Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre

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1 Statistik ud Wahrscheilichkeitslehre Zufall ud Mittelwerte Für alle techische Studiegäge Prof. Dr.-Ig. habil. Thomas Adamek

2 Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug. Eiführug Grudlage vo Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug ist das Zufallsexperimet. Somit stelle wir die Kersätze über Zufallsexperimete a de Afag dieser Eileitug. Defiitio Zufallsexperimet Uter eiem Zufallsexperimet versteht ma ei Experimet mit folgede Eigeschafte: Das Experimet ist uter gleiche äußere Bediguge beliebig oft wiederholbar. Es besitzt mehrere sich gegeseitig ausschließede Ergebisse ud die Ergebisse im Experimet sid zufallsbedigt. Die mögliche, sich aber gegeseitig ausschließede Ergebisse eies Zufallsexperimetes heiße Elemetarereigisse. Die Mege aller Elemetarereigisse bezeiche wir als Ergebismege. Eie Teilmege der Ergebismege eies Zufallsexperimetes ee wir Ereigis. Die Mege aller Ereigisse heißt Ereigisraum. Zufallsexperimete köe diskrete oder stetige Ergebisse liefer. Diskrete Zufallsexperimete sid Experimete mit ur edlich viele oder abzählbar uedlich viele Elemetarereigisse. Beispiele sid das Würfel mit eiem oder mehrere Würfel, das Werfe eier Müze oder das Ziehe eier Karte. Stetige Zufallexperimete lasse Ergebisse zu, dere Ergebismege durch ei Itervall beschriebe werde ka. Dazu gehöre beispielsweise das Erzeuge vo Zufallszahle i eiem Itervall durch eie Computer oder das Erstelle vo Messwerte mittels eier Maschie. Weil die Ergebisse vom Zufall abhäge, sid Progose über eizele, zuküftige Experimete im Detail icht möglich. Adererseits werde wir lere, dass Voraussage möglich sid, we sie sich auf eie große Azahl zuküftiger Zufallsexperimete beziehe. So lässt sich die Augezahl eies Wurfes mit eiem homogee Würfel icht vorhersage, wir köe aber wohl progostiziere, dass bei eier große Zahl vo Würfe, alle Augezahle ahezu gleich häufig auftrete müsse, weil kei Ergebis gegeüber eiem adere bevorzugt wird. Nu ka es im reale Lebe sehr schwierig sei, für das Zufallsexperimet useres Iteresses für solche Progose hireiched große Datemege verfügbar zu mache bzw. solch große Datemege experimetell zu kreiere. Dies ist aber kei Problem, we wir us mittels eies Rechers geeigete Datemege schaffe, ud diese Ergebisse da i die Praxis umsetze. Nehme wir auch für diese Überlegug das Würfelbeispiel. Es ist kaum zumutbar i der Praxis Würfe durchzuführe, dere Ergebisse zu sammel ud aschließed darzustelle ud auszuwerte. Mit eiem Recheprogramm wie Matlab ud Mathematica ist dies ei Projekt, das ierhalb weiger Miute durchgeführt ud ausgewertet werde ka. Dabei muss ma sich icht mal Gedake mache über die Exaktheit des Würfels oder ählicher experimeteller Uzuläglichkeite. Wir werde deshalb im erste Teil dieses Skriptes zeige, wie sich mit eier Müze, eiem Würfel oder vo Zufallszahle die Theorie der Statistik ud der Wahrscheilichkeitsrechug darstelle lasse. Im Zetrum userer Ausführuge stehe große Stichprobemege für Müze, Würfel ud Zufallszahl, die mit eiem Computer erstellt werde. Häufigkeit ud Mittelwert führe us da zu de bekate statistische Verteiluge: Normalverteilug, Chi - Quadrat Verteilug, Studet t-verteilug ud F- Verteilug.

3 3 Wir begie usere Ausführuge mit de so geate Laplace Experimete, Uter eiem Laplace Experimet versteht ma ei Zufallsexperimet, i dem alle Elemetarergebisse gleiche Wahrscheilichkeit habe. Wir wolle diese Eigeschaft mit eiem Computer bestätige, der für us die Ergebisse beim Werfe eier Müze oder eies Würfels simuliert (diskrete Laplace Experimete) ud der Zufallszahle aus eiem beliebig vorgegebeem Zahleitervall a x b geeriert (stetiges Zufallsexperimet), wobei jedes x " [ a,b] gleich wahrscheilich sei soll. Zuächst beobachte wir, was passiert, we user Computer diese Experimete mit große, wachsede Stichprobeumfäge durchführt. Wir erkläre die Begriffe absolute ud relative Häufigkeit ud formuliere mit diese Begriffe user Verstädis für de Begriff gleichwahrscheilich. Wir begie mit der Computersimulatio für das Werfe eier Müze. Dieses Zufallsexperimet hat Elemetarereigisse: Wappe oder Zahl. Wir orde de beide Elemetarereigisse jeweils eie Zahl zu ud mache sie dadurch zu Zufallsvariable. Als Zahle wähle wir Wappe=0 ud Zahl=. Usere Versuchserie umfasst 50, 5000, Würfe. Wir stelle diese zuächst grafisch dar. I Zahle sehe die Ergebisse so aus: I Zahle sieht dies so aus: Azahl Würfe absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Müze Wappe Müze Wappe

4 4 Für die statistische Aussage Elemetarereigisse sid gleichwahrscheilich beobachte wir folgede empirische Ergebisse. Gleichwahrscheilich bzw. gleichhäufig bedeutet icht, dass die Differez der absolute Häufigkeite gege Null geht. Stattdesse immt die Differez der absolute Häufigkeite im Regelfall sogar zu. Deoch strebt die relative Häufigkeit mit zuehmedem Stichprobeumfag gege de theoretische Wert 0.5. Die Abweichuge vom theoretische Wert 0.5 ist i userem Experimet erst für sehr große Stichprobeumfäge ( ) sicher uter %. 3 Wiederholuge der Versuchsserie gebe Ergebisse gleicher Größeorduge, wobei die relative Häufigkeite mit zuehmede Stichprobeumfäge immer gerigfügiger um de Wert 0.5 ach obe bzw. ute streue. Diese Beobachtug ist die empirische Bestätigug der theoretische Erketis, dass bei eiem Zufallsexperimet mit zwei Elemetarereigisse die Wahrscheilichkeit p für jedes Ereigis gleich ist. Wir wiederhole usere empirische Computersimulatioe zum Begriff Gleichwahrscheilich, ehme aber u de Würfel als Versuchsobjekt. Das Würfelexperimet besitzt 6 gleichwahrscheiliche Ereigisse. Wir orde jedem Elemetarereigis eie Zahl zu ud mache sie dadurch zu eier Zufallsvariable. Der theoretische Wert für die Wahrscheilichkeit p der eizele Zufallsvariable beträgt demzufolge. Für große Stichpro- 6 beumfäge müsse u die relative Häufigkeite gerigfügig um diese Wert streue. Wir stelle usere Computersimulatio durch Bilder ud eie Tabelle dar. Weil die Bilder zur absolute Häufigkeit bis auf die Skalierug idetisch mit de Bilder zur relative Häufigkeit sid, beobachte wir ur die Bilder zur relative Häufigkeit. Der Stichprobeumfag verteilt sich beim Würfel auf mehr Elemete als bei der Müze. Deoch erhalte wir ählich ü- berzeugede Ergebisse. Die Wiederholug des Experimetes brigt zwar eue Bilder, aber stets aaloge Aussage

5 5 Wir schließe usere Beobachtuge darüber ab, welche Häufigkeite etstehe, we ei Computer große Stichprobemege zu eiem Experimet geeriert, bei dem alle E- lemetarereigisse (Zufallszahle) die gleiche Wahrscheilichkeit besitze. Das dritte Zufallsexperimet besitzt stetige Zufallsvariable, d.h. i eiem vorgegebeem Itervall der Größe [a,b] ka jeder Wert x mit a x b auftrete, wobei u die Computersimulatioe so programmiert ist, das alle x-werte gleich wahrscheilich sid. Aders als bei der Müze oder dem Würfel ist die Wahrscheilichkeit dass Werte mehr als eimal vorkomme gleich Null. Bei eiem stetige Zufallsexperimet mit uedlich viele verschiedee Zufallsvariable ist ja scho die Wahrscheilichkeit, dass ei Elemet x auch ur eimal geeriert wird Null. Jedes hireiched große Teilitervall (Klasseeiteilug) wird jedoch bei großem Stichprobeumfag mehrere geerierte Elemete beherberge. Für user Experimet wähle wir de Zahlebereich [-0,0] aus ud zerlege ih i 5 Teilitervalle der Läge 0.8. Wir erzeuge drei Stichprobeumfäge vo 50000, 00000, Zufallszahle ud lese ab, wie häufig Elemete aus der Stichprobe i de eizele Teilitervalle vorkomme. Für jedes Teilitervall i, i 5, bilde wir da folgede Zahl: r i = H i " #x = h i #x, wori H i bzw. h i die absolute bzw. relative Häufigkeit im i-te Teilitervall, de Stichprobeumfag ud ΔX die Läge der Teilitervalle bedeute. Wir trage die Werte r i als Ordiatewerte der so geate Wahrscheilichkeitsdichte i der Mitte der Teilitervalle (Klassemitte) auf ud verbide die Bildpukte. Dabei etsteht folgede Grafik, wori die rote Liie de theoretische Wert der Wahrscheilichkeitsdichte für das Experimet Zufallszahle i eiem Itervall der Läge 0 darstellt.

6 6. Grudlagebegriffe für Zufallsexperimete Im Kapitel.3 werde wir durch das Erzeuge großer Stichprobemege ud derer Mittelwerte die klassische statistische Verteiluge Normalverteilug, Chiquadratverteilug ud Studet-t-Verteilug geeriere. Wir beötige dafür ur eiige weige theoretische Begriffe wie Erwartugswert, Mittelwert, Variaz ud Stadardabweichug. Wir werde i diesem Kapitel für die Experimete Müze, Würfel ud Zufallszahl us mit dem otwedige Werkzeug vertraut mache. Wir begie mit dem Zufallsexperimet Müzwurf. Das Zufallsexperimet Müzwurf besitzt = Elemetarereigisse, die im allgemeie Wappe w ud Zahl z geat werde. Die Ergebismege E sieht daach so aus: E = { w,z}. Es gibt isgesamt = Ereigisse: D = { E, { w}, { z}," }. D wird der Ereigisraum geat. Wie i. setze wir w=0 ud z= ud erhalte so zwei Zufallsvariable: X = { 0,}. Beide Zufallsvariable sid gleichwahrscheilich, wir ee das Zufallsexperimet deshalb ei Laplace- Experimet. Die Wahrscheilichkeit für das Eitreffe eier Zufallsvariable messe wir so: Defiitio Defiitio P(0) = p0 = P() = p = =. We für jede Zufallsvariable die Wahrscheilichkeit bekat ist, köe wir dies durch ei Wahrscheilichkeitsfuktio dokumetiere, die für alle x " # defiiert ist: " $ p i falls x = x i f(x) = # % $ 0 sost. Wir habe damit de Defiitiosbereich vo de Werte für die Zufallsvariable X, hier 0 ud, auf alle reelle Zahle x erweitert. So sid beispielsweise i diesem Zufallsexperimet f(-)=f(0.5)=f(5)=0, währed f(0)=f()=0.5 ist. Für eie Progose zum Zufallsexperimet ist die Ketis der Wahrscheilichkeitsfuktio das Optimum desse, was für evetuelle Vorhersage zur Verfügug gestellt werde ka. Nebe der Wahrscheilichkeitsfuktio beutzt der Statistiker die Verteilugsfuktio F(x). Diese Fuktio beatwortet direkt die Fragestellug, wie groß die Wahrscheilichkeit ist, dass beim Zufallsexperimet eie Zufallsvariable eitrifft, die x ist: F(x) = # f(x) = # f(x i ). X"x x i "x P(X"x) Nu gilt beispielsweise F(-)=0, F(0)=F(0.5)=0.5, F()=F(5)=. Zu jeder Wahrscheilichkeitsfuktio gehöre Kezahle. Im Regelfall sid dies der Erwartugswert µ ud die Variaz " (Streuugsquadrat). Diese beide Kezahle sid so defiiert:

7 7 % µ = # x i " f(x i ) = ( i $) " ( #' * = & ) i= i= Erwartugswert " = $ ( x i #µ) f( x i ) = ( i #) # % ( $ ' * =. Variaz (Streuugsquadrat) & ) 4 i= i= Mittels der Kezahle lasse sich Zufallsvariable aus Zufallsexperimete mit uterschiedliche Verteiluge i eier gemeisame Verteilug darstelle. Gehört x beispielsweise zu eier Normalverteilug der Form N ( µ," ), so lasse sich durch die Eiführug der Zufallsvariable u = x "µ alle Normalverteilug mit der Zufallsvariable x i eier # eizige Stadardormalverteilug N(0,) mit der Zufallsvariable u darstelle. Mit x = " #u + µ lässt sich dieser Vorgag wieder zurückführe. Das Gegestück zur eideutige Beschreibug eies Zufallexperimetes durch ihre Wahrscheilichkeitsfuktio ud dere Kezahle ist die empirische Stichprobe zu eiem Zufallsexperimet. Sei eie Stichprobe vom Umfag =0 so gegebe. S={,,,0,0,,,0,,}. S besitzt de Mittelwert: x = = ud das Streuugsquadrat: s = #( x i " x) = " i= 7 " 0.7 = ( ) " ( ) = 7$ $ ("0.7) 9 Wir beschreibe u das Zufallsexperimet Würfel. = = 0.3. Das Zufallsexperimet Würfel besitzt =6 Elemetarereigisse, die ihre Azahl vo Pukte auf de Würfelfläche uterschiede werde, 3 e,,, z d v, 3 f Die Ergebismege E sieht daach so aus: E = { e,z,d,v,f,s }. 3 s Es gibt isgesamt = 6 Ereigisse (Teilmege): D = { E, { e}, { z}, { d}, { v}, { f}, { s},..., { e,z,d,v,f,s },"}. D wird der Ereigisraum geat. Wir setze wir e=, z=, d=3, v=4, f=5, s=6 ud z= ud erhalte so sechs Zufallsvariable: X = {,,3,4,5,6 }.,.

8 8 Alle Zufallsvariable sid gleichwahrscheilich, wir ee das Zufallsexperimet deshalb ei Laplace - Experimet. Die Wahrscheilichkeit für das Eitreffe eier Zufallsvariable messe wir so: Defiitio P() = p = 6,P() Defiitio = p = 6, P(3) Defiitio = p3 = 6,P(4) Defiitio = p4 = 6,. Defiitio P(5) = p5 = 6, P(6) Defiitio = p6 = 6. We für jede Zufallsvariable die Wahrscheilichkeit bekat ist, köe wir dies durch ei Wahrscheilichkeitsfuktio dokumetiere, die für alle x " # defiiert ist: " $ p i falls x = x i f(x) = # % $ 0 sost. Also gilt f()=f()=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=, aber z.b. f(0)=f(.5)=f(3.5)=f(7)=0. 6 Für eie Progose zum Zufallsexperimet ist die Ketis der Wahrscheilichkeitsfuktio das Optimum. Für die Verteilugsfuktio F(x) gilt F(0)=F(x<)=0, F()= 6, F(.5)= 6, F()= 3, F(3.5)=0.5, F(6)=F(x 6)=. Jede Wahrscheilichkeitsfuktio besitzt Kezahle. Im Regelfall sid dies der Erwartugswert µ ud die Variaz " (Streuugsquadrat). Diese Kezahle sid so defiiert: Würfel 6 µ = # x i " f(x i ) = # i" = 6 6 = 3. i= i= " = ( x i #µ) Würfel 6 % $ f( x i ) = i # 7 ( $ ' * & ) 6 i= % = ( ' * = 35 & 4). i= Das Gegestück zur eideutige Beschreibug eies Zufallexperimetes durch ihre Wahrscheilichkeitsfuktio ud dere Kezahle ist die empirische Stichprobe zu eiem Zufallsexperimet. Sei für Müze eie Stichprobe vom Umfag =0 gegebe: M={,,0,0,0,,0,,0,0}. Da besitzt M folgede Mittelwert bzw. Variaz: xm = = bzw. s = #( x i " x) = #( x i " 0.4) = " 9 9 ( ( " 0.4 ) + ( " 0.4) + ( 0 " 0.4) ( 0 " 0.4 ) ) i= i= = ( 4$ $ 0.6) = 9 9 =.4 9 =

9 9 Sei für de Würfel eie Stichprobe vom Umfag =6 so gegebe. S={,,3,4,5,6}. S besitzt de Mittelwert: x = = 7 ud das Streuugsquadrat: s = #( x i " x) = " i= = ( " 3.5 ) + ( " 3.5) + ( 3 " 3.5) + ( 4 " 3.5) + ( 5 " 3.5) + ( 6 " 3.5) 5 Als abschließedes Beispiel zum Thema Grudlagebegriffe wähle wir ei stetiges Zufallsexperimet. Dazu wähle wir das Experimet Zufallszahl aus eiem Itervall [a,b], wobei wir für die explizite Berechug das Itervall [0,0] wähle. Aders als bei de Experimete mit diskrete Elemetarereigisse bzw. Zufallsvariable edlicher Azahl, habe wir u überabzählbar uedlich viele Elemetarereigisse bzw. Zufallselemete. Usere Ergebismege heißt: E = { x, a " x " b, x # $ }. Die uedliche Azahl vo Zufallsvariable impliziert u atürlich, dass die Wahrscheilichkeit für ei eizeles Elemet x zufällig gewählt zu werde, die Größe P(X) = Azahl der für das Eitrete vo x güstige Elemete Azahl der Elemete isgesamt = 7. = " = 0. Die Wahrscheilichkeit 0 für x bedeutet bei Zufallsexperimete mit stetige Zufallsvariable jedoch icht, dass x icht eitreffe ka (irgedei x mit a x b wird der Zufallgeerator für das Zahleitervall [a,b] mit Sicherheit erzeuge). Um eie edliche Wahrscheilichkeit zu defiiere, müsse wir daach frage, welche Wahrscheilichkeit dafür besteht, dass x aus eiem vorgegebee Teilitervall der Größe Δx ist: P ("x) = "x b # a. Wir spreche vo der Wahrscheilichkeit pro Itervall. Die Etsprechug zu der Wahrscheilichkeitsfuktio f(x) für diskrete Zufallsvariable sieht da so aus: $ ' f(x) = lim & Wahrscheilichkeit ) $ Relative Häufigkeit i "x' & ) = lim "x#0 "x Stetiges Zufallsexperimet & ) "x#0% & "x ( ) % Wahrscheilichkeit pro "x ( Wahrscheilichkeitsdichte Experimetelle Erfassug der Wahrscheilichkeitsdichte Diese Formulierug besagt: We wir für ei diskretes Zufallsexperimet die Wahrscheilichkeit durch die relative Häufigkeit formuliere köe, müsse wir im stetige Fall die Wahrscheilichkeit durch die relative Häufigkeit pro Itervall ausdrücke. Wir spreche da vo der Wahrscheilichkeitsdichte.

10 0 I userem Beispiel ist das Eitreffe aller Zufallsvariable gleichwahrscheilich. Dies bedeutet, dass der Quotiet uabhägig vo Größe ud Ort vo Δx Relative Häufigkeit i "x "x ist. Für Δx=[0,0] gilt da: [ ] Relative Häufigkeit i 0,0 f(x) = 0 = 0. Die Wahrscheilichkeit F(x) dafür, dass ei Ereigis x eitrifft, F(x) = P(X " x), ist da die Itegratio vo f(x): F(x) = x " f(x)dx, a # X # x, also a Umgekehrt gilt da atürlich auch: f(x) = lim "x#0 ( ) x " 0 dx = x 0. $ F x + "x ' & ) = F*(x), also = d $ x ' % "x ( 0 { dx% & 0( ). { f(x) F(x) 3 0 F*(x) I der Defiitio der Kezahle müsse wir für stetige Zufallsexperimete die Summatio durch die Itegratio ersetze. Dadurch etsteht für de Mittelwert: x = b # x"f x dx ( ) a 4 43 a Stelle $ i= x i "f( x i ) Für die Variaz defiiere wir: b $ a ( ) " = x #µ a Stelle % x i #x i= Beispiel0 = x" 0 # dx = x = 5. 0 "0 0 0 f(x) dx ( ) f (x i ) Beispiel0 x # 5 = $ dx = x # ( ) 0 ( ) 3 3&0 0 Eie Stichprobe vom Umfag =0 ergibt folgede Werte: = ,.908, ,7.39,7.9079, ,.9998,.888,.7366, Der Mittelwert ergibt ( ) s x i " x = # = " i= Amerkug x = ud das Streuugsquadrat bestimme wir durch: Für eie Stichprobe uterscheide sich die Kezahle für diskrete bzw. stetige Zufallsexperimete icht.

11 .3 Wichtige Wahrscheilichkeitsfuktioe.3. Beroulliexperimet ud seie Wahrscheilichkeite Bei eiem Beroulli Zufallsexperimet iteressiere wir us für das Eitreffe eies bestimmte Ereigisses A bei eier wiederholte Ausführug. Das Ereigis A soll bei jeder Ausführug die gleiche Wahrscheilichkeit p besitze ud die Ergebisse der verschiedee Ausführuge solle uabhägig voeiader sei. Die Wahrscheilichkeit, dass A icht eitrifft, ist da q=-p. Das Eitreffe vo A ee wir Erfolg ud das Nichteitreffe B ee wir Misserfolg. Ei solches Experimet, bei dem wir ur zwei sich gegeseitig ausschließede Ereigisse betrachte, heißt ei Beroulli-Experimet. Wir betrachte die Zufallsvariable X, welche die Häufigkeit des Eitreffes vo A bei eier - fache Ausführug beschreibt. Führe wir ei Ereigis = mal durch, so sid X= ud X=0 möglich. Die Wahrscheilichkeitsfuktio f(x) ka zwei Werte aehme: " $ p für x = f(x) = # q für x = 0. % $ 0 sost We das Ereigis zweimal durchgeführt wird, sid folgede Kostellatioe möglich, AA; AB; BA; BB, wori B (icht A bzw. A) bedeutet. Die Wahrscheilichkeite ihres Auftretes sid: P(AA) = p "p, P(AB) = p " q, P(BA) = q"p, P(BB) = q" q. Die Wahrscheilichkeit für zweimal A, alsox= ist f() = p, für eimal A bzw. X= ist sie f() = p " q ud für keimal A bzw. X=0 ist sie f(0) = q. Etspreched überlege wir us die Situatio für =3: X=3 besitzt die Wahrscheilichkeit f(3) = p 3 ; X= besitzt die Wahrscheilichkeit f() = 3p " q; für X= folgt f() = 3p " q ud für X=0 gilt f(0) = q 3. Für beliebige lautet die Wahrscheilichkeitsfuktio da so: ) " $ % ' # x p x q (x x = 0,,,..., + & f(x) = * +, + 0 sost Die durch f(x) bestimmte Wahrscheilichkeitsfuktio heißt die Beroulli- oder auch Biomialverteilug. Die Verteilugsfuktio F(x) lautet: + - # )% & ( $ i p i q *i 0 " x " ' - i"x F(x) = P(X " x) =, x < 0. - x > Die Kezahle Erwartugswert bzw. Variaz heiße: µ = " p bzw. # = "p " q.

12 Beispiele Müzwurf Das Zufallsexperimet Müzwurf ist gekezeichet durch zwei gleichwahrscheiliche, sich gegeseitig ausschließede Elemetarereigisse A=0=Wappe ud B==Zahl. Beide Elemetarereigisse habe die Wahrscheilichkeit p = 0.5 bzw. q =- p = 0.5. Für das Zufallsexperimet mit Würfe defiiere wir die Häufigkeit des Eitreffes vo Wappe als Zufallsvariable X. Diese ka Werte aehme zwische 0 ud : X = { 0,,,...,}. Mit usere Formel beatworte wir direkt die Frage, mit welcher Wahrscheilichkeit die Zufallsvariable mit dem Wert X=x auftritt: P(X = x) = " $ # x % & ' 0.5 x 0.5 (x = " $ # x % ' 0.5. & Die Wahrscheilichkeitsfuktio ist da so gegebe: ( " $ % ' # x 0.5 x = 0,,,..., * & f(x) = ) * 0 sost + * Die Verteilugsfuktio lautet da: * #,)% & ( $ i 0.5 0"x" ', i"x F(x) = P(X " x) = + 0 x < 0., x >, - Die Kezahle sid: Beroulli µ = " x i f(x i ) = = #p = i= Beispiel 00 = 50 ud $ = ( x i %µ) Beroulli " f(x i ) = = #p # q = 5. Für =00 Müzwürfe sehe f(x) bzw. Verteilugsfuktio F(x) so aus: i=

13 3 Das theoretische Ergebis wird mit zwei Stichprobesimulatioe vom Umfag m=00000 getestet. D.h. das Zufallsexperimet " Müze 00 mal werfe ud Azahl vo Wappe zähle" soll 0000 bzw00000 mal durchgeführt werde. Die Experimete weist aus, dass bei 0000 Ausführuge bei keier Stichprobe weiger als 3 ud bei keier mehr als 68 mal Wappe fiel, währed bei Ausführuge die etsprechede Zahle 9 bzw. 73 heiße. Als Mittelwerte erreche wir mit der Stichprobe: 0000 x = " x i = bzw i=0 Die Stadardabweichuge sid s = s = x = # ( x i " x) = 5.04 bzw. s = s = 9999 i= Wir stelle die Stichprobeergebisse grafisch dar x i i=0 " = # ( x i " x) = i=

14 4 Die grafische Darstellug der beide Stichprobe zeige, dass Theorie ud Praxis für de Stichprobeumfag m=0000 gut ud für m=00000 sehr gut übereistimme. Die theoretische Beroulli-Werte wurde als Kurve dargstellt, um eie bessere Kotrast zu de experimetelle Puktwerte zu habe. I der Realität liefert die Theorie atürlich auch ur diskrete Puktwerte. Roulette Das Zufallsexperimet Roulette besitzt 37 gleichwahrscheiliche, sich gegeseitig ausschließede Elemetarereigisse {0,,,3,...,36}. Eie Kugel zirkuliert auf der Drehscheibe ud immt eie Zufallswert zwische 0 ud 36 a. Es gibt zu diesem Zufallsexperimet sehr viele Möglichkeite Zufallsvariable a Had der Elemetarereigisse zu defiiere. Wir köte die Farbe rot, schwarz ud grü als Zufallsvariable beee. Oder gerade Zahle, ugerade Zahle ud Null. Der direkte Weg ist es die Zahle als Zufallsvariable zu defiiere. Wir wolle im Sie eies Beroulli- Experimetes user Spiel so defiiere:

15 5 Wir setze auf eie Zahl ud spiele mal. Wie häufig gewie wir? Die Zufallsvariable X ist da die Azahl der Gewie: X = { 0,,,3,..., ",}. Die Wahrscheilichkeit i eiem (der ) Spiele zu gewie ist, sie ist 37 zu gewie. Die Wahrscheilichkeit, i der Serie vo Spiele X=x mal zu gewie ist: " P(X = x) = $ % " ' % x " 36 % (x # x $ ' $ '. &# 37& # 37& Die Wahrscheilichkeitsfuktio für diese Form des Roulettespieles heißt: ) " $ % " ' % x " 36 % (x + # x $ ' $ ' x = 0,,,..., + &# 37& # 37& f(x) = * + +, 0 sost Ihre Verteilugsfuktio lautet: + - # % # ( & # 36 & * )x $ x % ( % ( 0 " x " ' $ 37' $ 37' - i"x F(x) = P(X " x) =, x < 0. - x >. Für =00 Spiele stelle wir f(x) ud F(x) grafisch dar: Die Kezahle sid icht µ = "p = = 7.0 ud # = " p " q =000" " = 6.30.

16 6 Wir mache zwei Stichprobe vom Umfag 000 bzw Weil jedes Elemet der Stichprobe aus 000 Spiele besteht, gibt es bzw Spiele isgesamt. Bei 000 Spiele beträgt der Mittelwert der Azahl vo Gewie x = 6.87, die Stadardabweichug s = ud die Variaz s = 5.79, bei 0000 Spiele laute die Date x = 7.08, s = 5.5 ud s = 6.5. Die theoretische Werte sid als Kurve dargestellt, um eie bessere Kotrast zu de experimetelle Pukte zu erhalte.

17 7.3. Poisso Wahrscheilichkeitsfuktio - Verteilugsfuktio Bei viele Aweduge, die mit Beroulli-Experimete zusammehäge, ist die Erfolgswahrscheilichkeit p beim eizele Versuch klei, aber die Azahl der Versuche groß. Für große ist die Rechug mit de Biomialkoeffiziete lästig; wir versuche deshalb, die Beroulli-Verteilug durch die Verteilug zu approximiere, die sich eistellt, we die Versuchsazahl " # ud p " 0 strebe. Dabei gehe wir davo aus, dass der Mittelwert µ = "p gege eie edliche Wert strebt. Die Wahrscheilichkeitsfuktio der Beroulli Verteilug heißt: " f(x) = $ % ' # x p x q (x, 0x. Nu gilt & p = µ ud q ="p, also px = µx x ud # q"x = " µ & "x % ( = " µ ), $ ' * + -. " µ "x ), * Daach gilt für f(x): f(x) = ( ") #...# ( " x +) x µ x x " µ $ ' % & ( ) " µ "x * - +., / ( ") #...# ( " x +) $ Für " # strebt der Quotiet x = & ' $ "' $ " x +' )# & )#...# & ) gege, also % ( % ( % ( strebt f(x) da gege die Fuktio: f(x) = µx x e"µ. Dies ist die Formel für die so geate Poisso Wahrscheilichkeitsfuktio. Die zugehörige Verteilugsfuktio ist: % F(x) = e"µ µ x i ' $ & x i 0 # x #. ' x i #x ( 0 x < 0 Die Kewerte der Poisso - Verteilug sid: µ = " p ud # = " p = µ. Beispiele Ei Roulettspieler setzt 00 mal auf eie Vierer Zahlekostellatio. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit x=0,,,3,...,99,00 mal zu gewie? Wie heiße die Kezahle? Die Wahrscheilichkeit x-mal zu gewie ist gegebe durch die Formel: x " 400% $ ' # 37 & f(x) = x e ( Die Kezahle sid µ = " = Die Grafik zeigt eie Vergleich der Poisso Verteilug mit der Beroulli Verteilug.

18 8 Die Übereistimmug ist ur eigeschräkt gut, weil p = 4 relativ groß ist. 37 Im ächste Beispiel ist p = sehr klei, deshalb wird die Übereistimmug sehr gut. 6 Wie häufig gewit ei Spieler mit drei Würfel bei eier Serie vo 0000 Spiele, we ur drei mal die Eis zum Gewi führt? Die Wahrscheilichkeit x-mal zu gewie ist gegebe durch die Formel: x " 0000% $ ' # 6 & f(x) = x e ( Die Kezahle sid µ = " = Die Grafik zeigt eie Vergleich der Poisso Verteilug mit der Beroulli Verteilug.

19 9.3.3 Hypergeometrische Verteilug Die Beroulliverteilug spielt eie Rolle bei Zufallsexperimete, bei dee eizele Ereigisse ubeschräkt häufig auftrete köe (Müzwerfe, Würfel, Roulett, Ziehe mit Zurücklege). Betrachte wir Zufallsexperimete, bei dee gezogee Elemete icht zurückgelegt werde, so verädert sich die Wahrscheilichkeitsfuktio gegeüber der Beroulli-Formel. Besteht die Grudgesamtheit uterscheidbarer Beobachtugswerte aus N Elemete ud sid daruter G güstige ud U=N-G ugüstige Ergebisse möglich, so lautet die Wahrscheilichkeit bei Ziehuge x güstige Ergebisse zu erhalte so: " G% " $ ' N( G % $ ' # x &# ( x & f(x) = " $ N %. Hypergeometrische Wahrscheilichkeitsfuktio ' # & Die hypergeometrische Verteilug heißt da so: " G% " $ ' N( G % x x $ ' # i &# (i & F(x) = ) f(i) = ) " $ N % = x " " i=0 i=0 ' $ N % * G% " $ ' i N( G % ) $ ' # & (i. Hypergeometrische Verteilug # & ' # & # i=0 & Die Hypergeometrische Verteilug hat de Erwartugswert: µ = " G N Erwartugswert ud die Variaz ( )( N$) ( ) " # G# N$ G = N N$ Beispiele. Variaz Köe sich bestimmte Ereigisse icht wiederhole, wie etwa beim Ziehe der Lottozahle, oder beim Aussortiere ohe Zurücklege, so ersetze wir für die Berechug der Wahrscheilichkeite bestimmter Ereigisse die Beroulliverteilug durch die so geate hypergeometrische Verteilug. Zur Demostratio dieser Verteilug sei beispielsweise ach der Wahrscheilichkeit gefragt, x Richtige im Lotto zu erhalte. Die Atwort erreche wir so. Es sid N=49 uterscheidbare Elemete als Grudgesamtheit vorgegebe. Davo sid G = 6 güstig ud U=43 ugüstig. Es " 49% werde =6 Zahleelemete gezoge. Es gibt offebar $ ' Möglichkeite, 6 Elemete aus 49 Elemete auszuwähle. Daruter gibt es $ # 6 & " 6 % ' Möglichkeite, x Richtige uter de 6 gezogee Zahle zu platziere, ud es gibt % ( Möglichkeite, (6- # x& # 43 & $ 6 " x' x) aus der Gesamtmege aller 43 falscher Zahle uterschiedlich auszuwähle. Damit heißt die Formel für die Wahrscheilichkeit vo x Richtige: " $ 6 % " '( 43 % $ ' # x & # 6 ) x& f(x) =, x = 0,,,...,6. " $ 49% ' # 6 &

20 0 Richtige x f(x) F(x) Für die Kezahle erreche wir µ = G N = 6" 6 49 = 36 = ud " # G# N$ G = 49 N N$ Grafisch sieht das Ergebis so aus: ( )( N$) ( ) = 6# 43# 6# # 48 = Eie Tombola mit 000 Lose ethält 50 Gewie. Ei Besucher kauft 50 Lose. Wie groß ist seie Wahrscheilichkeit für x Gewie? Die Grafik der Lösug sieht so aus: Die Kezahle heiße: µ = 5 50 = 6.5 ud 000 " 5# 50# 750# 975 = 000 = # 999

21 .3.4 Normalverteilug Die Normalverteilug (machmal auch Gauss - Verteilug) steht im Mittelpukt vieler statistischer Utersuchuge. Dafür gibt es mehrere Grüde: Mittelwerte beliebiger Zufallsexperimete, z.b. Müze, Würfel, Roulette oder Zufallszahl, verteile sich äherugsweise wie eie Normalverteilug, siehe Zetralsatz. Messwerte lasse sich mit Normalverteiluge erfasse, weil sich die Summe der mit jeder Messug verküpfte Zufallsfehler, wie eie Normalverteilug mit dem Mittelwert 0 verhält. 3 Die Ergebisse vo Biomial- ud Poisso Verteiluge köe im Regelfall äherugsweise durch Normalverteiluge wiedergegebe werde. Die Normal-Verteilug ist eie stetige Verteilug, d.h. ihre Zufallsvariable köe beliebige reelle Zahlewerte aehme. Wir defiiere sie durch die folgede Wahrscheilichkeitsdichte: % x$µ ( $ f(x) = " # e ' * & " ), - + < x < +, " > 0. Für die zugehörige Verteilugsfuktio F(x) ergibt sich da: F(x) = " # e$ & %$µ ) x ( + ' " * - d%. $, We us die Wahrscheilichkeit P iteressiert, mit der bei eiem ormal verteilte Zufallsexperimet ei Ereigis auftritt, desse Zahlewert im Itervall [a,b] liegt, so müsse wir de Ausdruck bilde: P(a" X" b) = F(b) #F(a) = $ % e# & ḇ x#µ ( ' $ #, ) + * dx # $ % e# & x#µ ) a ( + - ' $ * dx = $ % #, e# & ḇ ( ' a x#µ $ ) + * dx Die Kegröße der Normalverteilug sid Erwartugswert der Erwartugswert µ ud die Variaz ". Wir wolle zuächst verstehe, was die Wahrscheilichkeitsdichte f(x) bedeutet. Offebar köe wir bei stetige Verteiluge die Wahrscheilichkeit p für das Eitreffe der Zufallsvariable x icht wie bei diskrete Verteiluge defiiere. Dort war p so erklärt: f(x i ) = P( x i ) = p i = Azahl vo x i Gesamtzahl aller Zufallsvariable = Relative Häufigkeit vo x i. Würde wir dies so überehme, bekäme wir für alle Zufallsvariable edlicher Azahl: P( x i ) = p i = Edliche Azahl vo x i Gesamtzahl aller Zufallsvariable = Zahl """ = 0, was aber gleichzeitig icht bedeute würde, dass x i icht vorkomme ka. Um us f(x) verstädlich zu mache, müsse wir zuächst als Näherug die Wahrscheilichkeit dafür defiiere, dass ei Elemet eitrifft, dass i eiem Itervall [a,b] liegt. Wolle wir us beispielsweise die Wahrscheilichkeitsdichte f(x) zu N(,) verstädlich mache, so wähle wir etwa eie Stellvertreterwert, z.b. x=, ud bereche zuächst die Wahrscheilichkeit eie Wert x aus dem Itervall [,.] zu erhalte:

22 P(" X".) = F(.) #F() = $ e# % x#(. ' * + & ) dx. Im Bild stellt die lila Fläche die Wahrscheilichkeit für das Itervall [,.] dar. Die Rechegröße f() erreche wir da aus ( ) ( ) +F() % P $ X $+ "x ( % F + "x f() = lim ' * = lim ' "x#0& "x ) "x#0& "x ( *,F-() = f(). ) F( + "x) #F() iterpretiert werde als Quotiet der Azahl der Elemete i Dari ka [,+Δx], dargestellt durch die lila Fläche, geteilt durch alle Elemete, dargestellt durch die Gesamtfläche uter der Kurve f(x). Dieser Quotiet ist bekatlich die relative Häufigkeit. Mit eier Computer - geerierte Stichprobe vom Umfag = köe wir f(x) zu N(,), (uteres Bild, blaue Liie) experimetell so achstelle. Der Computer erzeugt eie Stichprobe vo Date zu eier N(,) Verteilug. Wir zerlege das Itervall [-3,5] i 0 Teilitervalle der Größe Wir zähle ab (absolute Häufigkeit) wie häufig die Stichprobewerte i de Teilitervalle auftrete. 4 Wir teile diese Zahle durch de Stichprobeumfag (relative Häufigkeit). 5 Wir teile die relative Häufigkeite durch die Größe des Teilitervalls ud trage die Zahlewerte im Zetrum der Teilitervalle auf (lila Pukte). Bild: Stichprobewerte (lila Pukte) ud blaue Kurve f(x) stimme überei.

23 3 Amerkuge Die Dichtefuktio f(x) ist symmetrisch zur Gerade X=µ. Ihr Aussehe eriert a eie Glocke. Wir spreche deshalb auch vo der Gauss Glockefuktio. Das Maximum der Dichtefuktio zeigt de Wert der größte Wahrscheilichkeitsdichte a. Das Maximum liegt im Zetrum der Verteilug X=µ. 3 Die Fläche uter der Dichtefuktio ist. 4 Eie Stammfuktio zu f(x) ka icht berechet werde. 5 Die beide eizige Variabel i der Normalverteilug sid die Parametergröße µ ud σ. Wir skizziere eiige Kurve, idem wir die Parameter µ ud σ veräder ud lese aus de Skizze die Bedeutug der Parameter für die Normalverteilug ab. Wir kezeiche de Typ eier Normalverteilug durch die Schreibweise N(µ,σ). Die achfolgede Grafike zeigt zuächst drei Kurve mit dem Mittelwert µ=0 ud de drei Stadardabweichuge σ=0.5 (schlake Glockekurve, blau), σ=(mittlere Glockekurve, rot) ud σ= (flache Glockekurve, oliv). Je kleier σ ist, desto schlaker ud höher wird der Kurveverlauf der Wahrscheilichkeitsdichte. Daruter sid drei Kurve mit σ= ud de drei Mittelwerte µ=-, rot, µ=, blau, ud µ=.5, violett.. Die Glockekurve verschiebe sich mit de µ - Werte auf der x-achse. Für positive µ wader sie um µ ach rechts, für egative µ - Werte wader sie ach liks. Der Flächeihalt uter alle Kurve ist stets.

24 4 Häufig iteressiert die Frage, ob ei stetiges Zufallsexperimet, z. B. eie Messug mit eier vorgegebee Normalverteilug N(µ,σ) i Eiklag zu brige ist. Ei solcher Test wird durchgeführt, i dem aus de Messwerte die Testvariable Mittelwert x = x + x + x x, x i Messwerte, errechet wird ud aschließed ach bestimmte Kriterie geprüft wird, ob dieser Testwert hireiched gut zu N(µ,σ) passt. Diese Vorgehesweise bedeutet, dass jedes N(µ,σ) seie eigee Rechug erfordert. Um sich überflüssige Recheaufwad zu erspare, ist es sivoll zu versuche, für alle Messuge eie gemeisame Testprozedur zu erstelle. Dies geligt, we wir die Testvariable Mittelwert ersetze durch die Testvariable u = x "µ ud aschließed prüfe, ob t mit N(0,) # im Eiklag ist. Beide Testverfahre sid äquivalet: x " 4 N(µ,#) 4 3 $ u = x %µ " N(0,). # im Eiklag mit im Eiklag mit äquivalete Prüfverfahre Der Übergag aus der Normalverteilug N(µ,σ) i die Stadardormalverteilug N(0,) geschieht recherisch durch die Substitutio u = x "µ # : b F(b) 4 "F(a) 43 = " # $ e ' *, & # ) dx = P(a<xb) a % x"µ ( f (x)+n(µ,#) u= x"µ # -du= # dx u b = b"µ # $ e" u a = a"µ #.(u)+n(0,), du = /( u b ) " /( u a ) u P(u a <u0u b ) Wir demostriere de Rechevorgag ud die Äquivalez zwische N(µ,σ) ud N(0,) a eiem Beispiel. Beispiel Die Messdate X bei eier Beobachtug seie ormal verteilt mit de Parameter µ= ud σ=, also X " N(, ). Wie groß ist die Wahrscheilichkeit P(X 3) eie Zahlewert X 3 abzulese bzw. wie groß ist der Zahlewert der Verteilugsfuktio F(x=3)? Wie groß ist die Wahrscheilichkeit eie Messwert zu erhalte, der zwische µ-σ=- ud µ+σ=3 liegt? c Für welche zwei Zahle c u bzw. c o gilt P( c u " X " c o ) = 0.95 ebst u + c o = µ Symmetrie zu µ Ma et diese beide Zahle jeweils das α=0.05 Quatil zu N ( µ," ) mit der Bedeutug dass für die Zufallswerte "# < X $ c u gilt: P ("# < X $ c u ) =.5% ud aalog für die Zufallswerte c o " X < # gilt: P ( c o " X < #) =.5%. Daraus resultiert im Umkehrschluss P( c u < X < c o ) = 95%. Wir bereche zuächst die Wahrscheilichkeit für eie Messwert zwische - ud 3, wobei wir für die Berechug der Näherug mittels Reihe eie Tascherecher verwede:

25 5 % x$( 3 u= x$ 3$ $ P(-" X " 3) = # e ' * & ) = + dx = + $ # e$ u du $$ f (x) 4443 =$,(u) F(3)-F(-) -()$-($) $ u =v = # + e v du =. + v + v # + v3 vk k du $ / 0 $ Tayloretwicklug vo e v v=$ u = #. $ ( $) u 4 + ( $) u ( $)3 u ( $)k u 4k + 0 / 0 3 k 3 du 4k 3 $ Tayloretwicklug vo e v 5 ( $) k u k # / 0 k=0( k +) k 3 = k 3 $ Auf userem Lösugsweg sid wir durch die Substitutio u = x "µ # vo der Normalverteilug N(,) zur Stadardormalverteilug N(0,) übergegage. I Bilder sieht dieser Übergag so aus. Das obere Bild zeigt P(- x 3) mittels f(x), das utere Bild zeigt die gleiche Wahrscheilichkeit durch φ(u).

26 6 % x$µ ( x $ Die Kurve für F(x) = " # e ' * & " ), dx bzw. -(u) = $ f (x) gleiche Ergebisse. u, # e$ u dx führe zu de $ (u) Wir lese die Wahrscheilichkeite u aus de Differeze der Kurvewerte F(x) bzw. Φ(u) ab. Wir fasse zusamme. Die Wahrscheilichkeit, dass die ormalverteilte Zufallsvariable X aus N(µ,σ) eie Wert kleier gleich x aimmt ist erklärt durch: P(X " x) =F(x) = # $ e% & x%µ ) x ( + ' # * & - dx bzw. { P U. u = x %µ ) ( + = /(u) = ' # * $ %, u= x-µ %, # Die Wahrscheilichkeit, dass X eie Wert größer gleich x aimmt, ist da ( ) =#F(x) bzw. P( U " u) =# $(u). P X " x e % - u du. u= x-µ # Die Wahrscheilichkeit, dass die ormalverteilte Zufallsvariable X aus N(µ,σ) eie Wert zwische a ud b aimmt ist erklärt durch:

27 7 F(b) - F(a) = e$ % x$µ ( b ' * & " ) " # + dx a P(a,X,b) b-µ bzw. { -(b) - -(b) = e $ " u u= x-µ # + du a-µ " 4 4 " % P' a$µ & ",U,b$µ ( * " ) Normalverteiluge erhalte ihre besodere Bedeutug auch durch ihre Awedug auf die Theorie der Messfehler (s. achfolgede Kapitel). Zufällige Messfehler, das sid solche, die icht eier systematische Abweichug uterworfe sid, folge im Regelfall eier Normalverteilug. Für de Wisseschaftler, der Messwerte abliest, stellt sich dabei häufig die Frage, mit welcher Wahrscheilichkeit Messwerte außerhalb eier vorgegebee Toleraz liege. Bei eier eiseitige Abgrezug ach obe lautet da die Frage: Wie heißt der och zu tolerierede Grezwert c für de F(c)=P(X c)=p ist bzw. wie heißt der etsprechede Stadardwert c S mit Φ( c S )=P(U c S )=p? Zu jedem vorgegebee Wert vo p mit (0<p<) existiere Werte c bzw. c S. Diese Grezwert c bzw. c S ee wir das Quatil der Normalverteilug bzw. der Stadardormalverteilug. Solche Werte liefer stadardmäßig Recheprogramme oder köe tabellarisch aus der Stadard-Normalverteilug abgelese. Beispiel Bereche für die N(,) Normalverteilug eie Bereich µ { " c # X # µ { + c $ c = d u + d o, der 95% aller mögliche Werte ethält. x=d u x=d o Wir suche also zwei Zahle d u ud d o, so dass d F(d o ) - F(d u ) = e$ % x$µ ( o ' * & " ) + dx = 0.95 bzw. " # d u P(µ-c,X,µ+c) Wir suche die Zahl c S, so dass "(c S ) - "(-c S ) = e $ c S % u du = 0.95, wori "c S = d u "µ = - c # $c 44 S 4 4 # 3 # ud c S = d o "µ = c 4 4 # 3 # sid. 443 d u =µ"c s # d o =µ+c s # P ( $c S &U&c S ). Das Recheprogramm liefert folgede Bilder ud Werte: Quatil zu N(,) Fläche lila=0.95 Fäche gelb=0.05 d u = ".9# $ &c = 3.9. d o = +4.9%

28 8 Quatil zu N(0,) Fläche lila=0.95 Fäche gelb=0.05 ±c S = ±.96. Ei Blick zurück auf die Beroulliverteilug zeigt, dass die Beroulli Date eier Kurve folge, welche eier Normalkurve ählich sieht. Wir werde i de achfolgede Kapitel ausführlich die ege Beziehug zwische der Beroulli Verteilug, der Poissoverteilug (sofer diese die Beroulliverteilug für große ud kleie p ersetzt) ud der Normalverteilug erörter. A dieser Stelle wolle wir für hireiched große 0 eie theoretische Lehrsatz bestätige, der aussagt, dass die Beroulli Date mit de Kezahle µ = " p ud # = p ( - p) der etsprechede Normalverteilugskurve N ( µ = "p,# = " p " ($p)) folge. Wir demostriere dies am Beispiel der Müze mit p =, "p =, =00, µ =00 = 50 ud # =00$ $ = 5. Die Übereistimmug mit der Poissoverteilug, die i mache Fälle die Beroullikurve ersetzt, ka icht gut sei, weil die Beroulli ud Poissoverteilug differiere, weil p zu groß ist (s. ächstes Bild).

29 9 Das Beispiel zum Zufallsexperimet Roulette zeigt ei etwas schwächere Übereistimmug zwische der Beroulliverteilug mit =000, p = 36, ("p) = 37 37, also µ = # 36 = 7.03 ud " = 37 37, ud der aaloge Normalverteilug mit gleiche Kezahle.

30 30 Dafür stimme u Beroulli ud Poisso sehr gut überei, weil p klei ist ud groß

31 3.3.5 Chi-Quadrat Verteilug Wir begie usere Darstellug der Chi-Quadratverteilug mit eiem Computerexperimet. Wir lasse de Computer Zufallszahle x i " N(0,), # i #, aus eier Stadardormalverteilug auswähle. Mit diese z.b. =0 Zahle bilde wir folgede Summe: =0 " j = # x i, $ j $ i= Diese Vorgag wiederhole wir mal ud zähle daach ab, wie sich die " j - Werte, j , auf der positive x-achse verteile. Usere Beobachtuge zeige, dass fast alle Quadratsumme " j im Itervall [0,0] liege. Deshalb zerlege wir das Zahleitervall [0,0] i 0 Teilitervalle "x k = [k,k +], 0 # k #9, zähle die absolute Azahl H k der " j -Werte i "x k ab, ud bilde die Zahl r k = Absolute Häufigkeit H k im Teilitervall "x k H = k Gesamtzahl #Läge vo "x k #. Diese Werte trage wir da, Teilitervall für Teilitervall i der Itervallmitte als Bildpukte auf. Es etsteht eie Kurve aus Pukte, die wir mit der so geate Chiquadratkurve für =0 Freiheitsgrade vergleiche. Gaz offesichtlich stimme die Bildpukte useres Zufallsexperimets mit der Chiquadratkurve überei, abgesehe vo gerige Zufallsabweichuge. Wir wiederhole u das Experimet, bilde aber jetzt die Quadratsumme aus 0 Zahle, die zufällig aus eier stadardormalverteilte Zahlemege etomme wurde: 0 " j = # x i, $ j $ i=

32 3 Wir beobachte Zahlewerte im wesetliche zwische 0 ud 40. Deshalb modifiziere wir user Computerexperimet auf Werte zwische 0 ud 40 ud erhalte folgedes Bild: Wiederum sid Puktwerte ud die Chiquadratkurve für =0 Freiheitsgrade fast idetisch. Bislag stütze wir de Mittelwertbildug vo Elemete aus eier Normalverteilug auf die Stadardormalverteilug N(0,). Wir wolle die Prozedur u auf beliebige Normalverteiluge N(µ,σ) ausdehe. Jetzt gehe wir so vor. Wir lasse de Computer Zufallszahle x i " N(µ,#), $ i $, aus eier Stadardormalverteilug auswähle. Mit diese Zahle bilde wir folgede Quadratsumme: ( x i # x j ) $ $ x i " j = i= %, mit xj = i=, & j & Diese Vorgag wiederhole wir mal ud zähle daach ab, wie sich die " j - Werte, j , auf der positive x-achse verteile. Usere Beobachtuge zeige, dass fast alle Werte " j i eiem begrezte Zahlebereich liege, desse Größe abhägig vo ist. Für =0 ist dieser Bereich etwa I 0 = [ 0,0], für =0 vergrößert er sich auf I 0 = [ 0,40]. Wir zerlege für =0 das Zahleitervall [0,L] i 0 Teilitervalle "x k = [k,k +], 0 # k # L $, zähle die absolute Azahl H k der " j -Werte i "x k ab, ud bilde die Zahle r k = Absolute Häufigkeit H k im Teilitervall "x k H = k Gesamtzahl #Läge vo "x k #, 0 $ k $ L -.

33 33 Diese Werte trage wir da, Teilitervall für Teilitervall i der Itervallmitte als Bildpukte auf. Für =0 etsteht eie Kurve aus Pukte, die wir mit der so geate Chiquadratkurve für -=9 Freiheitsgrade vergleiche.

34 34 Die blaue Pukte ergebe sich, für ei Zufallsexperimet mit N((5,.887), die pikfarbee sid aus eier N(3.5,443) etstade ud die rote Pukte (fast durchgehed vo de pikfarbee verdeckt) ergabe sich aus eier N(0,0.89) Verteilug. Für =0 erhalte wir ei aaloges Bild, diesmal ist die Übereistimmug allerdigs mit der Chiquadratkurve für -=9 Freiheitsgrade. Die theoretische Kurveverläufe der Chi-Quadratkurve mit Freiheitsgrade bestimme wir mit eiigem Recheaufwad so. We X, X, X 3,...,X Zufallsvariable sid die der Stadardormalverteilug folge, also die Wahrscheilichkeitsdichte f(x) = " # e$ x bzw. die Verteilugsfuktio F(x) = x e # & $ d$ " #% besitze, da köe wir mit eiigem Recheaufwad die Wahrscheilichkeitsdichte f(z) für die aus de Quadrate gebildete Zufallsvariable Z = " = X + X X so erreche: + $ # ' - & ) # z K " z % ( " e - für z > 0 f(z) =, - 0 für z * Dari bereche wir K so: % $ ( " ' * F(") = K # + z & ) # e $ z dz = 0 Die Wahrscheilichkeitsdichte f(z) bzw. die Verteilugsfuktio F(z) ergebe sich so: # " & f(z) = z % ( $ ' ) e " z bzw. Chiquadratwahrscheilichkeit # ) *% & ( $ ' F(z) = % " t ( + " e * t dt. Chiquadratverteilug $ " #& ' 0 ) % ( Dari bedeutet ( ) = t #$ " # 0 z $ * ' & ) "(#) die so geate Gammafuktio: % & ' e $ t dt, # > 0.

35 35 Für die Kegröße Erwartugswert ud Variaz erreche wir: µ = ud " =. Im Bild sehe die Kurve so aus: Amerkuge Für die empirische Bestimmug eier Chiquadratkurve aus de Zufallsvariable eier Normalverteilug N(µ,σ) mittels ( x i # xj) $ $ x i " j = i= %, mit xj = i=, besitze ur die Stadardabweichug σ ud die Azahl der zur Mittelwertbildug etommee oder vorliegede Elemete eie recherische Bedeutug. Der Erwartugswert µ wird i der Rechug durch de Mittelwert x ersetzt. Ma beutzt die Chiquadratkurve, um mit eiem achfolged erläuterte Verfahre zu prüfe, ob eie vorliegede Azahl vo Messdate mit eier hypothetische Stadardabweichug σ i Eiklag gebracht werde ka.

36 Studet-t Verteilug Wir begie auch usere Darstellug Studet-t Verteilug mit eiem Computerexperimet. Wir lasse de Computer Zufallszahle x i " N(0,), # i #, aus eier feste, aber beliebige Stadardormalverteilug N(µ,σ) auswähle. Mit diese Zahle bilde wir folgede Zahl: t j, = x j "µ = s m # x i,j "µ i=, x j = # x i,j, * j * $ #( x i,j " xj) ' i= "& ) % i= ( Diese Vorgag wiederhole wir mal ud zähle daach ab, wie sich die t j, - Werte, j , auf der positive x-achse verteile. Für =0 zeige usere Beobachtuge beispielsweise, dass fast alle Zahle t j, im Itervall [0,0] liege. Deshalb zerlege wir das Zahleitervall [0,0] i 0 Teilitervalle "x k = [k,k +], 0 # k #9, zähle die absolute Azahl H k der t j, -Werte i "x k ab, ud bilde die Zahl r k = Absolute Häufigkeit H k für t j, im Teilitervall "x k H = k Gesamtzahl #Läge vo "x k #. Diese Werte trage wir da, Teilitervall für Teilitervall i der Itervallmitte als Bildpukte auf. Es etsteht eie Kurve aus Pukte, die wir mit der so geate Studet-t Verteilugskurve für -=9 Freiheitsgrade vergleiche. Die gesamte Prozedur führe wir isgesamt 6 mal durch ud zwar jeweils zwei mal mit =0 ud =0 für N(5,.887), grüe Pukte im Bild, N(3.5,.443), lila Pukte im Bild, ud N(0,0.89), oragee Pukte im Bild. Diese drei Normalverteiluge lasse sich ihrerseits wiederum durch Mittelwerte aus Zufallsexperimete gewie, die ursprüglich keie Normalverteiluge darstelle. Die Normalverteilug N(5,.887) lässt sich äherugsweise ermittel, we wir als Zufallsexperimet Mittelwerte aus 0 Zufallszahle aus dem Bereich [0,0] zugrude lege. Aalog erzeuge wir N(3.5,.443) aus de Mittelwerte aus 0 Würfe mit eiem Würfel ud schließlich erhalte wir N(0,0.89) aus de Mittelwerte für 0 Würfe eier Müze, we wir z. B. Wappe gleich 0 ud Zahl gleich setze. Uabhägig davo welche Normalverteilug wir der Mittelwertbildug zugrude lege, die Ergebisse userer Prozedur liege alle auf eier Kurve, dere verlauf eizig vo der Azahl abhägt, die wir zur Mittelwertbildug beutze. Das erste Bild zeigt die Prozedur für =0 im Vergleich mit dem theoretische Verlauf der Studet-t Verteilug. Das zweite Bild zeigt de Fall für =0 ud das dritte Bild zeigt beide

37 37 Ergebisse eischließlich der Darstellug der Stadardormalverteilug, der sich für große -Werte die Studet-t Verteilugskurve aäher. Bild =0. für Bild =0 für

38 38 Bild für N=0, =0 ud Stadardormalverteilug Die verkürzte theoretische Herleitug der Studet-t Verteilug erfolgt so. Seie X bzw. Y zwei Zufallsvariable, vo dee X eie Normalverteilug ud Y eie Chiquadratverteilug symbolisiere. Bilde wir mit X ud Y eie eue Zufallsvariable T durch T = X Y, so ist diese da eie stetige, eue Zufallsvariable, welche die so geate t - Verteilug mit folgeder Dichte f(t) beschreibt: f(x) = B " # % $ & ( ' + x +, ) * < t < *. Studet- t Wahrscheilichkeit Der Parameter i dieser Gleichug ist eie atürliche Zahl ud heißt Freiheitsgrad der t - Verteilug. Die Kostate B bestimme wir aus: " " * $ F(") = f(x) dx = B # + x ' & % ) dx =, woraus *" *" (

39 39 # " + & % ( $ ' B = # "% &, =,,3,... folgt. () ) * $ ' Die Verteilug sieht so aus: # " + & % ( x + $ ' # F(x) = # "% & ) + u & + - % ( du, -, <u. x. () ) * +, $ ' $ ' Die Studet-t Verteilug besitzt für de Mittelwert µ=0 (sost keie) ud für 3 die Variaz " = (sost keie. # Das achfolgede Bild zeigt drei Verteilugskurve der t-verteilug ud die Gauss Stadardormalverteilug. Offesichtlich geht für große Freiheitsgrade f die t-verteilug i die Stadardormalverteilug über.

40 F- Verteilug Um die Bedeutug der F- Verteilug zu verstehe, starte wir mit folgedem Computer Versuch. Wir ehme aus eier Normalverteiluge X eie Stichprobe vom Umfag ud bilde damit das Streuugsquadrat s x,. Für eie zweite Normalverteilug Y mit gleicher Variaz wähle u de Stichprobeumfag ud bilde daraus Streuugsquadrat s y,. 3 Wir bilde aus de beide Streuugsquadrate de Quotiete f = s x, s. y, 4 Wir wiederhole die Prozedur 3 hireiched häufig, um für eie große Zahl vo f i " Werte, # i # k, eie Verteilugskurve erstelle zu köe, also darzustelle, wie sich die f i " Werte über dem Zahleitervall verteile. Die Prozedur 4 wurde zuächst für folgedes Paar vo Normalverteiluge durchgeführt: N(5,8) ud N(,8). Dabei wurde folgede kokrete Werte agsetzt: Stichprobeumfag aus N(5,8): =0, Stichprobeumfag aus N(,8): m=5. Azahl k der Quotiete f i, " i " k : k = Mit diesem Computerversuch etstad folgedes Bild: Die etstadee Kurve heißt F- Verteilug. Sie etsteht, we die Variaze der zugrude gelegte Normalverteiluge gleich sid. Sie hägt icht ab vo de zwei Erwartugswerte µ x ud µ y ud icht vo der Größe der gemeisame Variaz " x = " y der beide, dem Versuch zugrude gelegte Normalverteiluge. Sie hägt ur ab vom Stichprobeumfag bzw. m, der de Streuugsquadrate

41 4 $ ' m $ ' & # x l ) & # y l ) & ) m s x,i = xl " l= & ) #& ) bzw. s & { y,i = yl " l= #& ) l= ) & { m l= ) & x ) & y ) % ( % ( zugrude gelegt wird. Um dies bildlich zu bestätige, habe wir de Versuch och zweimal wiederholt, diesmal aber die Normalverteiluge N(5,5) mit N(,5), lila, N(5,8) mit N(,8), grü, ud N(7,3) mit N(,3), mageta, als Grudgesamtheite gewählt. Alle Ergebisse liege auf der gleiche Kurve, der F- Verteilug mit (-,m-)=(9,4) Freiheitsgrade. Schließlich köe wir auch demostriere, dass die gleiche Variaz der zugrude gelegte Normalverteiluge etscheided ist. Das utere Bild zeigt: Wähle wir ei Paar mit ugleicher Variaz, z.b. N(5,9) ud N(,5) so weiche die empirische Werte deutlich vo

42 4 vo der theoretische F- Verteilug mit (9,4) Freiheitsgrade ab. Die F- Verteilug mit (-,m-) Freiheitsgrade ist theoretisch so erklärt: % " + m " ( ' * u "3 & ) % $ ' " ( * $ m " t % ( + dt, m+" ' * 0 (( ")t + ( m ") ) & 4 4 ) 4 & 4 43 ) $ F(u) = ( ") " # ( m ") m" wori K ",m" $ "(k) = % e #t & t k# dt die so geate Gammafuktio ist. 0 Die Wahrscheilichkeitsdichte ist: ist df(u) du $ = f(u) = ( ") " # ( m ") m" % " + m " ( ' * & ) % $ " ( % ' * $ m " ( ' * & ) & ) "3 u (( ")t + ( m ") ). m+" Das Bild zeigt die Kurve für kostate Stichprobeumfag m=30 ud zuehmede Stichprobeumfag =3, 5, 30, 60, 00. Für große Stichprobeumfage, m gilt äherugsweise s x " sx " #, also besitzt f die größte Wahrscheilichkeit für u=.

43 43 Das aaloge Bild für feste Stichprobeumfag m=30 der Y Normalverteilug ud zuehmede Stichprobeumfag der X Normalverteilug sieht ahezu idetisch aus. Auch hier liegt die größte Wahrscheilichkeitsdichte f(u) für große Stichprobeumfäge bei u=. Die Werte der F- Verteilug sid ei Maß für das Verhältis der Streuugsquadrate zweier Stichprobe aus Normalverteiluge mit gleicher Variaz. Immer we wir zwei Normalverteiluge mit gleicher Variaz habe, muss dieses Verhältis für hireiched große Stichprobeumfäge i eiem relativ kleie Itervall um liege. Deshalb habe die f(u) Kurve dort ihr Maximum. Wir utze diese Sachverhalt im Kapitel Beurteilede Statistik dazu, zwei Normalverteiluge auf gleiche Variaz zu teste.