Klausur vom

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1 UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Domiik Faas Stochastik Witersemester 00/0 Klausur vom Aufgabe =6 Pukte Bei eier Umfrage wurde 60 Hotelbesucher ach ihrer Zufriedeheit befragt. Es ergab sich das folgede Kreisdiagramm. icht zufriede sehr zufriede teilweise zufriede zufriede a Nach welchem Skaleiveau ist das Merkmal Zufriedeheit der Besucher vergleichbar? Begrüde Sie kurz Ihre Atwort. Dazu geügt es die Eigeschafte des betreffede Skaleiveaus zu ee. b Wieviele der befragte Besucher ware sehr zufriede? c Besucher ware icht zufriede. Wie groß ist der Wikel des etsprechede Sektors im Kreisdiagramm? Aufgabe 6 Pukte Ei Merkmal X wird durch das folgede Stamm-Blatt-Diagramm beschriebe. Dabei fehle eiige Zahle ???? 8 4 0? Es ist bekat, dass der Media X 0.5 = 33, der eizige Modalwert X mod = 3, die Spaweite SX = 0 ud der arithmetische Mittelwert X = 34 ist. Gebe Sie das vollstädige Stamm-Blatt-Diagramm a.

2 Aufgabe 3 7+6=3 Pukte Ei sechseitiger Würfel zeigt die Zahle,..., 6. Ei vierseitiger Würfel zeigt die Zahle, 4, 6, 8. Beide Würfel werde geworfe. a Gebe Sie eie Ergebismege Ω a, mit der dieses Zufallsexperimet als Laplace- Experimet beschriebe werde ka. Beschreibe Sie die Ereigisse A : Der sechsseitige Würfel zeigt eie kleiere Zahl als der vierseitige. B : Midestes ei Würfel zeigt eie 4. als Teilmege vo Ω ud bestimme Sie die Wahrscheilichkeite vo A ud B sowie die bedigte Wahrscheilichkeit vo B uter der Bedigug A. b Die Zufallsvariable Z beschreibt die Summe der gewürfelte Zahle. Bestimme Sie Erwartugswert ud Variaz vo Z. Begrüde Sie Ihre Atwort. Hiweis: Sie köe beutze, dass für die Zufallsvariable Z, die die Zahl des sechsseitige Würfels beschreibt, gilt: EZ = 7, V Z = 35. Aufgabe =8 Pukte Drei Maschie produziere Bauteile. Sie habe folgede Produktiosateile ud folgede Ausschussquote: Maschie 3 Produktiosateil 0% 30% 60% Ausschussquote 7% 3% 4% a Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass ei zufällig aus der gesamte Produktio ausgewähltes Bauteil zum Ausschuss gehört. b Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit, dass ei zufälliges zum Ausschuss gehöredes Bauteil vo Maschie produziert wurde. c Für welche Zahl k {,, 3} sid die beide Ereigisse Bauteil gehört zum Ausschuss ud Bauteil wurde vo Maschie k produziert stochastisch uabhägig? Begrüde Sie Ihre Atwort.

3 Aufgabe =8 Pukte I eiem Kartespiel mit 3 Karte befide sich jeweils 8 Karte i de Spielfarbe Kreuz, Pik, Herz ud Karo. Ei Spieler erhält daraus zufällig 5 Karte. Bestimme Sie die Wahrscheilichkeit dafür, dass der Spieler a geau Kreuz-Karte erhält. b geau Kreuz-Karte ud geau zwei Pik-Karte erhält. c vo jeder der 4 Farbe midestes eie Karte erhält. Als Atwort geügt jeweils ei Term, der Biomialkoeffiziete beihaltet. Sie müsse die Werte also icht weiter ausreche. Aufgabe 6 ++3=7 Pukte a Begrüde Sie, dass die Fuktio eie Dichtefuktio ist. f : R R, ft = { t+, falls t [, ] 0, sost b Wir betrachte u eie Zufallsvariable Z mit Dichte f. Bestimme Sie: i die Wahrscheilichkeit P 0 Z ii de Erwartugswert vo Z Aufgabe 7 6 Pukte Zeige Sie mit de Recheregel für Erwartugswert ud Variaz vo Zufallsvariable, dass für jede Zufallsvariable Z ud jede Zahl c R gilt: E Z c = V Z + EZ c Aufgabe 8 6 Pukte Gegebe seie eie Zahl a > 0 ud uabhägige Zufallsvariable Z j j N, die alle idetisch verteilt mit Erwartugswert µ = EZ j ud Stadardabweichug σ = σ Zj sid. Weiter sei: M = Z + Z Z N Wogege kovergiere die Wahrscheilichkeite für? Begrüde Sie Ihre Atwort. P µ a M µ Hiweis: Sie köe die Aufgabe löse, idem Sie Erwartugswert ud Stadardabweichug vo M agebe oder bestimme ud da die agegebee Wahrscheilichkeite äherugsweise mit der Normalverteilug bereche.

4 Lösuge Aufgabe a Ordialskaliert: Merkmalsauspräguge köe i atürlicher Weise geordet werde. Uterschiede zwische de Merkmalsauspräguge sid icht vergleichbar. b Der Wikel zum etsprechede Sektor beträgt 90. Folglich ware = 5 Besucher sehr zufriede. c Der Wikel zum Sektor icht zufriede beträgt = 66. Aufgabe X 0.5 = 33 Wert 33 kommt vor als füfter Wert X mod = 3 Wert 3 kommt zweimal vor SX = 0 größter Wert 5 = 0 größter Wert = 45 X = fehleder Wert : 9 = 34 fehleder Wert = 36 Aufgabe 3 a Ω = {,, 3, 4, 5, 6} {, 4, 6, 8} wobei i, j bedeutet, dass der sechseitige Würfel die Zahl i ud der vierseitige die Zahl j zeigt. Es gilt Ω = 6 4 = 4. Weiter ist: A = {,,, 4,, 4, 3, 4,, 6,, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6,, 8,, 8, 3, 8, 4, 8, 5, 8, 6, 8} Damit ist A = 5 ud folglich P A = A Ω = 5 4 = B = {, 4,, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 6, 4, 4,, 4, 6, 4, 8} Damit ist B = 9 ud folglich P B = B Ω = 9 4 = A B = {, 4,, 4, 3, 4, 4, 6, 4, 8} Damit ist A B = 5 ud folglich P A B = A B Ω = 5 4 P B A = P A B P A = = 3. Es folgt

5 b Z beschreibe die Zahl des vierseitige Würfels. Die mögliche Werte vo Z sid, 4, 6, 8 ud habe alle die Wahrscheilichkeit 4. Damit ist EZ = = 5 ud V Z = = 5 Es gilt Z = Z + Z. Damit folgt EZ = EZ + EZ = = 7 ud V Z = V Z + V Z = = 95 für die Variaz beachte ma zusätzlich, dass Z ud Z uabhägig sid Aufgabe 4 Wir betrachte die Ereigisse A : Bauteil gehört zum Ausschuss ud M k : Bauteil wurde vo Maschie k hergestellt a Satz vo der totale Wahrscheilichkeit: P A = P M P A M +P M P A M +P M 3 P A M 3 = = 0.04 b Satz vo Bayes: P M A = P M P A M P A = = 0.5 c Wege P A = 0.04 = P A M 3 sid A ud M 3 uabhägig. Aufgabe 5 a b = c 4 3 5

6 Aufgabe 6 a Es gilt ft 0 für alle t R ud es ist ftdt = [ ] t + dt = t + = = b i P 0 Z = 0 [ ] t + dt = t = = 5 6 ii EZ = t ftdt = t t + [ dt = 6 t3 + ] 4 t = = 4 3 Aufgabe 7 E Z c = E Z EZ + EZ c = E Z EZ + Z EZ EZ c + EZ c = E Z EZ + EZ EZ EZ c + EZ c = V Z + EZ c Aufgabe 8 Wir wisse, dass E M = µ ud σ M = σ ist. Für große ist M ach dem Zetrale Grezwertsatz folglich aäherd so verteilt wie eie Normalverteilug mit Erwartugswert µ ud Stadardabweichug σ. Folglich gilt für große P µ a M µ Φ µ µ σ Φ µ a µ σ = Φ0 Φ a σ de es ist Φ0 = ud wege a σ folgt Φ a σ 0