. a = d + c defiiert Beispiele: (a) (b) a = ergibt a = ;a = 0;a3 = ;a4 = ;a5 = 3 usw. a = + ergibt a = 3;a = 5;a3 = 7;a4 = 9;a5 = usw. Nu schreibe ich zwei lieare Gleichuge auf: () y = x ud () y = x +, Diese Gleichuge stelle Gerade im x-y- Achsekreuz dar. Auf ihe liege die Pukte, die zur Folge gehöre: Bei (a): ( );( 0 );( 3 );( 4 );( 5 3) usw. Bei (b): ( 3 );( 5 );( 3 7 );( 4 9 );( 5 ) usw. a =- y=x- a = - Ma erket, daß die zur Folge gehörede Pukte ( a ) ; ( a ) ;...; ( a ) ;... auf de Gerade liege, die zu de x-y-gleichuge gehöre. y=x+ Das Schaubild eier Zahlefolge ist also ur eie Mege eizeler Pukte. Weil diese Pukte auf eier Gerade liege, ist der Begriff lieare Folge verstädlich.

13 Folge Arithmetische Folge (c) (d) a = 0,5 + 5 a = 4,5;a = 4;a3 = 3,5;a4 = 3;a5 =,5 usw. a = 7 3 a = 4; a = ; a3 = ; a4 = 5; a5 = 8 usw. Die Gleichuge der zugehörige Gerade sid (3) y = x+ 5 ud (4) y = 3x + 7 Hier die zugehörige Schaubilder. y = x+ 7 y = x+ 5 a = + 5 a = + 7. AUFGABEN Bereche die erste 5 Glieder der lieare Folge ud erstelle ei Schaubild: 3 (a) a = 5 (b) a = (c) a = 4+ (d) a =

14 Folge Arithmetische Folge.3 Die wichtige arithmetische Eigeschaft eier lieare Folge Das Beispiel (a) i. ethielt die Folge a = mit de Werte a = ; a = 0; a = ; a = ; a = 3 usw Wir beobachte: Das Beispiel (b) i. ethielt die Folge a = + mit de Werte a = 3;a = 5;a3 = 7;a4 = 9;a5 = Wir beobachte: Die Folge a = 3+ 5 hat die Werte a = 8; a = ; a3 = 4; a4 = 7; a5 = 30;... Wir beobachte: Die Folge a = hat die Werte a = ;a = ;a = ;a = 0;a = ; Wir beobachte Zusammegefaßt: Der Abstad, also die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder ist bei diese lieare Folge immer gleich groß, ud zwar so groß, wie der Koeffiziet vo agibt: Bei a = ist der Abstad aufeiaderfolgeder Glieder. Bei a = + ist der Abstad aufeiaderfolgeder Glieder. Bei a = 3+ 5 ist der Abstad aufeiaderfolgeder Glieder 3. Bei a = ist der Abstad aufeiaderfolgeder Glieder. Das läßt de Verdacht aufkomme, daß das immer so ist: Beweis: Bei eier lieare Folge ist der Abstad (die Differez) aufeiader folgeder Glieder immer kostat. Daher heiße solche Folge auch arithmetische Folge. Eie lieare Folge hat eie Fuktiosterm der Form a = d + c. Da lautet das ächste Glied: a = ( ) d c = d + d + c. Wir bereche die Differez: a ( ) ( ) a = d + + d + c d + c = d Ergebis: Die Differez aufeiaderfolgeder Glieder eier lieare Folge ist kostat ud zwar so groß, wie der Koeffiziet vo agibt. Bemerkug: Dieser Koeffiziet ist bei der etsprechede x-y-geradegleichug y = mx + die Steigugszahl m.

15 Folge Arithmetische Folge 3 Nu köe wir atürlich auch sichergehe, daß dies auch für Folge gilt, bei dee d eie egative Zahl ist. Schaue wir us dazu zwei scho gezeigte Beispiele aus. a: (c) a = 0,5 + 5 mit de Werte a = 4,5;a = 4;a3 = 3,5;a4 = 3;a5 =,5... 4,5 4 3,5 3,5... 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (d) a = 7 3 mit de Werte a = 4;a = ;a3 = ;a4 = 5;a5 = Grudaufgabe: Beweise, daß die Folge a mit eie arithmetische Folge ist. a = 48 6 BEWEIS: ( ) ( ) d= a+ a= 48 6 (+ ) 48 6 d = = 6 Weil die Differez aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist, liegt eie arithmetische Folge vor. Aus dieser schöe Eigeschaft läßt sich eie Berechugsformel herleite: a a a a a a a + d + d 3 + d 4 + d 5 + d 6 + d 7 a3 = a+ d a7 = a5 + d a4 = a+ 3d a5 = a + 3d a6 = a+ 5d a7 = a3 + 4d Es gibt eie herrliche Gedächtisstütze für die dargestellte Zusammehäge, ämlich das Lattezau-Modell. Betrachte wir die Gleichug a6 = a + 4d. Die bedeutet a6 a = 4d. Ud das weiß u doch jeder: Zwische der 6. ud der. Latte sid 4 Zwischeräume! Oder a4 = a+ 3d a4 a = 3d: Zwische der. ud 4. Latte sid doch drei Zwischeräume.

16 Folge Arithmetische Folge 4 Dies ka ma für folgede Aufgabestellug ausütze : Grudaufgabe: Vo eier arithmetische Folge ket ma a4 = 7 ud a0 = 59. Bereche die erste 5 Glieder der Folge. LÖSUNG: Nach der Lattezaumethode folgt 6d = a a = 59 7 = 4 d = Aalog: a4 = a + 3d a = a4 3d = = 7 = 4 Also Das gaze läßt sich verallgemeier: Da gilt auch a a = ( ) d bzw. a = a + ( ) d Für eie beliebige arithmetische Folge gilt: am a = (m ) d a a = ( ) d a = a + ( ) d Beispiel: Aus a = 4 ud d= 7 folgt a = 4 + ( ) 7= = 7 Dies ist der Fuktiosterm aus dem obige Beispiel! Noch eiige Beispiele: (e) Eie arithmetische Folge ist gegebe durch a 3 = 6 ud a 0 = Bereche a ud d ud stelle die Berechugsformel für a auf. Lösug: 7d = a0 a3 = 36 6 = 4 d = 6. a = a3 d = 6 ( ) = 6 + = 8 a = a + ( ) d= 8 + ( ) ( 6) = = 4 6.

17 Folge Arithmetische Folge 5 (f) Prüfe ach, ob eie arithmetische Folge vorliegt ud stelle da die Berechugsvorschrift auf: a = 86 ; a = 38 ; a 5 = 74 LÖSUNG: (Wir müsse überprüfe, ob die Differeze kostat sid:) a a = = 3 = d a a = = We eie arithmetische Folge vorliegt, muß a5 a = 3d sei: 3d = 396 d = 3. Dies stimmt, also liegt eie arithmetische Folge vor. Ud es gilt: a = a + ( ) d = 86 + ( ) 3 = = (g) Prüfe ach, ob eie arithmetische Folge vorliegt ud stelle da die Berechugsvorschrift auf: a 3 = 900 ; a 7 = 600 ; a 4 = 075 LÖSUNG: a7 a3 = 4d = 300 d = 75 () a4 a7 = 7d = = 55 d = 75 (). Die Rechug () ud () führe zum selbe Wert vo d, also liegt eie arithmetische Folge vor mit a = a3 d = 900 ( 75) = 050 ud a = a + ( ) d = ( ) ( 75) = = (h) Zeige, daß jetzt keie arithmetische Folge vorliegt: a = 30 ; a 4 = 39 ; a 7 = 504 Beweis: a4 a = = 7 = d d = 36 a7 a4 = = = 3d d = 37 Weil die zweite Berechug vo d zu eiem adere Ergebis führt, ka keie arithmetische Folge vorliege! (Ma muß sich auch de passede Text zu eier solche Rechug eifalle lasse! )

18 Folge Arithmetische Folge 6.4 Aufgabe () Beweise, daß eie arithmetische Folge vorliegt. Stelle eie Berechugsvorschrift auf. a) a 3 = - 8 ; a 5 = 6 ; a 8 = 07 b) a = 49 ; a 6 = 405 ; a 0 = 56 c) a = 96 ; a 6 = 6 ; a 5 = 7 d) a 3 = 08 ; a 0 = 73 ; a 0 = 3 ; a 3 = () Zeige, daß keie arithmetische Folge vorliegt. Wie müßte a laute, we eie arithmetische Folge vorliege sollte? a) a 5 = 450 ; a 7 = 506 ; a = 674 b) a 6 = 630 ; a 8 = 560 ; a = 455 (3) Gegebe sid die arithmetische Folge a ud b. Prüfe ach, ob c = a + b ; d = a - b ; e = 3a ud f = a b arithmetische Folge sid. für a = 6 ud b = + 5 (4) Gegebe sid 3 Glieder eie Folge. Setze so weig wie ötig Zahle dazwische, damit eie arithmetische Folge etsteht. Bereche da a ud a. a) a 6 = ; b = 56 ; c = 07 b) b = 388 ; a 5 = 340 ; c = 80 c) b = - 84 ; c = - 39 ; a 0 = 4 (5) Ist b ei Glied der gegebee Folge? a) a = ; b = 808 b) a = 40 8 ; b = -90 c) a 3 = 64 ; a 6 = 56 ; b = 640 d) a 0 = 5 ; a 4 = - 5 ; b = 75 (6) Beweise allgemei, daß eie Folge der Form keie arithmetische Folge ist. f = a + b+ c Lösuge auf der CD

19 Folge Arithmetische Folge 3 3 Arithmetische Folge höherer Ordug Nur auf CD!

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