Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

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1 Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassug vom 13. Februar 2006 Mathematik für Humabiologe ud Biologe 129

2 9.1 Stichprobe-Raum 9.1 Stichprobe-Raum Die bisher behadelte Beispiele vo Naturvorgäge oder Experimete ware determiistisch, d. h. bei gleicher (Versuchs-) Aordug wird das Ergebis reproduziert. Wir iteressiere us jetzt für die Klasse icht determiistischer Experimete, die sogeate zufällige oder stochastische Experimete, wie z.b. die Rekombiatio der Allele bei geschlechtlicher Vermehrug, das Auftrete vo Mutatioe, die Bestimmug der Blutgruppe vo Notfallpatiete oder der Ergebis eies Müzwurfs. DEFINITION Die Mege aller (theoretisch) mögliche Ergebisse eies Zufallsexperimets heißt der Stichproberaum oder Ergebisraum. Ei Elemet! 2 heißt Stichprobe oder Elemetarereigis. Eie Teilmege A et ma Ereigis. heißt das sichere Ereigis, die leere Mege ; das umögliche Ereigis. Zwei Ereigisse A; B heiße disjukt, we A ud B kei gemeisames Elemet ethalte. Ereigis werde häu g durch eie Eigeschaft A beschriebe wird. Diese Eigeschaft ka ma mit der Mege f! 2 j! erfüllt Ag gleichsetze. Im Folgede wede die eiige megetheoretische Bezeichuge verwedet: die Vereiigug A ud B, der Durchschitt vo A ud B, A [ B := f! 2 j! 2 A oder! 2 Bg, A \ B := f! 2 j! 2 A ud! 2 Bg, A := A c := f! 2 j! =2 Ag, das Komplemet oder Gegeereigis vo A, ud wie bereits i de erste Kapitel beutzt : A ist Teilmege vo B. Zum Beispiel gilt also A B : Jedes Elemet vo A ist auch Elemet vo B, A ud B sid disjukt () A \ B = ;. BEISPIEL 1 (Der Würfel) Der Stichproberaum ist f1; 2; 3; 4; 5; 6g. 130 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

3 Der Stichproberaum ist also RH; RH; RH; R H. Stichprobe-Raum 9.1 Das Ereigis der Wurf hat 3 oder mehr Auge wird durch die Mege A = f3; 4; 5; 6g dargestellt, das Gegeereigis ist A = f1; 2g. BEISPIEL 2 (Zusammehag vo Rauche ud Herzifarkt) I eier Kartei verstorbeer Patiete sid u.a. die Merkmale Raucher / Nicht-Raucher sowie Todesursache Herzifarkt / Nicht-Herzifarkt eigetrage. Ma ist ur a de folgede vier Ergebisse iteressiert, die die Zugehörigkeit zu eier der Gruppe beschreibe: RH RH RH R H Raucher ud Todesursache Herzifarkt. Nicht-Raucher ud Todesursache Herzifarkt. Raucher ud Todesursache Nicht-Herzifarkt. Nicht-Raucher ud Todesursache Nicht-Herzifarkt. BEISPIEL 3 Ei Gelocus sei durch die Allele G ud g bestimmt, der Ergebisraum bei eier Paarug besteht aus de Geotype GG; Gg; gg ( Gg ud gg sid biologisch icht uterscheidbar), das Ereigis homozygot besteht aus fgg; ggg. WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME 131

4 9.2 Wahrscheilichkeit 9.2 Wahrscheilichkeit Gesucht ist ei Modell, das die Zufälligkeit beschreibt. Dies wird durch eie Fuktio P : A 7! P (A) beschriebe. Für jedes Ereigis A gibt die Zahl P (A) a, wie wahrscheilich das Eitrete vo A ist. Experimetell ka ma ei Modell für P (A) erhalte, idem ma -mal das Experimet wiederholt. Ist h (A) die Azahl der Stichprobe, i dee A eitritt, so et ma r (A) := h (A) die relative Häu gkeit für A. Es mußda r (A) ' P (A) für groß gelte. Dabei sid folgede Eigeschafte vo P zu erwarte: DEFINITION Ist P : A 7! P (A) eie Fuktio mit P () = 1, ud P (A) > 0 für alle Ereigisse A P (A [ B) = P (A) + P (B) für alle disjukte Ereigisse A; B, so heißt ei Wahrscheilichkeits-Raum ud P (A) die Wahrscheilichkeit für das Ereigis A. SATZ Eigeschafte vo P. (i) Ist A B, so gilt P (A) 6 P (B). Somit gilt P (A) 2 [0; 1] für jedes Ereigis A. (ii) Für das Gegeereigis A vo A gilt P A = 1 P (A). (iii) Ist A = f! 1;! 2 ; ;! g, so ist X P (A) = P (f! j g). j=1 BEMERKUNG 1 Wahrscheilichkeite werde oft i Prozet ausgedrückt. 132 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

5 Wahrscheilichkeit 9.2 BEMERKUNG 2 zu kee. Ist edlich, so geügt es ach (iii) die Zahle P (!) := P (f!g) für! 2 BEISPIEL 1 (Uverfälschter Würfel) Es gilt P (!) = 1 6 für alle! 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Für A = f3; 4; 5; 6g ist also P (A) = P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 4 6 = 2 3 ' 0:66. Die Agabe (i % ) werde i eie Vierfel- BEISPIEL 2 (Rauche ud Herzifarkt) dertafel zusammegefasst. Das Ereigis Raucher ist durch gegebe. Es ist R R P H 0:39 0:28 0:67 H 44:61 54:72 99:33 P R = RH; RH P (R) = P (RH) + P RH = 0: :61 = 45%. Diese Zahle wurde Afag 1960 erhobe. Die kombiatorische Formel aus Kap. 1 lasse sich u auch wahrscheilichkeitstheoretisch deute. Dazu BEISPIEL 3 Sei die Mege der ugeordete k-tupel (ohe Wiederholug), die aus Objekte gebildet werde köe. Nach Satz 1.8 ist die Azahl der Elemete i # () =, k ud es gibt 1 k 1 k-tupel, die ei festes Elemet! 2 ethalte. Bei zufälliger Auswahl eies k-tupels hat das Ereigis A; ei k-tupel mit dem Elemet! auszuwähle, die Wahrscheilichkeit Azahl der k-tupel, die! ethalte P (A) = = Azahl aller k-tupel = 1 k 1 k = Ma beachte die Fälle k = 1 ud k =. ( 1)! k! ( k)! (k 1)! ( 1 (k 1))!! = k. WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME 133

6 9.3 Bedigte Wahrscheilichkeit 9.3 Bedigte Wahrscheilichkeit BEISPIEL 1 I Beispiel soll die Wahrscheilichkeit für ei Ifarkttod ierhalb der Gruppe der Raucher R berechet werde. Der Stichproberaum ist jetzt Die Wahrscheilichkeit P (RH) ist durch P (RH) P (R) zu ersetze. Aalog für Nichtraucher R = RH; RH. = 0:39 45 = 8: P RH P R = 0:28 55 = 5: Das Risiko für Raucher, a Herzifarkt zu sterbe, ist mal größer als für Nichtraucher. 8: : ' 1:7 DEFINITION Ist B mit P (B) > 0, so heißt P (A j B) := die bedigte Wahrscheilichkeit für A uter B. Ma beachte, daßi Beispiel 1 gilt P (A \ B) P (B) frhg = R \ H. BEISPIEL 2 (Test für eie seltee Krakheit) 0:3% der Bevölkerug habe die Krakheit, ud 99% der Krake ( K ) reagiere positiv ( p ) auf dem Test 2% der Gesude ( G ) reagiere positiv auf dem Test. Der Stichproberaum ist fkp; K; Gp; Gg, wobei eie egative Reaktio bezeichet. Berechug der Wahrscheilichkeit : Es ist K = fkp; Kg ud G = fgp; Gg, 134 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

7 Bedigte Wahrscheilichkeit 9.3 also gilt Weiter gilt also ud P (K) = 0:3% ud P (G) = P K = 1 P (K) = 99:7%. P (Kp) P (K) = P (p j K) = 99% ud P (Gp) P (G) = P (p j G) = 2%, P (Kp) = 0:99 P (K) = 0:99 0:003 ' 0:297% P (Gp) = 0:02 P (G) = 0:02 0:997 ' 1:994%. Die Wahrscheilichkeit, bei positivem Test krak zu sei, ist demach P (K j p) = P (Kp) P (p) = P (Kp) P (Kp) + P (Gp) = 0:99 0:003 0:99 0: :02 0:997 ' 0:13, also ur 13 %. Ma ka i diesem Beispiel auch zuächst die Vierfeldertafel aufstelle. Diese Vorgehesweise ist machmal übersichtlicher. Aus der gegebee Radwahrscheilichkeit für K bekommt ma (i % ) P K G p P 0:3 99:7 100 () ud mit () folgt K G P p 0:297 1:994 2:291. P 0:3 99:7 100 Damit sid alle Wahrscheilichkeite gegebe, speziell erhält ma P (K j p) = P (Kp) P (p) = 0:297% 2:291% ' 0:13. WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME 135

8 9.4 Uabhägigkeit 9.4 Uabhägigkeit DEFINITION gilt. Zwei Ereigisse A; B heiße uabhägig, we die Produktregel P (A \ B) = P (A) P (B) Dies bedeutet, daßb kei Ei ußauf die Wahrscheilichkeit vo A hat. I der Tat folgt sofort aus der De itio der bedigte Wahrscheilichkeit SATZ Ist P (B) > 0, so sid A ud B geau da uabhägig, we P (A) = P (A j B). BEISPIEL 1 Nach de Beispiele ud ist P (H) = 0:67 % ud P (H j R) = 0:87 %. Die Ereigisse H ud R sid also abhägig. Der Uabhägigkeitsbegri ist isbesodere wichtig bei Mehrstufe-Experimete. BEISPIEL 2 Ma führe zuerst eie Testreihe für ei Medikamet durch. Es ist wirksam (w) i 73 %, ohe Wirkug (o) i 25 % ud gibt allergische Reaktioe (a) i 2 % der Fälle. Der Stichproberaum ist ud es gilt 1 = fw; o; ag P (w) = 0:73, P (o) = 0:25, P (a) = 0:02. durch. Der Stichpro- Ma führt da eie Testreihe für de Rhesusfaktor Rh + ud Rh beraum ist ud es gilt 2 = frh + ; Rh g P (Rh + ) = 0:85, P (Rh ) = 0:15. Der Stichproberaum des zugehörige Zweistufe-Experimets lässt sich da durch eie Baumdiagramm dargestelle (s.u.) ud ma erhält = fw + ; w ; o + ; o ; a + ; a g. Falls der Rhesusfaktor ohe Ei ußauf die Wirkug dieses Medikamets ist, da sid z.b. die Ereigisse uabhägig, ud es folgt w = fw + ; w g ud Rh + = fw + ; o + ; a + g P (w + ) = P (w \ Rh + ) = P (w) P (Rh + ) = 0:73 0:85 = 0: WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

9 Uabhägigkeit 9.4 I diesem Fall heißt ei uabhägiges Zweistufe-Experimet. Die Produktregel wird auch als Pfadregel bezeichet : Bei eiem uabhägige Mehrstufe-Experimet ist die Wahrscheilichkeit für ei, durch eie Pfad dargestelltes Elemetarereigis das Produkt der Wahrscheilichkeite lägs des Pfades. BEISPIEL 3 Wie großist die Wahrscheilichkeit, daßvo 3 zufällig getestete Persoe alle Rh sid? Dies lässt sich als Dreistufe-Experimet deute, der Stichproberaum 3 besteht aus drei-tupel 3 = f+ + +; + + ; : : : ; g. Da P (Rh ) = 0:15, folgt aus der Produktregel P ( ) = (0:15) 3 ' 0:0034 = 0:34%. Wie großist die Wahrscheilichkeit, daß2 davo Rh sid? Es ist P (+ ) + P ( + ) + P ( +) = 3 0:85 (0:15) 2 = 0:057 = 5:7%. Wie großist die Wahrscheilichkeit, daßmidestes 1 davo Rh ist? Das Gegeereigis ist : Alle sid Rh +. Es ist P (+ + +) = (0:85) 3 = 0:614, also P (+ + +) = 1 P (+ + +) = 1 0:614 = 0:386 = 38:6%. WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME 137