Vorlesung. "Mathematik und Statistik" WS 2006 / Teil II. Statistik und Stochastik

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1 Vorlesug "Mathematik ud Statistik" WS 006 / 007 Teil II Statistik ud Stochastik Oktober 006 Dozet: Dr. Norbert Marxer

2 Skript Statistik ud Stochastik 0. Ihaltsverzeichis 0. Ihaltsverzeichis.... Eileitug... 7 Vorbemerkug... 7 Eileitug... 7 Refereze Wahrscheilichkeitstheorie... 0 Was ist Wahrscheilichkeit?... 0 Ergebisraum ud Ereigisraum... Zufallsexperimet... Illustratio: Drei Mal eie Müze Werfe... Illustratio: Zwei Mal Würfel... Empirisches Gesetz der grosse Zahle... 3 Kolmogorov'sches Axiomesystem... 3 Eigeschafte vo Wahrscheilichkeitsmasse... 4 Beispiel... 4 Beispiel... 4 Ve Diagramme Elemetare Kombiatorik... 6 Eileitug... 6 Laplace Experimete... 6 Laplace Wahrscheilichkeit... 6 Mehrstufige Laplace Experimete - Baumdiagramme... 7 Beroulli Experimete... 7 Summeregel... 7 Produktregel... 8 Permutatioe ud Biomialverteilug... 8 Eileitug... 8 Kombiatorik... 8 Megelehre... 9 Ohe Zurücklege - alle verschiede... 9 Beispiel... 9 Ohe Zurücklege - mehrere Klasse... 9 Ohe Zurücklege - mit Klasse... 0 Ureexperimete bei verschiedee Elemete... 0 Ureexperimete... 0 Mit Zurücklege ud Geordet (k-tupel)... 0 Beispiel... Mit Zurücklege ud Ugeordet (k-repetitio)... Beispiel... Ohe Zurücklege ud Geordet (k-permutatio)... Beispiel... Ohe Zurücklege ud Ugeordet (k-kombiatioe)...

3 Skript Statistik ud Stochastik 3 Beispiel... Zusammefassug - Ziehe mit verschiedee Elemete... Verteiluge i Behälter... 3 Beispiel... 3 Ureexperimete bei teilweise gleiche Elemete... 4 Eileitug... 4 Ziehe mit Zurücklege - Variatioe ud Kombiatioe... 4 Beispiel... 5 Beispiel... 5 Ziehe ohe Zurücklege - Variatio ud Kombiatio... 5 Beispiel... 5 Beispiel Bedigte Wahrscheilichkeite... 6 Eileitug... 6 Bedigte Wahrscheilichkeit... 6 Beispiel... 7 Stochastische Uabhägigkeit Zufallszahlegeerator... 8 Eileitug Zufallsvariable ud ihre Verteiluge... 9 Eileitug... 9 PDF ud CDF Diskrete Verteilug Erwartugswert Beispiel Würfel Diskrete Verteiluge Eileitug Gleichverteilug (DiscreteUiformDistributio) Eileitug Eigeschafte Beroulli Verteilug (BeroulliDistributio) Eileitug Eigeschafte Biomial Verteilug (BiomialDistributio bzw. BINOMVERT) Eileitug Eigeschafte Die Azahl der Erfolge beim -malige Müze werfe Beispiel Beispiel Beispiel Poisso Verteilug (PoissoDistributio bzw. POISSON)... 4 Eileitug... 4 Eigeschafte... 4 Stetige Verteiluge... 4 Eileitug... 4 Normalverteilug (NormalDistributio bzw. NORMVERT, STANDNORMVERT)... 4

4 Skript Statistik ud Stochastik 4 Eileitug... 4 Eigeschafte Stadardormalverteilug c Verteilug (ChiSquareDistributio bzw. CHIVERT) Eileitug Eigeschafte Studet t Verteilug (StudetTDistributio bzw. TVERT) Eigeschafte Zetraler Grezwertsatz Eileitug Experimet Kugel aus eier Ure ziehe Statistik ud empirische Date Eileitug Datetype Beschreibede Statistik... 5 Eileitug... 5 Graphische Darstelluge... 5 Eileitug... 5 Diskrete Datereihe ( klei)... 5 Diskrete Date ( gross: 000) Stetige Date ( gross: 000) i, x i < Diskrete Date ( klei) Diskrete Date ( gross) Stetige Date ( gross) i, x sort,i < Diskrete Date ( klei) Diskrete Date ( gross) Stetige Date ( gross) Häufigkeitsfuktioe: 8x sort,i, i <, 8x i, h i < Diskrete Date ( klei) Diskrete Date ( gross) Stetige Date ( gross) i Verteilugsfuktio: 8x i, j= h j <... 6 Weitere graphische Darstelluge... 6 Box-Ad-Whisker Plot... 6 Masszahle - Nomialskala Masszahle - Ordialskala Masszahle - Metrisch skalierte Date Lagemasse (Lokalisatiosmasse) Streuugsmasse Formmasse... 7 Zetrierug ud Stadardisierug Additiossätze für êê x ud s Date mit diskreter Klassierug ud Stetig klassierte Date Date mit diskreter Klassierug... 74

5 Skript Statistik ud Stochastik 5 Stetig klassierte Date Kozetratios- ud Disparitätsmessug Kozetratio Disparität Zusammehag zwische Kozetratiosidizes ud Disparitätkoeffiziete Kurve Zahle Gemeisame Prizipie Uterschiede Iduktive Statistik... 8 Eileitug... 8 Puktschätzuge Puktschätzug für de Mittelwert Puktschätzug für de Ateilswert Puktschätzug für die Variaz Eigeschafte vo Puktschätzuge Itervallschätzuge Eileitug Stichprobeverteiluge Verteilug des Stichprobemittelwerts Lösug a Lösug b Itervallschätzug bei grosse Stichprobe Itervallschätzug bei kleie Stichprobe Lösug Statistische Tests Eileitug Teste vo Hypothese über Mittelwerte Zweiseitige Fragestellug Beispiel Schritte Zweidimesioale Verteiluge... 9 Eileitug... 9 Kotigeztabelle... 9 Eileitug... 9 Radverteilug... 9 Bedigte Wahrscheilichkeite Berechug vo Mittelwerte ud Variaze für X ud Y Kovariaz ud Korrelatioskoeffiziet Eileitug Beispiel Beispiel Regressio ud Korrelatio Eileitug Scatter Plot Korrelatio... 99

6 Skript Statistik ud Stochastik 6 Eileitug Berechug des Korrelatioskoeffiziete Greze der Korrelatiosaalyse Nichtliearität... 0 Ausreisser... 0 Sigifikaz des Korrelatioskoeffiziete... 0 (Lieare) Regressio Eileitug Berechug der (geschätzte) Regressioskoeffiziete b` 0 ud b` Eigeschafte der Regressiosgerade Berechug der Residualvariaz s (stadard error of estimate) Berechug der Variaze für b` 0 ud b` Bestimmtheitsmass R (coefficiet of determiatio) Itervallschätzug ud Tests Progose Mathematica Lieare Regressio - b` 0 ud b` Berechuge... 0 Beispiel mit Covariace ud Mea Zeitreihe... Eileitug... Tredschätzug... Saisoale Variatio... Zyklische Variatio... Irreguläre Variato... Achtug bei Extrapolatioe... Simulatio Stochastische Differetialgleichuge... 4 Eileitug... 4 Aktie... 4 Stochastiche Differetialgleichug... 4 Brow'sche Bewegug... 5 Mote-Carlo Lösug der SDE... 5 Symbolische Lösug der SDE... 6 Mehrere Aktie... 7

7 Skript Statistik ud Stochastik 7. Eileitug Vorbemerkug Die Vorlesug "Mathematik ud Statistik", die im WS 006 / 007 a der Hochschule Liechtestei agebote wird, beihaltet ach eier allgemeie Repetitio vo vorausgesetzte mathematische Grudlage die Gebiete Taylor Etwicklug ud Partielle Differetiatio, Zeitreiheaalyse, Regressio ud allgemeie Optimierug sowie aus dem Gebiet der Statistik ud Stochastik die Gebiete Deskriptive Statistik, Iduktive Statistik ud Stochastic Calculus. Der gaze Vorlesugsstoff wird i zwei Dokumete bzw. Skripte präsetiert. Das mit "Skript Statistik" bezeichete Dokumet beihaltet die Gebiete, die dem Gebiete der Statistik ud Stochastik zugerechet werde köe. Das mit "Skript Abbilduge" bezeichete Dokumet beihaltet die Gebiete, die icht dem Gebiete der Statistik ud Stochastik zugerechet wede köe. Eileitug Dieses Dokumet ("Skript Statistik") ethält die Gebiete, die dem Gebiet der Statistik ud Stochastik zugerechet werde köe. Die Graphik StatistikUebersicht.jpg zeigt, wie die verschiedee (im Folgede behadelte Theme) miteiader i Beziehug stehe. Eiige Bemerkuge dazu: Sowohl Zufallsexperimete als auch empirische Befraguge liefer Date zur Aalyse mit de Methode der Beschreibede Statistik. Die Iduktive Statistik versucht aus Stichprobe Aussage über die empirische Verteilug der Grudgesamtheit zu mache. Die Wahrscheilichkeitstheorie liefert theoretische Verteiluge, die zum Teil auch für empirische Date verwedet werde köe.

8 Skript Statistik ud Stochastik 8 Die Kapitel dieses Dokumets ethalte die folgede Ihalte. Das Kapitel "Wahrscheilichkeitstheorie" ähert sich dem Begriff der Wahrscheilichkeit ud erklärt die wichtige Begriffe der Wahrscheilichkeitstheorie wie Ergebis, Ereigis ud Wahrscheilichkeit. Ausserdem wird mit dem Kolmogorov'sche Axiomesystem die mathematische Grudlage der Wahrscheilichkeitstheorie gelegt. Das Kapitel "Elemetare Kombiatorik" beschäftigt sich itesiv mit Zufallsexperimete (vor allem Ureexperimete) ud de dazugehörige Formel zur Berechug vo verschiedeste experimetelle Situatioe. Das Kapitel "Bedigte Wahrscheilichkeite" utersucht das Vorgehe, we Teiliformatioe vo Experimete vorliege, gibt verschiedee Formel dazu ad ud defiiert de Begriff der stochastische Uabhägigkeit. Das Kapitel "Zufallszahlegeerator" ist ei kleier Eischub, der Fuktioe zur Erzeugug vo Zufallszahle, die für spätere Simulatioe ud Computerexperimete wichtig sid, erklärt. Das Kapitel "Zufallsvariable ud ihre Verteiluge" geht da äher ei auf die wichtige Fuktioe PDF (probability desity fuctio) ud CDF (cumulative probability desity fuctio), die sowohl bei diskrete als auch bei stetige Verteiluge beutzt werde köe, um aus Messitervalle auf Wahrscheilichkeite zu schliesse. Es wird auch das umgekehrte Prozedere agesproche, ämlich aus eiem Wahrscheilichkeitsbereich auf ei Messitervall zu schliesse. Es werde auch die Begriffe Erwartugswert erklärt sowie die wichtigste diskrete ud stetige Verteiluge diskutiert. Weiters wird der zetrale Grezwertsatz aschaulich mit Computerexperimete plausibilisiert. Das Kapitel "Statistik ud empirische Date" begit da die Behadlug vo empirisch erhaltee Date. Nach eier Übersicht über die Bereiche der Statistik wird auf die eizele Datetype eigegage. Das Kapitel "Beschreibede Statistik" behadelt die Methode, mit dee sich riesige Datemege aschaulich mittels Graphike oder kurz ud prägat mit Kezahle für die Lage ud die Streuug der Date sowie die Form der Verteilug beschreibe lasse. Das Kapitel "Iduktive Statistik" behadelt die Methode, wie sich aus eier Stichprobe auf die Eigeschafte der Grudgesamtheit schliesse lässt. Es werde Puktschätzuge, bei dee es um die Abschätzug eies eizele Werts (z.b. Mittelwert) geht, Itervallschätzuge, wo es um die Abschätzug vo Kofidezitervalle geht sowie statistische Test, wo es um die Aahme bzw. Verwerfug vo Hypothese über die Grudgesamtheit geht, behadelt. Die Iduktive Statistik ist das Gebiet, wo die verschiedee Methode der voragehede Kapitel (Verteiluge, PDF, CDF, Beschreibede Statistik etc.) eigesetzt werde köe. Das Kapitel "Zweidimesioale Verteiluge" beschäftigt sich mit multivariate Date, mit Kotigeztabelle ud Korrelatioe vo bivariate Date. Das Kapitel "Zeitreihe" behadelt bivariate Date ud Zeitreihe sowie verschiedee Methode, um aus diese Date Iformatioe herauszuziehe. Das Kapitel "Regressio ud Korrelatio" behadelt bivariate Date ud Zeitreihe sowie verschiedee Methode, um aus diese Date Iformatioe herauszuziehe. Abschliessed och zwei Defiitioe zum Titel dieses Notebooks Die Statistik ist die Wisseschaft vo der Gewiug, Aufbereitug ud Auswertug vo Iformatioe / Date. Viel mehr dazu im Kapitel 7. Die Stochastik ist die Beschreibug ud Utersuchug vo Zufallsexperimete ud dere Ausgag, vo zeitliche Etwickluge ud räumliche Strukture, die wesetlich vom Zufall beeiflusst werde.

9 Skript Statistik ud Stochastik 9 Refereze Das i der Vorlesug behadelte Gebiet ist sehr weit ud es gibt atürlich eie Umege a Literatur zu de verschiedee Theme. So wie ma sich im Wald dieser Literatur verliere ka, so ka ma sich auch im Wald eier zu lage Literaturliste verliere. Ich möchte deshalb im Folgede ur sehr weige, meies Erachtes ützliche, Hiweise gebe. Sehr kostegüstig sid atürlich die im Iteret verfügbare Iformatioe. Diese Iformatioe werde auch vo Jahr zu Jahr besser. Iteressat sid sicherlich die uter vorhadee Beiträge: über Megelehre, Aalysis,... Sehr gut ud hilfreich köe als Zusatziformatio zur Vorlesug im Gebiete der Statistik auch die beide folgede Bücher (zusamme 600 Seite) sei: "Wahrscheilichkeitsrechug ud schliessede Statistik" vo K. Mosler ud F. Schmid, Spriger,. Auflage, "Beschreibede Statistik ud Wirtschaftsstatistik" vo K. Mosler ud F. Schmid, Spriger, Berli,. Auflage,

10 Skript Statistik ud Stochastik 0. Wahrscheilichkeitstheorie Was ist Wahrscheilichkeit? Wahrscheilichkeitstheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Zufallsexperimete befasst, mit ihrer Beschreibug ud der Aufdeckug vo Gesetzmässigkeite. Es wird versucht mathematische Modelle zu fide für Experimete, bei dee mehrere verschiedee Verläufe möglich sid ud dere Ergebisse gaz oder teilweise vom Zufall abhäge. Isbesodere solle die Gesetzmässigkeite bei vielfacher Wiederholug des Experimets aufgespürt werde. Bei eiem Würfelexperimet ka icht vorausgesagt werde, welche Augezahl eitrete wird. Bei vielfache Wiederholuge des Experimets scheit jedoch der Ateil der Experimete, bei dee,,... 6 gewürfelt wird, eier feste Grösse zuzustrebe. Eie zetrale ud aheliegede Frage lautet: "Was ist Wahrscheilichkeit?". Auf diese Frage gibt es keie befriedigede Atwort. Ituitive Atworte köe folgedermasse laute. Laplace'sche Wahrscheilichkeitsdefiitio Ei uverfälschter (d.h. symmetrischer, umaipulierter) Würfel werde geworfe ud wir frage ach der Wahrscheilichkeit, dass die geworfee Augezahl gerade ist. I diesem Beispiel wird wohl jeder atworte, dass die Wahrscheilichkeit 50% sei, da die Hälfte der mögliche Ergebisse (d.h. die Augezahl, 4, 6) güstig ud die adere Hälfte der Ergebisse (d.h. die Augezahle, 3, 5) ugüstig ist. Die Laplace'sche Wahrscheilichkeit wird als Quotiet der Azahl güstiger Ereigisse ud der Azahl möglicher Ereigisse defiiert. Diese Defiitio bedeutet auch, dass alle Ergebisse eies Experimets gleich wahrscheilich sid. Wahrscheilichkeit als relative Häufigkeit i eier edliche Grudgesamtheit. Eie adere ituitive Wahrscheilichkeitsvorstellug folgt aus dem folgede Beispiel. I eier Gruppe vo 00'000 Persoe seie 0'000 zwische 0 ud 0 Jahre alt. Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass eie zufällig aus der Gruppe ausgewählte Perso i diese Alterskategorie fällt. Ituitiv würde ma sage 0%, d.h. der Quotiet aus 0'000 ud 00'000, d.h. die relative Häufigkeit eies Merkmals i eier edliche Grudgesamtheit (dazu mehr später). Auch hier wird - we ma icht mehr dazu weiss - vorausgesetzt, dass jede der 00'000 Persoe die gleiche Wahrscheilichkeit hat, dieser Alterskategorie azugehöre. Wahrscheilichkeit als Grezwert der relative Häufigkeit bei wachseder Azahl vo Wiederholuge des Experimets Bei de bisherige zwei Möglichkeite kote ma (oder musste ma, da ma keie Zusatziformatioe hatte) auf Grud vo Symmetrieeigeschafte aehme, dass die Wahrscheilichkeite (eie bestimmte Augezahl zu würfel bzw. eier bestimmte Alterskategorie azugehöre) gleich gross ware. Im folgede Beispiel köe keie solche Symmetrieeigeschafte verwedet werde. Es wird z.b. gefragt, wie gross die Wahrscheilichkeit ist, dass beim Wurf eies usymmetrische Gegestads der Gegestad auf eier bestimmte Fläche ladet. Hier liefert us weder die Theorie (Symmetrie) och die relative Häufigkeit eier edliche Grudgesamtheit eie Atwort. Wir müsse das Experimet durchführe ud die relative Häufigkeit für eie grosse Azahl a Versuche bestimme. Wir gehe da davo aus, dass im Grezübergag für gege die relative Häufigkeit eiem Grezwert, de wir als Wahrscheilichkeit dieses Experimets bezeiche, zustrebt. Diese verschiedee Asätze sid für die Mathematik ud rigorose Behadlug icht geeiget. Die Wahrscheilichkeitstheorie wurde jedoch mit dem weiter ute behadelte Axiomesystem auf eie feste Grudlage gestellt. Zum Verstädis des Axiomesystems müsse wir jedoch ei weig aushole.

11 Skript Statistik ud Stochastik Ergebisraum ud Ereigisraum Zufallsexperimet Wichtige Begriffe im Zusammehag mit der Wahrscheilichkeitstheorie sid "Zufallsexperimet", "Ergebis", "Elemetarereigis", "Ereigis" ud "Wahrscheilichkeit". Diese Termiologie soll i diesem Abschitt defiiert ud erläutert werde. Ei Zufallsexperimet ist ei Experimet - mit mehrere (midestes ) mögliche Ergebisse; - dabei lässt sich icht sicher voraussage, welches Ergebis eitritt; - die Ergebismege ist jedoch festgelegt; d.h. alle potetiell mögliche Ergebisse sid bekat; Bei eiem Zufallsexperimet spielt also der Zufall eie wesetliche Rolle. Beispiele für Zufallsexperimete sid: Eimaliges Werfe eier Müze; Das Ziehe eier Karte (z.b. aus eiem Quartett); Die Ziehug der Lottozahle (6 aus 49); x Würfel; Gleichzeitiges Werfe eies rote ud grüe Würfels; Die Mege aller mögliche Ergebisse w eies Zufallsexperimets ist die Ergebismege W. Die Ergebismege wird mit dem griechische Buchstabe W bezeichet, die eizele Ergebisse allgemei mit dem kleie griechische Buchstabe w. Die Ergebismege ist eie ichtleere Mege; ka edlich sei: z.b. 8,, 3, 4, 5, 6< beim eimalige Würfel; ka abzählbar uedlich sei; z.b. beim Würfel bis zum erste 6-er; Die Ergebismege für die obestehede Beispiele vo Zufallsexperimete sid: W = 8Kopf, Zahl< W = 8Herz As, Herz Köig, Herz...<; d.h. die Mege aller Karte W = 88a, b, c, d, e, f< mit a, b, c, d, e, f œ 8,,... 49< ud je zwei icht gleich< W = 8,, 3, 4, 5, 6< W = 88, <, 8, <,... 8, 6<, 8, <, 8, <,... 86, 6<< Oft ist ma jedoch icht am geaue Ergebis w eies Experimets iteressiert, soder a eiem allgemeiere Ereigis. Formal wird ei allgemeieres Ereigis A defiiert als Teilmege des Ergebisraums. Z.B. köte im obige Experimet "x Würfel" das Ereigis "Würfel eier gerade Zahl" laute ud dieses Ereigis würde der Teilmege {, 4, 6} des Ergebisraums 8,, 3, 4, 5, 6< etspreche. Ei Ereigis ka also mehrere Ergebisse umfasse. Spezielle Ereigisse sid sogeate Elemetarereigisse, die geau eiem Ergebis (z.b. "Würfle eie 6", d.h. 86<) etspreche.

12 Skript Statistik ud Stochastik Ei Ereigis A ist eie Teilmege der Ergebismege W. Die Ergebismege W heisst das sichere Ereigis, die leere Mege 8< das umögliche Ereigis. Die Elemete w aus W heisse auch Elemetarereigisse. Es gibt sehr viele Ereigisse (z.b. "Gerade Augezahl würfel", " oder 4 würfel", "Keie 5 würfel", etc.) ud jedes Ereigis ist eie Teilmege des Ergebisraums. Für die obestehede Zufallsexperimete köe wir z.b. folgede Ereigisse A wähle: A = 8Kopf<; Kopf wird geworfe; A = {Herz As, Karo As,... As}; es wird ei As gezoge; A = 88, b, c, d, e, f<mit b, c, d, e, f œ 8,,... 49< ud je zwei icht gleich<; es wird sicher eie gezoge; A = 8, 4, 6<; es wird eie gerade Zahl gewürfelt; A = 8 85, 6<, 86, 5<, 86, 6< <; die Summe der Augezahle ist grösser als 0; Der Ereigisraum ist die Mege aller Ereigisse ud etspricht zumeist der Potezmege (d.h. der Mege aller Teilmege) des Ergebisraums. Der Ereigisraum ka sehr schell sehr gross werde. Im Folgede werde a Had zweier (leicht komplizierterer) Experimete die Begriffe Ergebis w, Ergebisraum W, Elemetarereigis, Ereigis A ud Ereigisraum och etwas ausführlicher behadelt. Ma sieht aschaulich, dass die Grösse des Ereigisraums sehr schell awachse ka. Illustratio: Drei Mal eie Müze Werfe I diesem Experimet wird drei Mal hitereiader eie Müze geworfe, wobei bei jedem Wurf Kopf (0) oder Zahl () als Ergebis möglich ist. Bei dreimaligem Würfel ergibt sich der folgede Ergebisraum: 880, 0, 0<, 80, 0, <, 80,, 0<, 80,, <, 8, 0, 0<, 8, 0, <, 8,, 0<, 8,, << Der Ergebisraum W ethält die Ergebisse bzw. Elemetarereigisse {0,0,0}, {0,0,},... ud umfasst isgesamt 8 verschiedee Ergebisse (Elemetarereigisse). Die Azahl der mögliche Ereigisse (d.h. die Mege aller Teilmege des Ergebisraums bzw. die Potezmege vo W) ist bereits 56 gemäss der allgemeie Formel zur Berechug der Mächtigkeit der Potezmege vo W ( = 8 = 56 ), wobei die Mächtigkeit (Azahl Elemete) vo W ist. Die Begriffe werde i Kürze äher erklärt. Illustratio: Zwei Mal Würfel I diesem Experimet wird zwei Mal hitereiader gewürfel, wobei bei jedem Wurf die Augezahle,, 3, 4, 5 oder 6 als Ergebis möglich sid. Bei zweimaligem Würfel ergibt sich der folgede Ergebisraum: 88, <, 8, <, 8, 3<, 8, 4<, 8, 5<, 8, 6<, 8, <, 8, <, 8, 3<, 8, 4<, 8, 5<, 8, 6<, 83, <, 83, <, 83, 3<, 83, 4<, 83, 5<, 83, 6<, 84, <, 84, <, 84, 3<, 84, 4<, 84, 5<, 84, 6<, 85, <, 85, <, 85, 3<, 85, 4<, 85, 5<, 85, 6<, 86, <, 86, <, 86, 3<, 86, 4<, 86, 5<, 86, 6<< Es gibt also 36 (d.h. 6 mal 6) verschiedee Ergebisse. Der Ereigisraum umfasst alle Teilmege des Ergebisraums. Diese Mege hat sehr viele Elemete, ämlich 36 oder fast 70 Milliarde (geau: ).

13 Skript Statistik ud Stochastik 3 Empirisches Gesetz der grosse Zahle Das wesetliche Merkmal eies Zufallsexperimets ist, dass wir vor seier Durchführug icht wisse, welches der mögliche Ergebisse eitrete wird. Für ei bestimmtes Ereigis A köe wir icht mit Sicherheit voraussage, ob es eitrete wird oder icht; es sei de, A ist etweder das sichere Ereigis W oder das umögliche Ereigis 8<. Wir wolle im Folgede zahlemässig zu erfasse versuche, wie "stark" mit dem Eitrete des Ereigisses A zu reche ist. Dazu bietet sich der folgede experimetelle Weg a: wir führe ei Zufallsexperimet mehrfach acheiader durch ud otiere die (sogeate absolute) Häufigkeit H HAL des Auftretes des Ereigisses A bei -facher Wiederholug sowie die davo abgeleitete relative Häufigkeit h HAL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H HAL. Ma beobachtet u im Allgemeie, dass die relative Häufigkeit mit wachsedem i der Regel immer weiger um eie feste Wert schwakt. Dieser sogeate Stabilisierugseffekt ist eie Erfahrugstatsache ud wird das empirische Gesetz der grosse Zahle geat. Kolmogorov'sches Axiomesystem Nachdem wir die ubefriedigede Situatio mit dem Begriff bzw. der Defiitio der Wahrscheilichkeit diskutiert sowie wichtige Begriffe vo Zufallsexperimete erläutert habe, köe wir de axiomatische Wahrscheilichkeitsbegriff bzw. de mathematische Asatz, die Wahrscheilichkeitstheorie auf ei Fudamet zu stelle, behadel. Wir gebe im Folgede das Kolmogorov'sche Axiomesystem (930er Jahre), die Grudlage der Wahrscheilichkeitstheorie, wobei W die edliche (oder abzählbar uedliche) Ergebismege eies Zufallsexperimets bedeutet. Ei Wahrscheilichkeitsraum ist ei Tripel HW,, PL, wobei W eie ichtleere Mege ist, eie s-algebra vo Teilmege vo W, d.h. ist icht leer, aus B œ folgt B c œ ud aus A, A,... œ folgt A A... œ, ud P : Ø@0, D ist eie Abbildug mit folgede Eigeschafte: Axiom: PHWL = Axiom : PHA BL = PHAL + PHBL für disjukte Ereigisse A ud B Axiom 3: wie Axiom für eie Folge vo paarweise disjukte Ereigisse Die Fuktio P : D heisst Wahrscheilichkeitsmass, Wahrscheilichkeitsabbildug, Wahrscheilichkeitsverteilug oder auch kurz Wahrscheilichkeit. Wie ma leicht eisehe ka, decke sich diese Axiome mit der ituitive Vorstellug vo Wahrscheilichkeit: Gemäss Axiom ist die Wahrscheilichkeit, irgedei Ergebis des Ergebisraums zu erziele, gleich eis (d.h. völlige Sicherheit). Gemäss Axiom ist die Wahrscheilichkeit eie oder eie zu würfel (dies sid disjukte Ereigisse) gleich der Summe der Wahrscheilichkeite der beide (Elemetar)ereigisse, d.h. ÅÅÅÅ 6. Die Wahrscheilichkeit ist ie grösser als (das sicherer Ereigis) ud ie kleier als 0 (das umögliche Ereigis). Eigeschafte vo Wahrscheilichkeitsmasse I der Praxis ist es oft so, dass die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses icht direkt ausgerechet werde ka. Da ka ma versuche, das Ereigis als Vereiigug, Durchschitt, Differez oder Komplemet vo Ereigisse, dere Wahrscheilichkeit eifacher berechet werde ka, zu schreibe ud die folgede Beziehuge azuwede. Diese Beziehuge köe aus dem Axiomesystem abgeleitet werde: PH«L = 0

14 Skript Statistik ud Stochastik 4 0 PHAL PHA c L = - PHAL A Õ B fl PHB \ AL = PHBL - PHAL A Œ B fl PHAL PHB PHB \ AL = PHBL - PHA BL PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL PHA BL PHAL + PHBL PHA A... A L i= PHA i L I dieser Zusammestellug sid A ud B Ereigisse des Wahrscheilichkeitsraums HW,, PL ud A c das Komplemet vo A. Beispiel Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, beim -malige Würfel weigstes eie 6 zu würfel? Lösug Das Ereigis "Würfle midestes eie 6 bei -maligem Würfel" ist das Komplemet des Ereigisses A "Würfle ur die Zahle,, 3, 4, 5 bei -maligem Würfel". Der Ergebisraum W beim -malige Würfel hat die Grösse 6. Die Azahl der mögliche Ergebisse, das Ereigis A zu erziele (d.h. die Grösse vo A), beträgt 5, da bei jedem Wurf ur 5 verschiedee Zahle möglich sid. Die Wahrscheilichkeit, das Ereigis A zu erziele beträgt demach H 5 ÅÅÅÅ 6 L. Die Wahrscheilichkeit, das Komplemet, d.h. beim -malige Würfel weigstes eie 6 zu würfel, beträgt demach -H ÅÅÅÅ 5 6 L ud strebt für gege gege. Beispiel I eier Stadt erscheie zwei Zeituge A ud B. Die Wahrscheilichkeit, dass ei Eiwoher - die Zeitug A liest sei 60%; - die Zeitug B liest sei 50%; - die Zeitug A oder B oder beide liest sei 90%. Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass ei Eiwoher - a. beide Zeituge liest; - b. keie der beide Zeituge liest; - c. ur eie der beide Zeituge liest. Lösug We A das Ereigis ("Lese der Zeitug A") ud B das Ereigis ("Lese der Zeitug B") bezeichet, da gilt: a. PHA BL = PHAL + PHBL - PHA BL = 60 % + 50 % - 90 % = 0 % b. PHA êê êê de Morga êêêêêêêêê BL = PHA BL = - PHA BL = 00 % - 90 % = 0 % c. PHA BL \ PHA BL = PHA BL - PHHA BL HA BLL = PHA BL - PHA BL = 90 % - 0 % = 70 %

15 Skript Statistik ud Stochastik 5 Ve Diagramme Mit Hilfe der Ve Diagramme lasse sich die Beziehuge zwische Ereigisse, die symbolisch oder i Worte gegebe sid, auch aschaulich graphisch darstelle. Siehe dazu im Kapitel "Megelehre" des Skripts "Abbilduge".

16 Skript Statistik ud Stochastik 6 3. Elemetare Kombiatorik Eileitug Nachdem wir verschiedee mathematische (megetheoretische) Beziehuge besproche habe, möchte wir eie etwas geauere Blick auf verschiedee Zufallsexperimete werfe. Dabei defiiere wir zuächst de für usere Zufallsexperimete wichtige Begriff des Laplace Experimets, bei dem jedes Ergebis mit der gleiche Wahrscheilichkeit auftritt. Wichtige Zufallsexperimete sid auch die sogeate Beroulli Experimete, bei dem ur zwei Ergebisse jedoch mit uterschiedlicher Wahrscheilichkeit auftrete köe, sowie vor allem die mehrstufige Beroulli Experimete, die aus mehrere Beroulli Experimete zusammegesetzt sid. Aschliessed utersuche wir im Detail sogeate Ureexperimete, bei dee aus eier Ure mit Kugel k Kugel gezoge ud die mögliche resultierede Aorduge ud dere Wahrscheilichkeite studiert werde. Es gibt dabei verschiedee experimetelle Situatioe zu berücksichtige: mit oder ohe Zurücklege der Kugel, mit oder ohe Berücksichtigug der Aordug sowie mit verschiedee oder teilweise gleiche Kugel. Diese Aalyse führt us is Gebiet der Kombiatorik. Es lasse sich (für Stadardsituatioe) explizite Formel herleite, die es ermögliche auf schelle Art ud Weise die mögliche Ergebisse verschiedeer Zufallsexperimete ud dere Wahrscheilichkeite azugebe. Es wird weiters dargelegt, dass die gleiche Formel auch für eie adere experimetelle Situatio, ämlich der Aufgabe, k Kugel auf Behälter zu verteile, agewedet werde köe. Auch hier gibt es wieder verschiedee (zu de Ureexperimete aaloge) experimetelle Situatioe. Für kompliziertere Situatioe i der Praxis (vor allem we das Experimet zeitabhägige Aspekte ethält) ka oft ur eie Simulatio des Experimets eie Lösug brige. Es ist jedoch zu beachte, dass bei solche Zufallsexperimete die Azahl der Möglichkeite sehr schell is Uermessliche steigt, ud deshalb die gaze Berechuge (aus Zeit- ud Memory Überleguge) idealerweise i (durch Formel berechebare) Teile aufgeteilt werde. Die verschiedee i diesem Kapitel besprochee Zufallsexperimete führe i atürlicher Weise auf diskrete Verteiluge. Die wichtigste dieser (theoretisch abgeleitete) Verteiluge ud dere Eigeschafte werde jedoch erst i de folgede Kapitel behadelt. Laplace Experimete Laplace Wahrscheilichkeit I viele experimetelle Situatioe (wie: würfel, Müze werfe, Karte ziehe etc.) ist jedes Ergebis mit der gleiche Wahrscheilichkeit zu erwarte. Die Voraussetzug der Gleichwahrscheilichkeit heisst Laplace-Aahme. Zufallsexperimete, bei dee die Laplace-Aahme zugrude gelegt wird, heisse Laplace-Experimete. Sei W = 8w, w,... w < die edliche Ergebismege eies Zufallsexperimets. Da heisst die Abbildug P mit: PHAL = ÅÅÅÅÅÅÅ»A» Azahl der für das Eitrete vo A güstige Fälle = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»W» ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ " A Õ W Azahlder mögliche Fälle Laplace-Wahrscheilichkeit.

17 Skript Statistik ud Stochastik 7 Ei Laplace-Experimet geht also vo der Aahme aus, dass ur edlich viele Ergebisse möglich sid ud diese alle die gleiche Wahrscheilichkeit habe. Beim Werfe eier Müze ist jedes der Ergebisse (Kopf, Zahl) mit der gleiche 50% Wahrscheilichkeit zu erwarte. Beim Würfel ist jede Augezahl (,, 3, 4, 5, 6) mit der gleiche ÅÅÅÅ Wahrscheilichkeit zu erwarte. 6 Mehrstufige Laplace Experimete - Baumdiagramme Vorgäge, die sich aus mehrere Teilvorgäge zusammesetze, heisse mehrstufige Vorgäge (z.b. 5x würfel). De Ablauf eies mehrstufige Vorgags ka ma oft übersichtlich als Baumdiagramm darstelle. Nach jedem Teilvorgag verzweigt sich der Baum. I die Kote des Baums trägt ma i Kreise das bisherige Ergebis ei. Vo jedem Kote köe Äste abzweige; die Äste etspreche de mögliche Ergebisse des ächste Teilvorgags. A jede Ast schreibt ma die Wahrscheilichkeit, die besteht um vo eiem Kote zum ächste Kote zu gelage. Die Summe der Wahrscheilichkeite bei jedem Kote beträgt. Zu jedem mögliche Ablauf des Gesamtvorgags gehört ei Weg durch das Baumdiagramm - ei sogeater Pfad. Es gibt zwei Pfadregel: I eiem Baumdiagramm für eie mehrstufige Vorgag gilt: Produktregel: Die Wahrscheilichkeit eies Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheilichkeite etlag dieses Pfades. Summeregel: Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist gleich der Summe der Pfadwahrscheilichkeite (d.h. gleich der Summe der Wahrscheilichkeite, die für dieses Ereigis güstig sid). Beroulli Experimete Bei eiem Beroulli Experimet iteressiert ur, ob ei Ereigis A eitritt oder icht. Im erste Fall spricht ma vo Erfolg mit der Wahrscheilichkeit PHAL = p. Im zweite Fall spricht ma vo Misserfolg mit der Wahrscheilichkeit PHAL = - p. Wird ei Beroulli Experimet mehrfach durchgeführt, spricht ma vo eier Beroulli Kette. Beroulli Formel I eier Beroulli Kette der Läge mit der Erfolgswahrscheilichkeit p gilt:! PHGeau k ErfolgeL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p k H - pl -k k = 0,,... k!h-kl! Statt! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k!h-kl! wird meist i j y z (sprich: über k) geschriebe. k k { Mit Hilfe eies Baumdiagramms ka ma diese Formel herleite, bei der der Biomialkoeffiziet die Azahl der verschiedee Wege darstellt, die zu dem Ereigis "Geau k Erfolge" führe. Summeregel Bei de weiter ute zu besprechede Ureexperimete wird immer wieder auf die Summeregel ud die Produktregel zurückgegriffe. Sie werde i diesem ud dem ächste Abschitt kurz erläutert. Summeregel: Die Azahl der Möglichkeite, ei Elemet aus eier vo zwei diskukte Mege A ud B zu wähle, ist die Summe der Elemete der beide Mege: = A + B

18 Skript Statistik ud Stochastik 8 Diese Regel ist umittelbar eileuchted. Bei zwei disjukte Mege 8a, b, c< ud 8d, e< gibt es isgesamt 5 verschiedee Möglichkeite ei Elemet zu wähle, ämlich eies aus der Vereiigugsmege 8a, b, c, d, e<. Produktregel Die Azahl der Möglichkeite, aus zwei Mege ei geordetes Paar zu wähle, ist gleich der Azahl der Möglichkeite, das erste Elemet zu wähle, multipliziert mit der Azahl der Möglichkeite, das zweite Elemet zu wähle. Diese Regel ist auch umittelbar eileuchted. Jedes Elemet der erste Mege ka mit de Elemete der zweite Mege gepaart werde. Z.B. bei de zwei Mege {a,b} ud {c,d} gibt es die Ergebisse {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}. Permutatioe ud Biomialverteilug Eileitug I viele Fälle ist zur Berechug vo Wahrscheilichkeite ei systematisches Abzähle vo Mege wichtig. Die Kombiatorik ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich damit beschäftigt. Fast alle Zufallsexperimete (mit gleiche Wahrscheilichkeite) lasse sich auf die i de ächstee Abschitte besprochee Uremodelle zurückführe. Dari werde Experimete besproche wo es darum geht, aus eier Ure, die (verschiedee oder teilweise gleiche) Kugel ethält, k Kugel zu ziehe (mit ud ohe Zurücklege) ud zu bestimme, wieviele verschiedee Kofiguratioe (mit oder ohe Berücksichtigug der Aordug) möglich sid. Im Folgede werde verschiedee Begriffe im Zusammehag mit Liste vo ummerierte Kugel verwedet, die hier zusammefassed kurz erklärt ud defiiert sid: Kombiatorik Geordet heisst, dass es auf die Reihefolge der Elemete akommt. Variatio heisst geordet (d.h. die Reihefolge wird berücksichtigt, z.b. aufeiaderfolgedes Ziehe). Kombiatio heisst icht geordet (d.h. Reihefolge wird icht berücksichtigt, z.b. gleichzeitiges Ziehe). ei k-tupel ist eie Liste vo k Elemete; Ei k-tupel eier Mege mit Elemete ist eie geordete Folge vo k Elemete, wobei Elemete auch mehrfach vorkomme köe. k-tupels köe auch als Auswahl mit Wiederholuge bzw.zurücklege, oder als Stichprobe oder Variatioe mit Wiederholuge aufgefasst werde. Eie k-repetitio eier Mege mit Elemete ist eie ugeordete Auswahl vo k Elemete, wobei Elemete auch mehrfach vorkomme köe. k-repetitioe köe auch als Kombiatioe mit Wiederholuge bzw. Zurücklege aufgefasst werde. Eie k-permutatio eier Mege mit ( kl Elemete ist eie geordete Auswahl vo k paarweise verschiedee Elemete aus der Mege. Eie -Permutatio wird auch eifach Permutatio geat. k-permutatioe köe auch als Auswahl ohe Wiederholuge bzw. Zurücklege, oder als Stichprobe oder Variatioe ohe Wiederholuge aufgefasst werde. Eie k-kombiatio eier Mege mit ( kl Elemete ist eie ugeordete Auswahl vo k paarweise verschiedee Elemete aus der Mege. k-kombiatioe köe auch als ugeordete Auswahl ohe Wiederholuge bzw. Zurücklege, oder als Kombiatio ohe Wiederholuge aufgefasst werde.! (gesproche: Fakultät) etspricht dem Produkt ä ä... ä.

19 Skript Statistik ud Stochastik 9 Megelehre Beachte Sie, dass es bei Mege auf die Reihefolge ihrer Elemete icht akommt. Die Mächtigkeit eier Mege gibt die Azahl ihrer Elemete a. Die Potezmege eier Mege ist die Mege aller Teilmege dieser Mege. We die Mege Elemete hat, so hat die Potezmege Elemete. Begriffe: Vereiigugsmege, Durchschittsmege, Komplemetärmege (Komplemet). Bevor wir diese allgemeie Ureexperimete utersuche, soll jedoch och auf wichtige Spezialfälle (mit k = ) eigegage werde. Ohe Zurücklege - alle verschiede Es gibt! mögliche Aorduge (Variatioe), we Kugel aus eier Ure mit verschiedee Kugel gezoge werde (ohe Zurücklege ud mit Berücksichtigug der Reihefolge). Es gibt ur eie Kombiatio. Bei der erste Kugel gibt es Möglichkeite, bei der zweite ur och ( - ), etc. bis : d.h. die Azahl der Möglichkeite ist: H - LH - L... =! Zur Agabe dieser Azahl wurde eie eue Fuktio (Fakultät bzw.!) defiiert: es gilt! = ä ä... ä Die Azahl der Kombiatioe, bei dee es auf die Reihefolge icht akommt, ist gleich, da alle Aorduge (Variatioe) die gleiche Elemete ethalte, ämlich alle (verschiedee) Kugel. Beispiel Gegebe sei die Mege 8a, b, c<. Es gibt die folgede 3! = 6 Permutatioe (Variatioe): 88a, b, c<, 8a, c, b<, 8b, a, c<, 8b, c, a<, 8c, a, b<, 8c, b, a<< Es gibt ur eie Kombiatio: 88a, b, c<< Ohe Zurücklege - mehrere Klasse! Es gibt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k! k!... k m! verschiedee Möglichkeite Kugel, die i m Klasse vo je k ihi =,.. ml icht uterscheidbare Kugel eigeteilt werde köe (ud m i= k i = gilt), azuorde. Es gibt! Möglichkeite Kugel azuorde. Jede ichtuterscheidbare Art (z.b. Farbe rot) ka auf k i! verschiedee Arte ageordet werde, ohe dass ma a der Darstellug eie Uterschied bemerkt. Ma muss also durch alle diese k i! teile. Beispiel: 3 blaue ud 7 rote Kugel köe auf! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k! k! = 0! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 verschiedee Arte ageordet werde. 3! 7! Ohe Zurücklege - mit Klasse Ei wichtiger Spezialfall der vorherige Situatio ist der Fall, we zwei Klasse (d.h. m = ) vorhade sid.

20 Skript Statistik ud Stochastik 0!! Es gibt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k! k = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ verschiedee Möglichkeite Kugel, die i Klasse mit Häufigkeit k bzw. - k eigeteilt werde! k!h-kl! köe, azuorde. Beispiel: Wir köe das vorherige Beispiel verwede ud erhalte wiederum i j 0 y z = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0! = 0. k 3 3! 7! { Ureexperimete bei verschiedee Elemete Ureexperimete I diesem Kapitel werde wir zuächst eie Ure mit verschiedee (z.b. vo bis durchummerierte) Kugel betrachte ud wir ziehe zufällig k-mal acheiader eie Kugel aus der Ure. Die mögliche Ergebisse ud die Mächtigkeit des Ergebisraumes häge dabei etscheided vo der Art der Ziehug ab. Es ka die Reihefolge der gezogee Elemete berücksichtigt werde (ma spricht da vo Variatio oder geordeter Liste) oder icht (ma spricht da vo Kombiatio oder ugeordeter Liste). Die Azahl der Variatioe ist grösser als die (oder gleich der) Azahl der Kombiatioe. Demetspreched ist die Wahrscheilichkeit, ei bestimmtes Ergebis zu erziele, bei der Variatio kleier als die (oder gleich der) Wahrscheilichkeit bei der etsprechede Kombiatio. Bei eier Variatio muss otwedigerweise acheiader gezoge werde, bei eier Kombiatio köte auch gleichzeitig gezoge werde. Beispiel: Bei der Variatio uterscheidet ma zwische de Ergebisse 8, 4, 8< ud 84, 8, <, bei der Kombiatio werde sie jedoch als das gleiche Ergebis betrachtet. Eie weitere Uterscheidug besteht dari, ob ach dem Ziehe der Kugel die Kugel zurückgelegt wird oder icht. Dies führt auf die Uterscheidug mit / ohe Zurücklege. We alle Elemete verschiede sid, hat ma im zweite Fall auch im Ergebis ur uterschiedliche Kugel. Diese zwei Uterscheiduge (Variatio oder Kombiatio, mit oder ohe Zurücklege) führe auf isgesamt 4 verschiedee experimetelle Situatioe, die i diesem Kapitel geauer behadelt werde. I eiem spätere Abschitt wird ausserdem och die Uterscheidug gemacht, ob alle Kugel uterschiedlich sid oder icht. Dies führt auf weitere uterschiedliche experimetelle Situatioe. Mit Zurücklege ud Geordet (k-tupel) Experimet: Aus eier Ure mit verschiedee Kugel werde k Kugel ausgewählt. Nach jedem Zug wird die Kugel wieder zurückgelegt. Jede uterschiedliche Aordug vo k Kugel wird gezählt. Azahl Möglichkeite: k =... Æ k-mal Es gibt k k-tupel, da es Möglichkeite zur Wahl des erste Elemets der Folge, Möglichkeite zur Wahl des zweite Elemets der Folge, etc.... gibt. Jede Möglichkeit tritt mit der Wahrscheilichkeit ÅÅÅÅ auf, jedes k-tupel tritt mit der gleiche Wahrscheilichkeit H ÅÅÅÅ Lk auf. Beispiel Gegebe sei die Mege 8a, b, c<.

21 Skript Statistik ud Stochastik Es gibt die folgede k = 3 = 8 Möglichkeite, aus der Mege mit = 3 Elemete k = Elemete zu ziehe: 88a, a<, 8a, b<, 8a, c<, 8b, a<, 8b, b<, 8b, c<, 8c, a<, 8c, b<, 8c, c<< Mit Zurücklege ud Ugeordet (k-repetitio) Experimet: Aus eier Ure mit verschiedee Kugel werde k Kugel ausgewählt. Nach jedem Zug wird die Kugel wieder zurückgelegt. Vo Tupels, die die gleiche Elemete ethalte, wird ur eies gezählt. Azahl Möglichkeite: i j + k - k k y z { Diese Herleitug ist ei weig komplizierter. Wir köe jedoch folgede Überlegug astelle. Da die Reihefolge icht iteressiert, köe wir eie Strichliste alege: d.h. wir schreibe der Reihe ach für jede der Kugel Striche etspreched der Azahl mit der diese Kugel gezoge wurde ud tree diese Gruppe vo Striche für beachbarte jeweils durch ei Trezeiche. Wir habe also isgesamt k Striche plus - Trezeiche, die wir auf H + k - L! verschiedee Arte aorde köe. Da jedoch die Striche ud Zwischeräume icht uterscheidbar sid, müsse wir diese Azahl durch k! ud H - L! teile ud erhalte als Ergebis Hk+-L! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = i k!h-l! k Beispiel j k + - y z. k { Gegebe sei die Mege 8a, b, c<. Es gibt die folgede ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hk+-L! ziehe: k!h-l! = 4! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 6 Möglichkeite, aus der Mege mit = 3 Elemete k = Elemete zu!! 88a, a<, 8a, b<, 8a, c<, 8b, b<, 8b, c<, 8c, c<< Ohe Zurücklege ud Geordet (k-permutatio) Experimet: Aus eier Ure mit verschiedee Kugel werde k Kugel ausgewählt. Nach jedem Zug wird die Kugel icht wieder zurückgelegt. Jede uterschiedliche Aordug vo k Kugel wird gezählt. Azahl Möglichkeite:! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H-kL! = H - L...H - k + LÆ k-mal! Es gibt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k-permutatioe, da es Möglichkeite zur Wahl des erste Elemet der Folge, ( - ) Möglichkeite H-kL! zur Wahl des zweite Elemets, etc.... gibt, also: H - L...H - k + L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ! Spezialfall k = Es gibt! -Permutatioe bzw. Permutatioe. Beim erste Ziehe gibt es Möglichkeite, beim zweite -, etc.... ud schliesslich beim letzte Zug eie Möglichkeit. Die Totalazahl der Möglichkeite beträgt demach H - L... =! H-kL!. Beispiel Gegebe sei die Mege 8a, b, c<.

22 Skript Statistik ud Stochastik! Es gibt die folgede ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ 3! H-kL!! = 6 Möglichkeite, aus der Mege mit = 3 Elemete k = Elemete zu ziehe: 88a, b<, 8b, a<, 8a, c<, 8c, a<, 8b, c<, 8c, b<< Ohe Zurücklege ud Ugeordet (k-kombiatioe) Experimet: Aus eier Ure mit verschiedee Kugel werde k Kugel ausgewählt. Nach jedem Zug wird die Kugel icht wieder zurückgelegt. Vo Tupels, die die gleiche Elemete ethalte, wird ur eies gezählt. Azahl Möglichkeite:! ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k! H-kL!! Es gibt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k-kombiatioe, da jeweils k! k-permutatioe zu eier k-kombiatio zusammegefasst werde k! H-kL! köe. Beispiel Gegebe sei die Mege 8a, b, c<. Es gibt die folgede ziehe:! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k! H-kL! = 3! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 3 Möglichkeite, aus der Mege mit = 3 Elemete k = Elemete zu!! 88a, b<, 8a, c<, 8b, c<< Zusammefassug - Ziehe mit verschiedee Elemete I de vorige Abschitte wurde die mögliche Aorduge vo k Elemete aus eier Mege bzw. Liste mit verschiedee Elemete diskutiert. Übersichtsweise ka dies folgedermasse zusammegefasst werde: Variatio HgeordetL Kombiatio HugeordetL mit Zurücklege HmehrfachL ohe Zurücklege HverschiedeL k! H kl! J +k k N J k N Bei der Beutzug dieser Tabelle ist zu berücksichtige, dass diese explizite Formel gelte, we alle Elemete im Ausgagstopf verschiede sid. Verteiluge i Behälter I de bisherige Experimete hatte wir verschiedee Kugel i eier Ure ud habe die Azahl Möglichkeite berechet, k Kugel daraus zu etehme ud azuorde. Die Azahl der mögliche Aorduge ergab sich dabei z.b. beim Fall mit Zurücklege ud uter Berücksichtigug der Reihefolge zu:

23 Skript Statistik ud Stochastik 3 W = {w» w = (a, a,... a k ), a i =,... } wobei hier a i die Nummer (vo bis ) der i-te gezogee Kugel agibt. Nu betrachte wir ei aderes Experimet, ud zwar solle k Kugel auf Behälter verteilt werde. Die Azahl der mögliche Verteiluge ist u z.b. für de Fall mit Mehrfachbelegug ud uterscheidbare Objekte gleich: W = {w» w = (a, a,... a k ), a i =,... } wobei hier a i für jede Kugel mit der Nummer i de Behälter (vo bis ) agibt. Es ist u bemerkeswert, dass beide Experimete die gleiche Formel liefer. Aber Achtug: die Azahl der Kugel ist im erste Fall gleich, im zweite Fall gleich k. Die Tatsache, dass die gleiche Formel agewadt werde köe, gilt icht ur für de betrachtete Fall (mit Zurücklege ud uter Berücksichtigug der Aordug), soder i alle vier Fälle, we folgede Zuordug gemacht wird: Experimet Aorduge Experimet Verteiluge Kugel k Kugel davo k Kugel ziehe mit Zurücklege ohe Zurücklege mit Berücksichtigug der Reihefolge ohe Berücksichtigug der Reihefolge auf Behälter verteile mit Mehrfachbelegug mit Eifachbelegug uterscheidbare Objekte icht uterscheidbare Objekte Beispiel Auf wieviele Arte köe die (uterscheibare) Objekte {a,b} auf drei Behälter mit Eifachbelegug verteilt werde? Die Formel lautet (k Kugel ud Behälter):! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ 3! H-kL!! = 6 Die Lösug lautet: auf 6 verschiedee Arte, ämlich {a,b,-}, {a,-,b}, {b,a,-}, {-,a,b}, {b,-,a}, {-,b,a} Der aaloge Fall wäre: auf wieviele Arte köe zwei Objekte aus eier Ure mit de drei Objekte {a,b,c} gezoge ud ageordet werde (ohe Zurücklege ud uter Berückischtigug der Aordug). Die Formel lautet ( Kugel ud k-mal Ziehe):! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ 3! H-kL!! = 6 Die Lösug lautet: auf 6 verschiedee Arte, ämlich {a,b}, {a,c}, {b,a}, {b,c}, {c,a}, {c,b} Ureexperimete bei teilweise gleiche Elemete Eileitug Bie de bisherige Ureexperimete wurde immer (mit Ausahme des Abschitts "Permutatioe ud Biomialverteilug") vorausgesetzt, dass sich im Topf, aus dem die Elemete gezoge werde, ur uterschiedliche Elemete befide. Wir habe die folgede Fälle uterschiede: Erstes ka ach dem Ziehe die Kugel zurückgelegt werde oder auch icht (mit adere Worte Wiederholug ist erlaubt oder auch icht). We die Kugel zurückgelegt wird, ädert sich die Wahrscheilichkeit für das Ziehe jeder Kugel icht, aderfalls scho.

24 Skript Statistik ud Stochastik 4 Zweites ka es auf die Reihefolge der gezogee Kugel akomme (Variatio) oder auch icht (Kombiatio). Eie Variatio ka durch aufeiaderfolgedes Ziehe, eie Kombiatio durch gleichzeitiges Ziehe simuliert werde. Im Folgede wird u eie eue experimetelle Situatio utersucht, ämlich... Drittes köe alle Kugel verschiede sei oder es köe eizele Kugel gleich sei (z.b. gleiche Nummer oder gleiche Farbe). We eizele Kugel gleich sid, köe sie i Kategorie oder Klasse zusammegefasst werde.... womit u isgesamt 3 Fälle zu uterscheide sid. Dies ermöglicht eue Fragestelluge: z.b. auf wie viele Arte köe (mit Zurücklege) drei rote Kugel gezoge werde, we sich im Topf zwei rote ud drei blaue Kugel befide? Allgemeier formuliert habe wir u Kugel, die i m verschiedee Klasse zusammegefasst werde köe ud i die Azahl der Kugel i jeder Klasse agibt, wobei gilt: m i= i =. Es ka jetzt scho vorausgesagt werde, dass da die obe hergeleitete Formel für die Azahl der Auswahle icht mehr gelte bzw. i der Bedeutug der Variable agepasst werde müsse. Auf diese Formel wird im Weitere äher agegage. Für die Zahl der mögliche Aorduge vo Objekte aus mehrere Klasse, die utereiader jeweils ierhalb eier Klasse icht uterscheidbar sid, ist es hilfreich, zuächst die mögliche Zahl der Aorduge der Objekte zu betrachte ud da zu überlege, wieviele dieser Aorduge icht uterscheidbar sid. Die Zahl der mögliche Aorduge bei uterscheidbare Objekte wird da durch die Zahl der icht uterscheidbare Aorduge dividiert. Ziehe mit Zurücklege - Variatioe ud Kombiatioe Experimet Aus eier Ure mit (teilweise gleiche) Kugel, die i m Kategorie eigeteilt werde köe, werde k Kugel ausgewählt. Nach jedem Zug wird die Kugel wieder zurückgelegt. Azahl Variatoe m k Azahl Kombiatioe i j m + k - y z k k { Beim erste Zug habe wir m Möglichkeite (die Wahrscheilichkeit, dass eie Kugel eier bestimmte Klasse gezoge wird, hägt atürlich vo der Grösse der Klasse ab), ebeso beim zweite,... bis zum k-te Zug. Dies liefert m k verschiedee Variatioe. Die Herleitug der Formel für die Azahl Kombiatioe geht aalog zum Fall der uterscheidbare Kugel, ur muss auch hier (die Azahl der Kugel) durch m (die Azahl der Kategorie) ersetzt werde. Beispiel Gegebe sei die Liste folgeder Elemete (keie Mege!): l =8a, b, b, c< Es gibt die folgede m k = 3 = 9 Möglichkeite, aus der Mege mit m = 3 Kategorie k = geordete Elemete zu ziehe: 88a, a<, 8a, b<, 8a, c<, 8b, a<, 8b, b<, 8b, c<, 8c, a<, 8c, b<, 8c, c<<

25 Skript Statistik ud Stochastik 5 Beispiel Gegebe sei die Liste folgeder Elemete (keie Mege!): l =8a, b, b, c< Es gibt die folgede i j m + k - y z = i j 4 y z = 6 Möglichkeite, aus der Mege mit m = 3 Kategorie k = ugeordete k k { k { Elemete zu ziehe: 88a, a<, 8a, b<, 8a, c<, 8b, b<, 8b, c<, 8c, c<< Ziehe ohe Zurücklege - Variatio ud Kombiatio Experimet Aus eier Ure mit (teilweise gleiche) Kugel, die i m Kategorie eigeteilt werde köe, werde k Kugel ausgewählt. Nach jedem Zug wird die Kugel icht wieder zurückgelegt. Azahl Variatoe keie Formel verfügbar Azahl Kombiatioe keie Formel verfügbar Beispiel Gegebe sei die Liste folgeder Elemete (keie Mege!): l =8a, b, b, b< Es gibt die folgede 3 Möglichkeite, aus der Mege mit m = Kategorie k = geordete Elemete zu ziehe: 88a, b<, 8b, a<, 8b, b<< Beispiel Gegebe sei die Liste folgeder Elemete (keie Mege!): l =8a, b, b, b< Es gibt die folgede Möglichkeite, aus der Mege mit m = Kategorie k = ugeordete Elemete zu ziehe: 88a, b<, 8b, b<<

26 Skript Statistik ud Stochastik 6 4. Bedigte Wahrscheilichkeite Eileitug Bislag habe wir us mit Fragestelluge wie... "Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass bei zweimaligem Würfel eie Summe grösser als 9 gewürfelt wird?".... beschäftigt. I diesem Kapitel solle u Frage der folgede Art utersucht werde: "Wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass bei zweimaligem Würfel eie Summe grösser als 9 gewürfel wird, we wir beim erste Wurf keie 6 erreicht habe?". Es wird u also ach der Wahrscheilichkeit eies Ereigisses gesucht, we Zusatziformatioe vorhade sid, die de Ergebisraum eischräke. Die Wahrscheilichkeit des Ereigisses wird damit icht mehr i Bezug zur Mächtigkeit des gaze Ergebisraums gesetzt, soder i Bezug zu eier Teilmege des Ergebisraums. Bedigte Wahrscheilichkeit Dies führt us auf folgede Defiitio: Gegebe sei ei diskreter Wahrscheilichkeitsraum HW,, PL ud zwei beliebige Ereigisse A ud B mit PHBL > 0. Da heisst PHA» BL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ PHA BL ÅÅÅÅÅÅÅÅ PHBL ÅÅÅÅÅ die bedigte Wahrscheilichkeit vo A uter der Bedigug B. (oder lies: P vo A uter der Bedigug B). Die bedigte Wahrscheilichkeit PHA» BL gibt die Wahrscheilichkeit für das Eitrete vo A a, we die Teiliformatio "B ist eigetrete" vorliegt. Statt PHA» BL schreibt ma auch P B HAL. Beachte: Die bedigte Wahrscheilichkeit PHA» BL wird leicht mit der Wahrscheilichkeit des Durchschitts PHA BL verwechselt. Beispiel : wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass eie gewürfelt wurde, we wir wisse, dass eie ugerade P HA BL Zahl gewürfelt wurde? Die Atwort lautet u P HA» BL = P HBL = ê6 ê = 3, da der Ausgag (würfle eie ) zu de drei mögliche Ausgäge (, 3, 5) i Beziehug gesetzt werde muss. Beispiel : wie gross ist die Wahrscheilichkeit, dass eie gewürfelt wurde, we wir wisse, dass eie ugerade Zahl gewürfelt wurde? Die Atwort lautet u 0, da der Ausgag (würfle eie ) icht möglich ist ( ist keie ugerade Zahl, bzw. A B = {}). Mit obige Defiitioe lasse sich (relativ eifach) verschiedee Formel herleite. Für zwei Ereigisse A ud B mit PHBL > 0 gilt: PHA» BL = PHB»AL PHAL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ PHBL Multiplikatiosformel: PHA BL = PHA» BL PHBL Allgemeie Multiplikatiosformel: PHA A... A L = PHA L PHA» A L PHA 3» A A L... PHA» A... A - L

27 Skript Statistik ud Stochastik 7 Für de Fall, dass die Ereigisse A, A... A eie Partitio vo W ergebe (d.h. sie schliesse sich gegeseitig aus ud ihre Vereiigug ergibt W), gelte weiter die beide Formel: Formel vo der totale Wahrscheilichkeit: PHBL = i= PHB» A i L PHA i L Formel vo Bayes: PHA k» BL = PHB»A kl PHA k L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i= PHB»A i L PHA i L Beispiel Zwei Laplace-Würfel, ei grüer ud ei roter, werde eimal gleichzeitig geworfe. Frage : Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Augesumme beider Spielwürfel grösser als 9 ist? Atwort : Sei A das Ereigis die Augesumme ist grösser als 9. Da ergibt sich wege A = 8H4, 6L, H6, 4L, H5, 5L, H5, 6L, H6, 5L, H6, 6L<,» A» = 6 ud»w» = 36 die Wahrscheilichkeit PHAL = 6ê36 = ê6. Frage : Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass die Augesumme beider Spielwürfel grösser als 9 ist, we ma scho weiss, dass der grüe Würfel keie 6 zeigt? Atwort : Die Bedigug B der grüe Würfel zeigt keie 6 reduziert die Azahl der mögliche Fälle vo 36 auf 30, da ur och die Fälle betrachtet werde, bei dee der grüe Würfel,, 3, 4 oder 5 zeigt. Vo diese 30 Fälle sid 3 Fälle güstig, ämlich HA, BL aus 8H4, 6L, H5, 5L, H5, 6L<. Also ist die gesuchte Wahrscheilichkeit 3ê30 = ê0. Stochastische Uabhägigkeit Die bedigte Wahrscheilichkeit PHA» BL gibt die Wahrscheilichkeit für das Eitrete vo A a, we die Teiliformatio "B ist eigetrete" vorliegt. Zwei Ereigisse sid stochastisch uabhägig, we das Eitrete vo B ichts a der Wahrscheilichkeit für das Eitrete vo A ädert, we also gilt: PHA» BL = PHAL Ereigisse, die icht stochastisch uabhägig sid, bezeichet ma als stochastisch abhägig. Für stochastisch uabhägige Ereigisse vereifache sich die im vorige Abschitt agegebee Multiplikatiosformel. I eiem diskrete Wahrscheilichkeitsraum (W,, P) heisse zwei Ereigisse A ud B stochastisch uabhägig, we für sie die Produktformel gilt: PHA BL = PHAL PHBL