Kombinatorik und Polynommultiplikation

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Alexander Dittmar
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1 Kombiatorik ud Polyommultiplikatio 3 Vorträge für Schüler SS 2004 W Pleske RWTH Aache, Lehrstuhl B für Mathematik 3 Eiige Zählprizipie ud Ausblicke Wir habe bislag gesehe, was die Multiomialkoeffiziete abzähle, wir habe aber och icht gesehe, wie ma sie ausrechet, obscho wir bei de Biomialkoeffiziete bereits eie gemischt additiv-multiplikative Beziehug gefude hatte Wir müsse us damit abfide, dass ma machmal ur Azahlformel bekommt ud icht ubedigt Abzähluge Um us auf das Beispiel eizustimme, begie wir mit eier Übug Uterrichtsübug: Zeige, dass Pot({1, 2,, } Pot({1, 2,, } : T {1, 2,, } T eie bijektive Abbildug ist ud folgere ( ( k k Diese Idetität zwische Biomialkoeffiziete wolle wir u verallgemeier Satz 31 Sei N, 0 k, l mit r : k + l 0 Da gilt: ( ( ( ( l k l r k r Beweis Sei Pot k ( : {M {1, 2,, } die folgede Abbildug: M k} Wir betrachte κ : Pot k ( Pot l ( {0, 1} : { 1, falls M N {1, 2,, }, (M, N 0, sost 1

2 Wir bilde auf zwei Arte die Summe über alle κ((m, N: Zum eie summiere wir erst über alle M Pot k ( bei festgehalteem N Pot l (: Es kommt jedesmal ( l r heraus De jedes mögliche M ist die Vereiigug des Komplemetes vo N mit eier r-elemetige Teilmege vo N Die Gesamtsumme ist somit ( l r( l Zum adere summiere wir erst über alle N Pot l ( bei festgehalteem M Pot k (: Es kommt jedesmal ( k r heraus, so dass die Gesamtsumme ( k ( r k ist Die Behauptug folgt daraus q e d Ma beachte: Für de Fall l k kommt ( ( k k heraus Für de Fall l k + 1 kommt ( ( k+1 k k k+1 heraus Also bekommt ma: Folgerug 32 ( k ( 1 ( k+1 k(k 1 1! k!( k! Beweis Übug (mit Hilfe vollstädiger Iduktio q e d Nu ist es auch leicht, de umerische Wert der Multiomialkoeffiziete zu bereche Satz 33 Sei, a N ud 0, k 2,, k a mit + + k a Da gilt (!,, k a!k 2! k a! Beweis Ma ka de Beweis durch vollstädige Iduktio ach a führe Der Iduktiosafag a 2 ist obe bereits behadelt De formale Iduktiosschritt lasse wir als Übug, bei der ma sich vo dem Fall a ( 3, de wir jetzt behadel, ispiriere lasse ka:,k 2,k 3 ist der Koeffiziet vo x y k 2 zk 3, we ma (x+y +z vollstädig ausmultipliziert Wir setze X : x+y ud stelle fest, dass der Koeffiziet vo X k 3 zk 3 i der Etwicklug vo (X + z gleich ( k 3 ist Wieder ach dem Fall a 2 ist der Koeffiziet vo x yk 2 i X k 3 X+k 2 gleich, so dass ma erhält: ( k1 +k 2 ( ( ( k1 + k 2, k 2, k 3 k 3! ( + k 2!k 3! ( + k 2!!k 2! 2!!k 2!k 3!

3 q e d Es gibt eie weitere Zugag zur Bestimmug der Multiomialkoeffiziete, welcher zwar icht so schell zum Ziele führt, aber dafür zur Aalyse vo bestimmte uedliche Folge heragezoge werde ka Defiitio 34 Eie uedliche Folge ist eie Abbildug a : Z 0 Q, wo Q die Mege der Brüche gazer Zahle bezeichet Wir lasse usere Folge bei Null afage statt bei Eis, weil da usere Formel eifacher werde Häufig sid die Folge sogar gazzahlig Hier eiige Beispiele: Beispiel 35 1 c : Z 0 Q : a 1 ist eie kostate Folge Multipliziert ma sie (also alle Folgeglieder mit eier feste Zahl z, so hat ma eie allgemeie kostate Folge 2 ( i : Z 0 Q : ( i ist die i-te Biomialfolge 3 ( (,,k a :,,k a ist eie Multiomialfolge 4 i : i ist eie Folge, die Folge der i-te Poteze 5 ist auch eie Folge, aber sie fällt aus dem Rahme userer Utersuchuge heraus, weil sie zu schell awächst Die Sache wird dadurch iteressater, dass es Beziehuge zwische de diverse Folge gibt Es gibt Kostruktioe, die aus Folge eue mache, etweder eifachere (we ma aalysiere will oder kompliziertere (we ma kostruiere will Zuächst ka ma durch Differezebildug aufeiaderfolgeder Folgeglieder eie eue Folge erzeuge Defiitio 36 Ist a eie Folge, so ist die erste Differezefolge a defiiert durch ( a : a +1 a Beispiel

4 2 ( ( ( ( Ma erket de Afag des Pascalsche Dreiecks i etwas ugewöhlicher Positio ud kommt zu der richtige Vermutug: ( k ( k 1 Übug: Beweise diese Vermutug Soweit zur Aalyse Jetzt zur Kostruktio Defiitio 38 Ist a eie Folge, so ist die erste Summefolge Σa defiiert durch (Σa : a 0 + a a 1 ((Σa 0 : 0 als leere Summe Satz 39 Für jede Folge a gilt: (Σa a Beweis (Σa a a 1, also ( (Σa (a a (a a 1 a q e d Folgerug 310 ( ( Σ k k 1 Hier ist eie kleie Awedug des gerade etwickelte Folgekalküls Beispiel 311 Wir zeige ( ( ( 2

5 wie folgt: ( ( Wir wede de Summeoperator auf beide Seite a ud beachte die eifache Regel Σ(a + b Σa + Σb, wo a, b Folge sid Die Behauptug folgt Übug: Fide eie Formel für die Summe der dritte Poteze Wir beede de Kurs mit eier tiefer gehede Eisicht, mit der Georg Cator zum Ede des 19 Jahrhuderts die Megelehre zu eiem eigestädige Gebiet der Mathematik gemacht hat Defiitio 312 Eie Mege M heißt abzählbar uedlich, falls eie Abzählug, also eie bijektive Abbildug α : N M existiert Eie uedliche Mege, die icht abzählbar ist, heißt überabzählbar Satz 313 Die Mege der edliche Teilmege vo N ist abzählbar Die Mege aller Teilmege vo N, also die Potezmege vo N ist überabzählbar Beweis Wir repräsetiere die Teilmege durch ihre charakteristische Abbilduge Also müsse wir zeige, dass {0, 1} N überabzählbar ist, icht jedoch {a {0, 1} N es existiert ei N mit a i 0 für i > } Die Abbildug, die jeder solche Folge a die Zahl a i 2 i 1 zuordet, ist aber eie bijektive Abbildug auf Z 0 Addiert ma och 1, so hat ma die gewüschte Abzählug Jetzt zum Fall {0, 1} N Wir führe de Beweis, idem wir die Aahme, die Mege sei abzählbar uedlich, zu eiem Widerspruch führe Sei also a : N {0, 1} N die Abzählug Da kostruiere wir ei b {0, 1} N wie folgt: { 1, falls a(ii 0, b i : 0, falls a(i i 1 Damit ist b vo jedem der a(i verschiede, also ka a icht bijektiv sei q e d 5

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